{"id":33180,"date":"2025-01-04T13:00:33","date_gmt":"2025-01-04T13:00:33","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33180"},"modified":"2025-06-02T01:05:20","modified_gmt":"2025-06-02T01:05:20","slug":"einfaches-marktmodell-grundbegriffe-und-annahmen","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/einfaches-marktmodell-grundbegriffe-und-annahmen\/","title":{"rendered":"Einfaches Marktmodell: Grundbegriffe und Annahmen"},"content":{"rendered":"<style>\np {\n    text-align: justify;\n}\n<\/style>\n<p><center><\/p>\n<h1><strong>Ein Einfaches Marktmodell:<\/strong><br \/>Grundlegende Begriffe und Annahmen<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nDiese Lektion f\u00fchrt in das \u201eEinfache Marktmodell\u201c ein, einen Ansatz, der das Erlernen zentraler Anlagekonzepte erleichtert. Es kombiniert risikofreie Verm\u00f6genswerte (Anleihen mit bekanntem Ertrag) und risikobehaftete Verm\u00f6genswerte (Aktien mit unsicherem Ertrag). Wir werden sehen, wie diese Verm\u00f6genswerte in einem Portfolio kombiniert werden k\u00f6nnen, das bei richtiger Verwaltung eine h\u00f6here Rendite als Bankzinsen erm\u00f6glicht und dabei Wachstum und Sicherheit ausbalanciert. Au\u00dferdem lernen wir, wie man die Rendite dieser Verm\u00f6genswerte in einer vereinfachten Zeitskala (Gegenwart und Zukunft) berechnet, und analysieren Marktannahmen wie Preiszuf\u00e4lligkeit und Solvenz, um fundierte Entscheidungen \u00fcber Investitionen und Risiken zu treffen.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein,<\/p>\n<ul>\n<li><strong>die Merkmale<\/strong> eines Einfachen Marktmodells sowie von risikobehafteten und risikofreien Verm\u00f6genswerten im Rahmen von Investitionsentscheidungen <strong>zu erkennen<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>den Unterschied<\/strong> zwischen risikobehafteten und risikofreien Verm\u00f6genswerten <strong>zu verstehen<\/strong> und zu erkennen, wie jeder das Risiko und die Rendite eines Portfolios beeinflusst.<\/li>\n<li><strong>Formeln anzuwenden<\/strong>, um die Investitionsrendite von risikobehafteten und risikofreien Verm\u00f6genswerten anhand von Anfangs- und Endpreisen zu berechnen.<\/li>\n<li><strong>die Konstruktion<\/strong> von Portfolios, die risikobehaftete und risikofreie Verm\u00f6genswerte kombinieren, <strong>zu analysieren<\/strong>, um die Rendite zu optimieren und gleichzeitig das Risiko im einfachen Marktmodell zu steuern.<\/li>\n<li><strong>die Auswirkungen<\/strong> von Marktszenarien auf den Wert und die Rendite eines Portfolios <strong>zu bewerten<\/strong>, wobei Preisschwankungen ber\u00fccksichtigt werden.<\/li>\n<li><strong>Wahrscheinlichkeiten anzuwenden<\/strong>, um die erwartete Rendite unter unsicheren Marktbedingungen zu berechnen und m\u00f6gliche finanzielle Ergebnisse zu bestimmen.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u><\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Einf\u00fchrung<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Begriffe und Theoretische Annahmen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Risikobehaftete und Risikofreie Verm\u00f6genswerte<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Zeitachse im Modell<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Rendite einer Investition<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Konstruktion und Bewertung eines Portfolios<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Grundannahmen des Modells<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\"><strong>Gel\u00f6ste Aufgaben<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#9\"><strong>Vorgeschlagene \u00dcbungen<\/strong><\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/MK9owXS381U?si=7KmgnPbga5fihMVy\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<center><\/p>\n<h2>Einf\u00fchrung<\/h2>\n<p><\/center><\/p>\n<p>Stell dir vor, du hast gerade eine Pr\u00e4mie bei der Arbeit erhalten und eine betr\u00e4chtliche Summe auf der Bank gespart. Doch beim Blick auf die aktuellen Zinss\u00e4tze und die Auswirkungen der Inflation machst du dir Sorgen, dass die Kaufkraft deiner Ersparnisse mit der Zeit sinken k\u00f6nnte. Du m\u00f6chtest, dass dein Geld nicht nur erhalten bleibt, sondern auch w\u00e4chst.