{"id":33809,"date":"2021-01-25T00:00:51","date_gmt":"2021-01-25T00:00:51","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33809"},"modified":"2025-07-31T01:45:22","modified_gmt":"2025-07-31T01:45:22","slug":"formale-deduktionssysteme-definitionen-und-beispiele","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/formale-deduktionssysteme-definitionen-und-beispiele\/","title":{"rendered":"Formale Deduktionssysteme: Definitionen und Beispiele"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1 style=\"text-align:center;\">Formale deduktive Systeme in der Aussagenlogik<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><\/br>In dieser Unterrichtseinheit wird eine \u00dcbersicht \u00fcber die formalen deduktiven Systeme gegeben. Es wird erkl\u00e4rt, wie diese Systeme verwendet werden, um die m\u00f6glichen Beziehungen zwischen verschiedenen logischen Ausdr\u00fccken zu entschl\u00fcsseln, sowie die grundlegenden Elemente, mit denen diese Beweise aufgebaut werden: die Sprache, die Axiome und die Schlussregeln. Es werden die Axiome von \u0141ukasiewicz erw\u00e4hnt und der Modus Ponens als das deduktive Antriebswerk des aussagenlogischen Kalk\u00fcls erl\u00e4utert. Au\u00dferdem wird \u00fcber Argumentationen, Theoreme und Pr\u00e4missen gesprochen und erkl\u00e4rt, wie Ableitungen in deduktiven Systemen durchgef\u00fchrt werden.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Verstehen<\/strong> des Konzepts formaler deduktiver Systeme in der Aussagenlogik.<\/li>\n<li><strong>Identifizieren<\/strong> der grundlegenden Bestandteile formaler deduktiver Systeme.<\/li>\n<li><strong>Kennen<\/strong> der Axiome von \u0141ukasiewicz im aussagenlogischen Kalk\u00fcl.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> des Modus Ponens als deduktives Antriebselement im aussagenlogischen Kalk\u00fcl.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong>, wie Ableitungen in deduktiven Systemen durchgef\u00fchrt werden und der Unterschied zwischen Pr\u00e4missen, Argumentationen und Theoremen.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong>, wie Ableitungen durch axiomatische Schemata und Schlussregeln erzeugt werden.<\/li>\n<li><strong>Erkennen<\/strong> der F\u00e4higkeit der Logik, Ausdr\u00fccke zu verbinden und sie durch Ausdr\u00fccke der Alltagssprache zu ersetzen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">WAS IST EIN FORMALES DEDUKTIVES SYSTEM?<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">DIE \u0141UKASIEWICZ-AXIOME F\u00dcR DIE AUSSAGENLOGIK<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">DER MODUS PONENS: DAS DEDUKTIVE ANTRIEBSWERK DES AUSSAGENLOGISCHEN KALK\u00dcLS<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">ARGUMENTATIONEN, THEOREME UND PR\u00c4MISSEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">WIE WIRD EIN BEWEIS IN DER AUSSAGENLOGIK DURCHGEF\u00dcHRT?<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">DAS KONZEPT DER BEWIESENEN \u00c4QUIVALENZ<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">DAS (META)THEOREM DER DEDUKTION<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">DIE UMKEHRUNG DES DEDUKTIONSTHEOREMS<\/a><br \/>\n<a href=\"#9\">ABLEITUNGEN \u00dcBER AUSDR\u00dcCKE UND ABLEITUNGEN \u00dcBER ABLEITUNGEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#10\">MONOTONIEREGEL<\/a><br \/>\n<a href=\"#11\">SYNTHESEN UND REFLEXIONEN ZU DEDUKTIVEN SYSTEMEN UND DER AUSSAGENLOGIK<\/a>\n<\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OvoEDefcSZg\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir sind im Rahmen unseres Logikstudiums an einen Wendepunkt gelangt, denn hier beginnen wir mit der Betrachtung der deduktiven Systeme der Aussagenlogik. An diesem Punkt wird alles bisher Erarbeitete operativ und der wahre Geist der Logik tritt zutage, denn wir studieren das Wesen der Beweise. Es wird vorausgesetzt, dass du bereits gelernt hast, wie man logische Ausdr\u00fccke schreibt, und ein grundlegendes Verst\u00e4ndnis der Aussagenlogik hast; falls dies nicht der Fall ist, empfiehlt es sich, die vorhergehenden Lektionen nochmals durchzugehen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Anschlie\u00dfend werden wir untersuchen, wie sich die Ausdr\u00fccke der Aussagenlogik zueinander verhalten, um eine Ableitung zu bilden. Der Mechanismus, durch den diese Beziehungen konstruiert werden, ist das <strong>formale deduktive System.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Was ist ein formales deduktives System?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Formale deduktive Systeme, oder auch Kalk\u00fclsysteme genannt, bestehen aus drei grundlegenden Komponenten:<\/p>\n<ol style=\"color: #000000; text-align: justify;\">\n<li><strong>Eine formale Sprache.<\/strong><\/li>\n<li><strong>Ein axiomatisches Schema.<\/strong><\/li>\n<li><strong>Elementare Schlussregeln.<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir haben bereits alles im Zusammenhang mit formalen Sprachen betrachtet. Jetzt ist es an der Zeit, die axiomatischen Schemata und die elementaren Schlussregeln einzuf\u00fchren.