{"id":33467,"date":"2022-03-15T13:00:13","date_gmt":"2022-03-15T13:00:13","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33467"},"modified":"2025-07-26T06:23:14","modified_gmt":"2025-07-26T06:23:14","slug":"einfuehrung-in-die-gewoehnlichen-differentialgleichungen","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/einfuehrung-in-die-gewoehnlichen-differentialgleichungen\/","title":{"rendered":"Einf\u00fchrung in die gew\u00f6hnlichen Differentialgleichungen"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Einf\u00fchrung in die gew\u00f6hnlichen Differentialgleichungen<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>In dieser Lehrveranstaltung wird eine detaillierte Untersuchung der grundlegenden Ideen, die diese Gleichungen bestimmen, und ihrer Anwendungen in verschiedenen Bereichen angeboten. Beginnend mit einer Analyse der Natur des unaufh\u00f6rlichen Wandels in der uns umgebenden Welt werden grundlegende Konzepte wie Funktionen, Ableitungen und deren Verh\u00e4ltnis zum kontinuierlichen und diskreten Wandel vorgestellt. Es wird die Unterscheidung zwischen partiellen Differentialgleichungen (PDG) und gew\u00f6hnlichen Differentialgleichungen (GDG) eingef\u00fchrt, wobei der Schwerpunkt auf dem Studium der GDG liegt. Konzepte werden anhand praktischer Beispiele wie dem Abk\u00fchlen einer Tasse Kaffee, den Newtonschen Gesetzen und Populationsmodellen illustriert. Die Studierenden haben die Gelegenheit, sich mit Differentialgleichungen vertraut zu machen, die nat\u00fcrliche und physikalische Ph\u00e4nomene regeln, zu entdecken, wie sie mathematisch dargestellt werden k\u00f6nnen, und einige Techniken zum Studium ihrer L\u00f6sungen zu verstehen. Dieses anf\u00e4ngliche Wissen bildet die Grundlage f\u00fcr weiterf\u00fchrende Studien \u00fcber Differentialgleichungen und deren Anwendungen in Wissenschaft und Ingenieurwesen..<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>Lernziele<\/u>:<\/strong><br \/>Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Student in der Lage sein:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der grundlegenden Konzepte im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, wie die Natur des Wandels, Funktionen, Ableitungen und die Unterschiede zwischen partiellen Differentialgleichungen (PDG) und gew\u00f6hnlichen Differentialgleichungen (GDG)<\/li>\n<\/ul>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/bYwm6NAEvVA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INHALT<\/strong><br \/>\n<a href=\"#LasEcuacionesDiferencialesYLaNaturalezaDeLasCosas\"><strong>Differentialgleichungen und die Natur der Dinge<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#ElCambioIncesante\">Der unabl\u00e4ssige Wandel<\/a><br \/>\n<a href=\"#FuncionesDerivadasYSusCambios\">Funktionen, Ableitungen und ihre \u00c4nderungen<\/a><br \/>\n<a href=\"#EDOyEDP\">GDG und PDG<\/a><br \/>\n<a href=\"#EjemplosDeEcuacionesDiferencialesOrdinarias\"><strong>Beispiele gew\u00f6hnlicher Differentialgleichungen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#ElEnfriamientoDeUnaTazaDeCafe\">Das Abk\u00fchlen einer Tasse Kaffee<\/a><br \/>\n<a href=\"#LasLeyesDeNewton\">Die Newtonschen Gesetze<\/a><br \/>\n<a href=\"#ModeloDePoblaciones\">Bev\u00f6lkerungsmodell<\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><a name=\"LasEcuacionesDiferencialesYLaNaturalezaDeLasCosas\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KgUDA2Q1qaA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Differentialgleichungen und die Natur der Dinge<\/h2>\n<p><a name=\"ElCambioIncesante\"><\/a><\/p>\n<h3>Der unabl\u00e4ssige Wandel<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=133s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">In der Natur befindet sich alles in st\u00e4ndigem Wandel.<\/span><\/strong><\/a> Selbst das, was niemals zu \u00e4ndern scheint, wie der Glanz der Sonne, variiert, wenn man auf der richtigen Zeitskala betrachtet. Alles ver\u00e4ndert sich: der Glanz der Sterne, die Temperatur des Kaffees in einer Tasse, die Position eines Objekts und die Gr\u00f6\u00dfe einer Population sind einige Beispiele, und diese \u00c4nderungsraten stehen im Allgemeinen in Beziehung zum Zustand dessen, was sich \u00e4ndert, w\u00e4hrend diese \u00c4nderung stattfindet.