{"id":33550,"date":"2024-09-19T17:27:17","date_gmt":"2024-09-19T17:27:17","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33550"},"modified":"2025-07-27T00:02:40","modified_gmt":"2025-07-27T00:02:40","slug":"brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/","title":{"rendered":"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung"},"content":{"rendered":"<h1 style=\"text-align:center;\">Die Variationsrechnung in der klassischen&nbsp;Mechanik und die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>In diesem Kurs werden wir die Herleitung der Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung der analytischen&nbsp;Mechanik durch die Verwendung der Techniken der Variationsrechnung \u00fcberpr\u00fcfen und daraufhin deren Anwendung bei der L\u00f6sung des Brachistochronenproblems im&nbsp;Detail zeigen.<\/em><\/p>\n<hr \/>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nNach Abschluss dieses Kurses wird der Studierende in der Lage&nbsp;sein:<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Das Hamiltonsche Prinzip der minimalen&nbsp;Wirkung<\/strong> zu verstehen<\/li>\n<li><strong>Die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung<\/strong> herzuleiten<\/li>\n<li><strong>Das Brachistochronenproblem<\/strong> mithilfe der Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung zu l\u00f6sen.<\/li>\n<\/ol>\n<hr \/>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">WARUM&nbsp;VARIATIONSRECHNUNG IN&nbsp;DER&nbsp;KLASSISCHEN&nbsp;MECHANIK<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">FORMULIERUNG DES VARIATIONS\u2011PROBLEMS<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">DIE EULER\u2011LAGRANGE\u2011GLEICHUNG<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">DAS BRACHISTOCHRONE\u2011PROBLEM<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">GITHUB\u2011REPOSITORY MIT WOLFRAM\u2011ALGORITHMUS<\/a>\n<\/p>\n<hr \/>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/JyumifjGzM0\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<hr \/>\n<p><a id=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Warum Variationsrechnung in&nbsp;der&nbsp;klassischen&nbsp;Mechanik<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die newtonsche&nbsp;Physik weist zahlreiche Probleme auf, die effektiver mittels Variationsrechnung angegangen werden k\u00f6nnen. Dieser Ansatz ist grundlegend in den Lagrange\u2011Gleichungen und im Prinzip der minimalen&nbsp;Wirkung von&nbsp;Hamilton. Im Wesentlichen besteht diese Methode darin, die Bahnen zu finden, die eine bestimmte Gr\u00f6\u00dfe maximieren oder minimieren. Beispielsweise kann man die Bahn zwischen zwei Punkten suchen, die die zur\u00fcckgelegte Strecke oder die Reisezeit minimiert. Ein Beispiel f\u00fcr diesen Ansatz ist das Fermatsche&nbsp;Prinzip, das besagt, dass das Licht stets den Weg folgt, der die Reisezeit minimiert, was wiederum zum <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-refraccion-de-la-luz-y-la-ley-de-snell\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Snellischen&nbsp;Gesetz der&nbsp;Lichtbrechung<\/a> f\u00fchrt.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die Variationsrechnung besitzt viele Vorteile in der klassischen&nbsp;Mechanik. Sie erm\u00f6glicht beispielsweise genaue analytische&nbsp;L\u00f6sungen f\u00fcr symmetrische&nbsp;Systeme und approximative&nbsp;L\u00f6sungen mittels der variationalen&nbsp;St\u00f6rungstheorie f\u00fcr komplexere&nbsp;Systeme. Au\u00dferdem liefert das Prinzip der minimalen&nbsp;Wirkung in Situationen, in denen es schwierig ist, die Kr\u00e4fte in Form von Differentialgleichungen auszudr\u00fccken, eine effizientere Methode zur L\u00f6sung von Problemen der klassischen&nbsp;Mechanik. Zusammenfassend ist die Variationsrechnung ein grundlegendes&nbsp;Werkzeug, das eine alternative Formulierung der Newtonschen&nbsp;Gesetze, eine Vereinheitlichung der physikalischen&nbsp;Gesetze, eine gr\u00f6\u00dfere Effizienz bei der Probleml\u00f6sung und eine h\u00f6here&nbsp;Genauigkeit bei der Vorhersage experimenteller&nbsp;Ergebnisse bietet.<\/p>\n<p><a id=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Formulierung des variationalen Problems<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die Variationsrechnung konzentriert sich darauf, die Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> zu finden, die den Wert des Funktionals extremiert:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J(x,y(x))=\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(x),\\frac{dy(x)}{dx}\\right)dx,<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">um ihren maximalen oder minimalen&nbsp;Wert zu finden. In dieser Gleichung h\u00e4ngt das Funktional <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> von der Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> und ihrer Ableitung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dy(x)\/dx,<\/span> ab, w\u00e4hrend die Integrationsgrenzen fest bleiben. Um das Integral zu extremieren, werden Variationen auf die Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> angewendet, wobei die Funktion gesucht wird, die den Wert des Funktionals extremal&nbsp;macht. Wenn beispielsweise erreicht wird, dass das Integral seinen minimalen Wert annimmt, erh\u00f6ht jede Funktion <em>innerhalb ihrer&nbsp;Umgebung<\/em>, unabh\u00e4ngig davon, wie nahe sie an <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> liegt, den Wert des Funktionals.