Nat\u00fcrliche Zahlen und die Peano-Axiome<\/title><\/head><body><\/p>\n<div style=\"padding:20px;\"><center><\/p>\n<h1>Die Nat\u00fcrlichen Zahlen und die Peano-Axiome<\/h1>\nZUSAMMENFASSUNG<\/b> \nDiese Lektion behandelt die nat\u00fcrlichen Zahlen und wie sie durch die Peano-Axiome definiert werden: eine Reihe mathematischer Prinzipien, die ihre grundlegenden Eigenschaften festlegen. Es wird auch erkl\u00e4rt, wie Symbole verwendet werden, um die Nachfolger der nat\u00fcrlichen Zahlen darzustellen, wie diese symbolisch repr\u00e4sentiert werden und wie das Prinzip der mathematischen Induktion zur Durchf\u00fchrung induktiver Beweise verwendet wird.<\/em><\/p>\nLERNZIELE<\/b><\/p>\n<\/center><\/p>\n<ol>\n<li>Verstehen<\/strong> der Peano-Axiome zur Formulierung der nat\u00fcrlichen Zahlen.<\/li>\n<li>Verstehen<\/strong> der symbolischen Darstellung der nat\u00fcrlichen Zahlen.<\/li>\n<\/ol>\n<center> <\/p>\nINHALTSVERZEICHNIS<\/strong><\/p>\n\n<a href=\"#1\">Die Peano-Axiome f\u00fcr die nat\u00fcrlichen Zahlen<\/strong><\/a> \n<a href=\"#2\">Das Induktionsprinzip bei nat\u00fcrlichen Zahlen<\/strong><\/a> \n<a href=\"#3\">Kommentar zu den Beweisen<\/a>\n<\/p>\n<\/center> <\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/w-BznjX88No\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Peano-Axiome f\u00fcr die nat\u00fcrlichen Zahlen<\/h2>\nDie nat\u00fcrlichen Zahlen<\/em>, auch bekannt als positive ganze Zahlen<\/em>, sind jene, die wir zum Z\u00e4hlen und Messen verwenden. Sie treten am nat\u00fcrlichsten bei der Z\u00e4hloperation auf, die die einfachste der Arithmetik ist. Diese Zahlen werden durch die Peano-Axiome<\/em><\/strong> definiert, eine Reihe mathematischer Prinzipien, die festlegen, wie diese Zahlen funktionieren.<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb ist eine nat\u00fcrliche Zahl.<\/li>\n<li>Wenn n<\/span> eine nat\u00fcrliche Zahl ist, dann ist auch ihr Nachfolger S(n)<\/span> eine nat\u00fcrliche Zahl.<\/li>\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb ist kein Nachfolger irgendeiner nat\u00fcrlichen Zahl.<\/li>\n<li>Wenn S(n) = S(m)<\/span>, dann gilt n=m<\/span>.<\/li>\n<li>Wenn 1<\/span> zu einer Menge A<\/span> geh\u00f6rt und wenn f\u00fcr ein beliebiges k<\/span> in A<\/span> auch S(k)<\/span> in A<\/span> liegt, dann ist A<\/span> die Menge der nat\u00fcrlichen Zahlen und wird mit \\mathbb{N}<\/span> bezeichnet.<\/li>\n<\/ol>\nWenn wir die Peano-Axiome studieren, erkennen wir, dass das Symbol \u00ab1<\/span>\u00bb in Wirklichkeit nur eine Darstellung ist, die verwendet wird, um eine bestimmte nat\u00fcrliche Zahl zu bezeichnen. Diese Zahl ist diejenige, die diese Eigenschaften erf\u00fcllt. So wie 1<\/span> den \u00abersten nat\u00fcrlichen\u00bb darstellt, verwenden wir auch andere (uns vertraute) Symbole, um seine Nachfolger darzustellen.<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>2=S(1)<\/span><\/li>\n<li>3=S(2)<\/span><\/li>\n<li>4=S(3) \\\\ \\vdots<\/span><\/li>\n<\/ul>\nund so weiter. Auf diese Weise sind die Symbole 1<\/span>, 2<\/span>, 3<\/span> usw. abstrakte Entit\u00e4ten, die die verschiedenen Nachfolger von 1<\/span> darstellen. Die Gesamtheit all dieser Objekte sind die nat\u00fcrlichen Zahlen, die wir wie folgt darstellen:<\/p>\n\\mathbb{N}=\\{1,2,3,4,\\cdots \\}<\/span>\nEs wird auch gesagt, dass sich die nat\u00fcrlichen Zahlen in einer Folge anordnen, n\u00e4mlich in der Folge der nat\u00fcrlichen Zahlen:<\/p>\n1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \\cdots <\/span>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Das Induktionsprinzip bei nat\u00fcrlichen Zahlen<\/h2>\nEin wichtiger Aspekt der nat\u00fcrlichen Zahlen ist, dass es nach jeder Zahl immer eine weitere gibt, was bedeutet, dass es unendlich viele nat\u00fcrliche Zahlen gibt. Dies k\u00f6nnen wir aus dem f\u00fcnften Axiom oder dem Induktionsprinzip<\/strong> ableiten, das wie folgt ausgedr\u00fcckt wird:<\/p>\nWenn eine Eigenschaft f\u00fcr 1<\/span> gilt; und wenn unter der Annahme, dass sie f\u00fcr eine beliebige nat\u00fcrliche Zahl k<\/span> gilt, sie auch f\u00fcr den Nachfolger S(k)<\/span> gilt; dann gilt diese Eigenschaft f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen.