{"id":34176,"date":"2021-05-27T13:00:55","date_gmt":"2021-05-27T13:00:55","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34176"},"modified":"2025-08-16T11:07:22","modified_gmt":"2025-08-16T11:07:22","slug":"poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/","title":{"rendered":"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br \/><em>Diese Vorlesung konzentriert sich auf den Poisson-Prozess als Ann\u00e4herung an den Binomialprozess, beginnend mit der Definition der Koeffizienten und der Poisson-Verteilung, die sich aus einem Bernoulli-Ereignis mit einer gro\u00dfen Anzahl von Versuchen und einer sehr kleinen individuellen Wahrscheinlichkeit ableitet. Der zentrale Teil dieser Vorlesung behandelt die angen\u00e4herten Poisson-Prozesse, sowohl r\u00e4umlich als auch zeitlich, unter Verwendung von Beispielen wie winzigen Partikeln in einer Fl\u00fcssigkeit und der Emission von Partikeln durch eine radioaktive Substanz. Schlie\u00dflich wird mit praktischen Beispielen zur Anwendung der Poisson-Verteilung in verschiedenen Kontexten abgeschlossen, wie der Kundenbetreuung in einem Supermarkt und der Bev\u00f6lkerungsdichte in einer Ortschaft.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der Definition und der Koeffizienten der Poisson-Verteilung.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> des Poisson-Prozesses als Ann\u00e4herung an den Binomialprozess.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der formalen \u00c4quivalenz zwischen r\u00e4umlichen und zeitlichen Poisson-Prozessen.<\/li>\n<li><strong>Anwenden<\/strong> der Poisson-Verteilung zur L\u00f6sung praktischer Probleme.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Die Koeffizienten und die Poisson-Verteilung<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Ann\u00e4hernde Poisson-Prozesse<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">R\u00e4umlicher Poisson-Prozess<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Zeitlicher Poisson-Prozess<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Zeitlich und R\u00e4umlich<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Praktische Beispiele f\u00fcr die Verwendung der Poisson-Verteilung<\/a><br \/>\n<\/center><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mQ0j3FE8p2U\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Die Koeffizienten und die Poisson-Verteilung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=154s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Betrachten wir nun eine Ann\u00e4herung<\/span><\/strong><\/a> an die <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/el-ensayo-de-bernoulli-para-n-intentos-independientes\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Binomialverteilung<\/a>, bei der eine sehr gro\u00dfe Anzahl von Versuchen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> und jeweils eine sehr kleine individuelle Wahrscheinlichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p<\/span><\/span> ber\u00fccksichtigt wird. Wenn wir dies tun, gehen wir vom typischen Binomialprozess zu einem Poisson-Prozess \u00fcber. Um dies zu veranschaulichen, stellen wir uns eine Folge der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{Bi(n;k;p_n)\\}_n,<\/span><\/span> vor, wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\to\\infty<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p_n<\/span><\/span> die Beziehung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">np_n=\\lambda \\gt 0<\/span><\/span> erf\u00fcllt. Daraus werden wir sehen, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}P\\left(Bi(n;k;P_n) \\right) = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Dies ist in Wirklichkeit nicht schwer zu zeigen: wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Ereignisses <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Bi(n;k;p_n)<\/span><\/span> nehmen und sie mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n^k<\/span><\/span> multiplizieren und dividieren, erhalten wir das folgende Argument:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color:\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B(n;k;p_n))<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle={{n}\\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}<\/span><span style=\"color: #f00000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cdot \\displaystyle \\frac{n^k}{n^k}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle=\\frac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k} \\cdot \\frac{n^k}{n^k}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle=\\frac{n(n-1)\\cdots[n-(k-1)]}{n^k} \\cdot \\frac{(np_n)^k}{k!} (1-p_n)^{-k}(1-p_n)^n<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Wenn wir also das Limit f\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\to\\infty<\/span><\/span> berechnen, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><br \/>\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\lim_{n\\to\\infty} {{n}\\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &amp;= \\displaystyle \\lim_{n\\to\\infty} \\underbrace{\\frac{n(n-1)\\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\\to 1} \\cdot \\frac{\\overbrace{(np_n)^k}^{\\to\\lambda^k}}{k!} \\overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\\to 1} {(1-p_n)^n} \\\\ \\\\\n\n&amp;\\displaystyle = \\frac{\\lambda^k}{k!