{"id":34261,"date":"2022-03-29T13:00:11","date_gmt":"2022-03-29T13:00:11","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34261"},"modified":"2025-08-27T21:44:17","modified_gmt":"2025-08-27T21:44:17","slug":"%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/","title":{"rendered":"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u041f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\mathbb{R}^3}<\/span><\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>\u0420\u0435\u0437\u044e\u043c\u0435:<\/strong><\/br>\u0414\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0435\u0440\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0441\u0435\u0440\u0438\u0438 \u043e \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 n \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c n-\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0443 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0437\u0430\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043c \u043e\u0431\u0437\u043e\u0440\u043e\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> \u0438 \u0435\u0433\u043e \u0441\u0432\u044f\u0437\u0438 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435. <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>\u0421\u041e\u0414\u0415\u0420\u0416\u0410\u041d\u0418\u0415<\/strong><br \/>\n<a href=\"#Independencia-Lineal-Ortogonalidad-y-Proyecciones\">\u041b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438<\/a><br \/>\n<a href=\"#El-Teorema-de-Pitagoras-y-la-Proyecci\u00f3n-sobre-un-Subespacio\">\u0422\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e<\/a><br \/>\n<a href=\"#El-Producto-Escalar-y-Vectorial-en-R3\">\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/a>\n<\/p>\n<p><a name=\"Independencia-Lineal-Ortogonalidad-y-Proyecciones\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vtNHkaHD3aA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>\u041b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438<\/h2>\n<h3>\u041b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044f \u0438 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=138s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u041d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d \u043a\u0430\u043a <strong>\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044f<\/strong> \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0430\u0440\u0430 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>, \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0447\u0442\u043e:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z} = \\alpha \\vec{x} + \\beta\\vec{y}<\/span>\n<p>\u0418\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0432\u0437\u0432\u0435\u0448\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}.<\/span>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=609s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442\u0441\u044f,<\/span><\/strong><\/a> \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f <strong>\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b\u043c\u0438<\/strong>, \u0435\u0441\u043b\u0438 <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\vec{x} + \\beta\\vec{y} = \\vec{0} ) \\longleftrightarrow (\\alpha=0 \\wedge \\beta=0 )<\/span>\n<p>\u041b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442 \u043d\u0430\u043c \u043e \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d \u043a\u0430\u043a \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0439 (\u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439) \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043c\u044b \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0447\u0442\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b\u0438, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432. \u041c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x}_1, \\cdots, \\vec{x}_n\\}<\/span> \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b\u043c, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle \\left[\\left(\\sum_{i=1}^n \\alpha_i \\vec{x}_i \\right) = \\vec{0} \\right] \\longleftrightarrow \\left[\\bigwedge_{i=1}^n (\\alpha_i = 0) \\right]<\/span>\n<h3>\u0423\u0433\u043e\u043b, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438, \u0438 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=1289s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u041a\u043e\u0448\u0438-\u0411\u0443\u043d\u044f\u043a\u043e\u0432\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e,<\/span><\/strong><\/a> \u043e\u043d\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall \\vec{x},\\vec{y}\\in\\mathbb{R}^n)(|\\vec{x}\\cdot\\vec{y}| \\leq \\|\\vec{x}\\| \\|\\vec{y}\\|).<\/span> \u0423\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u044f \u044d\u0442\u043e, \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0443\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0440\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x},\\vec{y}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -1 \\leq \\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|}\\leq 1<\/span>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>, \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0438\u0437\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0443\u044e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^2<\/span>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0431\u0435\u0437 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0438\u0445 \u043a\u0430\u043a \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^2<\/span> \u0441 \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0441\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span>, \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_x<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_y,<\/span> \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u0442\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435 \u043a\u0430\u043a:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{x} &amp;= \\|\\vec{x}\\|(\\cos(\\theta_x) , \\sin(\\theta_x)) \\\\ \\\\ \\vec{y} &amp;= \\|\\vec{y}\\|(\\cos(\\theta_y) , \\sin(\\theta_y))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c (\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0431\u0435\u0437 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438), \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_x \\lt \\theta_y,<\/span> \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}.<\/span> \u0421\u0434\u0435\u043b\u0430\u0432 \u044d\u0442\u043e, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\\vec{x}\\cdot \\vec{y} &amp;=  \\|\\vec{x}\\|  \\|\\vec{y}\\| (\\cos(\\theta_x)\\cos(\\theta_y) + \\sin(\\theta_x)\\sin(\\theta_y)) \\\\ \\\\ &amp;=  \\|\\vec{x}\\|  \\|\\vec{y}\\| \\cos(\\theta_y-\\theta_x)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c, \u0432\u0437\u044f\u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0438 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u043c \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u044b\u043c \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})=\\theta_y - \\theta_x.