{"id":33956,"date":"2021-05-09T13:00:48","date_gmt":"2021-05-09T13:00:48","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33956"},"modified":"2025-08-01T04:56:37","modified_gmt":"2025-08-01T04:56:37","slug":"integritaetsbereiche-und-die-ganzen-zahlen","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/integritaetsbereiche-und-die-ganzen-zahlen\/","title":{"rendered":"Integrit\u00e4tsbereiche und die ganzen Zahlen"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol{\n\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1{\n\ttext-align:center;\n\ttext-transform: uppercase;\n\t}\n\th2{\n\ttext-align:center;\n\ttext-transform: uppercase;\n\tfont-size:24pt;\n\t}\n\th3 { \n\t\ttext-align: center;\n\t\ttext-transform: uppercase;\n\t\tfont-size: 24px !important;\n\t}\n<\/style>\n<h1>Integrit\u00e4tsbereiche und die ganzen Zahlen<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Lektion wird das Konzept des Integrit\u00e4tsbereichs eingef\u00fchrt, seine Relevanz im Studium der allgemeinen Algebra erl\u00e4utert und einige seiner wichtigsten Eigenschaften durch formale Beweise demonstriert. <\/em><\/p>\n<p>h<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Lernziele:<\/strong><\/em><br \/>\nAm Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Den Zweck<\/strong> des Studiums der allgemeinen Algebra zu verstehen. <\/li>\n<li><strong>Das Konzept<\/strong> des Integrit\u00e4tsbereichs zu verstehen. <\/li>\n<li><strong>Die grundlegenden gemeinsamen Aspekte<\/strong> zwischen Integrit\u00e4tsbereichen und ganzen Zahlen zu erkl\u00e4ren. <\/li>\n<li><strong>Die grundlegenden Eigenschaften<\/strong> von Integrit\u00e4tsbereichen durch formale Beweise zu demonstrieren. <\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\">\n<strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u><\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">DAS ZIEL DER ALLGEMEINEN ALGEBRA UND VORAUSGESETZTE KENNTNISSE<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">VON DEN GANZEN ZAHLEN ZU DEN INTEGRIT\u00c4TSBEREICHEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">GRUNDLEGEND GEMEINSAME ASPEKTE VON INTEGRIT\u00c4TSBEREICHEN UND GANZEN ZAHLEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">EIGENSCHAFTEN DER INTEGRIT\u00c4TSBEREICHE UND DER GANZEN ZAHLEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">\u00dcBUNGEN<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hxmc1-eXWxU?si=57GADT52JG4fHFT-\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Das Ziel der allgemeinen Algebra und vorausgesetzte Kenntnisse<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hxmc1-eXWxU&amp;t=183s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Das Hauptziel der allgemeinen Algebra<\/span><\/strong><\/a> ist das Studium der gesamten Vielfalt m\u00f6glicher mathematischer Systeme. Hier werden wir verschiedene solcher Systeme untersuchen, wobei die nat\u00fcrlichen und ganzen Zahlen zu den wichtigsten geh\u00f6ren, und \u00fcber letztere gelangen wir zu den Integrit\u00e4tsbereichen.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{N}= \\{1,2,3,4,\\cdots\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{Z}= \\{0,\\pm 1,\\pm 2,\\pm 3,\\pm 4,\\cdots\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Von den ganzen Zahlen zu den Integrit\u00e4tsbereichen<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hxmc1-eXWxU&amp;t=358s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wir beginnen unser Studium mit den ganzen Zahlen,<\/span><\/strong><\/a> und der Grund daf\u00fcr ist, dass sie die meisten Gemeinsamkeiten mit den Zahlensystemen aufweisen, die wir in diesem Kurs betrachten werden.<\/p>\n<p>Anstatt zu versuchen, die ganzen Zahlen zu definieren, nehmen wir zun\u00e4chst an, dass sie \u2013 was immer sie auch seien \u2013 bestimmte Eigenschaften erf\u00fcllen. Zu diesem Zweck w\u00e4hlt man ein Axiomensystem so, dass alle Eigenschaften, die wir intuitiv mit den ganzen Zahlen verbinden, daraus ableitbar sind.