{"id":33663,"date":"2021-03-28T13:00:13","date_gmt":"2021-03-28T13:00:13","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33663"},"modified":"2025-07-30T18:19:35","modified_gmt":"2025-07-30T18:19:35","slug":"algebra-der-polynome-mit-reellen-zahlen","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/algebra-der-polynome-mit-reellen-zahlen\/","title":{"rendered":"Algebra der Polynome mit reellen Zahlen"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px; text-align:center;\">\n<h1>Algebra der Polynome mit reellen Zahlen<\/h1>\n<p>    <em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\n        In dieser Unterrichtseinheit untersuchen wir die Algebra der Polynome, ihre Definition, Eigenschaften und Anwendungen. Polynome sind ein grundlegender Bestandteil der Mathematik und finden breite Anwendung in verschiedenen Disziplinen.<br \/>\n    <\/em><\/p>\n<p>    <strong>LERNZIELE<\/strong><\/p>\n<p>Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<p style=\"text-align:left;\">\n        1. Polynome und ihre Eigenschaften zu definieren und zu verstehen.<br \/>\n        2. Den Grad und die Koeffizienten eines Polynoms zu identifizieren.<br \/>\n        3. Algebraische Operationen mit Polynomen durchzuf\u00fchren und ihre Eigenschaften in mathematischen Kontexten anzuwenden.\n    <\/p>\n<p>    <strong>INHALTSVERZEICHNIS:<\/strong><\/p>\n<p>\n        <a href=\"#1\"><strong>1. Algebra der Polynome: Definitionen<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#2\"><strong>2. Arten von Polynomen<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#3\"><strong>3. Algebra der Polynome: Operationen<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#4\"><strong>4. Faktorisierung und Division von Polynomen<\/strong><\/a>\n    <\/p>\n<p>    <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ry4sKaS3RMc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>1. Algebra der Polynome: Definitionen<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=139s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Um die Algebra der Polynome zu verstehen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst wissen, was Polynome sind.<\/span><\/strong><\/a> Polynome sind algebraische Funktionen. Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> eine reelle Variable ist, dann nennt man die Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)<\/span> ein Polynom, wenn sie sich in der Form schreiben l\u00e4sst:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(x)= \\sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots + a_nx^n,<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> eine nichtnegative ganze Zahl ist und alle <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_i<\/span>, mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in\\{1,2,3,\\cdots,n\\},<\/span> reelle Koeffizienten sind. Wenn es ein <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> gibt, so dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_k\\neq 0<\/span> und f\u00fcr alle <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i &gt; k<\/span> gilt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_i=0<\/span>, dann nennt man diesen Wert von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> den <strong>Grad des Polynoms.<\/strong> Mit anderen Worten, der Grad eines Polynoms ist die h\u00f6chste Potenz, die mit einem von null verschiedenen Koeffizienten auftritt.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>2. Arten von Polynomen<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=340s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Polynome werden nach ihrem Grad klassifiziert;<\/span><\/strong><\/a> daher wird bei der Angabe eines Polynoms fast immer gesagt, dass es sich um ein Polynom vom Grad <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> handelt, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> die h\u00f6chste Potenz von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> ist, die mit einem von null verschiedenen Koeffizienten auftritt.\n<\/p>\n<h3>2.1. Die konstanten Polynome<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese Familie umfasst alle Polynome vom Grad null sowie das Nullpolynom. Ein Polynom ist vom Grad null, wenn es in der Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=c,<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\neq 0<\/span> geschrieben werden kann. Andererseits ist das Nullpolynom von der Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 0<\/span>, und f\u00fcr dieses ist kein Grad definiert.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>3. Algebra der Polynome: Operationen<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=428s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Polynome \u00fcbernehmen alle ihre Eigenschaften aus der Algebra der reellen Zahlen.<\/span><\/strong><\/a> Besonders relevant sind die distributiven und assoziativen Eigenschaften.\n<\/p>\n<h3>3.1. Addition und Subtraktion<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=470s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q<\/span> zwei Polynome vom Grad<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> bzw. <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> sind, mit<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=n+k<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\leq k,<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle P(x) \\pm Q(x) &amp;=\\displaystyle \\sum_{i=0}^n a_i x^i \\pm \\sum_{i=0}^m b_i x^i \\\\ \\\\\n\n &amp;\\displaystyle = \\sum_{i=0}^n a_i x^i \\pm \\left( \\sum_{i=0}^n b_i x^i + \\sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;\\displaystyle = \\sum_{i=0}^n (a_i \\pm b_i) x^i + \\sum_{i=n+1}^m b_i x^i\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das hei\u00dft, die Koeffizienten, die dieselben Potenzen von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> begleiten, werden je nach Fall addiert oder subtrahiert.