<\/span> \u0418 \u0441 \u044d\u0442\u0438\u043c \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\cos\\left(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}) \\right) = \\frac{\\vec{x} \\cdot \\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|}\n\n<\/span>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0434\u0447\u0435\u0440\u043a\u043d\u0443\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\in [0, \\pi]<\/span>\n<p>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u041a\u043e\u0448\u0438-\u0411\u0443\u043d\u044f\u043a\u043e\u0432\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0435\u0439 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u0443\u044e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044e \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0414\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f <strong>\u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438<\/strong>, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043e\u043d\u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0443\u0433\u043e\u043b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\pi\/2<\/span> \u0440\u0430\u0434\u0438\u0430\u043d, \u0432 \u0442\u043e\u043c \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0431\u044b\u043b \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0451\u043d \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u043c \u0430\u0431\u0437\u0430\u0446\u0435. \u042d\u0442\u043e \u044d\u043a\u0432\u0438\u0432\u0430\u043b\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cos\\left(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\right) = 0,<\/span> \u0447\u0442\u043e, \u0432 \u0441\u0432\u043e\u044e \u043e\u0447\u0435\u0440\u0435\u0434\u044c, \u044d\u043a\u0432\u0438\u0432\u0430\u043b\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y} = 0.<\/span> \u041f\u043e \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0442\u044c \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> \u044d\u043a\u0432\u0438\u0432\u0430\u043b\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0.<\/span>\n<h4>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0434\u0432\u0430 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b, \u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=2365s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u042d\u0442\u043e \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432<\/span><\/strong><\/a> \u0438\u0437 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043d\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u044c \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e, \u0438 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0448\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e: \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u0442 \u0437\u0430 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0438\u0445 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0443\u044e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043d\u043e \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043d\u0435 \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u0442 \u0438\u0445 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435, \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430:<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}=(1,0)<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{B}=(1,1),<\/span> \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u044f\u0432\u043d\u043e \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}\\cdot\\vec{B}=1,<\/span> \u0442\u043e \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\alpha\\vec{A} + \\beta\\vec{B} = \\vec{0}\n\n<\/span>\n<p>\u0422\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\alpha + \\beta &amp;= 0 \\\\ \\beta &amp;= 0\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>\u0438, \u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha = 0  \\wedge \\beta=0.<\/span> \u0418 \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434, \u0447\u0442\u043e:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\alpha\\vec{A} + \\beta\\vec{B} = \\vec{0} \\longleftrightarrow  \\alpha = 0  \\wedge \\beta=0\n\n<\/span>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u044d\u043a\u0432\u0438\u0432\u0430\u043b\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{B}<\/span> \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u0432\u0435\u0440\u0448\u0435\u043d\u043d\u043e \u044f\u0441\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0435\u0432\u0435\u0440\u043d\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0442\u044c, \u0431\u0443\u0434\u0442\u043e \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u0442 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u0442 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0443\u044e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0438 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043e\u043a\u0430\u0436\u0443 \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u0441\u044b\u043b\u043e\u043a:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\mathcal{H}= \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0, \\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}\\}<\/span>\n<p>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0443\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\} &amp;{;\\;\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435}\\\\ \\\\\n\n(2) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0 &amp;{\\;\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y} = \\vec{0} &amp;{\\;\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp;\\mathcal{H}\\vdash (\\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y})\\cdot\\vec{x} = \\alpha\\|\\vec{x}\\|^2 + \\beta(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) &amp;{;\\; \u0411\u0438\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp;\\mathcal{H}\\vdash  \\alpha\\|\\vec{x}\\|^2 = 0 &amp; {;\\; \u0418\u0437(2,3,4)} \\\\ \\\\\n\n(6) &amp;\\mathcal{H}\\vdash  \\alpha  = 0 &amp; {;\\; \u0418\u0437(1,5)} \\\\ \\\\\n\n(7) &amp;\\mathcal{H}\\vdash (\\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y})\\cdot\\vec{y} = \\alpha(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\beta\\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;\u0411\u0438\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c} \\\\ \\\\\n\n(8) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\beta\\|\\vec{y}\\|^2 = 0 &amp;{;\\;\u0418\u0437(2,3,7)} \\\\ \\\\\n\n(9) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\beta = 0 &amp;{;\\;\u0418\u0437(1,8)} \\\\ \\\\\n\n(10) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0 &amp;{;\\;\\wedge-int(6,9)}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>\u0418\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u044b \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0, \\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}\\} \\vdash \\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0  <\/span>\n<p>\u041d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0443 \u043e \u0434\u0435\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043a \u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0435\u043c\u0443 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044e, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0\\} \\vdash (\\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}) \\rightarrow (\\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0)<\/span>\n<p>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c: \u0435\u0441\u043b\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0438 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438, \u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b.<\/p>\n<h3>\u041f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=3055s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0443\u0433\u043e\u043b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})<\/span>, \u0438 \u043c\u044b \u0441\u043f\u0440\u0430\u0448\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0441\u0435\u0431\u044f: \u00ab\u0412 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>?\u00bb \u0438\u043b\u0438 \u00ab\u041a\u0430\u043a\u043e\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u0442\u0435\u043d\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span>, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043e\u043d \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>?\u00bb. \u042d\u0442\u043e\u0442 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u0438 \u0442\u0435\u043c \u0441\u0430\u043c\u044b\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y},<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}),<\/span> \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}) = \\| \\vec{x}\\| \\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\hat{y}<\/span>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0441 \u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}) = {\\| \\vec{x}\\|} \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{{\\|\\vec{x}\\|} \\|\\vec{y}\\|}\\right)\\color{red}{\\hat{y}} =  \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|} \\right)\\color{red}{\\frac{\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|}} = \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|^2}\\right)\\vec{y} = \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\vec{y}\\cdot\\vec{y}}\\right)\\vec{y}<\/span>\n<p>\u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a, \u043d\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c,<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))  = \\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\| \\|\\vec{y}\\|}<\/span>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043d\u0430\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u0430\u0445 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0438\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0439:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n \\alpha_i \\hat{u}_i<\/span>\n<p>\u0413\u0434\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{u}_i\\}_{i=1,\\cdots, n}<\/span> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, \u0430 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_i = (\\vec{x}\\cdot\\vec{u}_i)\/\\|\\vec{u}_i\\|<\/span> \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u0430 \u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{u}_i\\}_{i=1,\\cdots, n}<\/span> \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n.<\/span>\n<p><a name=\"El-Teorema-de-Pitagoras-y-la-Proyecci\u00f3n-sobre-un-Subespacio\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/CGrr6IDnvjs\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>\u0422\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=254s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0422\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442,<\/span><\/strong><\/a> \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0441\u0435\u043c \u0438 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0431\u0435\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432. \u041e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430, \u0441 \u0442\u0435\u043c \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u043e \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0435\u0434\u043b\u0438\u0432\u043e \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n<h3>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u044b \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=533s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a \u0441 \u043a\u0430\u0442\u0435\u0442\u0430\u043c\u0438<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b,<\/span> \u0438 \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u043d\u0443\u0437\u043e\u0439 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c,<\/span>, \u0442\u043e \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2+b^2=c^2.<\/span> \u041f\u043e\u043d\u044f\u0432 \u044d\u0442\u043e, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u043a\u0430\u0442\u0435\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0430\u0440\u0443 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> \u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0443 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash\n\n \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\leftrightarrow (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = \\|\\vec{x}\\|^2 + \\|\\vec{y}\\|^2)<\/span>\n<p>\u0413\u0434\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\bot\\vec{y}<\/span> \u0443\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0431\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0438 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0.