{"id":33845,"date":"2021-02-12T13:00:07","date_gmt":"2021-02-12T13:00:07","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33845"},"modified":"2025-07-31T08:00:13","modified_gmt":"2025-07-31T08:00:13","slug":"demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/","title":{"rendered":"Demonstration der Techniken der klassischen Logik"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Demonstration der Techniken der klassischen Logik<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>ZUSAMMENFASSUNG<\/strong><br \/><em>In dieser Lektion werden verschiedene Techniken der klassischen Logik vorgestellt, um Konjunktionen und Disjunktionen einzuf\u00fchren und zu eliminieren, zus\u00e4tzlich zur Regel des ausgeschlossenen Dritten und der Widerspruchsregel, auch bekannt als das Explosionsprinzip. Au\u00dferdem werden die Technik des Fallunterscheidungsverfahrens und der Reduktion ad absurdum erkl\u00e4rt, beide sehr n\u00fctzlich in mathematischen und allgemeinen logischen Beweisen. Jede Technik wird formal pr\u00e4sentiert und mit einer schrittweisen Demonstration zur besseren Verst\u00e4ndlichkeit versehen. Wenn du dein Wissen in Aussagenlogik vertiefen und deine F\u00e4higkeiten im Beweisen von Theoremen verbessern m\u00f6chtest, wird dir diese Lektion sehr n\u00fctzlich sein.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>LERNZIELE:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der Begr\u00fcndung hinter den Techniken zur Einf\u00fchrung und Eliminierung von Konjunktion und Disjunktion.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der Eigenschaft des ausgeschlossenen Dritten oder der Tautologie (TAU) in der klassischen Logik.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der Widerspruchsregel (CON) oder des Explosionsprinzips in der klassischen Logik.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der Technik der Disjunktionselementierung (\u2228-Eliminierung3) in der klassischen Logik.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der Technik des Fallunterscheidungsverfahrens (CAS) in der klassischen Logik.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der Technik der Reduktion ad absurdum (Absurdum) in der klassischen Logik.<\/li>\n<li><strong>Anwenden<\/strong> des Wissens \u00fcber die verschiedenen Techniken der klassischen Logik zur L\u00f6sung komplexer Probleme und Beweise.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>EINF\u00dcHRUNG UND ELIMINIERUNG VON KONJUNKTIONEN UND DISJUNKTIONEN<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">\u2228-EINF\u00dcHRUNG<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">\u2228-ELIMINIERUNG<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">\u2227-EINF\u00dcHRUNG<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">\u2227-ELIMINIERUNG<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\"><strong>TECHNIKEN VON WIDERSPR\u00dcCHEN UND TAUTOLOGIEN<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">REGEL DES AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN ODER TAUTOLOGIE (TAU)<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">WIDERSPRUCHSREGEL ODER EXPLOSIONSPRINZIP<\/a><br \/>\n<a href=\"#9\">\u2228-ELIMINIERUNG3<\/a><br \/>\n<a href=\"#10\">FALLUNTERSCHEIDUNGEN (CAS)<\/a><br \/>\n<a href=\"#11\">REDUKTION AD ABSURDUM (ABSURDUM)<\/a><\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/qAJ_oaSfd9k\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Einf\u00fchrung und Eliminierung von Konjunktionen und Disjunktionen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=qAJ_oaSfd9k&amp;t=439s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Eine der Techniken<\/span><\/strong><\/a> der klassischen Logik besteht in der Einf\u00fchrung und Eliminierung von Junktoren und Disjunktionen. Obwohl diese Techniken auf eine mehr oder weniger intuitive Weise ausgef\u00fchrt werden, ist ihre Begr\u00fcndung nicht v\u00f6llig trivial, doch sie lassen sich aus den Regeln der Aussagenlogik ableiten, die wir in fr\u00fcheren Lektionen bereits bewiesen haben. Formal lauten die Techniken zur Einf\u00fchrung und Eliminierung von Junktoren und Disjunktionen wie folgt:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u2228-Einf\u00fchrung<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha \\} \\vdash (\\alpha \\vee \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u2228-Eliminierung<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha\\vee\\beta), \\neg\\alpha \\} \\vdash\\beta <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u2227-Einf\u00fchrung<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha.\\beta \\} \\vdash(\\alpha \\wedge \\beta) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u2227-Eliminierung<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge \\beta) \\} \\vdash \\alpha <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und ihre Herleitungen aus der Aussagenlogik sind wie folgt dargestellt:<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>\u2228-Einf\u00fchrung<\/h3>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\} \\vdash \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\} \\vdash( \\alpha \\rightarrow (\\neg \\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; A1, Monotonie<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\} \\vdash (\\neg \\beta \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{\\alpha\\} \\vdash (\\beta \\vee \\alpha)}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rightarrow<\/span><\/span>-Definition(3)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"3\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>\u2228-Eliminierung<\/h3>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee \\beta), \\neg\\alpha\\}\\vdash (\\alpha \\vee\\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee \\beta), \\neg\\alpha\\}\\vdash \\neg\\alpha <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\vee \\beta), \\neg\\alpha\\}\\vdash (\\neg \\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rightarrow<\/span><\/span>-Definition (1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{(\\alpha \\vee \\beta), \\neg\\alpha\\}\\vdash \\beta}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"4\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>\u2227-Einf\u00fchrung<\/h3>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta), \\neg\\neg\\beta\\} \\vdash \\neg\\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vee<\/span><\/span>-Eliminierung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg\\beta\\} \\vdash ((\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta) \\rightarrow \\neg\\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg\\beta\\} \\vdash (\\neg \\neg\\alpha \\rightarrow \\neg (\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; CPI(2))<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg\\neg\\beta \\rightarrow (\\neg \\neg\\alpha \\rightarrow \\neg (\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta)))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, \\beta \\} \\vdash (\\neg\\neg\\beta \\rightarrow (\\neg \\neg\\alpha \\rightarrow \\neg (\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta)))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Monotonie x2 (4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, \\beta \\} \\vdash \\beta<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, \\beta \\} \\vdash \\neg\\neg\\beta<\/span><\/span><\/td>\n<td>; DN(6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, \\beta \\} \\vdash (\\neg \\neg\\alpha \\rightarrow \\neg (\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(7,5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, \\beta \\} \\vdash \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(10)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, \\beta \\} \\vdash \\neg\\neg\\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; DN(9)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, \\beta \\} \\vdash \\neg (\\neg\\alpha \\vee \\neg \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(10,8)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(12)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{\\alpha, \\beta \\} \\vdash (\\alpha \\wedge \\beta)}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span>-Definition(11)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"5\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>\u2227-Eliminierung<\/h3>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\wedge \\beta)\\} \\vdash (\\alpha \\wedge \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg \\alpha\\} \\vdash (\\neg \\alpha \\vee \\neg\\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vee<\/span><\/span>-Einf\u00fchrung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg \\alpha \\rightarrow (\\neg \\alpha \\vee \\neg\\beta))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg(\\neg \\alpha \\vee \\neg\\beta) \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; CPI(3))<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash ( ( \\alpha \\wedge \\beta) \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span>-Definition(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\alpha \\wedge \\beta)\\} \\vdash ( ( \\alpha \\wedge \\beta) \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Monotonie(5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{(\\alpha \\wedge \\beta)\\} \\vdash \\alpha}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(1,6)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"6\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Techniken der Widerspr\u00fcche und Tautologien<\/h2>\n<p><a name=\"7\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Regel des ausgeschlossenen Dritten oder Tautologie (tau)<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=qAJ_oaSfd9k&amp;t=1208s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ein weiteres auff\u00e4lliges Merkmal<\/span><\/strong><\/a> der klassischen Logik ist die Eigenschaft des ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur). Diese besagt, dass wenn zwei Aussagen vorliegen, von denen eine die andere verneint, notwendigerweise eine von beiden wahr sein muss; anders ausgedr\u00fcckt: die Disjunktion zweier Aussagen, von denen eine die andere negiert, bildet notwendigerweise eine Tautologie. Formal wird dies wie folgt dargestellt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\alpha \\vee\\alpha)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und der Beweis ergibt sich leicht:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\vdash (\\neg \\alpha \\vee \\alpha)}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; aus (2), weil <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta) := (\\neg \\alpha \\vee \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Eine andere M\u00f6glichkeit, das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten zu formulieren, ist \u00fcber das Gesetz des <strong>Widerspruchs<\/strong>, das besagt, dass eine Aussage nicht gleichzeitig wahr und falsch sein kann. Dieses wird formal wie folgt formuliert:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash \\neg(\\neg\\alpha \\wedge \\alpha)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese Eigenschaft bedarf keines Beweises \u2013 nicht, weil sie offensichtlich ist, sondern weil sie sich direkt aus der Definition der Konjunktion und dem Prinzip des ausgeschlossenen Dritten ergibt.