<\/p>\n<p>All dies wird mit Hilfe der <strong>Peano-Axiome<\/strong> f\u00fcr die nat\u00fcrlichen Zahlen durchgef\u00fchrt, indem man die Grundoperationen der Arithmetik einf\u00fchrt. Indem man diesem axiomatischen Verfahren folgt und die Operationen auf den nat\u00fcrlichen und ganzen Zahlen erweitert, erh\u00e4lt man nach und nach neue Zahlensysteme wie die rationalen, irrationalen, reellen, komplexen Zahlen, Quaternionen, Oktonionen und viele weitere.<\/p>\n<p>Wenn wir dann die ganzen Zahlen betrachten, sehen wir, dass sie Eigenschaften besitzen, die sich in vielen anderen Zahlensystemen wiederholen, wie etwa die Existenz eines multiplikativen und additiven neutralen Elements sowie distributive Gesetze. Wenn wir uns auf solche Eigenschaften beziehen, k\u00f6nnen wir eine gemeinsame Sprache entwickeln, die es uns erm\u00f6glicht, \u00fcber all diese Systeme gleichzeitig zu sprechen. In diesem Zusammenhang entstehen Begriffe wie<\/p>\n<ul>\n<li>Integrit\u00e4tsbereich<\/li>\n<li>Ring<\/li>\n<li>Gruppe<\/li>\n<li>Vektorraum<\/li>\n<\/ul>\n<p>und viele weitere \u00e4hnliche Begriffe. Wir werden unsere Aufmerksamkeit zun\u00e4chst auf das Studium der <strong>Integrit\u00e4tsbereiche<\/strong> richten.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Grundlegende gemeinsame Aspekte der Integrit\u00e4tsbereiche und der ganzen Zahlen<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hxmc1-eXWxU&amp;t=472s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Um zu erkl\u00e4ren, was ein Integrit\u00e4tsbereich ist,<\/span><\/strong><\/a> bedienen wir uns der Eigenschaften, die wir sehr gut von den ganzen Zahlen kennen. In diesem Zusammenhang gilt, dass wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> ganze Zahlen sind, dann gelten die folgenden <strong>Gesetze<\/strong>:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Kommutativgesetze:<\/strong>\n<ul>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b = b + a<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab = ba<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Assoziativgesetze:<\/strong>\n<ul>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(ab)c = abc = a(bc)<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Distributivgesetz:<\/strong>\n<ul>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>Dar\u00fcber hinaus existieren spezielle Elemente, die als neutrale Elemente bekannt sind:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Additiv neutrales Element:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+ c = a \\leftrightarrow c=0<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>Multiplikativ neutrales Element:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ac = a \\leftrightarrow c=1<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Das Objekt mit dem Symbol <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span> ist das additive neutrale Element, w\u00e4hrend das Symbol <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span> dem multiplikativen neutralen Element entspricht.<\/p>\n<p>Die ganzen Zahlen besitzen ebenfalls additive Inverse. Zu jeder ganzen Zahl existiert ein additives Inverses, das zusammen mit ihr das additive neutrale Element ergibt.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Additives Inverses:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+ c = 0 \\longleftrightarrow c=-a<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Die additiven Inversen erkennt man am Minuszeichen vor der Zahl.<\/p>\n<p>Und schlie\u00dflich gibt es ein <strong>Vereinfachungsgesetz<\/strong>, das durch die folgende Beziehung ausgedr\u00fcckt wird:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(c\\neq 0 \\wedge ca = cb) \\longleftrightarrow (a=b)<\/span><\/span><\/p>\n<p>Diese \u00fcberpr\u00fcften Eigenschaften gelten auch f\u00fcr viele andere Mengen: reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Polynome usw. Daher nennen wir alle Mengen, die diese Eigenschaften erf\u00fcllen, einen <strong>Integrit\u00e4tsbereich<\/strong>.