{"id":34366,"date":"2021-07-07T13:00:45","date_gmt":"2021-07-07T13:00:45","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34366"},"modified":"2025-09-07T23:27:22","modified_gmt":"2025-09-07T23:27:22","slug":"diskrete-wahrscheinlichkeitsverteilungen-und-beispiele","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/diskrete-wahrscheinlichkeitsverteilungen-und-beispiele\/","title":{"rendered":"Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Beispiele"},"content":{"rendered":"
\n
<\/p>\n

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Beispiele<\/h1>\n

<\/p>\n

\n Zusammenfassung<\/strong>
\n In dieser Vorlesung werden wir die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen eingehend untersuchen, beginnend mit ihrer Definition auf der Grundlage kontinuierlicher und diskreter Stichprobenr\u00e4ume. Es werden die f\u00fcnf bekanntesten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt: Binomial- oder Bernoulli-Verteilung, Poisson-Verteilung, geometrische Verteilung, negative Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung, jeweils mit Beispielen, die ihre Anwendung in realen Szenarien veranschaulichen. Dar\u00fcber hinaus werden \u00dcbungen vorgeschlagen, die die Verwendung dieser Verteilungen in praktischen Situationen wie Kartenspielen und Produktverk\u00e4ufen beinhalten und den Studierenden ein anwendungsorientiertes Verst\u00e4ndnis dieser wesentlichen Werkzeuge der Statistik vermitteln.<\/em>\n <\/p>\n

<\/center>
\n <\/p>\n

\n LERNZIELE:<\/strong> Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:\n <\/p>\n

    \n
  1. Das Konzept<\/strong> der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung und ihre wesentlichen Merkmale zu verstehen.<\/li>\n
  2. Die Anwendung<\/strong> der Binomial-, Poisson-, geometrischen, negativen Binomial- und hypergeometrischen Verteilung durchzuf\u00fchren.<\/li>\n<\/ol>\n


    \n INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong>
    \n
    \n Das Konzept der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/strong><\/a>
    \n     Die 5 bekanntesten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/strong><\/a>
    \n     Binomial- oder Bernoulli-Verteilung<\/a>
    \n     Poisson-Verteilung<\/a>
    \n     Geometrische Verteilung<\/a>
    \n     Negative Binomialverteilung<\/a>
    \n     Hypergeometrische Verteilung<\/a>
    \n     Vorgeschlagene \u00dcbungen<\/strong><\/a>
    \n <\/center>\n<\/div>\n

    Wenn wir die Stichprobenr\u00e4ume<\/a> untersuchen, stellen wir fest, dass diese von zwei Arten sein k\u00f6nnen: diskret und kontinuierlich. Wenn der Stichprobenraum kontinuierlich ist, ist es m\u00f6glich, Zufallsvariablen dieser Art zu definieren und daraus die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen abzuleiten. Wir haben bereits das Thema Zufallsvariablen hier<\/a> behandelt; nun konzentrieren wir uns auf die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.<\/p>\n

    <\/a><\/p>\n

    Das Konzept der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/h2>\n

    Wir sagen, dass eine Zufallsvariable X<\/span><\/span> eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, wenn es eine endliche oder abz\u00e4hlbar unendliche Menge C\\subset\\mathbb{R}<\/span><\/span> gibt, so dass P\\left(X\\in C\\right)=1;<\/span><\/span>. Auf diese Weise, wenn wir Werte x\\in C<\/span><\/span> haben, so dass p_X(x) = P(X=x),<\/span><\/span> l\u00e4sst sich \u00fcberpr\u00fcfen, dass, wenn A\\subset\\mathbb{R},<\/span><\/span>, dann gilt:<\/p>\n

    \\begin{array}{lr}\n\n(*) & P\\left(X\\in A\\right) = \\displaystyle \\sum_{x\\in A \\cap C} p_X(x)\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n

    Und insbesondere,<\/p>\n

    \\begin{array}{lr}\n\n(**) & \\displaystyle \\sum_{x\\in C} p_X(x) = 1.\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n

    Wenn wir P(X\\in A)<\/span><\/span> berechnen unter Verwendung von A=]-\\infty, t],<\/span><\/span>, finden wir:<\/p>\n

    P(X\\in A) = P(X\\leq t) = F_X(t) = \\displaystyle \\sum_{x\\leq t}p_X(x)<\/span><\/span><\/p>\n

    Aus dieser Berechnung schlie\u00dfen wir, dass F_X<\/span><\/span> eine \u201eTreppe\u201c mit Spr\u00fcngen bei x\\in C<\/span><\/span> der Gr\u00f6\u00dfe p_X(x).<\/span><\/span> ist. Die Funktion p_X<\/span><\/span>, die von C<\/span><\/span> nach [0,1]<\/span><\/span> geht, nennen wir H\u00e4ufigkeitsfunktion<\/strong>. Somit wird eine diskrete Verteilung durch eine endliche oder abz\u00e4hlbar unendliche Menge C\\subset \\mathbb{R}<\/span><\/span> und eine Funktion p_X(x)\\geq 0<\/span><\/span> bestimmt, die f\u00fcr jedes x\\in C<\/span><\/span> definiert ist und die Ausdr\u00fccke (*) und (**) erf\u00fcllt.<\/p>\n

    <\/a><\/p>\n

    Die 5 bekanntesten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h2>\n


    \n