<\/p>\n<p>Du hast geh\u00f6rt, dass Investitionen in Aktien und Anleihen eine gute M\u00f6glichkeit sein k\u00f6nnen, dein Geld zu vermehren. Du wei\u00dft, dass einige Verm\u00f6genswerte, wie Anleihen, sicher sind, w\u00e4hrend andere, wie Aktien, h\u00f6here Renditen bieten, aber auch mehr Risiko mit sich bringen. Du fragst dich, ob du beide Arten von Verm\u00f6genswerten in einer Strategie kombinieren kannst, die es dir erlaubt, mehr als die Bankzinsen zu verdienen, ohne ein \u00fcberm\u00e4\u00dfiges Risiko einzugehen.<\/p>\n<p>Du beschlie\u00dft, dich n\u00e4her zu informieren, und st\u00f6\u00dft auf einen Ansatz namens <strong>\u201eEinfaches Marktmodell\u201c<\/strong>, der das Erlernen der grundlegenden Konzepte zu risikobehafteten und risikofreien Verm\u00f6genswerten, Renditen und Portfolioaufbau erleichtert. Dieses Modell ist ideal f\u00fcr Einsteiger, da es die Finanzanalyse vereinfacht, indem es sich auf zwei Zeitpunkte konzentriert: die Gegenwart und einen zuk\u00fcnftigen Moment.<\/p>\n<p>Mit dieser Motivation entscheidest du dich, mehr dar\u00fcber zu lernen, wie man die Rendite einer Investition berechnet und ein Portfolio aufbaut, das deine Ertr\u00e4ge maximiert. Im weiteren Verlauf werden wir diese Konzepte eingehend untersuchen, damit du fundierte Entscheidungen treffen und deine pers\u00f6nlichen Finanzen besser verwalten kannst.<\/p>\n<p>Da du nun bereit bist, tauchen wir ein in das theoretische Wissen, das du brauchst, um dieses Marktmodell zu verstehen und es auf deine eigenen Investitionsentscheidungen anzuwenden.<\/p>\n<p><center><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Definitionen und Theoretische Annahmen<\/h2>\n<p><\/center><br \/>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Risikobehaftete und Risikofreie Verm\u00f6genswerte<\/h3>\n<p>Um das einfache Marktmodell zu verstehen, m\u00fcssen wir uns zun\u00e4chst mit den Konzepten von <strong>risikobehafteten Verm\u00f6genswerten<\/strong> und <strong>risikofreien Verm\u00f6genswerten<\/strong> vertraut machen. Diese beiden Arten von Verm\u00f6genswerten bilden die Grundlage der meisten Anlagestrategien.<\/p>\n<p>Ein <strong>risikofreier Verm\u00f6genswert<\/strong> ist eine Art von Investition, deren Ertrag bekannt und sicher ist. Ein klassisches Beispiel f\u00fcr einen risikofreien Verm\u00f6genswert ist eine <em>Anleihe<\/em>, die von der Regierung oder einer stabilen Finanzinstitution ausgegeben wird und eine feste Zinszahlung am Ende eines Zeitraums garantiert. Solche Anleihen k\u00f6nnen als Einlagen auf einem Bankkonto oder als Schuldtitel betrachtet werden, die eine vorhersehbare und stabile Rendite bieten.<\/p>\n<p>Ein <strong>risikobehafteter Verm\u00f6genswert<\/strong> hingegen ist ein Verm\u00f6genswert, dessen zuk\u00fcnftiger Preis unsicher ist und sowohl steigen als auch fallen kann. Ein g\u00e4ngiges Beispiel f\u00fcr einen risikobehafteten Verm\u00f6genswert sind <em>Aktien<\/em> von b\u00f6rsennotierten Unternehmen. Aktien k\u00f6nnen volatil sein, und ihr Preis h\u00e4ngt von vielen Faktoren ab, was ihren zuk\u00fcnftigen Wert unvorhersehbar macht.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Zeitachse im Modell<\/h3>\n<p>Im einfachen Marktmodell beschr\u00e4nken wir die Analyse auf nur zwei Zeitpunkte: die Gegenwart, die wir mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span> bezeichnen, und einen zuk\u00fcnftigen Zeitpunkt, z.\u202fB. ein Jahr sp\u00e4ter, den wir mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> bezeichnen. Dieser vereinfachte Ansatz erm\u00f6glicht es, Wertver\u00e4nderungen von Verm\u00f6genswerten zu analysieren, ohne in \u00fcberm\u00e4\u00dfige Komplexit\u00e4t zu geraten.<\/p>\n<p>Dieses Zwei-Zeitpunkt-Modell ist besonders n\u00fctzlich f\u00fcr Anf\u00e4nger, da es das Verst\u00e4ndnis daf\u00fcr erleichtert, wie sich die Preise von Verm\u00f6genswerten im Zeitverlauf \u00e4ndern und wie sich diese \u00c4nderungen auf den Wert eines Portfolios auswirken.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>Rendite einer Investition<\/h3>\n<p>Die Rendite ist ein Ma\u00df daf\u00fcr, wie viel Wert eine Investition in einem bestimmten Zeitraum gewonnen oder verloren hat. Abh\u00e4ngig von der Art des Verm\u00f6genswerts kann die Berechnung der Rendite unsicher oder bestimmt sein.