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Um den Begriff einer <em>Nachbarfunktion<\/em> zu definieren, k\u00f6nnen wir allen m\u00f6glichen Funktionen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> eine parametrische&nbsp;Darstellung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=(\\alpha,x)<\/span> zuordnen, so dass f\u00fcr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha=0<\/span> dann <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(0,x)=y(x)<\/span> die Funktion ist, die <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> extremiert. Dies l\u00e4sst sich wie folgt ausdr\u00fccken:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha, x) = y(x) + \\alpha \\eta(x),<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> eine Funktion der Klasse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{C}^1<\/span> ist, die sich bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2<\/span> annulliert, so dass die Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha,x)<\/span>, die diese Variation einschlie\u00dft, identisch mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> an den Anfangs\u2011 und Endpunkten der Integrationsstrecke ist.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Wenn man die Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha,x)<\/span>, die die Variation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> beinhaltet, anstelle von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> in das Integral einsetzt, das das Funktional <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> definiert, erh\u00e4lt man ein neues&nbsp;Funktional, das vom Parameter <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> abh\u00e4ngt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J(x,y(\\alpha, x)) = \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(\\alpha,x), \\dfrac{d}{dx}y(\\alpha,x)\\right)dx<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Damit lokale Extreme existieren, muss die Bedingung erf\u00fcllt&nbsp;sein:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\\right|_{\\alpha=0} = 0<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">f\u00fcr jede Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x).<\/span>\n<p><a id=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Wenn man die Ableitung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\partial J(x,y(\\alpha,x))\/\\partial \\alpha<\/span> analysiert, erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{}\\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\n\n&amp;=&amp;\\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(\\alpha,x),\\dfrac{dy(\\alpha, x)}{dx}\\right)dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left(\\dfrac{\\partial f}{\\partial x}\\dfrac{\\partial x}{\\partial  \\alpha} + \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}\\dfrac{\\partial y(\\alpha, x)}{\\partial  \\alpha}  + \\dfrac{\\partial f }{ \\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}}{\\partial \\alpha}\\right)dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Ab diesem Punkt ist es wichtig zu beachten, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\\dfrac{\\partial x}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; 0 \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{\\partial y(\\alpha,x)}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; \\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\left(y(x) + \\alpha \\eta(x) \\right) = \\eta(x) \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha}\\left( \\dfrac{dy(\\alpha, x)}{dx} \\right)&amp;=&amp; \\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\left(\\dfrac{dy(x)}{dx} + \\alpha\\dfrac{d\\eta(x)}{dx} \\right) = \\dfrac{d\\eta}{dx}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Daher reduziert sich der Ausdruck wie folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{} \\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left(\\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha,x)}\\eta(x) + \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta(x)}{dx} \\right)dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha,x)}\\eta(x) dx +  \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta(x)}{dx} dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Wenn wir dann das zweite Integral betrachten, sehen wir, dass es sich durch partielle&nbsp;Integration vereinfachen