} \\lim_{n\\to\\infty}\\left(1 - \\frac{\\lambda}{n} \\right)^n \\\\ \\\\\n\n&amp; \\displaystyle = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Daraus werden die Poisson-Koeffizienten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Po(k;\\lambda)<\/span><\/span> definiert durch<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle Po(k;\\lambda) := \\lim_{n\\to\\infty} {{n}\\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Und es wird gesagt, dass eine Zufallsvariable <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> Poisson-verteilt ist, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Po(k,\\lambda),<\/span><\/span> wenn gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(X=k) = Po(k;\\lambda) <\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Ann\u00e4hernde Poisson-Prozesse<\/h2>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>R\u00e4umlicher Poisson-Prozess<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=665s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Angenommen, wir haben einen Beh\u00e4lter mit Volumen<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span><\/span> mit einer Fl\u00fcssigkeit, in der sich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> winzige, gleichm\u00e4\u00dfig vermischte Teilchen befinden. Hier nehmen wir an, dass die Fl\u00fcssigkeit gut durchmischt ist und die Teilchen nicht miteinander interagieren, sich weder anziehen noch absto\u00dfen. Dies sind Annahmen, die durch die folgenden Aussagen formalisiert werden k\u00f6nnen:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color:\">\n<li><strong>Hypothese der r\u00e4umlichen Homogenit\u00e4t:<\/strong> Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einer Region <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> der Fl\u00fcssigkeit zu finden, h\u00e4ngt ausschlie\u00dflich vom Volumen dieser Region ab.<\/li>\n<li><strong>Nicht-Interaktion:<\/strong> Die Ereignisse \u201edas j-te Teilchen befindet sich in der Region D\u201c, mit j=1,2,&#8230;,n sind alle n-unabh\u00e4ngig.<\/li>\n<li><strong>Keine-\u00dcberlagerung:<\/strong> Zwei Teilchen k\u00f6nnen nicht denselben Ort im Raum einnehmen.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Wenn wir eine Region <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> mit einem Volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span><\/span> betrachten, h\u00e4ngt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \u201ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> befinden sich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> Teilchen\u201c ausschlie\u00dflich von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span><\/span> ab; nennen wir dieses Ereignis <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(v)<\/span><\/span>. Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h(v)<\/span><\/span> die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Inneren einer Region mit Volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span><\/span> befindet. Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_2<\/span><\/span> zwei disjunkte Regionen mit den Volumina <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_2<\/span><\/span> sind, dann gilt: wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D=D_1\\cup D_2<\/span><\/span> das Volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span><\/span> hat, dann <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v=v_1+v_2<\/span><\/span>. Und da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_2<\/span><\/span> disjunkt sind (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1\\cap D_2 = \\emptyset <\/span><\/span>), gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(v) = h(v_1) + h(v_2) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span><\/span> das Volumen der gesamten Fl\u00fcssigkeit ist, dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(V) = 1 <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Und folglich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(v) =\\displaystyle \\frac{v}{V} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Daraus folgt, dass das Ereignis <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(v)<\/span><\/span> tats\u00e4chlich ein Ereignis vom Typ Bernoulli mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p=v\/V<\/span><\/span> ist und gegeben ist durch:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> g_k(v) =B(n;k;p=v\/V) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Die meisten praktischen Situationen dieser Art beinhalten jedoch eine gro\u00dfe Anzahl von Teilchen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> und die betrachteten Regionen tendieren dazu, klein im Verh\u00e4ltnis zur Systemgr\u00f6\u00dfe zu sein, sodass die Bedingungen zur Anwendung der Poisson-Ann\u00e4herung erf\u00fcllt sind und gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(g_k(v)) = \\lim_{\\begin{matrix}n\\to\\infty\\\\ v\/V=c \\end{matrix}}P(B(n;k;p=v\/V)) =\\displaystyle \\frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Zeitlicher Poisson-Prozess<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=944s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Angenommen, wir registrieren die Anzahl<\/span><\/strong><\/a> von Teilchen, die von einer radioaktiven Substanz ab dem Zeitpunkt t=0 emittiert werden, und daraus berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass im Intervall [0,t[ genau k Teilchen emittiert werden, unter den folgenden Annahmen:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color:\">\n<li><strong>Invarianz:<\/strong> Die Bedingungen des Experiments \u00e4ndern sich im Laufe der Zeit nicht.<\/li>\n<li><strong>Ged\u00e4chtnislosigkeit:<\/strong> Was in [0,t[ geschah, beeinflusst nicht, was in [t,t'[ geschieht.<\/li>\n<li><strong>Isolierte Ereignisse:<\/strong> Die Teilchen werden einzeln emittiert.