<\/p>\n<p>F\u00fcr einen risikobehafteten Verm\u00f6genswert wie eine Aktie ist die Rendite unsicher und wird unter Verwendung des Anfangs- und des zuk\u00fcnftigen Preises des Verm\u00f6genswerts berechnet. Wenn der Aktienkurs zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t <\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(t) <\/span> bezeichnet wird, berechnet sich die Rendite der Aktie zwischen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> wie folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S = \\dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)} <\/span>\n<p>Diese Rendite, dargestellt durch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S <\/span>, ist ein Bruchteil des Anfangswerts der Aktie und kann positiv sein (wenn der Aktienkurs gestiegen ist), negativ (wenn er gefallen ist) oder null (wenn sich der Kurs nicht ver\u00e4ndert hat).<\/p>\n<p>F\u00fcr einen risikofreien Verm\u00f6genswert wie eine Anleihe ist die Rendite im Voraus mit Sicherheit bekannt. Wenn wir den Preis einer Anleihe zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t <\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(t) <\/span> darstellen, berechnet sich die Rendite dieser Anleihe zwischen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> wie folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = \\dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} <\/span>\n<p>Diese Rendite, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A <\/span>, ist fest und wird vom Emittenten der Anleihe garantiert. Der entscheidende Unterschied zwischen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S <\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A <\/span> liegt in der Sicherheit: W\u00e4hrend die Rendite einer Aktie unsicher ist, ist die Rendite einer Anleihe fest und bekannt.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Zusammenstellung und Bewertung eines Portfolios<\/h3>\n<p>Nun, da wir das Konzept der Rendite verstanden haben, k\u00f6nnen wir risikobehaftete und risikofreie Verm\u00f6genswerte kombinieren, um ein <strong>Portfolio<\/strong> zu bilden. Angenommen, du entscheidest dich, ein Portfolio mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x <\/span> Aktien und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> y <\/span> Anleihen zu erstellen. Der Gesamtwert des Portfolios zu einem beliebigen Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t <\/span> ist:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) = xS(t) + yA(t) <\/span>\n<p>Hier steht <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) <\/span> f\u00fcr den Gesamtwert des Portfolios, der sich aus dem Wert der Aktien (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> xS(t) <\/span>) und dem Wert der Anleihen (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> yA(t) <\/span>) zusammensetzt.<\/p>\n<p>Zum Anfangszeitpunkt (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span>) ist der Wert des Portfolios bekannt, sofern wir die Anzahl der Aktien und Anleihen sowie deren aktuelle Preise kennen. Zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> kann sich jedoch der Wert der Aktien ver\u00e4ndern, was den Gesamtwert des Portfolios unsicher macht.<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>Grundlegende Annahmen des Modells<\/h3>\n<p>Um das Modell zu vereinfachen, treffen wir einige grundlegende Annahmen, die es uns erm\u00f6glichen, die Berechnungen und Analysen \u00fcberschaubar zu gestalten:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Annahme der Zuf\u00e4lligkeit:<\/strong> Der zuk\u00fcnftige Aktienpreis (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) <\/span>) ist eine <em>Zufallsvariable<\/em>, was bedeutet, dass er je nach unvorhersehbaren Marktbedingungen unterschiedliche Werte annehmen kann.<\/li>\n<li><strong>Positive Preise:<\/strong> Alle Preise von Aktien und Anleihen sind strikt positiv, d.\u202fh. <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(t) &gt; 0 <\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(t) &gt; 0 <\/span> f\u00fcr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0, 1 <\/span>. Diese Annahme stellt sicher, dass die Verm\u00f6genswerte realistische Werte haben.