{"id":33428,"date":"2023-04-04T13:00:00","date_gmt":"2023-04-04T13:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33428"},"modified":"2025-07-23T10:30:07","modified_gmt":"2025-07-23T10:30:07","slug":"unbestimmte-integrale-und-grundlegende-integrationstechniken","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/unbestimmte-integrale-und-grundlegende-integrationstechniken\/","title":{"rendered":"Unbestimmte Integrale und Grundlegende Integrationstechniken"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol {\n    text-align: justify;\n}\nh1, h2, h3 {\ntext-align:center;\n}\n<\/style>\n<p><center><\/p>\n<h1>Unbestimmte Integrale und Grundlegende Integrationstechniken<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">In dieser Unterrichtseinheit werden die grundlegenden Techniken zur Berechnung der einfachsten unbestimmten Integrale sowie die Eigenschaften des Integrationsoperators eingef\u00fchrt. Dies umfasst polynomiale, exponentielle, hyperbolische und grundlegende trigonometrische Integrale.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>Lernziele<\/u>:<\/strong><br \/>Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der\/die Studierende in der Lage sein,<\/p>\n<ol>\n<li><strong>zu verstehen<\/strong>, dass der Prozess der unbestimmten Integration der umgekehrte Prozess der Ableitung ist.<\/li>\n<li><strong>die Integration<\/strong> von Polynomen und Ausdr\u00fccken, die exponentielle, hyperbolische und trigonometrische Funktionen enthalten, durchzuf\u00fchren.<\/li>\n<li><strong>die Eigenschaften<\/strong> von Integralen zu nutzen, um algebraische Umformungen vorzunehmen, die deren Berechnung erleichtern.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">DIE RELEVANZ UNBESTIMMTER INTEGRALE<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">STAMMFUNKTIONEN, UNBESTIMMTE INTEGRALE UND PRIMITIVFUNKTIONEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">GRUNDLEGENDE INTEGRATIONSTECHNIKEN<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/4wSTxA7zY9k\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Die Relevanz unbestimmter Integrale<\/h2>\n<p>Unbestimmte Integrale sind ein fundamentales Werkzeug der Analysis und haben ein breites Anwendungsspektrum in den Natur- und Mathematikwissenschaften. Sie erm\u00f6glichen die Berechnung der Stammfunktion einer gegebenen Funktion, was wiederum zur Berechnung von Fl\u00e4chen unter Kurven, Volumina von K\u00f6rpern, Wahrscheinlichkeiten und vielen weiteren Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen, Statistik und Wirtschaft verwendet wird. Dar\u00fcber hinaus sind unbestimmte Integrale wesentlich f\u00fcr die L\u00f6sung von Differentialgleichungen und daher in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik unverzichtbar.<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/56fMLiVPwDI\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Stammfunktionen, unbestimmte Integrale und Primitivfunktionen von Funktionen<\/h2>\n<p>Wenn eine Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x)<\/span><\/span> in einem gegebenen Intervall <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span> die Ableitung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> hat, dann sagt man, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x)<\/span><\/span> eine Stammfunktion von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> in diesem Intervall ist.<\/p>\n<p>Es ist wichtig zu beachten, dass wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x)<\/span><\/span> eine Stammfunktion von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> ist, dann ist auch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x) + C<\/span><\/span> eine Stammfunktion, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> eine beliebige reelle Konstante ist. Dies wird folgenderma\u00dfen dargestellt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int f(x) dx = F(x) + C<\/span>\n<p>Die Konstante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> wird als <strong>Integrationskonstante<\/strong> bezeichnet, und ihre Pr\u00e4senz zeigt, dass die Stammfunktion einer Funktion nicht eindeutig ist, sondern eine ganze Familie von Funktionen darstellt: die Gesamtheit aller Funktionen, deren Ableitung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> im Intervall <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span> ist.<\/p>\n<p>Die Begriffe Stammfunktion, Primitivfunktion und unbestimmtes Integral dr\u00fccken im Wesentlichen dieselbe Idee aus und werden daher synonym verwendet. Zusammengefasst ist das unbestimmte Integral der umgekehrte Prozess der Ableitung, und aus diesem Konzept ergeben sich seine grundlegendsten Eigenschaften.<\/p>\n<h3>Grundlegende Eigenschaften unbestimmter Integrale<\/h3>\n<p>Um unbestimmte Integrale berechnen zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir einige grundlegende Eigenschaften kennen, die direkt von den Eigenschaften der Ableitung abgeleitet werden.<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int  \\dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C<\/span><\/span><\/br>Weil das unbestimmte Integral der umgekehrte Prozess der Differentiation ist.