{"id":33714,"date":"2021-04-27T13:00:22","date_gmt":"2021-04-27T13:00:22","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33714"},"modified":"2025-07-30T20:35:25","modified_gmt":"2025-07-30T20:35:25","slug":"charakterisierung-von-parabeln-und-ihren-grafiken","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/charakterisierung-von-parabeln-und-ihren-grafiken\/","title":{"rendered":"Charakterisierung von Parabeln und ihren Grafiken"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Charakterisierung von Parabeln und ihren Grafiken<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\n   In dieser Unterrichtseinheit behandeln wir die Charakterisierung von Parabeln ausgehend von ihrer allgemeinen und kanonischen Form. Dabei erkl\u00e4ren wir, wie man Schl\u00fcsselelemente wie den Scheitelpunkt, den Brennpunkt, die Leitlinie, die Symmetrieachse und m\u00f6gliche Schnittpunkte mit der x-Achse identifiziert.<br \/>\n   <\/em><br \/>\n   <strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\n   Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der\/die Studierende in der Lage sein,<\/p>\n<ol style=\"text-align: left;\">\n<li><strong>Die Position<\/strong> von Scheitelpunkt, Brennpunkt und Leitlinie der Parabel aus ihrer allgemeinen und kanonischen Form zu berechnen.<\/li>\n<li><strong>Die kanonische Gleichung<\/strong> in die allgemeine Form zu transformieren, um geometrische Informationen zu extrahieren.<\/li>\n<li><strong>Den Graphen<\/strong> der Parabel anhand der gewonnenen Informationen zu skizzieren.<\/li>\n<\/ol>\n<p>   <strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n   <a href=\"#1\">Allgemeine und kanonische Form von Parabeln<\/a><br \/>\n   <a href=\"#2\">Charakterisierung von Parabeln aus der allgemeinen Gleichung<\/a><br \/>\n   <a href=\"#3\">Charakterisierung von Parabeln aus der kanonischen Gleichung<\/a><br \/>\n   <a href=\"#4\">Automatische Charakterisierung mit Excel<\/a>\n   <\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/C6DbrJDiZTM\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Allgemeine und kanonische Form von Parabeln<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">In der vorherigen Unterrichtseinheit haben wir gesehen, dass Parabeln algebraisch durch die allgemeine Gleichung der Parabeln dargestellt werden k\u00f6nnen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei ist das Paar <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)<\/span> die Position des Scheitelpunkts und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> die Brennweite. Ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f \\gt 0<\/span>, so befindet sich der Brennpunkt in einem Abstand <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> oberhalb des Scheitelpunkts, und wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\lt 0,<\/span> dann befindet sich der Brennpunkt in einem Abstand <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> unterhalb des Scheitelpunkts.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir haben auch gesehen, dass die Gleichung der Parabeln in kanonischer Form einem Polynom zweiten Grades entspricht:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x) = ax^2 + bx + c,<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=228s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Die Charakterisierung einer Parabel besteht darin,<\/strong><\/a> folgende Informationen offenzulegen:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Die Koordinaten des Scheitelpunkts<\/li>\n<li>Die Koordinaten des Brennpunkts<\/li>\n<li>Die Gleichung der Leitlinie<\/li>\n<li>Die Gleichung der Symmetrieachse<\/li>\n<li>Die Schnittpunkte mit der x-Achse (falls vorhanden)<\/li>\n<li>Abschlie\u00dfend: Eine Skizze des Graphen auf Basis der gesammelten Informationen erstellen.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xAUdvfTRbjw\/YIbmIXDdT-I\/AAAAAAAAFAI\/8NH0t_EWbH0KIuFDnsRu2IyHdyN4WU54wCLcBGAsYHQ\/s0\/caracterizaci%25C3%25B3n%2Bde%2Bpar%25C3%25A1bolas.PNG\" alt=\"Charakterisierung von Parabeln\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"537\" height=\"414\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xAUdvfTRbjw\/YIbmIXDdT-I\/AAAAAAAAFAI\/8NH0t_EWbH0KIuFDnsRu2IyHdyN4WU54wCLcBGAsYHQ\/s0\/caracterizaci%25C3%25B3n%2Bde%2Bpar%25C3%25A1bolas.PNG\" alt=\"Charakterisierung von Parabeln\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"537\" height=\"414\" \/><\/noscript><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Charakterisierung von Parabeln aus der allgemeinen Gleichung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=316s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn du die Parabel durch<\/strong><\/a> die allgemeine Gleichung beschrieben hast, dann besitzt du bereits fast alle Informationen, die f\u00fcr die Charakterisierung notwendig sind \u2013 nur die Schnittpunkte mit der x-Achse erfordern eine zus\u00e4tzliche Analyse.