{"id":33857,"date":"2021-02-14T15:00:13","date_gmt":"2021-02-14T15:00:13","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33857"},"modified":"2025-07-31T23:26:54","modified_gmt":"2025-07-31T23:26:54","slug":"demorgansche-gesetze-distributivgesetze-und-deren-beweise","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demorgansche-gesetze-distributivgesetze-und-deren-beweise\/","title":{"rendered":"DeMorgansche Gesetze, Distributivgesetze und deren Beweise"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>DeMorgansche Gesetze, Distributivgesetze und deren Beweise<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>ZUSAMMENFASSUNG<\/strong><br \/><em>In dieser Unterrichtseinheit werden die Beweise der DeMorgan-Gesetze sowie der Distributivgesetze der Konjunktion und Disjunktion behandelt. Diese Gesetze finden h\u00e4ufig Anwendung in der Aussagenlogik sowie in Bereichen wie der Mengenlehre, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Topologie, Elektronik und Programmierung. Es werden die \u00c4quivalenzen vorgestellt, die die Verteilung von Negationen auf Konjunktion und Disjunktion formal beschreiben, ebenso wie die Distributivregeln zwischen Konjunktion und Disjunktion. Die verwendeten Deduktionstechniken zur Herleitung dieser Beweise werden erkl\u00e4rt, und die Studierenden werden dazu ermutigt, die vorgeschlagenen Beweise selbstst\u00e4ndig zu vervollst\u00e4ndigen, um ihr Verst\u00e4ndnis zu vertiefen. Zudem wird empfohlen, sich selbst die Frage zu stellen: \u201eKann ich diese Beweise in einer anderen Reihenfolge erstellen, wenn ich dieselbe Methodik anwende?\u201c, um die logischen F\u00e4higkeiten weiter zu f\u00f6rdern.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein,\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>die DeMorgan-Gesetze<\/strong> sowie die Distributivgesetze zwischen Konjunktion und Disjunktion zu <strong>beweisen<\/strong>.<\/li>\n<li>die erlernten <strong>Deduktionstechniken anzuwenden<\/strong>, um die DeMorgan-Gesetze und die Distributivgesetze zu beweisen.<\/li>\n<li>die Beweise der DeMorgan- und Distributivgesetze <strong>zu vergleichen<\/strong>, um Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu erkennen.<\/li>\n<li>die Beweise der DeMorgan- und Distributivgesetze <strong>zu analysieren<\/strong>, um das Verst\u00e4ndnis der Aussagenlogik zu vertiefen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">DEMORGAN-GESETZE<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">DISTRIBUTIVGESETZE ZWISCHEN KONJUNKTION UND DISJUNKTION<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">ABSCHLIESSENDE \u00dcBERLEGUNGEN<\/a><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ntfTrdqIipo\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun gilt es, eine weitere Eigenschaft zu untersuchen, die h\u00e4ufig in der Aussagenlogik verwendet wird: die Beweise der DeMorgan-Gesetze und der Distributivgesetze f\u00fcr Konjunktion und Disjunktion. Die Anwendung dieser Gesetze ist in der Mengenlehre \u00fcblich und durchdringt dar\u00fcber hinaus die gesamte Mathematik \u2013 von der Wahrscheinlichkeitsrechnung \u00fcber die Topologie bis hin zu ihrer Pr\u00e4senz in der Elektronik und Programmierung. Wie gewohnt werden wir die Beweise dieser Gesetze auf Grundlage der bisher erlernten Deduktionstechniken Schritt f\u00fcr Schritt erarbeiten.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>DeMorgan-Gesetze<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ntfTrdqIipo&amp;t=709s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die DeMorgan-Gesetze<\/span><\/strong><\/a> sind eine Reihe von \u00c4quivalenzen, die die Verteilung von Negationen auf Konjunktion und Disjunktion formalisieren. Formal werden sie durch die folgenden \u00c4quivalenzen ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\alpha \\wedge \\beta) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\alpha \\vee \\beta) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\wedge \\neg \\beta)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese bewiesenen \u00c4quivalenzen lassen sich auch ohne eine formale Beweiskette im Stil der bisherigen Demonstrationen herleiten, indem man die Definitionen, die Konjunktionen mit Disjunktionen verkn\u00fcpfen, sowie die \u00c4quivalenz der doppelten Negation und einfache Substitutionen verwendet. Aus der Definition der Konjunktion folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A \\wedge B):= \\neg(\\neg A \\vee \\neg B)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wendet man auf beiden Seiten dieser Aussage eine Negation an, ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(A \\wedge B):= \\neg\\neg(\\neg A \\vee \\neg B)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Durch Anwendung der \u00c4quivalenz der doppelten Negation ergibt sich schlie\u00dflich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(A \\wedge B)\\dashv \\vdash (\\neg A \\vee \\neg B)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ersetzt man nun <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=\\alpha<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B=\\beta<\/span><\/span>, erh\u00e4lt man die erste DeMorgan-\u00c4quivalenz:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\neg(\\alpha \\wedge \\beta) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die zweite \u00c4quivalenz zu erhalten, kann man die vorherige Gleichung weiterverwenden und erneut auf beiden Seiten eine Negation anwenden, was zu folgendem f\u00fchrt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg(A \\wedge B)\\dashv \\vdash \\neg(\\neg A \\vee \\neg