l\u00e4sst:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta}{dx} dx\n\n&amp;=&amp; \\left. \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\eta(x)\\right|_{x_1}^{x_2} - \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2}\\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha, x)}{dx}} \\right) dx\\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; - \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2}\\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha, x)}{dx}} \\right)dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Und daher<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{} \\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left[ \\eta(x) \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}  - \\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\right) \\right]dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left[ \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\right) \\right] \\eta(x) dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">So ergibt sich unter der Bedingung, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\dfrac{\\partial J (x,y(\\alpha, x))}{\\partial \\alpha}\\right|_{\\alpha=0} = 0,<\/span> und da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> eine beliebige Funktion ist, die nur die Bedingung erf\u00fcllt, sich bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2<\/span> zu nullen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\dfrac{\\partial f}{\\partial y(0, x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(0,x)}{dx}}\\right) = \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(x)}{dx}}\\right) = 0.\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Schlie\u00dflich gelangt man, indem man in diesem letzten Ausdruck die Notation entl\u00e4dt, zu der so&nbsp;genannten Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\dfrac{\\partial f}{\\partial y}= \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial y^\\prime} \\right)},<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">und dies stellt in viel einfacherer Form die notwendige Bedingung dar, damit das Funktional <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> einen Extremwert erreicht.<\/p>\n<p><a id=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Das Brachistochronenproblem<\/h2>\n<h3>Formulierung des Problems<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Das Brachistochronenproblem ist ein Klassiker der mechanischen&nbsp;Physik, der mittels Variationsrechnung gel\u00f6st wird. Die Situation ist wie folgt: Angenommen, wir haben einen materiellen&nbsp;K\u00f6rper, der sich unter dem Einfluss eines konstanten Kraftfeldes bewegt und sich von einem Anfangspunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)<\/span> zu einem Endpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> verschiebt, wobei der Ausgangspunkt auf einer gr\u00f6\u00dferen&nbsp;H\u00f6he liegt als der Endpunkt. Die Frage lautet: Welche Trajektorie muss das Teilchen verfolgen, um den Endpunkt in der k\u00fcrzest m\u00f6glichen Zeit zu erreichen?<\/p>\n<h3>Formulierung der L\u00f6sung<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen, ist es hilfreich, die Situation vereinfacht zu betrachten. Man kann daher den Ausgangspunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1, y_1)<\/span> im Ursprung des Koordinatensystems festlegen, w\u00e4hrend der Endpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> sich rechts vom Ursprung und unterhalb der <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span>\u2011Achse befindet.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png\" alt=\"c\u00e1lculo variacional - problema de la braquist\u00f3crona\" width=\"711\" height=\"505\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28729 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png\" alt=\"c\u00e1lculo variacional - problema de la braquist\u00f3crona\" width=\"711\" height=\"505\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28729 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png 711w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona-300x213.png 300w\" sizes=\"(max-width: 711px) 100vw, 711px\" \/><\/noscript><\/div>\n<p style=\"text-align:justify;\">In dieser Situation kann man ein Kraftfeld betrachten, das nach unten wirkt (in der Richtung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-\\hat{y}<\/span>) und durch die Gravitation erzeugt wird, und annehmen, dass die Bewegung ohne Reibung stattfindet. In diesem Kontext wird das Teilchen darauf beschr\u00e4nkt, verschiedene Bahnen zu verfolgen, die die Start\u2011 und Endpunkte verbinden, mit dem Ziel, herauszufinden, welche von ihnen die Reisezeit minimiert.<\/p>\n<h3>Untersuchung der Energie<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Um dieses Problem zu l\u00f6sen, k\u00f6nnen wir die Energieerhaltung des gravitativen&nbsp;Systems nutzen. Die Gesamtenergie des Systems bleibt konstant, wobei sowohl die kinetische Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{kin}=\\frac{1}{2}mv^2<\/span> als auch die gravitative potentielle Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}<\/span> ber\u00fccksichtigt werden, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> die Masse des Teilchens und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span> seine Geschwindigkeit ist. F\u00fcr die potentielle Energie wurde der Ursprung als Bezugspunkt gew\u00e4hlt, so dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}(y=0)=0<\/span>, w\u00e4hrend in jeder anderen H\u00f6he <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> gilt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}(y)=mgy.