{"id":33738,"date":"2021-05-05T13:00:31","date_gmt":"2021-05-05T13:00:31","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33738"},"modified":"2025-07-30T21:20:13","modified_gmt":"2025-07-30T21:20:13","slug":"gleichung-der-hyperbeln-und-ihre-herleitung","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/gleichung-der-hyperbeln-und-ihre-herleitung\/","title":{"rendered":"Gleichung der Hyperbeln und ihre Herleitung"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Gleichung der Hyperbeln und ihre Herleitung<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Unterrichtseinheit werden wir die geometrische Definition der Hyperbel untersuchen, sie mit der Ellipse vergleichen und ihre allgemeine sowie kanonische Gleichung herleiten.<br \/>\n   <\/em><\/p>\n<p>   <strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\n   Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Geometrisch zu definieren<\/strong>, was eine Hyperbel ist.<\/li>\n<li><strong>Die allgemeine und kanonische Gleichung<\/strong> der Hyperbeln aus ihrer geometrischen Definition herzuleiten.<\/li>\n<li><strong>Die Unterschiede<\/strong> zwischen Ellipsen und Hyperbeln hinsichtlich der Brennpunktabst\u00e4nde zu identifizieren.<\/li>\n<\/ol>\n<p>   <strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Geometrische Definition der Hyperbel<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Herleitung der Gleichung der Hyperbeln<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Allgemeine Gleichung der Hyperbeln<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Kanonische Gleichung der Hyperbeln<\/a>\n   <\/p>\n<p>   <\/center><\/p>\n<p>   <center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/1Aearz-E3bk\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a>   <\/p>\n<h2>Geometrische Definition der Hyperbel<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Zuvor haben wir die Gleichung der Ellipsen und Kreise betrachtet und festgestellt, dass sie die Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0<\/span> besitzen, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> zwei von null verschiedene Zahlen mit gleichem Vorzeichen sind. Es wurde erw\u00e4hnt, dass wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> entgegengesetzte Vorzeichen haben, anstelle einer Ellipse eine Hyperbel entsteht. Dar\u00fcber hinaus wurde bislang nichts gesagt \u2013 das werden wir nun nachholen. Wir vervollst\u00e4ndigen unsere Untersuchung, indem wir definieren, was eine Hyperbel geometrisch ist, und leiten daraus die allgemeine und kanonische Gleichung der Hyperbeln ab.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=176s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Auf der einen Seite wird die Ellipse definiert<\/strong><\/a> als die Menge aller Punkte, deren Summe der Abst\u00e4nde zu zwei festen Punkten, den sogenannten Brennpunkten, konstant ist. \u00c4hnlich, aber im Gegensatz dazu wird die Hyperbel definiert als die Menge aller Punkte, deren absoluter Unterschied der Abst\u00e4nde zu zwei Brennpunkten stets gleich gro\u00df ist.<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-BNQiwaq_OJs\/YJGda6VHOmI\/AAAAAAAAFDo\/edTQHWwLGGQwyGszR7c-7H74a09ASsK2gCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola%2Bdefinici%25C3%25B3n%2Bgr%25C3%25A1fica.PNG\" alt=\"Hyperbel geometrische Definition\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"493\" height=\"340\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-BNQiwaq_OJs\/YJGda6VHOmI\/AAAAAAAAFDo\/edTQHWwLGGQwyGszR7c-7H74a09ASsK2gCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola%2Bdefinici%25C3%25B3n%2Bgr%25C3%25A1fica.PNG\" alt=\"Hyperbel geometrische Definition\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"493\" height=\"340\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das bedeutet, es gilt die Beziehung:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> eine beliebige feste reelle Zahl.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies f\u00fchrt tats\u00e4chlich zu zwei Gleichungen, n\u00e4mlich: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a<\/span>, je eine f\u00fcr jeden Ast der Hyperbel.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a>  <\/p>\n<h2>Herleitung der Gleichung der Hyperbeln<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=331s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Ausgehend von der geometrischen Definition ist es m\u00f6glich<\/strong><\/a>, eine algebraische Darstellung der Hyperbeln zu erhalten. Daf\u00fcr beginnen wir mit dem einfachsten Fall und erweitern daraus die Verallgemeinerungen. Unser Gedankengang bezieht sich auf einen einzelnen Ast der Hyperbel; f\u00fcr den anderen ist die Herleitung vollst\u00e4ndig analog.<\/p>\n<h3>Herleitung der vereinfachten Form<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=356s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Betrachten wir zwei Brennpunkte<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_1 = (-c,0)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_2 = (c,0).