B)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und erneut durch doppelte Negation ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\neg A \\vee \\neg B) \\dashv \\vdash (A \\wedge B)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir in diesem letzten Ausdruck <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=\\neg\\alpha<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B=\\neg\\beta<\/span><\/span> einsetzen, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\neg \\neg\\alpha \\vee \\neg \\neg\\beta) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\wedge \\neg\\beta)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Was aufgrund der \u00c4quivalenz der doppelten Negation zur zweiten DeMorgan-\u00c4quivalenz f\u00fchrt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\neg( \\alpha \\vee \\beta) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\wedge \\neg\\beta)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dar\u00fcber hinaus lassen sich auf ganz analoge Weise zus\u00e4tzliche Formen herleiten, die lediglich Varianten der bereits untersuchten \u00c4quivalenzen darstellen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\neg\\alpha \\wedge \\beta) \\dashv \\vdash (\\alpha \\vee \\neg \\beta)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\neg\\alpha \\vee \\beta) \\dashv \\vdash (\\alpha \\wedge \\neg \\beta)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\alpha \\wedge \\neg\\beta) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\vee \\beta)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\alpha \\vee \\neg\\beta) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\wedge \\beta)<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Distributivgesetze zwischen Konjunktion und Disjunktion<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ntfTrdqIipo&amp;t=709s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wie der Name schon andeutet<\/span><\/strong><\/a>, erm\u00f6glichen uns diese Regeln die Verteilung von Konjunktionen und Disjunktionen innerhalb eines Ausdrucks. Diese Gesetze lassen sich in den folgenden zwei \u00c4quivalenzen zusammenfassen:<\/p>\n<table style=\"text-align: left;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u2227 \u2013 Distributivit\u00e4t<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee \\gamma)) \\dashv \\vdash ((\\alpha \\wedge \\beta)\\vee(\\alpha \\wedge \\gamma)) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u2228 \u2013 Distributivit\u00e4t<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge \\gamma)) \\dashv \\vdash ((\\alpha \\vee \\beta)\\wedge(\\alpha \\vee \\gamma)) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie schon bei fr\u00fcheren Themen handelt es sich zwar um bekannte Resultate, deren Beweise jedoch keineswegs trivial sind. Um diese \u00c4quivalenzen vollst\u00e4ndig zu beweisen, muss in beide Richtungen argumentiert werden. In diesem Abschnitt wird jedoch nur der Beweis in eine Richtung pr\u00e4sentiert; der Beweis in die Gegenrichtung bleibt als \u00dcbung dem Leser \u00fcberlassen.<\/p>\n<h3>\u2227 \u2013 Distributivit\u00e4t<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ntfTrdqIipo&amp;t=831s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Um zu zeigen, dass gilt<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma))\\}\\vdash((\\alpha \\wedge \\beta)\\vee(\\alpha \\wedge \\gamma))<\/span><\/span>, folgt die folgende \u00dcberlegung.<\/p>\n<table style=\"text-align: left;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\beta \\}\\vdash (\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\beta \\}\\vdash \\alpha <\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2227-Elimination (1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\beta \\}\\vdash \\beta <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\beta \\}\\vdash (\\alpha\\wedge \\beta) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2227-Einf\u00fchrung (2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\beta \\}\\vdash ((\\alpha\\wedge \\beta)\\vee(\\alpha \\wedge \\gamma) )<\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2228-Einf\u00fchrung (4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\neg\\beta \\}\\vdash (\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\neg\\beta \\}\\vdash (\\beta \\vee\\gamma) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2227-Elimination (6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\neg\\beta \\}\\vdash\\neg\\beta <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\neg\\beta \\}\\vdash\\gamma <\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2228-Elimination (7,8)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(10)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\neg\\beta \\}\\vdash\\alpha <\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2227-Elimination (6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\neg\\beta \\}\\vdash (\\alpha\\wedge\\gamma) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2227-Einf\u00fchrung (9,10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(12)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma)), \\neg\\beta \\}\\vdash ((\\alpha\\wedge\\beta)\\vee(\\alpha\\wedge\\gamma)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2228-Einf\u00fchrung (11)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(13)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma))\\}\\vdash ((\\alpha\\wedge\\beta)\\vee(\\alpha\\wedge\\gamma))} <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Fallunterscheidung (5,12)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit ist bewiesen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma))\\}\\vdash((\\alpha \\wedge \\beta)\\vee(\\alpha \\wedge \\gamma))<\/span><\/span>. Nun bist du an der Reihe, dein Wissen unter Beweis zu stellen und selbstst\u00e4ndig zu zeigen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{((\\alpha \\wedge \\beta)\\vee(\\alpha \\wedge \\gamma))\\}\\vdash (\\alpha \\wedge(\\beta \\vee\\gamma))<\/span><\/span>.