{"id":34164,"date":"2021-05-12T13:00:08","date_gmt":"2021-05-12T13:00:08","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34164"},"modified":"2025-08-16T10:56:51","modified_gmt":"2025-08-16T10:56:51","slug":"der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/","title":{"rendered":"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br \/><em>In dieser Vorlesung werden wir das Konzept der Bernoulli-Versuche und ihre Implikationen in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersuchen. Wir beginnen mit einer detaillierten Definition der Bernoulli-Versuche und gehen dann auf das Konzept der Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen ein. Nachdem diese Ideen gekl\u00e4rt sind, wird der binomische Lehrsatz angewandt, um zu verstehen, wie die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung hervorbringt. Schlie\u00dflich werden praktische \u00dcbungen vorgeschlagen, um diese Konzepte anzuwenden und zu festigen.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Zu identifizieren<\/strong> die Hauptmerkmale der Bernoulli-Versuche, einschlie\u00dflich der Unabh\u00e4ngigkeit zwischen den Versuchen.<\/li>\n<li><strong>Anzuwenden<\/strong> die Notation korrekt f\u00fcr die binomialen Ereignisse, die aus den Bernoulli-Versuchen abgeleitet sind.<\/li>\n<li><strong>Zu unterscheiden<\/strong> zwischen verschiedenen Formen der Unabh\u00e4ngigkeit (2-Unabh\u00e4ngigkeit, 3-Unabh\u00e4ngigkeit, n-Unabh\u00e4ngigkeit) und deren Zusammenhang und Anwendung in den Bernoulli-Versuchen zu verstehen.<\/li>\n<li><strong>Zu verstehen<\/strong> die Beziehung zwischen dem Bernoulli-Versuch und dem binomischen Lehrsatz und wie diese Beziehung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Reihe von Erfolgen und Misserfolgen verwendet werden kann.<\/li>\n<li><strong>Anzuwenden<\/strong> die Binomialverteilung (oder Bernoulli-Verteilung), um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen in einer Reihe von Versuchen zu berechnen.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Der Bernoulli-Versuch<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Verschiedene Formen der Unabh\u00e4ngigkeit<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Der Bernoulli-Versuch und der binomische Lehrsatz<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Die Binomialverteilung (oder Bernoulli-Verteilung) und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">\u00dcbungen:<\/a><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uyljDy0bcvU\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Der Bernoulli-Versuch<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uyljDy0bcvU&amp;t=103s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ein Bernoulli-Versuch ist ein zuf\u00e4lliges Experiment<\/span><\/strong><\/a> dichotom mit einer bestimmten Erfolgswahrscheinlichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p.<\/span><\/span> Wenn ein Bernoulli-Versuch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Mal identisch und unabh\u00e4ngig wiederholt wird, dann entstehen die <strong>Bernoulli-Ereignisse:<\/strong> Eine bestimmte Anzahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> von Erfolgen unter <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Versuchen. Diese werden auch als <strong>binomiale Ereignisse<\/strong> bezeichnet und wir stellen sie mit der Notation dar<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Large \\displaystyle Bi(n;k;p)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Ein weiteres wichtiges Merkmal der Bernoulli-Versuche ist, dass alle Versuche voneinander unabh\u00e4ngig sind.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><span style=\"color: #000080;\">BEISPIEL:<\/span> Ein W\u00fcrfel mit 6 Seiten wird wiederholt geworfen. Beispiele f\u00fcr Bernoulli-Ereignisse in diesem Experiment sind:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color:\">\n<li><strong>3 Asse unter 5 Versuchen erhalten:<\/strong> dargestellt durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Bi(5;3;1\/6)<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>7 gerade Zahlen unter 12 Versuchen erhalten:<\/strong> dargestellt durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Bi(12;7;1\/3)<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>Verschiedene Formen der Unabh\u00e4ngigkeit<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uyljDy0bcvU&amp;t=283s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die Unabh\u00e4ngigkeit zwischen den durchgef\u00fchrten Versuchen<\/span><\/strong><\/a> im Bernoulli-Versuch ist nicht genau dieselbe Unabh\u00e4ngigkeit, die wir bereits \u00fcberpr\u00fcft haben, sondern eine viel st\u00e4rker eingeschr\u00e4nkte Version. Um diesen Unterschied zu erkl\u00e4ren, untersuchen wir die Arten der Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen<\/p>\n<h4>2-Unabh\u00e4ngigkeit<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/probabilidad-condicional-e-independencia-entre-eventos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Die Unabh\u00e4ngigkeit, die wir bereits kennen<\/a>, ist diejenige, die zwischen zwei Ereignissen auftritt. Wir nennen sie \u00ab2-Unabh\u00e4ngigkeit\u00bb. In diesen Begriffen sagen wir, dass die Ereignisse <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> 2-unabh\u00e4ngig sind, wenn<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cap B) = P(A)P(B)<\/span><\/span><\/p>\n<h4>3-Unabh\u00e4ngigkeit<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Analog dazu wird die 3-Unabh\u00e4ngigkeit zwischen drei Ereignissen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span><\/span> durch die Beziehung definiert<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cap B\\cap C) = P(A)P(B)P(C)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Es ist wichtig zu betonen, dass die 2-Unabh\u00e4ngigkeit zwischen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span><\/span> nicht notwendigerweise die 3-Unabh\u00e4ngigkeit impliziert, w\u00e4hrend im umgekehrten Fall die Implikation zutrifft.<\/p>\n<h4>Die n-Unabh\u00e4ngigkeit zwischen den Bernoulli-Versuchen<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">In Analogie zu den obigen Definitionen wird die n-Unabh\u00e4ngigkeit zwischen einer Sammlung von Ereignissen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A_1, \\cdots, A_n<\/span><\/span> durch die Beziehung definiert<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Large \\displaystyle P\\left(\\bigcap_{i=1}^n A_i\\right) = \\prod_{i=1}^n P(A_i) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Und in \u00e4hnlicher Weise gilt:<\/p>\n<table style=\"color:\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(n-1)<\/span><\/span>-Unabh\u00e4ngigkeit impliziert nicht notwendigerweise <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span>-Unabh\u00e4ngigkeit<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span>-Unabh\u00e4ngigkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Longrightarrow<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(n-1)<\/span><\/span>-Unabh\u00e4ngigkeit<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Die <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Wiederholungen, die im Bernoulli-Versuch durchgef\u00fchrt werden, sind <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span>-unabh\u00e4ngig.