<\/p>\n<p><span style=\"color: #800000;\"><strong>DEFINITION:<\/strong><\/span> Ein Integrit\u00e4tsbereich ist jede Menge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span>, die mit einer Addition und Multiplikation ausgestattet ist, sodass<\/p>\n<ul>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in D \\longrightarrow a+b \\in D<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in D \\longrightarrow ab \\in D<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Und au\u00dferdem gelten die <strong>assoziativen, kommutativen<\/strong> und <strong>distributiven Gesetze<\/strong>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span> enth\u00e4lt <strong>additive<\/strong> und <strong>multiplikative neutrale Elemente<\/strong> (jeweils eindeutig), und schlie\u00dflich gilt das <strong>Vereinfachungsgesetz.<\/strong><\/p>\n<h4>Beispiel eines Integrit\u00e4tsbereichs<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hxmc1-eXWxU&amp;t=749s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Betrachten wir die Menge <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=\\{a+b\\sqrt{3}\\; |\\; a,b\\in \\mathbb{Z}\\}.<\/span><\/span><\/span> <\/strong><\/a>Diese Menge, versehen mit den \u00fcblichen Additions- und Multiplikationsoperationen, ist ein Integrit\u00e4tsbereich, da sie die Gesetze der Kommutativit\u00e4t, Assoziativit\u00e4t und Distributivit\u00e4t erf\u00fcllt, ein additives und multiplikatives neutrales Element sowie ein additives Inverses besitzt.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Additives neutrales Element:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0+0\\sqrt{3}<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>Multiplikatives neutrales Element:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1+0\\sqrt{3}<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>Additives Inverses:<\/strong> Jedes Element <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b\\sqrt{3}<\/span><\/span> hat ein additives Inverses <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-a-b\\sqrt{3}<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Und das Wichtigste von allem: Diese Menge A ist unter Addition und Multiplikation abgeschlossen, im Sinne davon, dass wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x,y\\in A<\/span><\/span>, dann gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x+y\\in A<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">xy\\in A.<\/span><\/span> Dies l\u00e4sst sich leicht \u00fcberpr\u00fcfen: Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_1 + b_1\\sqrt{3}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_2 + b_2\\sqrt{3}<\/span><\/span> Elemente von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> sind, dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text.align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n(a_1 + b_1\\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\\sqrt{3}) &amp;=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\\sqrt{3} \\in A\\\\ \\\\\n\n(a_1 + b_1\\sqrt{3})  (a_2 + b_2\\sqrt{3})  &amp;= a_1a_2 + a_1b_2\\sqrt{3}+b_1a_2\\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\\\\n\n&amp;=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\\sqrt{3} \\in A\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/y6jXNPhjKv4?si=9SaXhWHN42sC73lZ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Eigenschaften der Integrit\u00e4tsbereiche und der ganzen Zahlen<\/h3>\n<h4>Das additive neutrale Element eines Integrit\u00e4tsbereichs ist eindeutig<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=26s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Dies l\u00e4sst sich durch Widerspruchsbeweis zeigen:<\/span><\/strong><\/a> Angenommen, es