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Wenn wir die Annahmen des zeitlichen Prozesses mit denen des r\u00e4umlichen Prozesses vergleichen, erkennen wir, dass sie formal \u00e4quivalent sind. So wie die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einer Region zu finden, nicht vom Ort abh\u00e4ngt, an dem die Region gew\u00e4hlt wird, sondern nur von ihrer Gr\u00f6\u00dfe, h\u00e4ngt die Wahrscheinlichkeit, die Emission eines Teilchens zu beobachten, nicht vom Zeitpunkt ab, an dem die Messung vorgenommen wird, sondern nur vom Beobachtungsintervall. Die Ged\u00e4chtnislosigkeit ist analog zur Nicht-Interaktion der r\u00e4umlichen Prozesse: was zu einem anderen Zeitpunkt geschah, beeinflusst nicht, was zu anderen Zeitpunkten geschieht. Schlie\u00dflich implizieren die isolierten Ereignisse, dass zu einem Zeitpunkt nur ein Teilchen emittiert werden kann, analog dazu, wie ein Ort im Raum nur von einem K\u00f6rper gleichzeitig besetzt werden kann.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Wenn wir also das Ereignis definieren \u201ees werden k Teilchen in einem Zeitintervall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t<\/span><\/span> emittiert\u201c, dann ist seine Eintrittswahrscheinlichkeit ein Ereignis der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(t)<\/span><\/span>, das hei\u00dft:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(g_k(t)) =\\displaystyle \\frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Zeitlich und R\u00e4umlich<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=1102s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Beide Prozesse, r\u00e4umlich und zeitlich, sind formal \u00e4quivalent.<\/span><\/strong><\/a> Sie unterscheiden sich nur in der Art und Weise, wie sie f\u00fcr praktische Zwecke interpretiert werden. Eine schnelle M\u00f6glichkeit, diesen Unterschied deutlicher zu machen, besteht darin, die Rolle der Konstanten \u201ec\u201c zu betrachten, die in beiden F\u00e4llen erscheint. Damit die Exponentialfunktion wohldefiniert ist, muss ihr Argument dimensionslos sein; dennoch enth\u00e4lt sie Einheiten von Zeit oder Raum, je nachdem, ob wir es mit zeitlichen oder r\u00e4umlichen Prozessen zu tun haben. Genau dieses Problem wird durch die Konstante c gel\u00f6st. Wir haben:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Po(k;\\lambda)=\\displaystyle \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}=\\left\\{\\begin{matrix} {Mit\\,\\lambda = \\rho v } &amp; \\longmapsto &amp;\\displaystyle \\frac{(\\rho v)^k}{k!}e^{-\\rho v} &amp; {R\u00e4umlicher\\,Prozess} \\\\ {Mit\\,\\lambda = \\nu t } &amp; \\longmapsto &amp;\\displaystyle \\frac{(\\nu t)^k}{k!}e^{-\\nu t} &amp; {Zeitlicher\\,Prozess} \\end{matrix} \\right.<\/span><\/span><\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color:\">\n<li>Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c=\\rho<\/span><\/span>, handelt es sich um eine r\u00e4umliche Dichte (Anzahl von Dingen pro Raumeinheit), und definiert daher einen r\u00e4umlichen Poisson-Prozess.<\/li>\n<li>Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c=\\nu<\/span><\/span>, handelt es sich um eine zeitliche Dichte (oder Frequenz, Anzahl von Vorkommnissen pro Zeiteinheit), und definiert daher einen zeitlichen Poisson-Prozess.<\/li>\n<\/ul>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/8qvHRoEckSc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"6\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Praktische Beispiele f\u00fcr die Verwendung der Poisson-Verteilung<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color:\">\n<li>Die Kasse eines Supermarkts bedient im Durchschnitt 2 Kunden alle 9 Minuten. Erstellen Sie eine Tabelle, die die Wahrscheinlichkeiten zeigt, dass sie in einem Zeitraum von 5 Minuten 1, 2, 3 und so weiter bis zu 5 Personen bedient.<\/li>\n<li>Eine Tierklinik hat die Kapazit\u00e4t, h\u00f6chstens 12 Kunden pro Tag zu bedienen. Wenn sie im Durchschnitt 9 Kunden pro Tag erh\u00e4lt, wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem beliebigen Tag die Kapazit\u00e4t der Klinik \u00fcberschritten wird?<\/li>\n<li>Eine bestimmte Ortschaft hat eine Bev\u00f6lkerungsdichte von 10 Personen pro 1000 Quadratmeter. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir auf einer Fl\u00e4che von 60 Quadratmetern weniger als 15 Personen finden?<\/li>\n<li>Ein Huhn m\u00f6chte die Stra\u00dfe \u00fcberqueren. Im Geradeausgehen ben\u00f6tigt es 58 Sekunden. Wenn die Stra\u00dfe ein Verkehrsaufkommen von 3 Fahrzeugen pro Minute hat, und wenn w\u00e4hrend des \u00dcberquerens ein Fahrzeug vorbeikommt, wird das Huhn mit Sicherheit \u00fcberfahren und t\u00f6dlich verletzt. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Huhn lebend auf der anderen Seite ankommt?<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess ZusammenfassungDiese Vorlesung konzentriert sich auf den Poisson-Prozess als Ann\u00e4herung an den Binomialprozess, beginnend mit der Definition der Koeffizienten und der Poisson-Verteilung, die sich aus einem Bernoulli-Ereignis mit einer gro\u00dfen Anzahl von Versuchen und einer sehr kleinen individuellen Wahrscheinlichkeit ableitet. Der zentrale Teil dieser Vorlesung behandelt die angen\u00e4herten Poisson-Prozesse, sowohl r\u00e4umlich [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":26422,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":16,"footnotes":""},"categories":[1302,1366],"tags":[],"class_list":["post-34176","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-mathematik","category-wahrscheinlichkeiten-und-statistik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v26.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Verstehe die Poisson-Verteilung als ein Ergebnis, das aus den an die Grenze gebrachten Binomialprozessen gewonnen wird.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Verstehe die Poisson-Verteilung als ein Ergebnis, das aus den an die Grenze gebrachten Binomialprozessen gewonnen wird.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-05-27T13:00:55+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2025-08-16T11:07:22+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751-1024x285.