{"id":33821,"date":"2021-01-27T13:00:11","date_gmt":"2021-01-27T13:00:11","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33821"},"modified":"2025-07-31T02:07:33","modified_gmt":"2025-07-31T02:07:33","slug":"4-unverzichtbare-deduktionstechniken","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/4-unverzichtbare-deduktionstechniken\/","title":{"rendered":"4 unverzichtbare Deduktionstechniken"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Lerne 4 unverzichtbare Deduktionstechniken<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><\/br>In dieser Lektion werden vier Deduktionstechniken der Aussagenlogik vorgestellt, um die bisher pr\u00e4sentierte rudiment\u00e4re Aussagenlogik zu erweitern. Es wird die Annahmeregel und ihre Kombination mit der Monotonie-Regel erl\u00e4utert, ebenso wie der hypothetische Syllogismus und zwei Wege zur Herleitung dieser Deduktionsregel. Au\u00dferdem werden die \u00c4quivalenzen der doppelten Negation und das Kontrapositiv der Implikation erkl\u00e4rt.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>Lernziele<\/u>:<\/strong><br \/>Am Ende dieser Lektion wird der\/die Studierende in der Lage sein,<\/p>\n<ol>\n<li><strong>sich zu erinnern<\/strong> an die Struktur eines Schlusses und einfache Beispiele.<\/li>\n<li><strong>die Annahmeregel<\/strong> und ihre Beziehung zum Deduktionstheorem zu verstehen.<\/li>\n<li><strong>den hypothetischen Syllogismus<\/strong> und seine Beziehung zum Modus Ponens zu verstehen.<\/li>\n<li><strong>das Deduktionstheorem<\/strong> in der Aussagenlogik anzuwenden.<\/li>\n<li><strong>die Monotonie-Regel<\/strong> zur Ableitung von Ausdr\u00fccken anzuwenden.<\/li>\n<li><strong>die \u00c4quivalenzen<\/strong> der doppelten Negation und des Kontrapositivs der Implikation in der Aussagenlogik zu verstehen.<\/li>\n<li><strong>die Beweise<\/strong> der Deduktionstechniken zu kennen und sie in der Praxis anwenden zu k\u00f6nnen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">ANNAHMEREGEL (PRE)<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">DER HYPOTHETISCHE SYLLOGISMUS (SH)<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">\u00c4QUIVALENZEN DER DOPPELTEN NEGATION (DN)<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">\u00c4QUIVALENZ DES KONTRAPOSITIVS DER IMPLIKATION (CPI)<\/a>\n<\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/6f_aavuC4E0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir haben bereits gesehen, wie die Struktur eines Schlusses aufgebaut ist und einfache Beispiele dazu betrachtet. Nun werden wir dieses Wissen <strong>durch das Argumentieren mit vier Deduktionstechniken der Aussagenlogik<\/strong> auf die Probe stellen. Dadurch erkennen wir nicht nur, dass diese Techniken funktionieren, sondern beginnen auch damit, eine gewisse methodische Tiefe einzuf\u00fchren, die den bisherigen rudiment\u00e4ren Zustand des Aussagenkalk\u00fcls \u00fcberwindet.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> Ausdr\u00fccke des Aussagenkalk\u00fcls sind, dann lassen sich aus den Grundlagen folgende Deduktionstechniken ableiten:<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Annahmeregel (Pre)<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6f_aavuC4E0&amp;t=168s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die einfachste aller Deduktionsregeln<\/span><\/strong><\/a> ist die der Annahme. Sie ergibt sich direkt aus der Anwendung des <strong>Reziproken des Deduktionstheorems<\/strong> auf den Satz <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash(\\alpha\\rightarrow\\alpha)<\/span>. Falls das nach einer fremdartigen Sprache klingt, findest du alles, was du wissen musst, <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/sistemas-deductivos-formales-y-definiciones\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>hier<\/strong><\/a>.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">In Kombination mit der Monotonie-Regel kannst du damit n\u00fctzliche Ausdr\u00fccke in deine Ableitungen einf\u00fcgen.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Der Hypothetische Syllogismus (SH)<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6f_aavuC4E0&amp;t=206s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Der hypothetische Syllogismus<\/span><\/strong><\/a>, oder die Transitivit\u00e4t der Implikation, ist eine Art Weiterentwicklung des Modus Ponens. Die Formulierung lautet wie folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha\\rightarrow\\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash (\\alpha\\rightarrow\\gamma)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es gibt mehrere M\u00f6glichkeiten, diese Deduktionsregel herzuleiten. Wir werden gleich zwei davon betrachten.