{"id":34346,"date":"2024-11-27T12:00:53","date_gmt":"2024-11-27T12:00:53","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34346"},"modified":"2025-09-07T03:20:18","modified_gmt":"2025-09-07T03:20:18","slug":"die-ableitung-als-grenzwert-einer-funktion","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/die-ableitung-als-grenzwert-einer-funktion\/","title":{"rendered":"Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion"},"content":{"rendered":"<style>\np{\ntext-align:justify;\n}\n<\/style>\n<h1 style=\"text-align:center;\">Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion<\/h2>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Vorlesung werden wir das Konzept der Ableitung als mathematisches Werkzeug zur Analyse von \u00c4nderungen in Funktionen untersuchen. Wir beginnen mit der Steigung einer Sekante und definieren, indem wir den Grenzwert betrachten, wenn sich die Punkte ann\u00e4hern, die Ableitung als die Steigung der Tangente. Au\u00dferdem werden wir ihre wichtigsten Eigenschaften und Regeln studieren, wie die Summen-, Produkt- und Quotientenregel, die grundlegend sind, um Ableitungen in der Analyse von Funktionen und Ver\u00e4nderungsph\u00e4nomenen anzuwenden.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Zu verstehen<\/strong>, dass die Ableitung als Grenzwert den momentanen \u00c4nderungswert einer Funktion beschreibt und als Steigung der Tangente an eine Kurve in einem Punkt aufgefasst werden kann.<\/li>\n<li><strong>Zu erkl\u00e4ren<\/strong>, wie Differenzierbarkeit die Stetigkeit von Funktionen impliziert.<\/li>\n<li><strong>Zu zeigen<\/strong>, wie die grundlegenden Ableitungsregeln aus der formalen Definition abgeleitet werden.<\/li>\n<li><strong>Zu verwenden<\/strong>, die Rechengesetze f\u00fcr Ableitungen (Summe, Produkt und Quotient) in mathematischen Problemen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Das Konzept der Ableitung<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Die Steigung der Sekantenlinie<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Der \u00dcbergang zum Grenzwert: Die Ableitung und die Steigung der Tangente<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Alternative Definition<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><strong>Eigenschaften der Ableitungen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit<\/a><br \/>\n<a href=\"#\">Rechenregeln f\u00fcr Ableitungen<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/TFxATgmYvkY\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Das Konzept der Ableitung<\/h2>\n<p>Die Natur ist im Allgemeinen Ver\u00e4nderungen unterworfen, und das mathematische Werkzeug par excellence, um Ver\u00e4nderungen zu berechnen und zu verstehen, ist die Ableitung. Diese ergibt sich aus der Frage: \u00abWas geschieht mit dem Wert einer Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span>, wenn die Variable <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> um eine beliebig kleine Gr\u00f6\u00dfe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta x<\/span><\/span> vergr\u00f6\u00dfert oder verkleinert wird?\u00bb. Das Konzept der Ableitung entsteht als der Grenzwert einer Funktion bei der Analyse dieser Frage.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>Die Steigung der Sekantenlinie<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=164s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Betrachten wir eine Funktion<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span>, ausgewertet an zwei Punkten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0 + \\Delta x<\/span><\/span>. Jede Gerade, die zwei Punkte einer Kurve schneidet, wird \u00abSekantenlinie\u00bb genannt und sieht so aus wie in der Abbildung dargestellt.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/--KZ1YA55iug\/YI_jLiez_RI\/AAAAAAAAFCs\/xYcWyzwUaf88McAiTNK7l6tOSZQKyZFdwCLcBGAsYHQ\/s0\/graficosecante.PNG\" alt=\"Grafico recta secante\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"397\" height=\"233\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/--KZ1YA55iug\/YI_jLiez_RI\/AAAAAAAAFCs\/xYcWyzwUaf88McAiTNK7l6tOSZQKyZFdwCLcBGAsYHQ\/s0\/graficosecante.PNG\" alt=\"Grafico recta secante\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"397\" height=\"233\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>Diese spezielle Sekantenlinie hat die Steigung<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\Delta f(x_0)}{\\Delta x} = \\dfrac{f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0)}{\\Delta x}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Der \u00dcbergang zum Grenzwert: Die Ableitung und die Steigung der Tangente<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=278s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn wir die Sekantenlinie an die Kurve betrachten<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x)<\/span><\/span>, die durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0 + \\Delta x<\/span><\/span> verl\u00e4uft, und dann den Grenzwert nehmen, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta x<\/span><\/span> gegen null geht, erhalten wir die Tangente an die Kurve, die durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0, f(x_0)).<\/span><\/span> verl\u00e4uft.