existieren zwei additive neutrale Elemente, sei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0^\\prime<\/span><\/span> solche Elemente. Dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; 0\\neq 0^\\prime &amp; \\text{; Annahme}\\\\\n\n(2) &amp; a+0 = a &amp; \\text{; Annahme: $0$ ist additives neutrales Element}\\\\\n\n(3) &amp; b+0^\\prime = b &amp; \\text{; Annahme: $0^\\prime$ ist additives neutrales Element}\\\\\n\n(4) &amp; 0^\\prime + 0 = 0^\\prime &amp; \\text{; Einsetzen von $a=0^\\prime$ in $(2)$}\\\\\n\n(5) &amp; 0 + 0^\\prime = 0 &amp; \\text{; Einsetzen von $b=0$ in $(3)$}\\\\\n\n(6) &amp; 0 = 0^\\prime  &amp; \\text{; Aus $(4,5)$ und der Kommutativit\u00e4t der Addition}\\\\\n\n(7) &amp; \\bot &amp;\\text{; Aus $(1,6)$}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Aus diesem Gedankengang schlie\u00dfen wir daher:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{0 \\neq 0^\\prime, a + 0 = a, b + 0^\\prime = b\\}\\vdash \\bot.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Dann erh\u00e4lt man durch Widerspruchsbeweis:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{a + 0 = a, b + 0^\\prime = b\\}\\vdash 0 = 0^\\prime.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Das hei\u00dft: Wenn es zwei additive neutrale Elemente gibt, dann sind sie identisch \u2013 also eindeutig.<\/p>\n<h4>Das multiplikative neutrale Element ist ebenfalls eindeutig<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=305s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Der Beweis ist praktisch identisch mit dem vorherigen.<\/span><\/strong><\/a> Wenn es zwei g\u00e4be: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1^\\prime<\/span><\/span>, dann k\u00f6nnte man folgenden Gedankengang aufstellen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; 1\\neq 1^\\prime &amp; \\text{; Annahme}\\\\\n\n(2) &amp; 1\\cdot a = a &amp; \\text{; Annahme: $1$ ist multiplikatives neutrales Element}\\\\\n\n(3) &amp; 1^\\prime \\cdot b = b &amp; \\text{; Annahme: $1^\\prime$ ist multiplikatives neutrales Element}\\\\\n\n(4) &amp; 1\\cdot 1^\\prime = 1^\\prime &amp; \\text{; Einsetzen von $a=1^\\prime$ in $(2)$}\\\\\n\n(5) &amp; 1^\\prime \\cdot 1 = 1 &amp; \\text{; Einsetzen von $b=1$ in $(3)$}\\\\\n\n(6) &amp; 1 = 1^\\prime  &amp; \\text{; Aus $(4,5)$ und der Kommutativit\u00e4t der Multiplikation}\\\\\n\n(7) &amp; \\bot &amp;\\text{; Aus $(1,6)$}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Also kommen wir zu dem Schluss:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{1 \\neq 1^\\prime, 1a= a, 1b = b\\}\\vdash \\bot.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Daraus folgt durch Reduktion zum Absurden:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{1a= a, 1b= b\\}\\vdash 1 = 1^\\prime.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Mit anderen Worten: Wenn es zwei multiplikative neutrale Elemente gibt, dann sind sie gleich \u2013 also eindeutig.<\/p>\n<h4>Das Vereinfachungsgesetz f\u00fcr Summen gilt<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=461s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Das ist genau das, was wir tun,<\/span><\/strong><\/a> wenn wir Terme in einer Gleichung k\u00fcrzen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b = a+c \\longleftrightarrow b = c<\/span><\/span><\/p>\n<p>Es ist nicht schwierig, dies zu beweisen. Man kann folgenden Gedankengang aufstellen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; a+b = a+c &amp; \\text{; Annahme} \\\\\n\n(2) &amp; a+b-a = a+c-a &amp; \\text{; Aus $(1)$, Subtraktion von $a$ auf beiden Seiten} \\\\\n\n(3) &amp; (a-a)+b = (a-a)+c &amp; \\text{; Aus $(2)$, Kommutativit\u00e4t und Assoziativit\u00e4t} \\\\\n\n(4) &amp; 0+b = 0+c &amp; \\text{; Aus $(3)$ und dem additiven Inversen} \\\\\n\n(5) &amp; b = c &amp; \\text{; Aus $(4)$ und dem additiven neutralen Element} \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Da