<\/span> Der Punkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p = (x,y)<\/span> liegt auf der Hyperbel, wenn gilt:<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-SMOUgyC1lM4\/YJGg_MIkJTI\/AAAAAAAAFDw\/6JzXOcfZi70lpvTZtbC6y26AvTQzcnWNgCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola%2Bcentrada%2Ben%2Bel%2Borigen.PNG\" alt=\"Hyperbel mit Zentrum im Ursprung\" class=\"aligncenter  lazyload\" width=\"342\" height=\"288\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-SMOUgyC1lM4\/YJGg_MIkJTI\/AAAAAAAAFDw\/6JzXOcfZi70lpvTZtbC6y26AvTQzcnWNgCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola%2Bcentrada%2Ben%2Bel%2Borigen.PNG\" alt=\"Hyperbel mit Zentrum im Ursprung\" class=\"aligncenter  lazyload\" width=\"342\" height=\"288\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a<\/span>\n<p>   &nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und daraus ergibt sich folgender Gedankengang:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a<\/span><\/td>\n<td>; Gleichung der Hyperbeln<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a<\/span><\/td>\n<td>; Ausmultiplizieren der Quadrate<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}<\/span><\/td>\n<td>; Umstellen der Terme<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\color{red}{x^2} + 2xc + \\color{purple}{c^2} + \\color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \\color{red}{x^2} - 2xc + \\color{purple}{c^2} + \\color{violet}{y^2}<\/span><\/td>\n<td>; Quadrieren beider Seiten<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 2xc = 4a^2 + 4a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc <\/span><\/td>\n<td>; Gleichartige Terme k\u00fcrzen<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 4xc = 4a^2 + 4a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} <\/span><\/td>\n<td>; Gleichartige Terme umstellen<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> xc = a^2 + a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} <\/span><\/td>\n<td>; Gleichartige Terme vereinfachen<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> xc - a^2 = a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} <\/span><\/td>\n<td>; Gleichartige Terme vereinfachen<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2) <\/span><\/td>\n<td>; Erneutes Quadrieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2c^2 \\color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \\color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2 <\/span><\/td>\n<td>; Ausmultiplizieren der Klammern<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 <\/span><\/td>\n<td>; Gleichartige Terme k\u00fcrzen<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2) <\/span><\/td>\n<td>; Terme umgruppieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1 <\/span><\/td>\n<td>; Terme umgruppieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">F\u00fcr diesen letzten Ausdruck gilt \u2013 wie auch bei Ellipsen \u2013 die Definition <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^2=c^2-a^2<\/span>, womit man zur Gleichung der Hyperbeln gelangt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{ \\left(\\frac{x}{a}\\right)^2 - \\left(\\frac{y}{b}\\right)^2 = 1 }<\/span>\n<p><a name=\"3\"><\/a>     <\/p>\n<h2>Allgemeine Gleichung der Hyperbeln<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=801s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Um die allgemeine Gleichung<\/strong><\/a> der Hyperbeln zu erhalten, gen\u00fcgt es, die zuvor hergeleitete Gleichung zu nehmen und Positions\u00adtransformationen anzuwenden:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\longmapsto x-h<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y\\longmapsto y-k<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit erhalten wir automatisch die allgemeine Gleichung der Hyperbeln mit Zentrum bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(h,k)<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{ \\left(\\frac{x-h}{a}\\right)^2 - \\left(\\frac{y-k}{b}\\right)^2 = 1 }<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a>     <\/p>\n<h2>Kanonische Gleichung der Hyperbeln<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=974s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Und wenn wir nun die allgemeine Gleichung<\/strong><\/a> der Hyperbeln weiterentwickeln, gelangen wir zur kanonischen Darstellung:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\frac{x-h}{a}\\right)^2 - \\left(\\frac{y-k}{b}\\right)^2 = 1<\/span><\/td>\n<td>; Allgemeine Gleichung der Hyperbeln<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2<\/span><\/td>\n<td>; Ausmultiplizieren der Quadrate und Multiplikation mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2b^2<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2<\/span><\/td>\n<td>; Klammern aufl\u00f6sen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0 <\/span><\/td>\n<td>; Gleichartige Terme zusammenfassen<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies ist ein Ausdruck der Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0,<\/span> wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> stets von null verschieden und entgegengesetzt im Vorzeichen sind \u2013 genau wie zuvor bei der Betrachtung der Ellipsen festgestellt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Gleichung der Hyperbeln und ihre Herleitung Zusammenfassung: In dieser Unterrichtseinheit werden wir die geometrische Definition der Hyperbel untersuchen, sie mit der Ellipse vergleichen und ihre allgemeine sowie kanonische Gleichung herleiten. 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