<\/li>\n<li><strong>Teilbarkeit und Liquidit\u00e4t:<\/strong> Verm\u00f6genswerte k\u00f6nnen in Bruchteilen gekauft werden, was es Anlegern erlaubt, ihre Portfolios ohne Einschr\u00e4nkungen anzupassen. Es wird au\u00dferdem angenommen, dass Verm\u00f6genswerte in jeder beliebigen Menge gekauft oder verkauft werden k\u00f6nnen.<\/li>\n<li><strong>Solvenz:<\/strong> Das Gesamtverm\u00f6gen eines Anlegers muss zu jedem Zeitpunkt nicht negativ sein, d.\u202fh. <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) \\geq 0 <\/span>. Das bedeutet, dass man nicht mehr verlieren kann, als man investiert hat.<\/li>\n<li><strong>Diskrete Preise:<\/strong> Der zuk\u00fcnftige Preis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) <\/span> einer Aktie ist eine Zufallsvariable, die nur eine endliche Anzahl m\u00f6glicher Werte annehmen kann. Dies erleichtert die Analyse und Modellierung des Marktes.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mit diesen Annahmen wird das Modell handhabbarer, was es uns erm\u00f6glicht, die Renditen und Portfolio-Werte ohne zus\u00e4tzliche Komplexit\u00e4t zu analysieren.<\/p>\n<p>Bis jetzt haben wir die grundlegenden theoretischen Konzepte behandelt, die notwendig sind, um das einfache Marktmodell zu verstehen. Im n\u00e4chsten Abschnitt wenden wir dieses Wissen in praktischen \u00dcbungen an, um zu sehen, wie man den Wert und die Rendite eines Portfolios unter verschiedenen Szenarien berechnet.<\/p>\n<p><center><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h2>Gel\u00f6ste Aufgaben<\/h2>\n<p><\/center><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/BdcylGfSgtA?si=QwVbLqRiAaULJ6v1\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h3>\u00dcbung 1: Renditeberechnung bei Anleihen (Risikofreier Verm\u00f6genswert)<\/h3>\n<p>Angenommen, du besitzt eine Anleihe mit einem Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> Dollar. Am Ende eines Jahres ist der Wert der Anleihe auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 110 <\/span> Dollar gestiegen.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Wie hoch ist die Rendite dieser Anleihe-Investition?<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong> Da es sich bei der Anleihe um einen risikofreien Verm\u00f6genswert handelt, ist die Rendite sicher und kann mit der Formel f\u00fcr risikofreie Verm\u00f6genswerte berechnet werden:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = \\dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} <\/span>\n<p>Einsetzen der Werte:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = \\dfrac{110 - 100}{100} = \\dfrac{10}{100} = 0.10 <\/span>\n<p>Die Rendite betr\u00e4gt 10\u202f%.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 2: Renditeberechnung bei Aktien (Risikobehafteter Verm\u00f6genswert)<\/h3>\n<p>Angenommen, du kaufst eine Aktie zum Preis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> Dollar. Am Ende des Jahres kann sich der Preis der Aktie ver\u00e4ndern. Es gibt zwei m\u00f6gliche Ergebnisse:<\/p>\n<ul>\n<li>Wenn der Markt steigt, betr\u00e4gt der Aktienpreis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 52 <\/span> Dollar, mit einer Wahrscheinlichkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> p <\/span>.<\/li>\n<li>Wenn der Markt f\u00e4llt, betr\u00e4gt der Aktienpreis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 48 <\/span> Dollar, mit einer Wahrscheinlichkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 1 - p <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Frage:<\/strong> In einem einfachen Marktmodell: Wie hoch ist die Rendite dieser Investition in jedem Szenario?<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong> Die Rendite einer Aktie ist als risikobehafteter Verm\u00f6genswert unsicher und wird mit der Formel f\u00fcr risikobehaftete Verm\u00f6genswerte berechnet:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S = \\dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)} <\/span>\n<p>Wir berechnen die Rendite in jedem Szenario:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Wenn der Preis auf 52 Dollar steigt:<\/strong><\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S = \\dfrac{52 - 50}{50} = \\dfrac{2}{50} = 0.04 <\/span>\n<p>Die Rendite betr\u00e4gt in diesem Fall 4\u202f%.<\/p>\n<li><strong>Wenn der Preis auf 48 Dollar f\u00e4llt:<\/strong><\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S = \\dfrac{48 - 50}{50} = \\dfrac{-2}{50} = -0.04 <\/span>\n<p>Die Rendite betr\u00e4gt in diesem Fall \u22124\u202f%.