dieser Gedankengang sowohl vorw\u00e4rts als auch r\u00fcckw\u00e4rts mit denselben Schritten durchgef\u00fchrt werden kann, gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b=a+c \\dashv \\vdash b=c<\/span><\/span><\/p>\n<p>Was gleichbedeutend ist mit:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash a+b=a+c \\longleftrightarrow b=c<\/span><\/span><\/p>\n<h4>Das additive neutrale Element ist zugleich ein multiplikativ absorbierendes Element<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=632s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Das bedeutet einfach nur,<\/span><\/strong><\/a> dass f\u00fcr jedes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> im Integrit\u00e4tsbereich gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\cdot 0 = 0<\/span><\/span><\/p>\n<p>Auch dies l\u00e4sst sich leicht beweisen, man folgt einfach diesem Gedankengang:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; a\\cdot a + a\\cdot 0 = a\\cdot  (a+0) &amp; \\text{; Distributivgesetze}\\\\\n\n(2) &amp; a\\cdot a + a\\cdot 0 = a\\cdot  (a+a-a) &amp; \\text{; Aus $(1)$ und dem additiven Inversen}\\\\\n\n(3) &amp; a\\cdot a + a\\cdot 0 = a\\cdot a + a\\cdot a - a\\cdot a &amp; \\text{; Aus $(2)$ und Distributivit\u00e4t}\\\\\n\n(4) &amp;  a\\cdot 0 =  a\\cdot a - a\\cdot a &amp; \\text{; Aus $(3)$ und Vereinfachung der Summen}\\\\\n\n(5) &amp;  a\\cdot 0 =  0 &amp; \\text{; Aus $(4)$ und additivem Inversen}\\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<h4><strong>Vorzeichenregel:<\/strong><\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=736s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen<\/span><\/strong><\/a> ist stets positiv; das Produkt zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen ist stets negativ. Auch dieser Beweis ist einfach:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; a\\cdot b = a\\cdot b + 0 &amp; \\text{; Additives Neutrum}\\\\\n\n(2) &amp; a\\cdot b = a\\cdot b + (a)\\cdot(-b) - (a)\\cdot(-b) &amp; \\text{; Aus $(1)$ und additivem Inversen}\\\\\n\n(3) &amp; a\\cdot b = a\\cdot (b -b) - (a)\\cdot(-b) &amp; \\text{; Aus $(2)$ und additivem Inversen}\\\\\n\n(4) &amp; a\\cdot b = a\\cdot 0 + (-a)\\cdot(-b) &amp; \\text{; Aus $(3)$ und additivem Inversen}\\\\\n\n(5) &amp; a\\cdot b = (-a)\\cdot(-b) &amp; \\text{; Aus $(4)$ und multiplikativ absorbierendem Element}\\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Daher gilt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ab = (-a)(-b)<\/span><\/span><\/p>\n<p>F\u00fcr entgegengesetzte Vorzeichen ergibt sich ein \u00e4hnliches Ergebnis:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; a\\cdot(-b) = a \\cdot (-b) + 0 &amp; \\text{; Additives Neutrum} \\\\\n\n(2) &amp; a\\cdot(-b) = a \\cdot (-b) + a \\cdot b  -  a \\cdot b  &amp; \\text{; Aus $(1)$ und additivem Inversen} \\\\\n\n(3) &amp; a\\cdot(-b) = a \\cdot (b-b)  -  a \\cdot b  &amp; \\text{; Aus $(2)$ und Distributivit\u00e4t} \\\\\n\n(4) &amp; a\\cdot(-b) = a \\cdot 0  -  a \\cdot b  &amp; \\text{; Aus $(3)$ und additivem Inversen} \\\\\n\n(5) &amp; a\\cdot(-b) = - a \\cdot b  &amp; \\text{; Aus $(4)$ und multiplikativ absorbierendem Element} \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Daher gilt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a(-b) = -a(b)<\/span><\/span><\/p>\n<h4>Wenn das Produkt zweier Zahlen null ist, dann ist mindestens eine davon null<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=875s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Eine weitere Eigenschaft,<\/span><\/strong><\/a> die oft verwendet wird, ist die folgende:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab=0 \\leftrightarrow (a=0 \\vee b=0)<\/span><\/span><\/p>\n<p>Auch dieser Beweis ist einfach:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{a=0\\} \\models a\\cdot b = 0  &amp; \\textbf{; Multiplikativ absorbierend} \\\\\n\n(2) &amp; \\models