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-8wCxY7adTBw\/YI_kfLeezzI\/AAAAAAAAFC0\/o6nKbRKv1SISYU3Rx7ML5Rly29edqey3ACLcBGAsYHQ\/s0\/grafico%2Brecta%2Btangente.PNG\" alt=\"Gr\u00e1fico recta tangente\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"464\" height=\"268\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-8wCxY7adTBw\/YI_kfLeezzI\/AAAAAAAAFC0\/o6nKbRKv1SISYU3Rx7ML5Rly29edqey3ACLcBGAsYHQ\/s0\/grafico%2Brecta%2Btangente.PNG\" alt=\"Gr\u00e1fico recta tangente\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"464\" height=\"268\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>Hieraus ergibt sich die formale Definition der Ableitung einer Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> an einem Punkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> als der Grenzwert<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{df(x_0)}{dx}:= \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\dfrac{\\Delta f(x_0)}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0)}{\\Delta x}<\/span><\/span><\/p>\n<p>dieser repr\u00e4sentiert wiederum die Steigung der Tangente, die durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0.<\/span><\/span> verl\u00e4uft.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Alternative Definition<\/h3>\n<p>Eine alternative M\u00f6glichkeit, die Definition der Ableitung als Grenzwert darzustellen, ergibt sich aus der folgenden Substitution:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nx_i &amp;= x_0\\\\\n\nx_f &amp;= x_i + \\Delta x\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Damit erhalten wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta x = x_f - x_i<\/span><\/span> und die Definition der Ableitung lautet dann<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\dfrac{df(x_i)}{dx} &amp;=\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\dfrac{ f(x_i + \\Delta x) - f(x_i)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\lim_{x_f - x_i \\to 0} \\dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle  \\lim_{x_f \\to x_i } \\dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GLyWOue8OUs\/YJAHOc_lTOI\/AAAAAAAAFC8\/3IV-onfsq9QC4nyweccS4ZN_O-JlWVz8wCLcBGAsYHQ\/s0\/definicion%2Bderivada%2Bcomo%2Blimite.PNG\" alt=\"Definition der Ableitung als Grenzwert der Steigungen der Sekanten\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"469\" height=\"243\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GLyWOue8OUs\/YJAHOc_lTOI\/AAAAAAAAFC8\/3IV-onfsq9QC4nyweccS4ZN_O-JlWVz8wCLcBGAsYHQ\/s0\/definicion%2Bderivada%2Bcomo%2Blimite.PNG\" alt=\"Definition der Ableitung als Grenzwert der Steigungen der Sekanten\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"469\" height=\"243\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>Beide Definitionen sind gleichwertig und k\u00f6nnen je nach Zweck abwechselnd verwendet werden.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Eigenschaften der Ableitungen<\/h2>\n<p>Eine Funktion hei\u00dft differenzierbar in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>, wenn der Grenzwert existiert<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0)}{\\Delta x}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Und wir sagen, dass sie auf einer Menge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span> differenzierbar ist, wenn der Grenzwert f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in I.<\/span><\/span> wohldefiniert ist. Differenzierbare Funktionen haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=526s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn eine Funktion in <\/strong><\/a><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> differenzierbar ist, dann ist sie in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> stetig. Dies k\u00f6nnen wir durch das folgende Argument zeigen.<\/p>\n<p>Damit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> stetig ist, muss gelten:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}f(x) = f(x_0) <\/span><\/span><\/p>\n<p>Untersuchen wir die linke Seite dieses Ausdrucks, so erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} f(x) &amp;= \\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \\right] \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left[f(x_0) + \\left( f(x)  - f(x_0) \\right) \\right] \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left[f(x_0) + \\left( \\dfrac{f(x)  - f(x_0)}{x- x_0} \\right)(x-x_0)  \\right] \\\\ \\\\\n\n&amp;=f(x_0) +\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left[ \\left( \\dfrac{f(x)  - f(x_0)}{x- x_0} \\right)(x-x_0) \\right] \\\\ \\\\\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Daraus folgt, dass, damit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> stetig ist, der Grenzwert auf der rechten Seite wohldefiniert sein muss; und dies ist genau dann der Fall, wenn<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =\\dfrac{df(x_0)}{dx}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Mit anderen Worten: wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> differenzierbar ist. Folglich gilt: Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> differenzierbar ist, dann ist sie an diesem Punkt stetig.<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>Algebra der Ableitungen<\/h3>\n<p>Seien <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> Funktionen, die f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in I<\/span><\/span> differenzierbar sind, und seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R}.