<\/em><\/p>\nDas Induktionsprinzip liefert nicht nur ein fundamentales Fundament f\u00fcr die nat\u00fcrlichen Zahlen, sondern ist auch ein n\u00fctzliches Instrument, um zu beweisen, ob eine Eigenschaft f\u00fcr die nat\u00fcrlichen Zahlen zutrifft. Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir ein einfaches Beispiel:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify;\">\nBEISPIEL:<\/strong> Durch das Induktionsprinzip kann gezeigt werden, dass jede nat\u00fcrliche Zahl von ihrem Nachfolger verschieden ist.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify;\">\nAuch wenn dies offensichtlich ist, hilft es, das Vorgehen beim Beweis durch Induktion zu verstehen.<\/p>\nBeweis:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\nEs ist klar, dass 1<\/span> verschieden ist von S(1)=2<\/span>. Dies ist der Basisfall<\/strong>, in dem wir \u00fcberpr\u00fcfen, dass die Eigenschaft f\u00fcr das erste Element gilt.<\/p>\n<\/li>\n<li>\nAngenommen, die Eigenschaft gilt f\u00fcr ein beliebiges k<\/span>, das hei\u00dft, k\\neq S(k)<\/span>. Wir werden zeigen, dass daraus auch folgt, dass sie f\u00fcr S(k)<\/span> gilt (also dass auch S(k)\\neq S(S(k))<\/span> gilt). Dies ist der Induktionsschritt.<\/strong> Wenn beide Schritte erf\u00fcllt sind, sagt man, dass die Induktion vollst\u00e4ndig ist und die Eigenschaft f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen gilt.<\/p>\n<\/p>\n[1]<\/strong> Beginnen wir mit der Feststellung, dass S(k) \\neq k,<\/span> gleichbedeutend ist mit \\neg [k=S(k)]<\/span>.<\/p>\n[2]<\/strong> Da sowohl k<\/span> als auch S(k)<\/span> nat\u00fcrliche Zahlen sind, k\u00f6nnen wir nach Axiom 2 sagen, dass beide Nachfolger haben: S(k)<\/span> bzw. S(S(k))<\/span>. Beide sind ebenfalls nat\u00fcrliche Zahlen.<\/p>\n[3]<\/strong> Dann k\u00f6nnen wir nach Axiom 4 sagen, dass: S(k) = S(S(k))<\/span> impliziert k = S(k)<\/span>. Dies k\u00f6nnen wir folgenderma\u00dfen schreiben:<\/p>\n\\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] \\rightarrow \\left[k = S(k)\\right]<\/span>\nwas durch die Kontraposition der Implikation gleichbedeutend ist mit:<\/p>\n\\neg \\left[k = S(k)\\right] \\rightarrow \\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\n[4]<\/strong> Schlie\u00dflich ergibt sich durch Modus Ponens zwischen diesem letzten Ausdruck und dem in Schritt [1]<\/strong> erhaltenen, dass<\/p>\n\\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\nwas dasselbe ist wie zu sagen<\/p>\n S(k) \\neq S(S(k)) <\/span>\nUnd daher haben wir gezeigt, dass wenn S(k) \\neq k<\/span> gilt, dann gilt auch S(k) \\neq S(S(k))<\/span>; und da zudem offensichtlich ist, dass 1\\neq 2<\/span>, ist die Induktion vollst\u00e4ndig, und wir k\u00f6nnen schreiben:<\/p>\n\\left(\\forall n\\in\\mathbb{N}\\right)\\left(n \\neq S(n)\\right) <\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Kommentar zu den Beweisen<\/h3>\nAuch wenn die im Beispiel formulierte Eigenschaft ziemlich offensichtlich ist, ist es in der Mathematik sehr \u00fcblich, dass Beweise diese Offensichtlichkeit nicht beibehalten. Der Beweis, den wir gerade gesehen haben, ist ein Beispiel f\u00fcr das, was \u00fcblicherweise in der mathematischen Arbeit gemacht wird. Um dein Verst\u00e4ndnis der deduktiven Techniken zu unterst\u00fctzen, die typisch f\u00fcr die Mathematik sind, empfehle ich dir, die Materialien zum Kurs <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/category\/matematica\/logica-matematica\/logica-proposicional\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Mathematische Logik<\/strong><\/a> zu konsultieren.<\/p>\n<\/body> \n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Nat\u00fcrliche Zahlen und die Peano-Axiome Die Nat\u00fcrlichen Zahlen und die Peano-Axiome ZUSAMMENFASSUNG Diese Lektion behandelt die nat\u00fcrlichen Zahlen und wie sie durch die Peano-Axiome definiert werden: eine Reihe mathematischer Prinzipien, die ihre grundlegenden Eigenschaften festlegen. 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