<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\lambda f(x) dx = \\lambda \\int f(x) dx<\/span><\/span><\/br>Wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lambda<\/span> eine beliebige reelle Konstante ist. Das gilt, weil<\/br>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} \\displaystyle \\int \\lambda \\dfrac{d\\phi(x)}{dx}dx &amp;=  \\displaystyle \\int \\dfrac{d}{dx}\\lambda \\phi(x) dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\lambda \\phi(x) + C_1 \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\lambda(\\phi(x) + C_2) \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\lambda \\displaystyle  \\int \\frac{d\\phi(x)}{dx}dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Und wenn man dann <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = \\dfrac{d\\phi(x)}{dx}<\/span> verwendet, ergibt sich<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\lambda f(x) dx = \\lambda \\int f(x)dx<\/span>\n<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int f(x) + g(x) dx = \\int f(x) dx + \\int g(x) dx <\/span><\/span>\n<p>Dies l\u00e4sst sich auf \u00e4hnliche Weise wie zuvor zeigen. Betrachten wir zwei Funktionen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi(x)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi(x)<\/span>, so dass<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = \\dfrac{d\\phi(x)}{dx}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x) = \\dfrac{d\\psi(x)}{dx}<\/span>\n<p>Dann ergibt sich<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} \\displaystyle \\int f(x) + g(x) dx\n\n&amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{d\\phi(x)}{dx} +  \\dfrac{d\\psi(x)}{dx} dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{d}{dx} (\\phi(x)  + \\psi(x)) dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\phi(x) + \\psi(x) + C \\\\ \\\\\n\n&amp;= (\\phi(x) + C_1) + (\\psi(x) + C_2) \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{d\\phi(x)}{dx} dx + \\int \\dfrac{d\\psi(x)}{dx}dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int f(x) dx + \\int g(x) dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Grundlegende Integrationstechniken<\/h2>\n<p>Es gibt grundlegende Integrationstechniken, die es uns erm\u00f6glichen, einige unbestimmte Integrale anhand der Ergebnisse der Ableitungen zu berechnen. Durch diese Techniken erhalten wir folgende n\u00fctzliche Ergebnisse f\u00fcr die Integration:<\/p>\n<h3>Integrale von Polynomfunktionen<\/h3>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int 1 dx = x + C<\/span><\/span>\n<p dir=\"ltr\">Denn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} (x + C)= 1 <\/span>\n<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int x^q dx = \\dfrac{x^{q+1}}{q+1}  + C,<\/span> vorausgesetzt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q\\neq -1<\/span><\/span>\n<p>Weil <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} \\left(\\dfrac{x^{q+1}}{q+1}  + C\\right) = x^q.<\/span><\/span><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>Mit diesen Ergebnissen und den grundlegenden Eigenschaften k\u00f6nnen wir ohne Schwierigkeiten das Integral jedes Polynoms berechnen.<\/p>\n<div style=\"background-color:#F3FFF3; padding:20px;\">\n<p><strong>Beispiel:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\left( 3x+2 \\right) dx =  \\dfrac{3}{2}x^2 + 2x + C<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\left( 5x^2 + 2x + 3 \\right) dx= \\dfrac{5}{3}x^3 + x + 3x  + C<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\left( 4x^{12} - 7x^{-1\/3} + 1 \\right) dx  <\/span><\/span> <\/li>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} &amp;= \\dfrac{4}{13}x^{13} - \\dfrac{7}{2\/3}x^{2\/3} + x + C \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\dfrac{4}{13}x^{13} - \\dfrac{21}{2}x^{2\/3} + x + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/ol>\n<\/div>\n<h3>Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen<\/h3>\n<p>Aus den bekannten Ergebnissen der Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen ergeben sich die folgenden grundlegenden Integrale:<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int e^{x}dx = e^{x} + C<\/span><\/span>\n<p>Weil <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx}\\left(e^x + C\\right) = e^x<\/span><\/span><\/p>\n<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C<\/span><\/span>\n<p>Weil <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx}\\left(ln|x| + C \\right) = \\dfrac{1}{|x|} sig(x) = \\dfrac{1}{x}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">sig(x)<\/span> die Signumfunktion ist, definiert durch:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">sig(x) = \\left\\{\\begin{array}{} +1 &amp;,&amp;0\\lt x \\\\ -1 &amp;,&amp; x\\lt 0 \\end{array}\\right.<\/span>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>Das Ergebnis des Integrals von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1\/x<\/span> erweitert unsere F\u00e4higkeit, Funktionen zu integrieren, da wir nun beginnen k\u00f6nnen, Funktionen zu integrieren, die aus einem Quotienten von Polynomen bestehen.