<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Widerspruchsregel oder Explosionsprinzip<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=qAJ_oaSfd9k&amp;t=1410s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Eine weitere bekannte Eigenschaft der klassischen Logik<\/span><\/strong><\/a> ist das Explosionsprinzip, das gew\u00f6hnlich durch den Satz \u201eAus widerspr\u00fcchlichen Pr\u00e4missen kann alles folgen\u201c ausgedr\u00fcckt wird. Die Formulierung erfolgt meist in einer der folgenden beiden Varianten:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\wedge \\alpha)\\}\\vdash \\beta<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, \\neg\\alpha\\}\\vdash \\beta<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Beweis dieser Regel ist einfach:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha ,\\neg\\alpha\\} \\vdash \\neg\\alpha <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha ,\\neg\\alpha\\} \\vdash (\\neg\\alpha \\vee \\beta) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vee<\/span><\/span>-Einf\u00fchrung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha ,\\neg\\alpha\\} \\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rightarrow<\/span><\/span>-Definition(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha ,\\neg\\alpha\\} \\vdash \\alpha <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Voraussetzung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{\\alpha ,\\neg\\alpha\\} \\vdash \\beta}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(4,3)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"9\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>\u2228-Eliminierung3<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=qAJ_oaSfd9k&amp;t=1555s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Das Modus ponens kann<\/span><\/strong><\/a> auf zwei verschiedene Arten formuliert werden. Eine bekannte Form ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha,(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash \\beta<\/span><\/span>. Die andere ist etwas weniger vertraut:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash\\beta \\; \\wedge \\; \\vdash \\alpha \\; \\Longrightarrow \\; \\vdash \\beta<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir uns auf diese zweite Form konzentrieren, l\u00e4sst sich eine erweiterte Regel formulieren, die wir <strong>\u2228-Eliminierung3<\/strong> nennen, da sie einer Vereinfachung einer Disjunktion \u00e4hnelt. Diese Regel besagt: Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/span> sowohl aus <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> als auch aus <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span> ableitbar ist (jeweils separat), und zus\u00e4tzlich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\vee \\beta)<\/span><\/span> ein Theorem ist, dann ist auch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/span> ein Theorem. Formal l\u00e4sst sich das so ausdr\u00fccken:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha\\}\\vdash\\gamma\\; \\wedge \\; \\{\\beta\\}\\vdash\\gamma \\; \\wedge \\; \\vdash (\\alpha \\vee \\beta)<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Longrightarrow<\/span><\/span> <span style=\"color: #000088;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash \\gamma<\/span><\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Beweis dieser Technik aus der klassischen Logik lautet wie folgt:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\alpha \\vdash \\gamma}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\beta \\vdash \\gamma}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\vdash (\\alpha \\vee \\beta)}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\alpha \\rightarrow \\gamma)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\beta \\rightarrow \\gamma)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg \\gamma \\rightarrow \\neg \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; CPI(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg \\gamma \\rightarrow \\neg \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; CPI(5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\neg \\gamma \\}\\vdash \\neg \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; RTD(6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\neg \\gamma\\}\\vdash \\neg \\beta<\/span><\/span><\/td>\n<td>; RTD(7)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(10)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\neg \\gamma\\}\\vdash (\\neg \\alpha \\wedge \\neg \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span>-Einf\u00fchrung(8,9)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg \\gamma \\rightarrow (\\neg \\alpha \\wedge \\neg \\beta))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(12)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg(\\neg \\alpha \\wedge \\neg \\beta)\\rightarrow \\gamma )<\/span><\/span><\/td>\n<td>; CPI(11)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(13)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (A \\wedge B) := \\neg(\\neg A \\vee \\neg B)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span>-Definition<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(14)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\neg(A \\wedge B) := \\neg\\neg(\\neg A \\vee \\neg B)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Verneinung beider Seiten in (13)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(15)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\neg(\\neg\\alpha \\wedge \\neg\\beta) := \\neg\\neg(\\neg\\neg\\alpha \\vee \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Ersetzung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A:=\\neg\\alpha<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B:=\\neg\\beta<\/span><\/span> in (14)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(16)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\neg(\\neg\\alpha \\wedge \\neg\\beta) \\dashv \\vdash (\\alpha \\vee \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; DN(15)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(17)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash ((\\alpha \\vee \\beta) \\rightarrow \\neg(\\neg\\alpha \\wedge \\neg\\beta) )<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(16)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(17)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash ((\\alpha \\vee \\beta) \\rightarrow \\gamma )<\/span><\/span><\/td>\n<td>; SH(17,12)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(18)<\/td>\n<td><span style=\"color: #000088;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{ \\vdash \\gamma}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(3,17)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"10\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Beweise durch F\u00e4lle (cas)<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=qAJ_oaSfd9k&amp;t=1957s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Eine weitere Technik der klassischen