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">F\u00fcr den Aufbau des deduktiven Systems des Aussagenkalk\u00fcls beginnen wir mit dem Aufbau des deduktiven Systems basierend auf den <strong><a href=\"https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Jan_%C5%81ukasiewicz\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Axiomen von \u0141ukasiewicz<\/a><\/strong>, und als elementare Schlussregel verwenden wir den <strong>Modus Ponens.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Axiome von \u0141ukasiewicz f\u00fcr die Aussagenlogik<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=206s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta<\/span><\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> Ausdr\u00fccke des Aussagenkalk\u00fcls sind,<\/strong><\/a> dann gelten die folgenden Ausdr\u00fccke als Axiome des Aussagenkalk\u00fcls:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>[A1]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A2]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\gamma))\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\beta)\\rightarrow(\\alpha \\rightarrow \\gamma)))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A3]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)\\rightarrow(\\alpha\\rightarrow \\beta))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Der Modus Ponens: Das deduktive Antriebswerk des Aussagenkalk\u00fcls<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=392s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> g\u00fcltige Ausdr\u00fccke des Aussagenkalk\u00fcls sind, <\/strong><\/a>dann besagt der Modus Ponens, dass sich aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> ableiten l\u00e4sst. In Form einer Argumentation wird dies wie folgt dargestellt:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<caption>Struktur des Modus Ponens<\/caption>\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/td>\n<td>; MP(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hier wurde der Modus Ponens zwischen den Schritten (1) und (2) abgek\u00fcrzt dargestellt durch die Schreibweise \u201eMP(1,2)\u201c, und die Zusammenfassung dessen wird durch die folgende Notation repr\u00e4sentiert:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt:<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, (\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash \\beta <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bald werden wir sehen, dass sich aus den Axiomen von \u0141ukasiewicz und dem Modus Ponens s\u00e4mtliche Ableitungstechniken des Aussagenkalk\u00fcls konstruieren lassen. Diese fassen die grundlegenden Regeln des allt\u00e4glichen logischen Schlie\u00dfens zusammen und bilden die Fundamentbasis f\u00fcr die <strong>klassische Logik.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Argumentationen, Theoreme und Pr\u00e4missen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=506s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>In den deduktiven Systemen der Aussagenlogik werden Argumentationen<\/strong><\/a> (oder Ableitungen) ausgef\u00fchrt, und diese bestehen aus einer Abfolge von Ausdr\u00fccken, bei denen jeder Ausdruck entweder eine Pr\u00e4misse ist oder aus den Pr\u00e4missen unter ausschlie\u00dflicher Verwendung der Axiome von \u0141ukasiewicz und des Modus Ponens abgeleitet wurde. Ein Theorem ist das Ergebnis einer Ableitung ohne Pr\u00e4missen. Eine Pr\u00e4misse kann jeder Ausdruck sein, der weder ein Axiom ist noch aus diesen abgeleitet wird. Im Allgemeinen, wenn wir eine Menge von Pr\u00e4missen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> und einen Ausdruck <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> haben, der unter Verwendung eines Elements von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span>, der Axiome und des Modus Ponens gewonnen wird, schreibt man \u00ab<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma \\vdash \\alpha<\/span><\/span>\u00bb und man sagt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><em>aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> wird <\/em><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> <em>hergeleitet<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> eine leere Menge ist, dann schreibt man anstelle von \u00ab<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\emptyset\\vdash \\alpha<\/span><\/span>\u00bb einfach \u00ab<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash \\alpha <\/span><\/span>\u00ab. Dies wird gelesen als \u00ab<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> ist ein Theorem\u00bb. Diese Art, Theoreme darzustellen, kann auch auf die Darstellung der Axiome ausgeweitet werden, sodass, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> Ausdr\u00fccke sind, dann die Axiome von \u0141ukasiewicz in folgender Form geschrieben werden k\u00f6nnen:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>[A1]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A2]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash((\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\gamma))\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\beta)\\rightarrow(\\alpha \\rightarrow \\gamma)))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A3]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash((\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)\\rightarrow(\\alpha\\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Deshalb sagt man, dass Axiome Aussagen sind, die aus sich selbst heraus offensichtlich sind, oder dass Theoreme Ausdr\u00fccke sind, die aus der leeren Menge abgeleitet werden, oder dass Axiome und Theoreme Eigenschaften des Aussagenkalk\u00fcls sind.