<\/span> \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0443\u0441\u0442\u0430\u043d\u0430\u0432\u043b\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0438\u044d\u043a\u0432\u0438\u0432\u0430\u043b\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0438 \u0441\u0443\u043c\u043c\u043e\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432 \u0434\u043b\u0438\u043d \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u044b \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0430 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0443\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n<p><strong>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0432 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\vec{x}\\cdot\\vec{y}= 0 &amp; {;\\;\u0418\u0437(1)} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = (\\vec{x} + \\vec{y})\\cdot(\\vec{x} + \\vec{y}) = \\|\\vec{x}\\|^2 + 2(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; \\\\\n\n&amp;;\\; \u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\\;\u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e\u0439\\;\u043d\u043e\u0440\u043c\u044b\\;\u0438\\;\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e\\;\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f &amp; \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;\u0418\u0437(2,3)} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\rightarrow ( \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2) &amp; {;\\;\u0422\u0414(4)} \\end{array}<\/span>\n<p><strong>\u0410 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2 +2(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp;  \\\\\n\n&amp;;\\; \u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\\;\u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e\u0439\\;\u043d\u043e\u0440\u043c\u044b\\;\u0438\\;\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e\\;\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f &amp;\\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash  \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0 &amp; {;\\;\u0418\u0437(1,2)} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash  \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;\u0418\u0437(3)} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2) \\rightarrow  \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;\u0422\u0414(4)} \\end{array}<\/span>\n<p><strong>\u0418 \u043d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446, \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044f \u043e\u0431\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0443\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0445\u043e\u0442\u0435\u043b\u0438 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash   \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\leftrightarrow (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = \\|\\vec{x}\\|^2 + \\|\\vec{y}\\|^2)<\/span>\n<h3>\u041f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=1545s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043e\u043c \u0438\u0437 \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_1, \\cdots, \\hat{v}_k\\}.<\/span> \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\},<\/span> \u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{H}(\\vec{x}) = \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j<\/span>\n<p>\u0422\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c, \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435 \u0435\u0433\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043f\u043e\u043f\u0430\u0440\u043d\u043e \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b \u0438 \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0443, \u0440\u0430\u0432\u043d\u0443\u044e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435.<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u044d\u0442\u043e \u0442\u0435\u043d\u044c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u0442\u0431\u0440\u0430\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u0443\u044e \u0438\u0437 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEga986LBrInk-B_9gUKPe01TF10dNECXU54KK1bSf3mAPakWE-FqdqyPbb0TVy88OfGxQmJRd-yW4dwAfcC21i2dM0KZqQjPe_Qx0M5OUz4f_P6IipJQ6PcxtkOmcO7-GqRiGZ-3StQpzy8FMIfPYE89Wae6JZIC2Jk9dSTPFTK1L4TsnpkcdpV1Dbr\" width=\"578\" height=\"591\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEga986LBrInk-B_9gUKPe01TF10dNECXU54KK1bSf3mAPakWE-FqdqyPbb0TVy88OfGxQmJRd-yW4dwAfcC21i2dM0KZqQjPe_Qx0M5OUz4f_P6IipJQ6PcxtkOmcO7-GqRiGZ-3StQpzy8FMIfPYE89Wae6JZIC2Jk9dSTPFTK1L4TsnpkcdpV1Dbr\" width=\"578\" height=\"591\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h3>\u0420\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u0438\u043b\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> \u0438 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=1974s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f \u0438\u0437 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432\u0438\u0434\u0430<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})<\/span>\n<p>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u0441 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430\u043c\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x},<\/span> \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043a \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0443 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H.<\/span> \u042d\u0442\u043e \u043d\u0435\u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c: \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span> \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z},<\/span> \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e. \u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u0431\u0435\u0434\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c:<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H,<\/span> \u0442\u043e \u043e\u043d \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}=\\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j<\/span>\n<p>\u0413\u0434\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_j\\}_{j=1}^k<\/span> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span>, \u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta_j \\in\\mathbb{R}<\/span> \u2014 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H.<\/span> \u041f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z},<\/span> \u0434\u0430\u0441\u0442:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} (\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z} &amp;= \\left(\\vec{x} - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\right) \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\ &amp;= \\vec{x} \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\end{array}<\/span>\n<p>\u041d\u043e \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438\u0437 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span>, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0438\u0437 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-k<\/span> \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043e \u0432\u0441\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e \u043a\u0430\u043a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_{k+1}, \\cdots, \\hat{v}_n\\},<\/span> \u0442\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043e\u043c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u043e\u043d\u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u0434\u043b\u044f <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, \u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} = \\displaystyle  \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j + \\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j <\/span>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0440\u0430\u0437\u0432\u0435\u0440\u0442\u044b\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0448\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z} &amp;= \\displaystyle \\left( \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j + \\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j\\right) \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j -  \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;=  \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j + \\underbrace{\\color{red}{\\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j}}_{(*)} - \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;=  \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j  - \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;= 0  \\end{array}<\/span>\n<p>(*) \u0421\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{v_j\\}_{j=1}^n<\/span> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n.<\/span>\n<p>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0437\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\|<\/span>\n<h4>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=2995s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442, \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e,<\/span><\/strong><\/a> \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span> \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\| \\leq \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|,<\/span> \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0443 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|^2 &amp;= \\| \\left(\\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x}) \\right) + \\left(Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}\\right)\\|^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\| \\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x}) \\|^2 + \\|Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}\\|^2 \\\\ \\\\ \\end{array}<\/span>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x})<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}<\/span> \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b. \u0418, \u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\|^2 \\leq \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|^2<\/span>\n<p>\u0447\u0442\u043e \u0438 \u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c, \u0438\u043c\u0435\u044f \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n<\/span> \u0438 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, \u043f\u043e\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_1, \\cdots, \\hat{v}_k\\}<\/span>, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dist(\\vec{x},H) =\\left\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\right\\|= \\left\\|\\vec{x} - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j\\right\\|<\/span>\n<p><a name=\"El-Producto-Escalar-y-Vectorial-en-R3\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uei6y2tniOc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/h2>\n<p><strong><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=242s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #ff0000;\">\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043d\u0430\u0448 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434<\/span><\/a><\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u043e\u0442\u043e\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u0445 \u0438\u0437 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3.<\/span> \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c, \u043f\u043e\u043c\u0438\u043c\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b\u0438 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0434\u043b\u044f <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n,<\/span> \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0434\u0430\u0435\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440. \u042d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> (\u0438 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^7<\/span>, \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043c\u044b \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c). \u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u043a\u0430\u043d\u043e\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0431\u0443\u043a\u0432\u0430\u043c\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}, \\hat{y}, \\hat{z}<\/span> \u0438\u043b\u0438 \u043a\u0430\u043a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{\\imath}, \\hat{\\jmath}, \\hat{k}<\/span>. \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u0447\u0442\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e \u0438\u043b\u0438 \u0438\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\hat{\\imath} = \\hat{x}&amp;=(1,0,0)\\\\ \\hat{\\jmath} =\\hat{y}&amp;=(0,1,0)\\\\ \\hat{k} =\\hat{z}&amp;=(0,0,1)\\\\ \\end{array}<\/span>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432\u0438\u0434\u0430 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c),<\/span> \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c) = a\\hat{x} + b\\hat{y} + c\\hat{z}<\/span>\n<h3>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=330s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)<\/span> \u2014 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0438\u0437 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3.<\/span><\/span><\/strong><\/a> \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0441 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y},<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\times\\vec{y}<\/span>, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl} \\vec{x}\\times\\vec{y} &amp;= \\left|\\begin{array}{ccc} \\hat{x} &amp; \\hat{y} &amp; \\hat{z} \\\\ x_1 &amp; x_2 &amp; x_3 \\\\ y_1 &amp; y_2 &amp; y_3 \\end{array}\\right| \\\\ \\\\ &amp;=\\hat{x}x_2y_3 + \\hat{y}x_3y_1 + \\hat{z} x_1y_2 - \\left( \\hat{z} x_2 y_1 + \\hat{y} x_1 y_3 + \\hat{x}x_3y_2\\right) \\\\ \\\\ &amp;=\\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \\hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \\hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \\end{array}<\/span>\n<h3>\u0418\u0434\u0435\u043d\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u041b\u0430\u0433\u0440\u0430\u043d\u0436\u0430<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=1399s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0414\u043b\u044f \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0438\u0437 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/span><\/strong><\/a> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0442\u0440\u0438 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u00ab\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439\u00bb: \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y},<\/span> \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\times\\vec{y},<\/span> \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|.