<\/p>\n<p>Eine intuitive Art, den Wandel zu verstehen, besteht darin, zu beobachten, wie sich die Dinge im Laufe der Zeit ver\u00e4ndern. Die Ver\u00e4nderung, die in Bezug auf die Zeit geschieht, nennen wir Evolution, und alles, was wir beobachten k\u00f6nnen, befindet sich in st\u00e4ndiger Evolution. Aber Evolution ist nicht die einzige Form des Wandels; zum Beispiel kann unsere H\u00f6he \u00fcber dem Meeresspiegel im Laufe der Zeit variieren, aber es ist wahrscheinlicher, dass sie sich je nach unserer Position (oder geografischen Koordinaten) \u00e4ndert.<\/p>\n<p><a name=\"FuncionesDerivadasYSusCambios\"><\/a><\/p>\n<h3>Funktionen, Ableitungen und ihre Ver\u00e4nderungen<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=301s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Allgemeiner ausgedr\u00fcckt,<\/span><\/strong><\/a> eine Funktion mehrerer Variablen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_1,x_2, \\cdots, x_n)<\/span><\/span> kann sich \u00e4ndern, wenn eine ihrer Variablen sich \u00e4ndert, und diese Ver\u00e4nderung kann kontinuierlich oder diskret sein. F\u00fcr eine Funktion mehrerer Variablen kann der kontinuierliche Wandel durch <strong>partielle Ableitungen:<\/strong> untersucht werden:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial f(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_1} = \\lim_{\\Delta x_1 \\to 0} \\frac{ f(x_1 + \\Delta x_1, \\cdots, x_n) -  f(x_1, \\cdots, x_n)}{\\Delta x_1} <\/span>\n<p>Wenn die Funktion eine einzige Variable hat, wird die <strong>gew\u00f6hnliche Ableitung:<\/strong> verwendet:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{df(x)}{dx} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{ f(x + \\Delta x) -  f(x)}{\\Delta x} <\/span>\n<p>Wenn die \u00c4nderung diskret statt kontinuierlich ist, wird die Berechnung des Grenzwerts, der in den Ableitungen erscheint, einfach weggelassen.<\/p>\n<p><a name=\"EDOyEDP\"><\/a><\/p>\n<h3>GDG und PDG<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=624s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Eine Gleichung, die eine Funktion und ihre verschiedenen Ableitungen enth\u00e4lt<\/span><\/strong><\/a> wird als <strong>Differentialgleichung<\/strong> bezeichnet. Wenn diese Ableitungen partiell oder gew\u00f6hnlich sind, werden sie entsprechend als <strong>partielle Differentialgleichungen (PDG)<\/strong> bzw. <strong>gew\u00f6hnliche Differentialgleichungen (GDG)<\/strong> bezeichnet. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf das Studium gew\u00f6hnlicher Differentialgleichungen und werden einige Beispiele betrachten, in denen sie auftreten.<\/p>\n<p><a name=\"EjemplosDeEcuacionesDiferencialesOrdinarias\"><\/a><\/p>\n<h2>Beispiele gew\u00f6hnlicher Differentialgleichungen<\/h2>\n<p><a name=\"ElEnfriamientoDeUnaTazaDeCafe\"><\/a><\/p>\n<h3>Das Abk\u00fchlen einer Tasse Kaffee<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=680s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die Abk\u00fchlgeschwindigkeit einer Tasse Kaffee ist proportional<\/span><\/strong><\/a> zur Temperaturdifferenz zwischen der Umgebung und dem Kaffee. Wenn die Lufttemperatur, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_a<\/span><\/span>, konstant ist und die Temperatur des Kaffees eine Funktion der Zeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_c=T_c(t),<\/span><\/span> ist, k\u00f6nnen wir eine Differentialgleichung finden, die uns erlaubt, die Temperatur des Kaffees zu jedem Zeitpunkt zu bestimmen. Anfangs haben wir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dT_c(t)}{dt} = -\\alpha^2(T_c(t) - T_a) <\/span>\n<p>Dabei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> eine Proportionalit\u00e4tskonstante ist, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_a \\lt T_c(t)<\/span><\/span> und das negative Vorzeichen anzeigt, dass die Temperatur des Kaffees abnimmt. Sp\u00e4ter werden wir sehen, dass diese Gleichung eine L\u00f6sung der Form hat:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_c(t) = T_a + Be^{-\\alpha^2 t}<\/span>\n<p>Dabei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> eine zu bestimmende Konstante ist.