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Wie wird ein Beweis in der Aussagenlogik ausgef\u00fchrt?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=783s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>An dieser Stelle verlassen wir die Theorie und gehen zur Praxis \u00fcber.<\/strong><\/a> Denn \u00fcber die Durchf\u00fchrung eines Beweises l\u00e4sst sich vieles sagen; aber so brillant auch die Aussagen \u00fcber deduktive Systeme und Aussagenlogik sein m\u00f6gen \u2013 und selbst wenn sie alle verstanden wurden \u2013, hei\u00dft das nicht zwangsl\u00e4ufig, dass man auch die n\u00f6tigen Kompetenzen zur Durchf\u00fchrung eines Beweises entwickelt hat. Aus diesem Grund werden wir zur Veranschaulichung der Vorgehensweise einen einfachen Theorembeweis untersuchen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #880000;\"><strong>Theorem<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> ein Ausdruck der Aussagenlogik ist, dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000088;\"><strong>Beweis<\/strong><\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (\\alpha\\rightarrow ( \\alpha \\rightarrow \\alpha)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (\\alpha\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\alpha)\\rightarrow\\alpha)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ( (\\alpha\\rightarrow((\\alpha\\rightarrow\\alpha)\\rightarrow\\alpha)) \\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow (\\alpha\\rightarrow\\alpha))\\rightarrow( \\alpha\\rightarrow \\alpha))) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; A2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ((\\alpha\\rightarrow (\\alpha\\rightarrow\\alpha))\\rightarrow( \\alpha\\rightarrow \\alpha)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ( \\alpha\\rightarrow \\alpha) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(1,5)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt:<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\alpha\\rightarrow\\alpha)<\/span><\/span><\/p>\n<p>Ende des Beweises.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie man sehen kann, sind Beweise in deduktiven Systemen und der Aussagenlogik alles andere als trivial, aber sobald sie erstellt wurden, lassen sie sich leicht reproduzieren.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bevor wir uns jedoch kopf\u00fcber in die Anwendung dieser Techniken st\u00fcrzen, werden wir zun\u00e4chst einige Eigenschaften und Definitionen entwickeln, die f\u00fcr diese Aufgabe \u00e4u\u00dferst n\u00fctzlich sein werden, denn wenn wir nur mit diesen Mitteln argumentieren, sto\u00dfen wir schnell auf erhebliche Schwierigkeiten.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Das Konzept der bewiesenen \u00c4quivalenz<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1191s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> beliebige Ausdr\u00fccke sind und gleichzeitig gilt: <\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash \\beta<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\beta\\} \\vdash \\alpha<\/span><\/span>, dann sagt man, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> bewiesenerma\u00dfen \u00e4quivalent sind, und man schreibt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha \\dashv \\vdash \\beta<\/span><\/span>. Dies l\u00e4sst sich symbolisch wie folgt zusammenfassen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\{\\alpha\\}\\vdash\\beta \\wedge \\{\\beta\\}\\vdash\\alpha \\right) \\Leftrightarrow \\left(\\alpha\\dashv\\vdash\\beta\\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies wird gelesen als: Aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> folgt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>, und aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> folgt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span>, genau dann, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> bewiesenerma\u00dfen \u00e4quivalent sind.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies ist eine Meta-Eigenschaft der Aussagenlogik.