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"Verstehe die Poisson-Verteilung als ein Ergebnis, das aus den an die Grenze gebrachten Binomialprozessen gewonnen wird.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"1 minuto\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess\",\"datePublished\":\"2021-05-27T13:00:55+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-16T11:07:22+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/\"},\"wordCount\":1595,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg\",\"articleSection\":[\"Mathematik\",\"Wahrscheinlichkeiten und Statistik\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/\",\"name\":\"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess - toposuranos.com\/material\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg\",\"datePublished\":\"2021-05-27T13:00:55+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-16T11:07:22+00:00\",\"description\":\"Verstehe die Poisson-Verteilung als ein Ergebnis, das aus den an die Grenze gebrachten Binomialprozessen gewonnen wird.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#primaryimage\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg\",\"width\":1792,\"height\":498,\"caption\":\"Proceso de Poisson: Aproximaci\u00f3n del Proceso Binomial\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/\",\"name\":\"toposuranos.com\/material\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"es\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\",\"name\":\"toposuranos.com\/material\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png\",\"width\":2400,\"height\":2059,\"caption\":\"toposuranos.com\/material\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\",\"https:\/\/x.com\/topuranos\",\"https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g\",\"https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\",\"name\":\"giorgio.reveco\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"caption\":\"giorgio.reveco\"},\"description\":\"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\"],\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess - toposuranos.com\/material","description":"Verstehe die Poisson-Verteilung als ein Ergebnis, das aus den an die Grenze gebrachten Binomialprozessen gewonnen wird.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess","og_description":"Verstehe die Poisson-Verteilung als ein Ergebnis, das aus den an die Grenze gebrachten Binomialprozessen gewonnen wird.","og_url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2021-05-27T13:00:55+00:00","article_modified_time":"2025-08-16T11:07:22+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751-1024x285.jpg","type":"","width":"","height":""}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess","twitter_description":"Verstehe die Poisson-Verteilung als ein Ergebnis, das aus den an die Grenze gebrachten Binomialprozessen gewonnen wird.","twitter_image":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"1 minuto"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#article","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess","datePublished":"2021-05-27T13:00:55+00:00","dateModified":"2025-08-16T11:07:22+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/"},"wordCount":1595,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg","articleSection":["Mathematik","Wahrscheinlichkeiten und Statistik"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/","name":"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess - toposuranos.com\/material","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#primaryimage"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg","datePublished":"2021-05-27T13:00:55+00:00","dateModified":"2025-08-16T11:07:22+00:00","description":"Verstehe die Poisson-Verteilung als ein Ergebnis, das aus den an die Grenze gebrachten Binomialprozessen gewonnen wird.","breadcrumb":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#primaryimage","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/poisson-e1712962118751.jpg","width":1792,"height":498,"caption":"Proceso de Poisson: Aproximaci\u00f3n del Proceso Binomial"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/poisson-prozess-annaeherung-an-den-binomialprozess\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Poisson-Prozess: Ann\u00e4herung an den Binomialprozess"}]},{"@type":"WebSite","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","name":"toposuranos.com\/material","description":"","publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"es"},{"@type":"Organization","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization","name":"toposuranos.com\/material","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","width":2400,"height":2059,"caption":"toposuranos.com\/material"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","https:\/\/x.com\/topuranos","https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190"]},{"@type":"Person","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1","name":"giorgio.reveco","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","caption":"giorgio.reveco"},"description":"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.","sameAs":["http:\/\/toposuranos.com\/material"],"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/"}]}},"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/34176","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=34176"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/34176\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media\/26422"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=34176"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=34176"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=34176"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}