<\/span><\/span> Dann gilt:<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} \\left( \\alpha f(x) \\pm \\beta g(x) \\right) = \\alpha \\dfrac{df(x)}{dx} \\pm \\beta\\dfrac{dg(x)}{dx}<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} \\left( f(x) g(x) \\right) = \\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x)\\dfrac{dg(x)}{dx}<\/span><\/span><\/li>\n<li>Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x)\\neq 0<\/span><\/span>, dann gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} \\left( \\dfrac{f(x)}{g(x)} \\right) = \\dfrac{\\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \\dfrac{dg(x)}{dx} }{\\left[g(x)\\right]^2}<\/span><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p>Wie wir sehen k\u00f6nnen, ist die Algebra der Ableitungen nicht so intuitiv, wie es auf den ersten Blick scheinen k\u00f6nnte; dennoch lassen sich die Beweise dieser Eigenschaften ohne gro\u00dfe Schwierigkeit aus der Definition der Ableitungen als Grenzwerte ableiten.<\/p>\n<p><span style=\"color: #000080;\">BEWEIS:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=925s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Der Beweis der Ableitung der Summe<\/strong><\/a> ergibt sich aus folgendem Gedankengang:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\dfrac{d}{dx}\\left(\\alpha f(x) \\pm \\beta g(x) \\right) &amp; =\\displaystyle \\lim_{\\Delta x\\to 0} \\dfrac{\\left[\\alpha f(x+\\Delta x) \\pm \\beta g(x+ \\Delta x)\\right] - \\left[\\alpha f(x) \\pm \\beta g(x) \\right]}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{ \\left[\\alpha f(x+\\Delta x) - \\alpha f(x)\\right] \\pm \\left[\\beta g(x+\\Delta x) - \\beta g(x)\\right]}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{ \\alpha \\left[ f(x+\\Delta x) -  f(x)\\right] \\pm  \\beta  \\left[ g(x+\\Delta x) - g(x)\\right]}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\alpha \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x+\\Delta x) -  f(x)}{\\Delta x} \\pm \\beta \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{ g(x+\\Delta x) -  g(x)}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\alpha \\dfrac{df(x)}{dx} \\pm \\beta \\dfrac{dg(x)}{dx}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\">\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=1059s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Andererseits ist der Beweis der Ableitung des Produkts<\/strong><\/a> etwas komplizierter, aber keineswegs unm\u00f6glich:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\dfrac{d}{dx}\\left[f(x)g(x)\\right] &amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x+\\Delta x) g(x+\\Delta x) -  f(x) g(x)}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x+\\Delta x) g(x+\\Delta x) + \\color{red}f(x)g(x+\\Delta x) - f(x)g(x+\\Delta x) \\color{black} - f(x) g(x)}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{\\left[f(x+\\Delta x) - f(x) \\right] g(x+\\Delta x) + f(x) \\left[g(x+\\Delta x)  - g(x)\\right]}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} g(x+\\Delta x) \\dfrac{f(x+\\Delta x) - f(x)}{\\Delta x} + f(x)\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{g(x+\\Delta x) - g(x)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} g(x+\\Delta x)\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x+\\Delta x) - f(x)}{\\Delta x} + f(x)\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{g(x+\\Delta x) - g(x)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;= g(x) \\dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\\dfrac{dg(x)}{dx}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Hierbei wurde die Tatsache genutzt, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> eine differenzierbare Funktion ist, also stetig, und daher <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{\\Delta x\\to 0 } g(x+\\Delta x) = g(x)<\/span><\/span> gilt, um anschlie\u00dfend den Beweis mithilfe der <strong>Algebra der Grenzwerte<\/strong> abzuschlie\u00dfen.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=162s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Schlie\u00dflich k\u00f6nnen wir f\u00fcr den Beweis der Ableitung des Quotienten<\/strong><\/a> das Ergebnis der Produktregel nutzen. Betrachten wir eine Funktion der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k(x) = f(x)\/g(x)<\/span><\/span>, mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x)\\neq 0<\/span><\/span>. Dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\dfrac{df(x)}{dx}= \\dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\\dfrac{dg(x)}{dx}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Nun, durch Umstellen von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{dk(x)}{dx}<\/span><\/span> ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \\dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\\dfrac{dg(x)}{dx} = \\dfrac{d}{dx}f(x) - \\dfrac{f(x)}{g(x)}\\dfrac{dg(x)}{dx} <\/span><\/span><\/p>\n<p>Und daher:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\dfrac{d}{dx}\\left(\\dfrac{f(x)}{g(x)}\\right)\n\n &amp;= \\dfrac{dk(x)}{dx} =\\dfrac{1}{g(x)} \\dfrac{df(x)}{dx} - \\dfrac{f(x)}{\\left[g(x)\\right]^2}\\dfrac{dg(x)}{dx} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\dfrac{\\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \\dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>was zu beweisen war.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion Zusammenfassung: In dieser Vorlesung werden wir das Konzept der Ableitung als mathematisches Werkzeug zur Analyse von \u00c4nderungen in Funktionen untersuchen. Wir beginnen mit der Steigung einer Sekante und definieren, indem wir den Grenzwert betrachten, wenn sich die Punkte ann\u00e4hern, die Ableitung als die Steigung der Tangente. 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