<\/p>\n<h3>\u2228 \u2013 Distributivit\u00e4t<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ntfTrdqIipo&amp;t=1449s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Der Beweis von<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma))\\}\\vdash((\\alpha \\vee \\beta)\\wedge(\\alpha \\vee \\gamma))<\/span><\/span> ergibt sich aus folgender \u00dcberlegung:<\/p>\n<table style=\"text-align: left;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma)), \\neg\\alpha\\}\\vdash (\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma)), \\neg\\alpha\\}\\vdash \\neg\\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma)), \\neg\\alpha\\}\\vdash (\\beta \\wedge\\gamma)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2228-Elimination (1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma)), \\neg\\alpha\\}\\vdash \\beta<\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2227-Elimination (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma)), \\neg\\alpha\\}\\vdash \\gamma<\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2227-Elimination (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma))\\}\\vdash (\\neg\\alpha\\rightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Indirekter Beweis (4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma))\\}\\vdash (\\alpha\\vee \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rightarrow<\/span>-Definition (6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma))\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\gamma)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Indirekter Beweis (5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma))\\}\\vdash (\\alpha \\vee \\gamma)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rightarrow<\/span>-Definition (8)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(10)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{(\\alpha \\vee(\\beta \\wedge\\gamma))\\}\\vdash ((\\alpha\\vee \\beta) \\wedge (\\alpha \\vee \\gamma))}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; \u2227-Einf\u00fchrung (7,9)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies stellt die erste H\u00e4lfte des Beweises dar \u2013 der R\u00fcckweg bleibt dem Leser als \u00dcbung \u00fcberlassen :3<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Abschlie\u00dfende \u00dcberlegungen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit dieser Durchsicht der Beweise zu den de Morganschen Gesetzen zur Verteilung von Konjunktion und Disjunktion k\u00f6nnen wir unser Studium der Deduktionstechniken der Aussagenlogik abschlie\u00dfen \u2013 zumindest im Hinblick auf die wichtigsten Gesetze der klassischen Logik.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es ist wichtig, alle vorgeschlagenen Beweise vollst\u00e4ndig durchzuarbeiten, um das Verst\u00e4ndnis dieser Techniken zu festigen. Um dies etwas leichter zu gestalten, ist es sehr hilfreich, die Beweise auf Gemeinsamkeiten hin zu vergleichen. Es ist n\u00e4mlich gut m\u00f6glich, dass die Strategie, die bei einem Beweis erfolgreich war, mit kleinen Anpassungen auch f\u00fcr andere funktioniert.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ein letzter Punkt, den es sich zu beachten lohnt, ist die Reihenfolge, in der ich diese Beweise entwickelt habe. Du wirst bemerken, dass jeder Beweis auf den Ergebnissen vorheriger Beweise aufbaut. Ich habe diese Reihenfolge gew\u00e4hlt, weil sie mir pers\u00f6nlich am einfachsten erschien. Eine gute \u00dcbung zur Verbesserung deiner F\u00e4higkeiten in diesem Bereich besteht darin, dir die Frage zu stellen: \u201eKann ich diese Beweise auch in einer anderen Reihenfolge aufbauen, wenn ich dieselbe Methodik anwende?\u201c Ich empfehle dir nachdr\u00fccklich, zu versuchen, die Beweise in einer anderen Reihenfolge herzuleiten und jeweils die vorherigen als Grundlage f\u00fcr die n\u00e4chsten zu verwenden. Auch wenn es dir nicht vollst\u00e4ndig gelingt, wirst du durch den Versuch ein besseres Verst\u00e4ndnis f\u00fcr die Beweise und die in der Logik verwendeten Methoden erlangen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>DeMorgansche Gesetze, Distributivgesetze und deren Beweise ZUSAMMENFASSUNGIn dieser Unterrichtseinheit werden die Beweise der DeMorgan-Gesetze sowie der Distributivgesetze der Konjunktion und Disjunktion behandelt. Diese Gesetze finden h\u00e4ufig Anwendung in der Aussagenlogik sowie in Bereichen wie der Mengenlehre, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Topologie, Elektronik und Programmierung. Es werden die \u00c4quivalenzen vorgestellt, die die Verteilung von Negationen auf Konjunktion und Disjunktion [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":27484,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":19,"footnotes":""},"categories":[1360,1302,1354],"tags":[],"class_list":["post-33857","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-aussagenlogik","category-mathematik","category-mathematische-logik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>DeMorgansche Gesetze, Distributivgesetze und deren Beweise - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Entdecke die de Morganschen Gesetze und die Distributivregeln der Aussagenlogik. 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