<\/p>\n<p><a name=\"LasLeyesDeNewton\"><\/a><\/p>\n<h3>Die Newtonschen Gesetze<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=885s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Das zweite Newtonsche Gesetz ist im Wesentlichen eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung,<\/span><\/strong><\/a> denn in der Gleichung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F=ma<\/span><\/span> (Kraft gleich Masse mal Beschleunigung) ist die Beschleunigung, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=d^2x(t)\/dt^2,<\/span><\/span>, die zweite zeitliche Ableitung der Position des Objekts. Durch dieses Gesetz k\u00f6nnen wir Beziehungen finden, die die Bewegung von K\u00f6rpern beschreiben, die in Wirklichkeit Differentialgleichungen sind. Ein einfaches Beispiel ist die Untersuchung von Federn: Wenn wir eine Feder haben, die auf der einen Seite an einer festen Wand und auf der anderen an einer Masse in Gleichgewichtslage befestigt ist, und wir dann die Masse um eine Strecke <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> aus dieser Position verschieben, wird die Masse nach dem Hookeschen Gesetz eine R\u00fcckstellkraft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F=-kx<\/span><\/span> erfahren. Dann haben wir nach dem zweiten Newtonschen Gesetz:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -kx(t) = m\\frac{d^2x(t)}{dt^2} <\/span>\n<p>Sp\u00e4ter werden wir feststellen, dass seine L\u00f6sung von der Form ist:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle x(t) = A\\sin\\left(\\sqrt{\\frac{k}{m}}t + \\phi \\right)<\/span>\n<p>Dabei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span> Konstanten sind, die durch die <strong>Anfangsbedingungen des Problems<\/strong> bestimmt werden.<\/p>\n<p><a name=\"ModeloDePoblaciones\"><\/a><\/p>\n<h3>Bev\u00f6lkerungsmodell<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=1184s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die Wachstumsrate pro Einwohner<\/span><\/strong><\/a> einer Population ist gleich der Differenz zwischen der Geburten- und Sterberate, das hei\u00dft:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{x(t)} \\frac{dx(t)}{dt} = N - M<\/span>\n<p>Wenn die Geburtenrate <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> im Laufe der Zeit konstant bleibt und die Sterbef\u00e4lle proportional zur Bev\u00f6lkerung sind, das hei\u00dft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M=\\alpha^2 x(t),<\/span><\/span>, dann nimmt die obige Gleichung die Form an:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \\alpha^2 x(t))<\/span>\n<p>Dies ist als <strong>\u201elogistische Gleichung der Populationen\u201c<\/strong> bekannt. Aus dieser Gleichung kann eine Verallgemeinerung f\u00fcr viele Populationen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1(t), x_2(t), \\cdots, x_n(t)<\/span><\/span> konstruiert werden, die wie folgt miteinander um das \u00dcberleben konkurrieren:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \\left(N_i - \\displaystyle \\sum_{j=1}^n\\alpha^2_{ij} x_j(t)  \\right)<\/span>\n<p>mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in\\{1,\\cdots, n\\}<\/span><\/span>. Dies ist das, was als <strong>Lotka-Volterra-Gleichungen<\/strong> bekannt ist.<\/p>\n<h2>Schlussfolgerung<\/h2>\n<p>Im Laufe dieser Einf\u00fchrung in die gew\u00f6hnlichen Differentialgleichungen haben wir untersucht, wie die Mathematik die Ver\u00e4nderungen, die in der nat\u00fcrlichen Welt stattfinden, pr\u00e4zise und elegant erfassen kann. Vom Abk\u00fchlen einer Tasse Kaffee \u00fcber die Bewegung einer Feder bis hin zum Wachstum einer Population erm\u00f6glichen es GDG, komplexe Dynamiken in verst\u00e4ndliche und analysierbare mathematische Beziehungen zu \u00fcbersetzen.<\/p>\n<p>Das Verst\u00e4ndnis der Struktur und der Bedeutung dieser Gleichungen \u00f6ffnet die T\u00fcr zu vielen Disziplinen wie Physik, Biologie, Wirtschaft und Ingenieurwesen. Dieser Kurs legt die notwendigen konzeptionellen Grundlagen, um mit weiterf\u00fchrenden Studien fortzufahren, in denen L\u00f6sungstechniken, qualitative Analyse und numerische Methoden vertieft werden. Am wichtigsten ist jedoch, dass eine anf\u00e4ngliche Intuition dar\u00fcber entwickelt wurde, wie die Sprache des Wandels \u2013 die Differentialgleichungen \u2013 es uns erm\u00f6glicht, das Verhalten dynamischer Systeme zu beschreiben, zu verstehen und vorherzusagen.<\/p>\n<p>In den folgenden Kursen werden wir weiterhin leistungsf\u00e4higere Werkzeuge entwickeln und sie auf neue Kontexte anwenden. Differentialgleichungen bieten uns nicht nur eine M\u00f6glichkeit, die Realit\u00e4t zu analysieren, sondern auch uns vorzustellen, wie sie sich unter verschiedenen Bedingungen entwickeln k\u00f6nnte.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Einf\u00fchrung in die gew\u00f6hnlichen Differentialgleichungen In dieser Lehrveranstaltung wird eine detaillierte Untersuchung der grundlegenden Ideen, die diese Gleichungen bestimmen, und ihrer Anwendungen in verschiedenen Bereichen angeboten. 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