<\/span> \u042d\u0442\u0438 \u0442\u0440\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u041b\u0430\u0433\u0440\u0430\u043d\u0436\u0430<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2  = \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2- (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 <\/span>\n<h4>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u041b\u0430\u0433\u0440\u0430\u043d\u0436\u0430<\/h4>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)<\/span> \u2014 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0438\u0437 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3,<\/span> \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl} \\vec{x}\\times\\vec{y} &amp;=(x_2y_3 - x_3y_2) \\hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\\hat{z} \\end{array}<\/span>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl}\n\n\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2 &amp;=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \\cdots\\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \\end{array}<\/span>\n<p>\u0421 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl}\n\n\\|\\vec{x}\\|^2 \\|\\vec{y}\\|^2 - (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 &amp;= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\\\ \\\\ \\\\\n\n&amp;=  {x_1^2y_1^2} + \\color{red}{x_1^2y_2^2} + \\color{blue}{x_1^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{red}{x_2^2y_1^2} +  {x_2^2y_2^2} + \\color{green}{x_2^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{blue}{x_3^2y_1^2} + \\color{green}{x_3^2y_2^2} +  {x_3^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots - \\left[ {x_1^2y_1^2} +  {x_2^2y_2^2} +  {x_3^2y_3^2} + \\right. \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + 2\\left(\\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \\color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \\color{green}{x_2x_3y_2y_3} \\right)\\left.\\right] \\\\ \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp; \\cdots + \\color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp; \\cdots + \\color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>\u0412 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0446\u043e\u0432, \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0446\u0432\u0435\u0442\u043e\u043c, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<h3>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=1954s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u0420\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0435\u043b\u0438, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0442\u0435\u0441\u043d\u0430\u044f \u0441\u0432\u044f\u0437\u044c<\/span><\/strong><\/a> \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0443\u0433\u043b\u043e\u043c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u043c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043e\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y} = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})).<\/span> \u041e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043d\u0435\u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0438 \u0441 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0438 \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\| = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\| \\sin(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))<\/span>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435\u043c \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u041b\u0430\u0433\u0440\u0430\u043d\u0436\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0448\u0435. \u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2 &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - (\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})))^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2\\cos^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 (1 - \\cos^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))) \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 \\sin^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\end{array}<\/span>\n<p>\u041d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446, \u0438\u0437\u0432\u043b\u0435\u043a\u0430\u044f \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\| = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\; |\\sin(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))|<\/span>\n<p>\u041d\u043e \u043d\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\in[0,\\pi],<\/span> \u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0434\u0438\u0430\u043f\u0430\u0437\u043e\u043d\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430, \u0442\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|<\/span> \u0434\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> \u0438 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}.<\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u041f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0420\u0435\u0437\u044e\u043c\u0435:\u0414\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0435\u0440\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0441\u0435\u0440\u0438\u0438 \u043e \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 n \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c n-\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0443 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0437\u0430\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043c \u043e\u0431\u0437\u043e\u0440\u043e\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0438 \u0435\u0433\u043e \u0441\u0432\u044f\u0437\u0438 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":34241,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":4,"footnotes":""},"categories":[573,1126],"tags":[],"class_list":["post-34261","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-573","category-1126"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3 - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 Rn: \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430-\u0438-\u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438-\u0432-rn-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435-\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 Rn: \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430-\u0438-\u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438-\u0432-rn-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435-\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2022-03-29T13:00:11+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2025-08-27T21:44:17+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn-1024x498.