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir ausgehend von Ausdr\u00fccken argumentieren, l\u00e4sst sich der folgende Schluss leicht konstruieren:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\beta\\rightarrow \\gamma)<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/td>\n<td>; MP(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/td>\n<td>; MP(4,3)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daraus folgt<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha,(\\alpha\\rightarrow\\beta),(\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash\\gamma<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wendet man schlie\u00dflich das Deduktionstheorem auf diesen letzten Ausdruck an, ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\alpha\\rightarrow\\beta),(\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash(\\alpha\\rightarrow \\gamma)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Eine weitere M\u00f6glichkeit, diesen Beweis zu f\u00fchren, besteht darin, von Ableitungen auszugehen und unter Verwendung der Annahme- und Monotonie-Regeln zu arbeiten. Betrachte das folgende Argument auf Grundlage von Ableitungen:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash \\alpha <\/span><\/td>\n<td>; Annahme und Monotonie<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\beta) <\/span><\/td>\n<td>; Annahme und Monotonie<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash (\\beta\\rightarrow\\gamma) <\/span><\/td>\n<td>; Annahme und Monotonie<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash \\beta <\/span><\/td>\n<td>; MP(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash \\gamma <\/span><\/td>\n<td>; MP(4,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\gamma) <\/span><\/td>\n<td>; DT(5)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Du solltest hier beachten, dass beide Beweise identisch sind, nur in unterschiedlichen Stilen dargestellt wurden. In der Praxis kannst du je nach Vorliebe zwischen beiden Stilen wechseln.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>\u00c4quivalenzen der Doppelten Negation (DN)<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6f_aavuC4E0&amp;t=500s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die \u00c4quivalenzen der doppelten Negation<\/span><\/strong><\/a> spiegeln die intuitive Vorstellung wider, dass die doppelte Negation einer Aussage gleichwertig zur urspr\u00fcnglichen Aussage ist. Dies wird symbolisch wie folgt ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha\\dashv\\vdash\\neg\\neg\\alpha<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Sehen wir uns nun einen Beweis an:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow (\\neg\\neg\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow\\neg\\neg\\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash ((\\neg\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow(\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\neg\\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash ((\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow(\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash ((\\neg\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow(\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; HS(2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash (\\neg\\neg\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; RDT(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash ((\\neg\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow(\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; Monotonie(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash (\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; MP(5,6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash \\alpha<\/span><\/td>\n<td>; RDT(7)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash \\alpha <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um den Beweis in die andere Richtung zu f\u00fchren, k\u00f6nnen wir den soeben durchgef\u00fchrten Beweis durch eine einfache Substitution anpassen, wobei Folgendes entsteht:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\neg \\alpha \\} \\vdash \\neg \\alpha <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und daraus konstruieren wir den Beweis in die andere Richtung:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\neg \\alpha \\} \\vdash \\neg \\alpha <\/span><\/td>\n<td>; Was wir gerade bewiesen haben<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash(\\neg\\neg \\neg \\alpha\\rightarrow \\neg \\alpha) <\/span><\/td>\n<td>; DT(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash((\\neg\\neg \\neg \\alpha\\rightarrow \\neg \\alpha) \\rightarrow(\\alpha \\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)) <\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash(\\alpha \\rightarrow\\neg\\neg\\alpha) <\/span><\/td>\n<td>; MP(2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash\\neg\\neg\\alpha <\/span><\/td>\n<td>; RDT(4)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha \\} \\vdash \\neg\\neg \\alpha <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schlie\u00dflich ergibt sich aus diesen beiden Beweisen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\alpha \\dashv\\vdash \\neg\\neg \\alpha <\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>\u00c4quivalenz des Kontrapositivs der Implikation (CpI)<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6f_aavuC4E0&amp;t=948s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Dies entspricht<\/span><\/strong><\/a> den folgenden \u00c4quivalenzen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta) \\dashv\\vdash (\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n(\\neg\\alpha\\rightarrow\\beta)\\dashv\\vdash (\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\rightarrow\\neg\\beta) \\dashv\\vdash (\\beta\\rightarrow\\neg\\alpha)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Beweis dieser ersten Beziehung erfolgt auf folgende Weise:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Auf einer Seite ergibt sie sich direkt aus dem dritten Axiom<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash ((\\neg\\beta\\rightarrow \\neg\\alpha) \\rightarrow (\\alpha \\rightarrow\\beta))<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow \\neg\\alpha)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; RDT(1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\neg\\beta\\rightarrow \\neg\\alpha)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und in die andere Richtung l\u00e4sst sich der Beweis durch folgende \u00dcberlegung f\u00fchren:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg\\alpha \\dashv \\vdash \\alpha<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; DT(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg\\beta \\dashv \\vdash \\beta<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg\\neg \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; DT(3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Pre<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; HS(5,6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\} \\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg\\neg \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\neg\\neg \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; HS(7,8)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(10)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\neg\\neg \\beta) \\rightarrow (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha )<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash ((\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\neg\\neg \\beta) \\rightarrow (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha ))<\/span><\/td>\n<td>; Mon(10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha )<\/span><\/td>\n<td>; HS(10;11)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daraus folgt aus den beiden vorherigen \u00dcberlegungen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (\\alpha \\rightarrow \\beta) \\dashv\\vdash (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha ) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die zweite Beziehung zu beweisen, k\u00f6nnen wir die folgenden zwei Argumentationen durchf\u00fchren:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta \\dashv\\vdash \\neg\\neg\\beta<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg\\neg\\alpha \\dashv\\vdash \\neg\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; DT(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; DT(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Pre<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; HS(5,6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; HS(7,8)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(10)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\beta) \\rightarrow (\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash ((\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\beta) \\rightarrow (\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; Mon(10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(12)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; MP(9,11)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(13)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg \\alpha \\dashv \\vdash \\alpha<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(14)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg\\neg \\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; DT(13)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(15)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\} \\vdash (\\neg\\neg \\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(14)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(16)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\} \\vdash(\\neg\\beta \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; HS(12,15)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\} \\vdash(\\neg\\beta \\rightarrow \\alpha) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun fehlt noch der Beweis in umgekehrter Richtung. Dies k\u00f6nnen wir durch folgendes Argument durchf\u00fchren:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha \\dashv \\vdash \\neg\\neg\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; DT(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Pre<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\neg\\beta\\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; HS(3,4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\beta\\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash ((\\neg\\beta\\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)) <\/span><\/td>\n<td>; Mon(6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span><\/td>\n<td>; MP(5,7)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schlie\u00dflich ergibt sich aus diesen beiden Argumenten, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span>, was zu zeigen war.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die letzte \u00c4quivalenz bleibt als \u00dcbung. Um sie zu beweisen, kannst du dich an den beiden bereits gegebenen Beweisen orientieren. Dies ist der beste Weg, um die Deduktionstechniken zu meistern.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Lerne 4 unverzichtbare Deduktionstechniken Zusammenfassung:In dieser Lektion werden vier Deduktionstechniken der Aussagenlogik vorgestellt, um die bisher pr\u00e4sentierte rudiment\u00e4re Aussagenlogik zu erweitern. Es wird die Annahmeregel und ihre Kombination mit der Monotonie-Regel erl\u00e4utert, ebenso wie der hypothetische Syllogismus und zwei Wege zur Herleitung dieser Deduktionsregel. 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