<\/p>\n<\/ul>\n<p>Je nach Marktverlauf kann die Rendite also positiv (4\u202f%) oder negativ (\u22124\u202f%) sein.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 3: Wert eines Portfolios mit risikobehafteten und risikofreien Verm\u00f6genswerten<\/h3>\n<p>Angenommen, du entscheidest dich, ein Portfolio zu erstellen, das 20 Aktien und 10 Anleihen enth\u00e4lt. Wir wissen:<\/p>\n<ul>\n<li>Der Preis einer Aktie zu Beginn betr\u00e4gt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> Dollar.<\/li>\n<li>Der Preis einer Anleihe zu Beginn betr\u00e4gt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> Dollar.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Wie hoch ist der Wert dieses Portfolios zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span>?<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong> Der Wert eines Portfolios zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t <\/span> wird berechnet als:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) = xS(t) + yA(t) <\/span>\n<p>wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x <\/span> die Anzahl der Aktien und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> y <\/span> die Anzahl der Anleihen ist.<\/p>\n<p>Einsetzen der Werte:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(0) = (20)(50) + (10)(100) <\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(0) = 1000 + 1000 = 2000 <\/span>\n<p>Der Wert des Portfolios zum Anfangszeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span> betr\u00e4gt 2000 Dollar.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 4: Renditeberechnung eines gemischten Portfolios<\/h3>\n<p>Angenommen, die Preise der Verm\u00f6genswerte im Portfolio aus \u00dcbung 3 \u00e4ndern sich zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> wie folgt:<\/p>\n<ul>\n<li>Wenn der Markt steigt, betr\u00e4gt der Aktienpreis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 52 <\/span> und der Anleihepreis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 110 <\/span>.<\/li>\n<li>Wenn der Markt f\u00e4llt, betr\u00e4gt der Aktienpreis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 48 <\/span> und der Anleihepreis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 110 <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Frage:<\/strong> In einem einfachen Marktmodell: Wie hoch sind der Wert und die Rendite des Portfolios in jedem Szenario?<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n<p><strong>Szenario 1: Der Markt steigt<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = (20)(52) + (10)(110) <\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = 1040 + 1100 = 2140 <\/span>\n<p>Der Wert des Portfolios in diesem Fall betr\u00e4gt 2140 Dollar.<\/p>\n<p>Die Rendite des Portfolios ist:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_V = \\dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \\dfrac{2140 - 2000}{2000} = \\dfrac{140}{2000} = 0.07 <\/span>\n<p>Die Rendite betr\u00e4gt 7\u202f%.<\/p>\n<p><strong>Szenario 2: Der Markt f\u00e4llt<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = (20)(48) + (10)(110) <\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = 960 + 1100 = 2060 <\/span>\n<p>Der Wert des Portfolios in diesem Fall betr\u00e4gt 2060 Dollar.<\/p>\n<p>Die Rendite des Portfolios ist:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_V = \\dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \\dfrac{2060 - 2000}{2000} = \\dfrac{60}{2000} = 0.03 <\/span>\n<p>Die Rendite betr\u00e4gt 3\u202f%.<\/p>\n<p>Zusammenfassend h\u00e4ngt die Rendite des Portfolios vom Marktverlauf ab. Wenn der Markt steigt, betr\u00e4gt die Rendite 7\u202f%; wenn der Markt f\u00e4llt, betr\u00e4gt die Rendite 3\u202f%.<\/p>\n<h3>\u00dcbung 5: Berechnung der gewichteten Rendite eines gemischten Portfolios<\/h3>\n<p>Angenommen, du entscheidest dich, ein gemischtes Portfolio mit folgender Anfangsverteilung zu erstellen:<\/p>\n<ul>\n<li>50\u202f% deiner Investition stecken in risikofreien Anleihen mit einem Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> und einem Endpreis am Jahresende von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 105 <\/span>.