<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Da das Teilchen vom Ursprung mit Geschwindigkeit&nbsp;null startet, ist seine Gesamtenergie gleich null. Dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{kin} + E_{pot,g}=0<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Da das Teilchen unter den Referenzpunkt f\u00e4llt, ist seine potentielle Energie negativ und seine kinetische Energie positiv. Auf diese Weise k\u00f6nnen wir die Geschwindigkeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span> aus der Energieerhaltungsgleichung herausl\u00f6sen und erhalten:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} &amp;\\dfrac{1}{2}mv^2 + (-mgy) = 0 \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;\\dfrac{1}{2}mv^2 = mgy \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;v^2 = 2gy \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;v = \\sqrt{2gy}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Somit k\u00f6nnen wir die Geschwindigkeit des Teilchens in jedem Punkt seiner Trajektorie in Abh\u00e4ngigkeit von der H\u00f6he <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> berechnen.<\/p>\n<h3>Untersuchung der Laufzeit<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Nachdem wir die Geschwindigkeit des Bewegungsablaufs bestimmt haben, k\u00f6nnen wir das Zeitelement des Weges mithilfe des Weg\u2011Elements <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ds=\\sqrt{dx^2 + dy^2}<\/span> wie folgt aufbauen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} dt &amp;= \\dfrac{ds}{v} = \\dfrac{\\sqrt{dx^2 + dy^2}}{\\sqrt{2gy}}\\\\ \\\\\n\n&amp;= \\sqrt{\\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy} }\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Somit kann die Reisezeit zwischen den Punkten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> durch Integration bestimmt&nbsp;werden<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} t &amp;= \\displaystyle \\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} dt \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} \\sqrt{\\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy}} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\dfrac{1}{\\sqrt{2g}}\\int_{y_1}^{y_2} \\sqrt{\\dfrac{1+ \\left(\\dfrac{dx}{dy}\\right)^2 }{y}}\\,dy \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<h3>Formulierung des variationalen Problems<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Mit diesem letzten Ausdruck haben wir erreicht, die Zeit als ein Funktional der Form<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n{}t = J(y,x(y)) = \\displaystyle \\int_{y_1}^{y_2} f\\left(y,x(y),\\dfrac{dx(y)}{dy} \\right) dy\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">darzustellen, wobei<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\left(y,x(y), \\dfrac{dx(y)}{dy}\\right) = \\sqrt{\\dfrac{1+ \\left(\\dfrac{dx(y)}{dy} \\right)^2}{y}} <\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">An dieser Stelle k\u00f6nnen wir den Faktor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{2g},<\/span> au\u00dfer Acht lassen, denn die Optimierung von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> ist genau dasselbe wie die Optimierung von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{2g}J<\/span>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Damit k\u00f6nnen wir nun die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung nach demselben Verfahren wie zuvor aufstellen und gelangen schlie\u00dflich zu:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x} = \\dfrac{d}{dy} \\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Hier erkennen wir jedoch, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x} = 0,<\/span> so dass<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dy}\\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime} = 0,<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">oder mit anderen&nbsp;Worten<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}},<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> eine willk\u00fcrliche&nbsp;Konstante ist, die auf diese Weise geschrieben wird, weil es f\u00fcr sp\u00e4tere&nbsp;Entwicklungen \u201ezweckm\u00e4\u00dfig\u201c ist.