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Der Bernoulli-Versuch und der binomische Lehrsatz<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uyljDy0bcvU&amp;t=478s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Betrachten wir ein Experiment von Erfolg und Misserfolg<\/span><\/strong><\/a> mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p<\/span><\/span>; bei jedem Versuch wird es folglich eine Wahrscheinlichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1-p<\/span><\/span> f\u00fcr einen Misserfolg geben. Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei jedem Versuch Erfolg oder Misserfolg eintritt, 1 ist; und da alle Versuche unabh\u00e4ngig sind, wird die Wahrscheinlichkeit, dass Erfolg oder Misserfolg in den <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Versuchen eintritt, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1^n.<\/span><\/span> Daraus folgt, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Large \\displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \\sum_{k=0}^n {{n}\\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">In der letzten Gleichung wurde der <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/ejercicios-de-induccion-matematica-teorema-del-binomio-de-newton\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Binomische Lehrsatz von Newton<\/a> angewandt, und die Terme innerhalb der Summe k\u00f6nnen wie folgt interpretiert werden:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color:\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{k}}<\/span><\/span>: die Anzahl der M\u00f6glichkeiten, wie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> Erfolge bei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Versuchen auftreten k\u00f6nnen<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p^k<\/span><\/span>: Die Wahrscheinlichkeit, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> unabh\u00e4ngige Erfolge auftreten<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1-p)^{n-k}<\/span><\/span>: Die Wahrscheinlichkeit, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-k<\/span><\/span> unabh\u00e4ngige Misserfolge auftreten<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Wenn wir diese Elemente in der Form zusammenf\u00fcgen, in der sie in der Summe erscheinen, erhalten wir: die Wahrscheinlichkeit, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> Erfolge unter <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Versuchen zu erzielen; oder \u00e4quivalent, die Wahrscheinlichkeit, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-k<\/span><\/span> Misserfolge unter <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Versuchen zu erzielen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Wenn wir jeden Term der Summe einzeln betrachten, haben wir die Wahrscheinlichkeiten, zu erhalten:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color:\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n<\/span><\/span><\/td>\n<td>0 Erfolge unter n Versuchen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1}<\/span><\/span><\/td>\n<td>1 Erfolg unter n Versuchen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2}<\/span><\/span><\/td>\n<td>2 Erfolge unter n Versuchen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}<\/span><\/span><\/td>\n<td>k Erfolge unter n Versuchen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-1<\/span><\/span> Erfolge unter <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Versuchen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n}<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Erfolge unter <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> Versuchen<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Und die Summe all dieser, wie wir bereits gesehen haben, ist \u00ab1\u00bb. Dies zeigt, dass alle M\u00f6glichkeiten abgedeckt sind.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Daraus wird die <strong>Wahrscheinlichkeit des Bernoulli-Ereignisses<\/strong> definiert:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\Large \\color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color:\">Oder wir sagen auch, dass <strong>die Anzahl der Erfolge <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> binomialverteilt ist:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{\\Large \\displaystyle X\\sim Bi(n;p) \\longmapsto P(X=x) = {{n}\\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Die Binomialverteilung (oder Bernoulli-Verteilung) und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color:\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uyljDy0bcvU&amp;t=779s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Durch die Binomialverteilung<\/span><\/strong><\/a> beginnen wir die ersten Vorstellungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsvariablen zu entwickeln. In diesem Fall ist die (diskrete) Zufallsvariable mit der Anzahl der Erfolge verkn\u00fcpft, und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch die Terme des binomischen Lehrsatzes angegeben.<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color:\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\Large \\displaystyle P(X=x) = {{n}\\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}<\/span><\/span><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/36s4rcfQn7M\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungen:<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color:\">\n<li>Ein fairer W\u00fcrfel mit 6 Seiten wird 5 Mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, 3 Mal eine gerade Zahl als Ergebnis zu erhalten.<\/li>\n<li>Eine M\u00fcnze wird 10 Mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, von 0 bis 10 Mal Kopf zu erhalten, und erstellen Sie ein Diagramm, das die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr jedes Ergebnis zeigt. Wie wird das Diagramm aussehen, wenn die Anzahl der W\u00fcrfe erh\u00f6ht wird und die Wahrscheinlichkeit untersucht wird, eine Anzahl von K\u00f6pfen zu erhalten, die von 0 bis zu dieser Anzahl von W\u00fcrfen reicht? Ein Excel-Blatt kann hier n\u00fctzlich sein.<\/li>\n<li>Es gibt eine Trommel mit einer Anzahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s<\/span><\/span> von Kugeln, wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> golden und der Rest wei\u00df sind. Alle werden gemischt und eine wird zuf\u00e4llig gezogen, und man gewinnt, wenn die goldene gezogen wird. Wenn dieses Experiment identisch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">20<\/span><\/span> Mal wiederholt wird, sch\u00e4tzen Sie die wahrscheinlichste Anzahl an Siegen f\u00fcr jeden m\u00f6glichen Wert von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\leq r\\leq s.