Logik<\/span><\/a> ist der Beweis durch F\u00e4lle. Wenn ein Ausdruck <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span> sowohl aus einem anderen Ausdruck <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> als auch aus dessen Negation hergeleitet werden kann, dann ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span> notwendigerweise ein Theorem. Formal wird dies so dargestellt: <span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha \\vdash \\beta \\; \\wedge \\; \\neg\\alpha \\vdash \\beta <\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Longrightarrow<\/span><\/span> <span style=\"color: #000088;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash \\beta<\/span><\/span><\/span>. Der Beweis lautet wie folgt:<\/p>\n<p><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\alpha \\vdash \\beta &amp;; Pr\u00e4misse\\\\\n\n(2) &amp; \\neg \\alpha \\vdash \\beta &amp;; Pr\u00e4misse \\\\\n\n(3) &amp; \\vdash \\alpha \\vee \\neg\\alpha &amp;; TAU \\\\\n\n(4) &amp; \\vdash \\beta &amp;; \\vee-Eliminierung3(1,2,3)\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"11\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Reduktion ad absurdum (absurdo)<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Eine der am h\u00e4ufigsten verwendeten Techniken der klassischen Logik in Beweisen, insbesondere in der Mathematik, ist die Reduktion ad absurdum. Sie besteht darin, dass wenn aus einem Ausdruck <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> ein Widerspruch (eine Aussage und ihre Verneinung) abgeleitet werden kann, dann ist die Negation von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> eine Tautologie. Formal wird dies so formuliert: <span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash \\beta \\; \\wedge \\; \\{\\alpha\\}\\vdash \\neg\\beta<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Longrightarrow<\/span><\/span> <span style=\"color: #000088;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash \\neg\\alpha<\/span><\/span><\/span>. Und dies l\u00e4sst sich durch folgendes Argument zeigen:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{\\alpha\\}\\vdash \\beta}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span style=\"color: #880000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\{\\alpha\\}\\vdash \\neg\\beta}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\neg\\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; CPI(3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; CPI(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg \\beta \\}\\vdash \\neg \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; RTD(5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\beta \\}\\vdash \\neg \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; RTD(6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span style=\"color: #000088;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\vdash \\neg \\alpha}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<td>; CAS(7,8)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Demonstration der Techniken der klassischen Logik ZUSAMMENFASSUNGIn dieser Lektion werden verschiedene Techniken der klassischen Logik vorgestellt, um Konjunktionen und Disjunktionen einzuf\u00fchren und zu eliminieren, zus\u00e4tzlich zur Regel des ausgeschlossenen Dritten und der Widerspruchsregel, auch bekannt als das Explosionsprinzip. Au\u00dferdem werden die Technik des Fallunterscheidungsverfahrens und der Reduktion ad absurdum erkl\u00e4rt, beide sehr n\u00fctzlich in mathematischen [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":27451,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":5,"footnotes":""},"categories":[1360,1302,1354],"tags":[],"class_list":["post-33845","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-aussagenlogik","category-mathematik","category-mathematische-logik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Demonstration der Techniken der klassischen Logik - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Klassische Logik: Einf\u00fchrung und Eliminierung von Konjunktionen und Disjunktionen, ausgeschlossener Dritter, Explosion, 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Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Demonstration der Techniken der klassischen Logik - toposuranos.com\/material","description":"Klassische Logik: Einf\u00fchrung und Eliminierung von Konjunktionen und Disjunktionen, ausgeschlossener Dritter, Explosion, Fallunterscheidung und Reduktion ad absurdum.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Demonstration der Techniken der klassischen Logik","og_description":"Klassische Logik: Einf\u00fchrung und Eliminierung von Konjunktionen und Disjunktionen, ausgeschlossener Dritter, Explosion, Fallunterscheidung und Reduktion ad absurdum.","og_url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2021-02-12T13:00:07+00:00","article_modified_time":"2025-07-31T08:00:13+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/logicaclasica.jpg","type":"","width":"","height":""}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Demonstration der Techniken der klassischen Logik","twitter_description":"Klassische Logik: Einf\u00fchrung und Eliminierung von Konjunktionen und Disjunktionen, ausgeschlossener Dritter, Explosion, Fallunterscheidung und Reduktion ad absurdum.","twitter_image":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/logicaclasica.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"1 minuto"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/#article","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Demonstration der Techniken der klassischen Logik","datePublished":"2021-02-12T13:00:07+00:00","dateModified":"2025-07-31T08:00:13+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/"},"wordCount":1634,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/logicaclasica.jpg","articleSection":["Aussagenlogik","Mathematik","Mathematische Logik"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/demonstration-der-techniken-der-klassischen-logik\/","name":"Demonstration der Techniken der klassischen Logik - 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