<\/p>\n<h3>L\u00f6sung des Variationsproblems<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Beim Einsetzen der Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> in diesen letzten Ausdruck ergibt&nbsp;sich:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} &amp;\\dfrac{\\partial }{\\partial x^\\prime} \\sqrt{\\dfrac{1+ x^{\\prime 2}}{y}}  = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{1}{2}\\left( \\dfrac{1 + x^{\\prime 2} }{y} \\right)^{-1\/2} \\left(\\dfrac{2x^\\prime}{y} \\right) = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{y}{1 + x^{\\prime 2}}} \\left(\\dfrac{2x^\\prime}{y} \\right) = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\sqrt{\\dfrac{4x^{\\prime 2} y}{4y^2 (1 + x^{\\prime 2})} }  = \\sqrt{\\dfrac{1}{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;  \\dfrac{y x^{\\prime 2} }{y^2 (1 + x^{\\prime 2})}   = \\dfrac{1}{ 2a} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; 2ayx^{\\prime 2} = y^2 + y^2 x^{\\prime 2} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;  x^{\\prime 2} (2ay - y^2) = y^2 \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\left(\\dfrac{dx}{dy}\\right)^2 = \\dfrac{y^2}{2ay - y^2} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{dx}{dy} = \\pm \\sqrt{\\dfrac{y^2}{2ay - y^2}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; dx = \\pm \\dfrac{y\\,dy}{\\sqrt{2ay - y^2}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; x = \\displaystyle  \\pm \\int \\dfrac{y}{\\sqrt{2ay - y^2}}\\,dy\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Um dieses Integral zu l\u00f6sen, kann man die folgende Substitution in Betracht&nbsp;ziehen<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} y &amp;= a[1-\\cos(\\theta)] \\\\\n\n dy &amp;= a\\sin(\\theta) d\\theta\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Damit erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x= &amp; \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{y}{\\sqrt{2ay - y^2}}\\,dy = \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]a\\sin(\\theta)}{\\sqrt{2a^2[1-\\cos(\\theta)] - a^2[1-\\cos(\\theta)]^2 }}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a^2[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{a^2[1-\\cos(\\theta)]\\left\\{ 2 - [1-\\cos(\\theta)] \\right\\} }}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{[1-\\cos(\\theta)]  [1 + \\cos(\\theta)]  }}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{ 1-\\cos^2(\\theta)}}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sin(\\theta)}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int a[1-\\cos(\\theta)]\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm a(\\theta - \\sin(\\theta)) + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Wir k\u00f6nnen feststellen, dass die Brachistochrone\u2011Kurve als parametrisierte Kurve in Polarkoordinaten ausgedr\u00fcckt werden kann, die mit einer Zykloide \u00fcbereinstimmt, deren Ausgangspunkt im Ursprung liegt.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x(\\theta) &amp;= \\pm a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   y(\\theta) &amp;= a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die Integrationskonstante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> wurde weggelassen, um die Anfangsbedingung zu erf\u00fcllen, dass die Bahn im Ursprung beginnt. Au\u00dferdem k\u00f6nnen wir feststellen, dass es ein Paar Gleichungen gibt, die m\u00f6gliche&nbsp;L\u00f6sungen des Problems liefern, wobei die Konstante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> so angepasst werden kann, dass die Kurve am Ende des Weges durch den Punkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> verl\u00e4uft. Diese Gleichungen sind:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Option&nbsp;1:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\begin{array}{rl}\n\n{} x(\\theta) &amp;= a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   y(\\theta) &amp;= a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}}<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Option&nbsp;2:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\begin{array}{rl}\n\n{} x(\\theta) &amp;= - a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   y(\\theta) &amp;= a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}}<\/span> <\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die praktikable L\u00f6sung f\u00fcr dieses Problem wird durch die zweite Option gegeben, und indem man die Konstante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> als einen negativen&nbsp;Wert anpasst, erh\u00e4lt man eine Kurve, die die notwendigen Bedingungen f\u00fcr eine L\u00f6sung erf\u00fcllt.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png\" alt=\"Ejemplo de soluci\u00f3n posible, un arco de cicloide\" width=\"497\" height=\"329\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28731 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png\" alt=\"Ejemplo de soluci\u00f3n posible, un arco de cicloide\" width=\"497\" height=\"329\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28731 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png 497w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis-300x199.png 300w\" sizes=\"(max-width: 497px) 100vw, 497px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h3>Letzte&nbsp;Anpassung der L\u00f6sung<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Nach den letzten vorgenommenen Anpassungen hat die Brachistochrone\u2011Kurve die folgende