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 Rn: \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"1 minuto\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3\",\"datePublished\":\"2022-03-29T13:00:11+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-27T21:44:17+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/\"},\"wordCount\":3807,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/03\\\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\",\"articleSection\":[\"\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0430\",\"\u041c\u043d\u043e\u0433\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/\",\"name\":\"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3 - toposuranos.com\\\/material\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/03\\\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\",\"datePublished\":\"2022-03-29T13:00:11+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-27T21:44:17+00:00\",\"description\":\"\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 Rn: \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/#primaryimage\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/03\\\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/03\\\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\",\"width\":1536,\"height\":747},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/ru\\\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/cursos-de-matematica-y-fisica\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#website\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/\",\"name\":\"toposuranos.com\\\/material\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"es\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\",\"name\":\"toposuranos.com\\\/material\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/logo.png\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/logo.png\",\"width\":2400,\"height\":2059,\"caption\":\"toposuranos.com\\\/material\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\"},\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/www.facebook.com\\\/groups\\\/toposuranos\",\"https:\\\/\\\/x.com\\\/topuranos\",\"https:\\\/\\\/www.youtube.com\\\/channel\\\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g\",\"https:\\\/\\\/www.linkedin.com\\\/company\\\/69429190\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\",\"name\":\"giorgio.reveco\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"caption\":\"giorgio.reveco\"},\"description\":\"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3 - toposuranos.com\/material","description":"\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 Rn: \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430-\u0438-\u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438-\u0432-rn-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435-\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3","og_description":"\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 Rn: \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445.","og_url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430-\u0438-\u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438-\u0432-rn-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435-\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2022-03-29T13:00:11+00:00","article_modified_time":"2025-08-27T21:44:17+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn-1024x498.jpg","type":"","width":"","height":""}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3","twitter_description":"\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 Rn: \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445.","twitter_image":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"1 minuto"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/#article","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3","datePublished":"2022-03-29T13:00:11+00:00","dateModified":"2025-08-27T21:44:17+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/"},"wordCount":3807,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","articleSection":["\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0430","\u041c\u043d\u043e\u0433\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/","name":"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3 - toposuranos.com\/material","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/#primaryimage"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","datePublished":"2022-03-29T13:00:11+00:00","dateModified":"2025-08-27T21:44:17+00:00","description":"\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0432 Rn: \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0430 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445.","breadcrumb":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/#primaryimage","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","width":1536,"height":747},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/ru\/%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0-%d0%b8-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b5%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8-%d0%b2-rn-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%be%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 Rn, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 R3"}]},{"@type":"WebSite","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","name":"toposuranos.com\/material","description":"","publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"es"},{"@type":"Organization","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization","name":"toposuranos.com\/material","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","width":2400,"height":2059,"caption":"toposuranos.com\/material"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","https:\/\/x.com\/topuranos","https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190"]},{"@type":"Person","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1","name":"giorgio.reveco","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","caption":"giorgio.reveco"},"description":"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.","sameAs":["http:\/\/toposuranos.com\/material"],"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/"}]}},"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/34261","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=34261"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/34261\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media\/34241"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=34261"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=34261"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=34261"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}