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daraus erh\u00e4ltst du bereits:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>Scheitelpunkt:<\/strong> Der Punkt mit den Koordinaten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)<\/span><\/li>\n<li><strong>Brennweite:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> Einheiten oberhalb des Scheitelpunkts<\/li>\n<li><strong>Brennpunkt:<\/strong> Der Punkt mit den Koordinaten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0 + f)<\/span><\/li>\n<li><strong>Leitlinie:<\/strong> Die Gerade mit der Gleichung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y= y_0 - f<\/span><\/li>\n<li><strong>Symmetrieachse:<\/strong> Die Gerade mit der Gleichung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x= x_0<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu finden, musst du die allgemeine Gleichung in die kanonische Form umwandeln und das resultierende Polynom zweiten Grades gleich null setzen. Falls L\u00f6sungen existieren, entsprechen diese den Schnittpunkten mit der x-Achse.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Charakterisierung von Parabeln aus der kanonischen Gleichung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=393s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn die Gleichung der Parabel<\/strong><\/a> in kanonischer Form vorliegt, hast du zwei M\u00f6glichkeiten: 1) Eine Charakterisierung durch Umwandlung in die allgemeine Gleichung oder 2) Nutzung der Symmetrie und der Schnittpunkte mit der x-Achse. Beide Methoden haben ihre Vorz\u00fcge. Die zweite ist in der Regel schneller, doch nicht alle Parabeln schneiden die x-Achse. Die erste Methode ist zwar etwas aufw\u00e4ndiger, aber \u2013 wie wir sp\u00e4ter sehen werden \u2013 leicht zu automatisieren. Wir werden beide Wege untersuchen, damit du je nach Vorlieben und Anforderungen entscheiden kannst, welchen du w\u00e4hlst.<\/p>\n<h3>Umwandlung in die allgemeine Gleichung<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=475s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Die Umwandlung in die allgemeine Form<\/strong><\/a> erfolgt durch folgendes Vorgehen, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{R}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span> gilt:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50\">(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ax^2 + bx + c<\/span><\/td>\n<td>; Kanonische Gleichung der Parabel<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a\\left[x^2 + \\dfrac{b}{a}x + \\dfrac{c}{a}\\right]<\/span><\/td>\n<td>; Herausheben von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a\\left[ \\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 - \\dfrac{b^2}{4a^2} + \\dfrac{c}{a}\\right]<\/span><\/td>\n<td>; Weil <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 = x^2 + \\dfrac{b}{a}x + \\dfrac{b^2}{4a^2}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a\\left[ \\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 + \\dfrac{4ac - b^2}{4a^2} \\right]<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a \\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 + \\dfrac{4ac - b^2}{4a}<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a \\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 + \\left(c - \\dfrac{b^2}{4a}\\right)<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\left[x - \\left(- \\dfrac{b}{2a}\\right)\\right]^2 = \\dfrac{1}{a} \\left[y - \\left(c - \\dfrac{b^2}{4a}\\right)\\right]<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\left[x - \\left( -\\dfrac{b}{2a}\\right)\\right]^2 = 4\\left(\\dfrac{1}{4a}\\right) \\left[y - \\left(c - \\dfrac{b^2}{4a}\\right)\\right]<\/span><\/td>\n<td>; Parabelgleichung in allgemeiner Form<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ausgehend davon k\u00f6nnen wir alle Informationen, die wir aus der allgemeinen Gleichung gewonnen haben, extrahieren, indem wir ihre Parameter mit denen der kanonischen Gleichung in Beziehung setzen. Auf diese Weise erhalten