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #000080;\">BEISPIEL:<\/span><br \/>\nWenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 3+5x+2x^2<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5<\/span>, dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) + Q(x) = \\cdots \\\\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\\\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\\\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5 <\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) - Q(x) = \\cdots \\\\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\\\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\\\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5 <\/span>\n<\/p>\n<h3>3.2. Multiplikation<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=894s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Im gleichen Kontext wie bei der Addition und Subtraktion von Polynomen<\/span><\/strong><\/a> wird das Produkt von Polynomen wie folgt entwickelt:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    Zuerst unterscheiden wir die Multiplikation mit einem Skalar. Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c \\in \\mathbb{R},<\/span> dann gilt:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle c P(x) = c \\sum_{i=0}^n a_i x^i =\\sum_{i=0}^n c a_i x^i <\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    Und dann haben wir die Multiplikation zweier Polynome:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle P(x) Q(x) &amp;\\displaystyle = \\left( \\sum_{i=0}^n a_i x^i \\right) \\left(\\sum_{j=0}^m b_j x^j\\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\left[\\sum_{j=0}^m \\left( \\sum_{i=0}^n a_i x^i \\right) b_j x^j\\right] \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\sum_{j=0}^m \\left( \\sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j}\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    Das ist es, was wir mit dem Ausdruck \u201edie Summe der Produkte von allen mit allen\u201c zusammenfassen w\u00fcrden.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span style=\"color: #000080;\">BEISPIEL:<\/span><br \/>\n    Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 4x+ 2x^2-x^4<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3,<\/span> dann gilt:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)Q(x) =\\cdots \\\\ {} \\\\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\\\ {} \\\\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\\\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\\\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\\\ {} \\\\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\\\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\\\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\\\ {} \\\\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7<\/span>\n<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>4. Faktorisierung und Division von Polynomen<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=1375s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn wir zwei Polynome multiplizieren, gehen wir von zwei einfachen Polynomen zu einem komplexeren (h\u00f6hergradigen) \u00fcber.<\/span><\/strong><\/a> Bei der Faktorisierung eines Polynoms erfolgt der umgekehrte Prozess: Wir verwandeln ein komplexes Polynom in das Produkt von zwei oder mehr Polynomen niedrigeren Grades.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    Um ein Polynom <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)<\/span> zu faktorisieren, muss man die Werte von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> finden, die das Polynom null machen; wenn solche Werte existieren, ist das Polynom faktorisierbar. \u00dcber die Existenz zu sprechen, ist machbar \u2013 sie zu finden, ist jedoch eine andere Geschichte. Wir werden dieses Thema ausf\u00fchrlicher behandeln, wenn wir die Faktorisierung quadratischer und (2n)-quadratischer Polynome untersuchen.\n<\/p>\n<h3>4.1. Bemerkenswerte Produkte<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=1654s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Es gibt jedoch F\u00e4lle, in denen die Faktorisierung auf einfache Weise erfolgt,<\/span><\/strong><br \/>\n    <\/a> wie bei den sogenannten bemerkenswerten Produkten. Einige dieser Ergebnisse sind die folgenden:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x\\pm y)^2 = x^2 \\pm 2xy + y^2<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x \\pm y)^3 = x^3 \\pm 3x^2y + 3xy^2 \\pm y^3<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)<\/span>\n<\/p>\n<h3>4.2. Der Divisionsalgorithmus<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=1854s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">So wie wir durch die Multiplikation ganzer Zahlen zusammengesetzte Zahlen erhalten und die Division \u00fcber den Divisionsalgorithmus eine Faktorisierung erlaubt, wenn der Rest null ist,<\/span><\/strong><\/a> ist es \u00e4hnlich bei Polynomen. Den Divisionsalgorithmus \u201eim Text\u201c zu erkl\u00e4ren, kann etwas kompliziert sein \u2013 es ist viel einfacher zu verstehen, wenn man direkt sieht, wie er funktioniert und in welchen F\u00e4llen er zu einer Faktorisierung f\u00fchrt. Um das zu erreichen, betrachten wir einige Beispiele.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n    <span style=\"color: #000080;\">BEISPIEL:<\/span> Berechne <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x):Q(x)<\/span> f\u00fcr die folgenden F\u00e4lle:\n<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>\n        <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, <\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)=x-1<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=1930s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">[L\u00d6SUNG]<\/span><\/strong> <\/a>\n    <\/li>\n<li>\n        <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=x^4+2x^3-x+1, <\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)=x^2-4<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=2120s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00d6SUNG]<\/strong><\/span> <\/a>\n    <\/li>\n<li>\n        <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, <\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)=x^2+x+1<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=2331s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00d6SUNG]<\/strong><\/span> <\/a>\n    <\/li>\n<li>\n        <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, <\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)=x^3-2x^2+1<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=2464s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00d6SUNG]<\/strong><\/span> <\/a>\n    <\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Algebra der Polynome mit reellen Zahlen Zusammenfassung: In dieser Unterrichtseinheit untersuchen wir die Algebra der Polynome, ihre Definition, Eigenschaften und Anwendungen. 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