<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Der (Meta)Deduktionstheorem<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1355s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> Ausdr\u00fccke des Aussagenkalk\u00fcls sind,<\/strong><\/a> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> eine Menge von Pr\u00e4missen ist, dann gilt: Wenn sich aus <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}<\/span><\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> ableiten l\u00e4sst, dann folgt aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> der Ausdruck <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span>. Symbolisch l\u00e4sst sich dies wie folgt ausdr\u00fccken:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta \\right) \\Rightarrow \\left( \\Gamma\\vdash(\\alpha\\rightarrow\\beta)\\right)\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #880000;\"><strong>Beweis:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta<\/span><\/span> erf\u00fcllt ist, muss eine Ableitung der folgenden Form existieren:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_1<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse 1 aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_n<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse n aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\overline{\\gamma}_1<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens zwischen einem vorherigen Paar von Zeilen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\overline{\\gamma}_m<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens zwischen einem vorherigen Paar von Zeilen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m+1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m+2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens (n+m+1, einer der vorherigen Schritte au\u00dfer n+m+1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt:<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\Gamma\\cup\\{\\alpha\\} \\vdash \\beta <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit dies m\u00f6glich ist, muss mindestens einer der Ausdr\u00fccke <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_1, \\cdots \\gamma_n,\\overline{\\gamma_1},\\cdots,\\overline{\\gamma_m}<\/span><\/span> von der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\rightarrow \\beta)<\/span><\/span> sein. Aber alle diese Zeilen beinhalten nur Elemente aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> und die \u0141ukasiewicz-Axiome in ihrer Herleitung. Daher muss gelten: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span>. Damit ist der Satz bewiesen.<\/p>\n<p>Ende des Beweises.<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Umkehrung des Deduktionstheorems<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1668s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Unter denselben Voraussetzungen wie beim Deduktionstheorem gilt:<\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\left(\\Gamma\\vdash(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\right) \\Rightarrow \\left( \\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta \\right)\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #880000;\"><strong>Beweis:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\beta)<\/span><\/span> erf\u00fcllt ist, dann existiert eine Ableitung der Form:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_1<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse 1 aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_n<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse n aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens (zwischen einem fr\u00fcheren Paar von Zeilen)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir nun <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> als zus\u00e4tzliche Pr\u00e4misse zu diesem Argument hinzuf\u00fcgen, erhalten wir folgende Zeilen:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(n+2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Zus\u00e4tzliche Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/td>\n<td>; MP(n+1,n+2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher gilt:<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\Gamma \\cup \\{\\alpha\\} \\vdash \\beta<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Was zu zeigen war.<\/p>\n<p>Ende des Beweises.<br \/>\n<a name=\"9\"><\/a><\/p>\n<h2>Schlussfolgerungen \u00fcber Ausdr\u00fccke und Schlussfolgerungen \u00fcber Schlussfolgerungen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Beweise wie der oben durchgef\u00fchrte, der zum Ergebnis <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span> f\u00fchrte, sind Beispiele f\u00fcr Ableitungen auf Grundlage von Ausdr\u00fccken, da jeder Schritt einen konkreten Ausdruck enth\u00e4lt. In \u00e4hnlicher Weise ist es m\u00f6glich, Ableitungen auf Grundlage anderer Ableitungen durchzuf\u00fchren, wobei jeder Schritt selbst eine Ableitung ist. In der Praxis geschieht beides auf \u00e4hnliche Weise, doch die zweite Methode erlaubt es uns, das Deduktionstheorem und dessen Umkehrung zu verwenden, was der Argumentationstechnik gro\u00dfe Flexibilit\u00e4t verleiht. Um dies zu veranschaulichen, beweisen wir erneut <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span>, aber diesmal unter Verwendung von Ableitungen anstelle von Ausdr\u00fccken. Eine m\u00f6gliche Variante ist die folgende:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow (\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash ( \\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; UTD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; UTD(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Beachten wir, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\cup\\{\\alpha\\}=\\{\\alpha\\}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(4)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Beachten wir, dass diese Argumentation zwar nicht k\u00fcrzer ist als die vorherige, aber deutlich einfacher durchzuf\u00fchren war \u2013 es gen\u00fcgte, das Deduktionstheorem, seine Umkehrung und das axiomatische Schema A1 zu verwenden, um den Beweis zu konstruieren.