wir:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>Scheitelpunkt:<\/strong> Der Punkt mit den Koordinaten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0) = \\left(-\\dfrac{b}{2a}, c -\\dfrac{b^2}{4a} \\right)<\/span><\/li>\n<li><strong>Brennweite:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f = \\dfrac{1}{4a}<\/span> Einheiten oberhalb des Scheitelpunkts<\/li>\n<li><strong>Brennpunkt:<\/strong> Der Punkt mit den Koordinaten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0 + f) = \\left(-\\dfrac{b}{2a}, c -\\dfrac{b^2}{4a} + \\dfrac{1}{4a}\\right) =\\left(-\\dfrac{b}{2a}, c +\\dfrac{1-b^2}{4a}\\right) <\/span><\/li>\n<li><strong>Leitlinie:<\/strong> Die Gerade mit der Gleichung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=y_0 - f= c -\\dfrac{b^2}{4a} - \\dfrac{1}{4a} = c -\\dfrac{1 + b^2}{4a}<\/span><\/li>\n<li><strong>Symmetrieachse:<\/strong> Die Gerade mit der Gleichung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x= x_0 = -\\dfrac{b}{2a}<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und ab diesem Punkt erfolgt die Charakterisierung der Parabeln wie bereits gezeigt anhand der allgemeinen Gleichung.<\/p>\n<h3>Verwendung der Symmetrie und der Schnittpunkte mit der x-Achse<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=769s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn die Gleichung<\/strong><\/a> der Parabeln in kanonischer Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ax^2 + bx+c<\/span> vorliegt, ist es relativ einfach, die Schnittpunkte mit der x-Achse zu berechnen \u2013 man muss lediglich die Gleichung l\u00f6sen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ax^2 + bx + c = 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn dies m\u00f6glich ist, erh\u00e4lt man die Schnittpunkte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2<\/span> gegeben durch:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1 = \\dfrac{-b + \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 = \\dfrac{-b - \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da Parabeln symmetrisch sind, ergibt sich die Gleichung der Symmetrieachse zu:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x = x_0 = \\dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\\dfrac{b}{2a}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Symmetrieachse verl\u00e4uft notwendigerweise durch den Scheitelpunkt der Parabel, dessen Koordinaten lauten:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \\left( -\\dfrac{b}{2a}, y\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right) \\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_0 = y\\left(-\\dfrac{b}{2a} \\right) = a\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right)^2 + b\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right) + c = \\dfrac{b^2}{4a} - \\dfrac{b^2}{2a} + c = c - \\dfrac{b^2}{4a}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">So gelangen wir zu den Koordinaten des Scheitelpunkts, die wir bereits auf andere Weise erhalten haben:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0, y_0) = \\left( -\\dfrac{b}{2a},c - \\dfrac{b^2}{4a} \\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Brennweite ist, wie wir gesehen haben, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f=\\dfrac{1}{4a},<\/span> und daraus lassen sich bereits die Gleichungen der Leitlinie, des Brennpunkts und alle weiteren Informationen, die wir aus der allgemeinen Gleichung erhalten haben, berechnen.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Automatisierte Charakterisierung mit Excel<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=1086s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Nachdem wir all diese \u00dcberlegungen angestellt haben,<\/strong><\/a> ist es nun sehr einfach, die Charakterisierung jeder beliebigen Parabel mit Excel zu automatisieren. Ein Beispiel findest du <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1LbNOKHHfzlPgHI3_NSzuB_6_b7KmXlTd\/view?usp=sharing\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">hier.<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Charakterisierung von Parabeln und ihren Grafiken Zusammenfassung: In dieser Unterrichtseinheit behandeln wir die Charakterisierung von Parabeln ausgehend von ihrer allgemeinen und kanonischen Form. Dabei erkl\u00e4ren wir, wie man Schl\u00fcsselelemente wie den Scheitelpunkt, den Brennpunkt, die Leitlinie, die Symmetrieachse und m\u00f6gliche Schnittpunkte mit der x-Achse identifiziert. 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