a=0 \\rightarrow a\\cdot b = 0  &amp;\\text{; TD$(1)$} \\\\\n\n(3) &amp; \\models \\neg (a\\cdot b = 0 ) \\rightarrow \\neg(a=0) &amp;\\text{; CPI$(2)$} \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\neg (a\\cdot b = 0 ) \\}\\models   \\neg(a=0) &amp;\\text{; RTD$(3)$} \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\neg (a\\cdot b = 0 ) \\}\\models   \\neg(b=0) &amp;\\text{; Analog zu $(4)$} \\\\\n\n(6) &amp; \\{\\neg (a\\cdot b = 0 ) \\}\\models  \\neg(a=0) \\wedge \\neg(b=0) &amp;\\text{; $\\wedge$-Einf\u00fchrung $(4,5)$} \\\\\n\n(7) &amp; \\models (\\neg (a\\cdot b = 0 )) \\rightarrow \\neg(a=0) \\wedge \\neg(b=0)  &amp;\\text{; TD$(6)$} \\\\\n\n(8) &amp; \\models \\neg(\\neg(a=0) \\wedge \\neg(b=0) ) \\rightarrow   (a\\cdot b = 0 ) &amp;\\text{; CPI$(7)$} \\\\\n\n(9) &amp; \\models (a=0 \\vee b=0) \\rightarrow   (a\\cdot b = 0 ) &amp;\\text{; DM$(8)$} \\\\\n\n(10)&amp; \\{a\\neq 0 , a\\cdot b=0\\} \\models b=0 &amp; \\textbf{; Multiplikativ absorbierend} \\\\\n\n(11)&amp; \\{a\\cdot b=0\\} \\models a\\neq 0 \\rightarrow  b=0 &amp; \\text{; TD$(10)$} \\\\\n\n(12)&amp; \\{a\\cdot b=0\\} \\models \\neg(a\\neq 0) \\vee  b=0 &amp; \\text{; $\\rightarrow$-Def$(11)$} \\\\\n\n(13)&amp; \\{a\\cdot b=0\\} \\models a=0 \\vee  b=0 &amp; \\text{; DN$(12)$} \\\\\n\n(14)&amp; \\models (a\\cdot b=0) \\rightarrow (a=0 \\vee  b=0) &amp; \\text{; TD$(13)$} \\\\\n\n(15)&amp; \\models (a\\cdot b=0) \\leftrightarrow (a=0 \\vee  b=0) &amp; \\text{; Aus $(9,14)$}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KZQ3PXeMlKk?si=O_Hek5KFG853Q6qT\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungen<\/h2>\n<p>Seien <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> beliebige Elemente eines Integrit\u00e4tsbereichs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span>. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften erf\u00fcllt sind:<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(-a)=(-1)a<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=306s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[L\u00d6SUNG]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-(a+b)=(-a) + (-b)<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=827s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[L\u00d6SUNG]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a(-b)=-(ab)<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=1213s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[L\u00d6SUNG]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-(-a)=a<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=1628s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[L\u00d6SUNG]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a(b-c) = ab - ac<\/span><\/span> <strong>[VORGESCHLAGEN]<\/strong><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a-b)+(b-c) = a-c<\/span><\/span> <strong>[VORGESCHLAGEN]<\/strong><\/li>\n<li>F\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\in D<\/span><\/span> existiert ein eindeutiges <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span>, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\cdot 1 = a<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=2029s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[L\u00d6SUNG]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">xx = x \\leftrightarrow (x=1 \\vee x=0)<\/span><\/span> <strong>[VORGESCHLAGEN]<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Integrit\u00e4tsbereiche und die ganzen Zahlen Zusammenfassung: In dieser Lektion wird das Konzept des Integrit\u00e4tsbereichs eingef\u00fchrt, seine Relevanz im Studium der allgemeinen Algebra erl\u00e4utert und einige seiner wichtigsten Eigenschaften durch formale Beweise demonstriert. h Lernziele: Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein: Den Zweck des Studiums der allgemeinen Algebra zu verstehen. 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