<\/span><\/span> Auch hier kann ein Excel-Blatt n\u00fctzlich sein.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung ZusammenfassungIn dieser Vorlesung werden wir das Konzept der Bernoulli-Versuche und ihre Implikationen in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersuchen. Wir beginnen mit einer detaillierten Definition der Bernoulli-Versuche und gehen dann auf das Konzept der Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen ein. Nachdem diese Ideen gekl\u00e4rt sind, wird der binomische Lehrsatz angewandt, um zu verstehen, wie die [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":26419,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":96,"footnotes":""},"categories":[1302,1366],"tags":[],"class_list":["post-34164","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-mathematik","category-wahrscheinlichkeiten-und-statistik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v26.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Entdecke, dass die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten hervorbringt.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Entdecke, dass die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten hervorbringt.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-05-12T13:00:08+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2025-08-16T10:56:51+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446-1024x285.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"Entdecke, dass die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten hervorbringt.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"1 minuto\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung\",\"datePublished\":\"2021-05-12T13:00:08+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-16T10:56:51+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/\"},\"wordCount\":1265,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg\",\"articleSection\":[\"Mathematik\",\"Wahrscheinlichkeiten und Statistik\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/\",\"name\":\"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung - toposuranos.com\/material\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg\",\"datePublished\":\"2021-05-12T13:00:08+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-16T10:56:51+00:00\",\"description\":\"Entdecke, dass die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten hervorbringt.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#primaryimage\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg\",\"width\":1792,\"height\":498,\"caption\":\"El Ensayo de Bernoulli y la Distribuci\u00f3n Binomial\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/\",\"name\":\"toposuranos.com\/material\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"es\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\",\"name\":\"toposuranos.com\/material\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png\",\"width\":2400,\"height\":2059,\"caption\":\"toposuranos.com\/material\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\",\"https:\/\/x.com\/topuranos\",\"https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g\",\"https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\",\"name\":\"giorgio.reveco\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"caption\":\"giorgio.reveco\"},\"description\":\"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\"],\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung - toposuranos.com\/material","description":"Entdecke, dass die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten hervorbringt.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung","og_description":"Entdecke, dass die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten hervorbringt.","og_url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2021-05-12T13:00:08+00:00","article_modified_time":"2025-08-16T10:56:51+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446-1024x285.jpg","type":"","width":"","height":""}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung","twitter_description":"Entdecke, dass die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten hervorbringt.","twitter_image":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"1 minuto"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#article","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung","datePublished":"2021-05-12T13:00:08+00:00","dateModified":"2025-08-16T10:56:51+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/"},"wordCount":1265,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg","articleSection":["Mathematik","Wahrscheinlichkeiten und Statistik"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/","name":"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung - toposuranos.com\/material","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#primaryimage"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg","datePublished":"2021-05-12T13:00:08+00:00","dateModified":"2025-08-16T10:56:51+00:00","description":"Entdecke, dass die Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs Ergebnisse mit einer Binomialverteilung der Wahrscheinlichkeiten hervorbringt.","breadcrumb":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#primaryimage","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/bernoulli-e1712960368446.jpg","width":1792,"height":498,"caption":"El Ensayo de Bernoulli y la Distribuci\u00f3n Binomial"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-bernoulli-versuch-und-die-binomialverteilung\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Der Bernoulli-Versuch und die Binomialverteilung"}]},{"@type":"WebSite","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","name":"toposuranos.com\/material","description":"","publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"es"},{"@type":"Organization","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization","name":"toposuranos.com\/material","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","width":2400,"height":2059,"caption":"toposuranos.com\/material"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","https:\/\/x.com\/topuranos","https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190"]},{"@type":"Person","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1","name":"giorgio.reveco","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","caption":"giorgio.reveco"},"description":"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.","sameAs":["http:\/\/toposuranos.com\/material"],"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/"}]}},"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/34164","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=34164"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/34164\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media\/26419"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=34164"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=34164"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=34164"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}