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Auf den ersten Blick scheint es, als h\u00e4tten wir bei dieser Herleitung nur ein einziges \u0141ukasiewicz-Axiom verwendet und sowohl andere Axiome als auch den Modus Ponens vollst\u00e4ndig au\u00dfer Acht gelassen. Bedeutet das, dass wir durch diese Art zu argumentieren die anderen Axiome und den Modus Ponens vergessen? Die Antwort lautet sowohl ja als auch nein. Einerseits k\u00f6nnen wir so tun, als ob wir manche Axiome und den Modus Ponens nicht ben\u00f6tigen, da wir sie nicht explizit verwenden. Andererseits muss man sich jedoch bewusst sein, dass sowohl das Deduktionstheorem als auch dessen Umkehrung genau Konsequenzen der \u0141ukasiewicz-Axiome und des Modus Ponens sind. Das bedeutet, dass wir bei ihrer Anwendung \u2013 wie im eben gesehenen Beweis \u2013 diese implizit verwenden.<\/p>\n<p><a name=\"10\"><\/a><\/p>\n<h2>Monotonie-Regel<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1972s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tau<\/span> ein Theorem ist,<\/strong><\/a> dann gilt: F\u00fcr jeden beliebigen Ausdruck <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> erf\u00fcllt sich<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\beta\\}\\vdash\\tau<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies ist in der Tat eine sehr leicht zu beweisende Regel, denn wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tau<\/span> ein Theorem ist, gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash \\tau<\/span><\/span>. Das hei\u00dft, es existiert eine Argumentation, die ohne zus\u00e4tzliche Pr\u00e4missen zu dem Ausdruck <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tau<\/span> f\u00fchrt, sodass das Hinzuf\u00fcgen eines weiteren Ausdrucks zu den (leeren) Pr\u00e4missen keinen Unterschied macht.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In \u00e4hnlicher Weise l\u00e4sst sich das folgende Ergebnis formulieren: Wenn sich aus einer Pr\u00e4missenmenge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> ableiten l\u00e4sst, dann gilt auch:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma\\cup\\{\\alpha\\}\\vdash\\gamma<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> ein beliebiger Ausdruck.<\/p>\n<p><a name=\"11\"><\/a><\/p>\n<h2>Zusammenfassung und \u00dcberlegungen zu deduktiven Systemen und Aussagenlogik<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1933s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn wir der Sprache der Aussagenlogik eine Schlussregel und Basisausdr\u00fccke geben:<\/strong><\/a> Den Modus Ponens und die Axiome von \u0141ukasiewicz, dann ist das vergleichbar mit dem Bau einer \u201ededuktiven Maschine\u201c und eines \u201eMotors, der ihr Energie verleiht, um in Bewegung zu geraten\u201c. Von hier aus beginnen alle grundlegenden Ableitungsregeln auf nat\u00fcrliche Weise zu entstehen, und genau diese werden wir in den unmittelbar folgenden Lektionen untersuchen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Noch ein Detail: Die Ausdr\u00fccke der Aussagenlogik sind in Wirklichkeit Meta-Ausdr\u00fccke der zuvor betrachteten Sprache mit zwei Symbolen. Erinnern wir uns daran, dass der Vorteil dieser Meta-Ausdr\u00fccke darin besteht, dass wir ihre Metavariablen durch beliebige Ausdr\u00fccke der Sprache ersetzen k\u00f6nnen, um neue Ausdr\u00fccke zu erhalten, die dieselbe Struktur erf\u00fcllen. Wenn wir der Sprache der Aussagenlogik axiomatische Schemata und Schlussregeln verleihen, bauen wir das deduktive System der Aussagenlogik auf, das es erm\u00f6glicht, Ableitungen zu erzeugen, die Ausdr\u00fccke miteinander verbinden. Das Ergebnis ist ein deduktives Schema, das unendlich viele Ableitungen umfasst \u2013 n\u00e4mlich alle, die wir erhalten k\u00f6nnen, indem wir Metavariablen durch beliebige Ausdr\u00fccke ersetzen. Die wahre Macht der Logik entfaltet sich, wenn wir erkennen, dass wir anstelle dieser urspr\u00fcnglichen Ausdr\u00fccke der Zwei-Symbole-Sprache auch Ausdr\u00fccke unserer nat\u00fcrlichen Sprache einsetzen und beobachten k\u00f6nnen, was dabei geschieht.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Formale deduktive Systeme in der Aussagenlogik Zusammenfassung:In dieser Unterrichtseinheit wird eine \u00dcbersicht \u00fcber die formalen deduktiven Systeme gegeben. Es wird erkl\u00e4rt, wie diese Systeme verwendet werden, um die m\u00f6glichen Beziehungen zwischen verschiedenen logischen Ausdr\u00fccken zu entschl\u00fcsseln, sowie die grundlegenden Elemente, mit denen diese Beweise aufgebaut werden: die Sprache, die Axiome und die Schlussregeln. 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