<\/p>\n<div style=\"background-color:#F3FFF3; padding:20px;\">\n<p><strong>Beispiel:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li type=\"a\"><\/br>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\int \\dfrac{x^2 + 3x + 2}{5x^2}dx &amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{1}{5} + \\dfrac{3}{5}\\cdot \\dfrac{1}{x} + \\dfrac{2}{5}\\cdot\\dfrac{1}{x^2}dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\dfrac{x}{5}+\\dfrac{3}{5}ln(x) - \\dfrac{2}{5}\\dfrac{1}{x} + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li type=\"a\"><\/br>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\int \\dfrac{x^2 - 3 x + 2}{(x-2)^2}dx &amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{(x-2)^2 + (x-2)}{(x-2)^2} dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int 1 + \\dfrac{1}{x-2} dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= x + \\displaystyle \\int \\dfrac{1}{x-2}dx = x + ln|x-2| + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Weil<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx}\\left( ln|x-2| + C\\right) = \\dfrac{1}{|x-2|}sig(x-2) = \\dfrac{1}{x-2}<\/span>\n<\/ol>\n<\/div>\n<h3>Integrale von grundlegenden hyperbolischen Funktionen<\/h3>\n<p>Die grundlegenden hyperbolischen Funktionen sind<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} sinh(x) &amp;=&amp; \\dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\\\ \\\\\n\ncosh(x) &amp;=&amp; \\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Da wir bereits gesehen haben, wie das Integral der Exponentialfunktion funktioniert, werden wir keine Schwierigkeiten mit den Integralen des hyperbolischen Sinus und Kosinus haben.<\/p>\n<p>F\u00fcr den hyperbolischen Sinus ist die Berechnung praktisch direkt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rcl}\n\n{} \\displaystyle \\int sinh(x) dx\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int \\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{1}{2} \\left( \\displaystyle \\int e^x dx - \\int e^{-x}  dx \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{1}{2} \\left(e^x + e^{-x} \\right) + C = cosh(x) + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Und f\u00fcr den hyperbolischen Kosinus ist die Rechnung ganz analog:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} \\displaystyle \\int cosh(x) dx\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int \\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{1}{2} \\left( \\displaystyle \\int e^x dx + \\int e^{-x}  dx \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{1}{2} \\left(e^x - e^{-x} \\right) + C = sinh(x) + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Neben diesen gibt es viele weitere hyperbolische Funktionen, die integriert werden k\u00f6nnen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} tanh(x) &amp;=&amp; \\dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\\\\n\nsech(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{cosh(x)} \\\\\n\n{}csch(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{sinh(x)} \\\\\n\nctgh(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{tanh(x)}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>F\u00fcr ihre Integration sind jedoch andere Techniken erforderlich, die wir in sp\u00e4teren Unterrichtseinheiten behandeln werden.<\/p>\n<h3>Integrale grundlegender trigonometrischer Funktionen<\/h3>\n<p>Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen sind <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">sin(x)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">cos(x)<\/span>. Die Berechnung ihrer Integrale ergibt sich direkt aus dem, was wir bereits \u00fcber ihre Ableitungen wissen.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} \\displaystyle \\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\\\ \\\\\n\n{} \\displaystyle \\int cos(x) dx = sen(x) + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Dies gilt, weil<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{}  \\dfrac{d}{dx}\\left( sin(x) + C \\right) &amp;=&amp; cos(x) \\\\ \\\\\n\n{}  \\dfrac{d}{dx}\\left( cos(x) + C \\right) &amp;=&amp; -sin(x) \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<h2>Fazit<\/h2>\n<p>In dieser Unterrichtseinheit haben wir die unbestimmten Integrale von ihren theoretischen Grundlagen bis zu den elementarsten praktischen Anwendungen untersucht. Wir haben gelernt, sie als den umgekehrten Prozess der Ableitung zu erkennen, ihre grundlegenden Eigenschaften zu identifizieren und direkte Techniken anzuwenden, um einfache polynomiale, exponentielle, logarithmische, hyperbolische und trigonometrische Funktionen zu integrieren. Dieses Wissen bildet die wesentliche Grundlage, um zuk\u00fcnftig komplexere Integrationsprobleme zu bew\u00e4ltigen, und ist von zentraler Bedeutung f\u00fcr das Studium fortgeschrittener Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen und anderen Wissenschaften. Mit diesen Grundlagen wird es m\u00f6glich sein, in zuk\u00fcnftigen Lektionen fortgeschrittenere Techniken einzuf\u00fchren.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Unbestimmte Integrale und Grundlegende Integrationstechniken In dieser Unterrichtseinheit werden die grundlegenden Techniken zur Berechnung der einfachsten unbestimmten Integrale sowie die Eigenschaften des Integrationsoperators eingef\u00fchrt. 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