parametrische&nbsp;Form:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nx(\\theta) &amp;= b(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\ny(\\theta) &amp;= -b(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Es wurde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=-b<\/span> gesetzt, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0&lt; b<\/span>. Die Kurve hat eine Periode <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2b\\pi<\/span> und muss die Bedingung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 \\in ]0,2b\\pi[<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_2 \\in ]-2b,0[<\/span> erf\u00fcllen. Dies ist entscheidend, da es verlangt, dass die Brachistochrone als einzelner Zykloidenbogen dargestellt&nbsp;wird, da die L\u00f6sung ung\u00fcltig wird, wenn das Teilchen beim Zur\u00fcckkehren zu einem Punkt mit H\u00f6he&nbsp;Null zur Ruhe kommt.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Um diese Gleichungen an das Problem anzupassen, m\u00fcssen wir die Werte von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> finden, die das&nbsp;System erf\u00fcllen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x_2 &amp;= b(\\theta - \\sin(\\theta))\\\\\n\n y_2 &amp;= - b(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Dieses nichtlineare System scheint keine analytischen L\u00f6sungen zu haben, daher werden wir numerische Methoden in Wolfram&nbsp;Mathematica verwenden. Nachfolgend wird eine Reihe von Schritten zur L\u00f6sung des Problems vorgestellt:<\/p>\n<h4>Schritt&nbsp;1: System&nbsp;aufstellen<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die Gleichungen aufstellen, die das zu l\u00f6sende System bilden<\/p>\n<p><code>eq1 = x2 == b*(theta - Sin[theta])<br \/>\neq2 = y2 == -b*(1 - Cos[theta])<\/code><\/p>\n<h4>Schritt&nbsp;2: Den Endpunkt&nbsp;definieren<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Den Punkt festlegen, den das Teilchen am Ende seiner Bahn erreichen soll. In diesem Fall legen wir ihn bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)=(1,-2)<\/span> fest. Diese Werte k\u00f6nnen Sie \u00e4ndern, um andere \u00e4hnliche Konfigurationen auszuprobieren.<\/p>\n<p><code>x2val = 1; y2val = -2;<\/code><\/p>\n<h4>Schritt&nbsp;3: Die gesuchten Werte numerisch berechnen<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die Funktion \u00abFindRoot\u00bb verwenden, um die L\u00f6sung des Problems numerisch zu berechnen<\/p>\n<p><code>sol = FindRoot[{eq1, eq2} \/. {x2 -> x2val, y2 -> y2val}, {{b,1}, {theta, 1}}]<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Hier wurden die Werte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=1<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=1<\/span> als Ausgangspunkte f\u00fcr die numerische Ann\u00e4herung der L\u00f6sung verwendet. Damit erh\u00e4lt man als L\u00f6sung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\approx 2.4056<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta \\approx 1.40138<\/span>\n<h4>Schritt&nbsp;4: \u00dcberpr\u00fcfung der Ergebnisse<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Erinnern wir uns daran, dass diese Antworten physikalisch sinnvoll sein m\u00fcssen, wof\u00fcr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 \\in ]0,2b\\pi[[<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_2 \\in ]-2b, 0[[<\/span> gelten muss. Wir k\u00f6nnen schnell best\u00e4tigen, dass dies der Fall ist, indem wir den folgenden Ablauf&nbsp;verwenden<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Zuerst entnehmen wir die Werte von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span>, die als L\u00f6sung erhalten wurden<\/p>\n<p><code>bval = sol[[1, 2]]; thetaval = sol[[2, 2]];<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Und dann lassen wir die Best\u00e4tigung&nbsp;durchf\u00fchren<\/p>\n<p><code>If[0 < x2val < 2*Pi*bval &#038;&#038; -2*bval < y2val < 0, \"Valores v\u00e1lidos\", \"Valores inv\u00e1lidos\"]<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Wenn alles gut gelaufen ist, sollten wir als Ausgabe \"Valores v\u00e1lidos\" (g\u00fcltige Werte) erhalten. Dieses St\u00fcck Code hilft dir, zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob die physikalische Situation korrekt modelliert wurde.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Mit diesen Verfahren ist unsere L\u00f6sungskurve endlich vollst\u00e4ndig angepasst, die die Punkte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)=(0,0)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)=(1,-2)<\/span> verbindet. Die resultierende Kurve ist:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x(\\theta) &amp;\\approx 2.4056(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n y(\\theta) &amp;\\approx -2.4056(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}\\;\\;;\\theta\\in [0, 1.40138]<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die grafische Darstellung sieht so&nbsp;aus:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"345\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28733 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"345\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28733 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png 296w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis-257x300.png 257w\" sizes=\"(max-width: 296px) 100vw, 296px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p><a id=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Github\u2011Repository mit Wolfram\u2011Algorithmus<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Der vollst\u00e4ndige Code zur L\u00f6sung des Brachistochronenproblems, einschlie\u00dflich des in Wolfram&nbsp;Mathematica entwickelten Algorithmus, steht in meinem GitHub\u2011Repository zum Herunterladen und zur Einsicht bereit. Dieses Repository enth\u00e4lt eine Datei <code>.nb<\/code> mit dem Code im Format eines interaktiven Notebooks sowie eine Version im Klartext <code>.m<\/code> f\u00fcr diejenigen, die den Code lieber direkt sehen&nbsp;m\u00f6chten.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><strong>Du kannst das Repository von GitHub <a href=\"https:\/\/github.com\/girebz\/Braquist-crona\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">hier<\/a> herunterladen.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Neben dem Code enth\u00e4lt das Repository eine Datei \"README\" mit ausf\u00fchrlichen Anweisungen zur Verwendung und zum Verst\u00e4ndnis des Algorithmus sowie eine Schritt\u2011f\u00fcr\u2011Schritt\u2011Erkl\u00e4rung der L\u00f6sung des Brachistochronenproblems. Ich hoffe, du findest es n\u00fctzlich!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Variationsrechnung in der klassischen&nbsp;Mechanik und die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung Zusammenfassung:In diesem Kurs werden wir die Herleitung der Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung der analytischen&nbsp;Mechanik durch die Verwendung der Techniken der Variationsrechnung \u00fcberpr\u00fcfen und daraufhin deren Anwendung bei der L\u00f6sung des Brachistochronenproblems im&nbsp;Detail zeigen. Lernziele: Nach Abschluss dieses Kurses wird der Studierende in der Lage&nbsp;sein: Das Hamiltonsche Prinzip der minimalen&nbsp;Wirkung zu [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":28745,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":32,"footnotes":""},"categories":[1270,1252],"tags":[],"citadela-post-location":[],"class_list":["post-33550","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-klassische-mechanik","category-physik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v28.0 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Lerne, die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Hilfe der Variationsrechnung und des Prinzips der minimalen Wirkung abzuleiten, um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler\u2011lagrange\u2011gleichung-mit-variationsrechnung\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Lerne, die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Hilfe der Variationsrechnung und des Prinzips der minimalen Wirkung abzuleiten, um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler\u2011lagrange\u2011gleichung-mit-variationsrechnung\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2024-09-19T17:27:17+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2025-07-27T00:02:40+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange-1024x547.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"Lerne, die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Hilfe der Variationsrechnung und des Prinzips der minimalen Wirkung abzuleiten, um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"1 minuto\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung\",\"datePublished\":\"2024-09-19T17:27:17+00:00\",\"dateModified\":\"2025-07-27T00:02:40+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/\"},\"wordCount\":3193,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/09\\\/eulerlagrange.jpg\",\"articleSection\":[\"Klassische Mechanik\",\"Physik\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/\",\"name\":\"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung - toposuranos.com\\\/material\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/09\\\/eulerlagrange.jpg\",\"datePublished\":\"2024-09-19T17:27:17+00:00\",\"dateModified\":\"2025-07-27T00:02:40+00:00\",\"description\":\"Lerne, die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Hilfe der Variationsrechnung und des Prinzips der minimalen Wirkung abzuleiten, um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/#primaryimage\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/09\\\/eulerlagrange.jpg\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/09\\\/eulerlagrange.jpg\",\"width\":1792,\"height\":958},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/cursos-de-matematica-y-fisica\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#website\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/\",\"name\":\"toposuranos.com\\\/material\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"es\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\",\"name\":\"toposuranos.com\\\/material\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/logo.png\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/logo.png\",\"width\":2400,\"height\":2059,\"caption\":\"toposuranos.com\\\/material\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\"},\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/www.facebook.com\\\/groups\\\/toposuranos\",\"https:\\\/\\\/x.com\\\/topuranos\",\"https:\\\/\\\/www.youtube.com\\\/channel\\\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g\",\"https:\\\/\\\/www.linkedin.com\\\/company\\\/69429190\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\",\"name\":\"giorgio.reveco\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"caption\":\"giorgio.reveco\"},\"description\":\"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung - toposuranos.com\/material","description":"Lerne, die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Hilfe der Variationsrechnung und des Prinzips der minimalen Wirkung abzuleiten, um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler\u2011lagrange\u2011gleichung-mit-variationsrechnung\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung","og_description":"Lerne, die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Hilfe der Variationsrechnung und des Prinzips der minimalen Wirkung abzuleiten, um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen.","og_url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler\u2011lagrange\u2011gleichung-mit-variationsrechnung\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2024-09-19T17:27:17+00:00","article_modified_time":"2025-07-27T00:02:40+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange-1024x547.jpg","type":"","width":"","height":""}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung","twitter_description":"Lerne, die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Hilfe der Variationsrechnung und des Prinzips der minimalen Wirkung abzuleiten, um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen.","twitter_image":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"1 minuto"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/#article","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung","datePublished":"2024-09-19T17:27:17+00:00","dateModified":"2025-07-27T00:02:40+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/"},"wordCount":3193,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","articleSection":["Klassische Mechanik","Physik"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/","name":"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung - toposuranos.com\/material","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/#primaryimage"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","datePublished":"2024-09-19T17:27:17+00:00","dateModified":"2025-07-27T00:02:40+00:00","description":"Lerne, die Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Hilfe der Variationsrechnung und des Prinzips der minimalen Wirkung abzuleiten, um das Brachistochronenproblem zu l\u00f6sen.","breadcrumb":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/#primaryimage","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","width":1792,"height":958},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brachistochrone-und-euler%e2%80%91lagrange%e2%80%91gleichung-mit-variationsrechnung\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Brachistochrone und Euler\u2011Lagrange\u2011Gleichung mit Variationsrechnung"}]},{"@type":"WebSite","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","name":"toposuranos.com\/material","description":"","publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"es"},{"@type":"Organization","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization","name":"toposuranos.com\/material","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","width":2400,"height":2059,"caption":"toposuranos.com\/material"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","https:\/\/x.com\/topuranos","https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190"]},{"@type":"Person","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1","name":"giorgio.reveco","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","caption":"giorgio.reveco"},"description":"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.","sameAs":["http:\/\/toposuranos.com\/material"],"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/"}]}},"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33550","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=33550"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33550\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media\/28745"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=33550"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=33550"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=33550"},{"taxonomy":"citadela-post-location","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/citadela-post-location?post=33550"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}