<\/li>\n<li>50\u202f% deiner Investition stecken in risikobehafteten Aktien mit einem Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span>. Der Aktienpreis zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> betr\u00e4gt entweder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 55 <\/span>, wenn der Markt steigt (Wahrscheinlichkeit 0,7), oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 45 <\/span>, wenn der Markt f\u00e4llt (Wahrscheinlichkeit 0,3).<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Wie hoch ist die erwartete Gesamtrendite des Portfolios unter Ber\u00fccksichtigung der Wahrscheinlichkeit, dass der Markt steigt oder f\u00e4llt?<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n<p>1. Zuerst berechnen wir die Rendite jedes Verm\u00f6genswerttyps:<\/p>\n<ul>\n<li>F\u00fcr die risikofreien Anleihen:<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = \\dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} = \\dfrac{105 - 100}{100} = 0.05 <\/span> (5\u202f%)<\/p>\n<li>F\u00fcr die Aktien in jedem Szenario:<\/li>\n<ul>\n<li>Wenn der Markt steigt:<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S^{\\text{up}} = \\dfrac{55 - 50}{50} = 0.10 <\/span> (10\u202f%)<\/p>\n<li>Wenn der Markt f\u00e4llt:<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S^{\\text{down}} = \\dfrac{45 - 50}{50} = -0.10 <\/span> (\u221210\u202f%)<\/p>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>2. Wir berechnen die erwartete Rendite der Aktien unter Ber\u00fccksichtigung der Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Erwartete Rendite der Aktien} = (0.7 \\times 0.10) + (0.3 \\times -0.10)  = 0.04 <\/span> (4\u202f%)<\/p>\n<p>3. Nun berechnen wir die gewichtete Rendite des Portfolios, wobei 50\u202f% in Anleihen und 50\u202f% in Aktien investiert sind:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_{\\text{Portfolio}} = (0.5 \\times 0.05) + (0.5 \\times 0.04) = 0.045 <\/span> (4,5\u202f%)<\/p>\n<p><strong>Antwort:<\/strong> Die erwartete Gesamtrendite des Portfolios betr\u00e4gt 4,5\u202f%.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 6: Bewertung von Risiko und Rendite eines Portfolios mit Leerverkauf in einem einfachen Marktmodell<\/h3>\n<p>Angenommen, du verfolgst eine Strategie, bei der du 2000 Dollar in risikofreie Anleihen investierst, mit einer garantierten Rendite von 3\u202f% am Jahresende. Zus\u00e4tzlich leihst du dir 1000 Dollar, um Aktien leerzuverkaufen, in der Hoffnung, dass deren Preis f\u00e4llt und du einen Gewinn erzielst. Der aktuelle Aktienkurs betr\u00e4gt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> Dollar pro Aktie, und am Jahresende kann der Preis sein:<\/p>\n<ul>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 40 <\/span> Dollar, wenn der Markt f\u00e4llt (Wahrscheinlichkeit 0,6)<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 60 <\/span> Dollar, wenn der Markt steigt (Wahrscheinlichkeit 0,4)<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Wie hoch ist die erwartete Rendite des Portfolios und wie gro\u00df ist das mit dem Leerverkauf verbundene Risiko, gemessen an der Standardabweichung der Renditen?<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n<h4>Berechnung der erwarteten Rendite<\/h4>\n<p>Zuerst berechnen wir die Rendite der risikofreien Anleihen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = 0.03 <\/span> (3\u202f%)<\/p>\n<p>F\u00fcr den Leerverkauf berechnen wir den Gewinn oder Verlust in jedem Szenario:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Wenn der Markt f\u00e4llt:<\/strong><\/li>\n<p>Der Leerverkauf erfolgte zu 50 Dollar pro Aktie, und der Preis am Jahresende betr\u00e4gt 40 Dollar. Der Gewinn pro Aktie betr\u00e4gt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 50 - 40 = 10 <\/span> Dollar<\/p>\n<p>Wenn du dir 1000 Dollar geliehen hast, entspricht dies einem Leerverkauf von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\dfrac{1000}{50} = 20 <\/span> Aktien. Der Gesamtgewinn ist:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 20 \\times 10 = 200 <\/span> Dollar<\/p>\n<li><strong>Wenn der Markt steigt:<\/strong><\/li>\n<p>Der Leerverkauf erfolgte zu 50 Dollar pro Aktie, und der Preis am Jahresende betr\u00e4gt 60 Dollar. Der Verlust pro Aktie betr\u00e4gt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 50 - 60 = -10 <\/span> Dollar<\/p>\n<p>F\u00fcr 20 Aktien ergibt sich ein Gesamtverlust von:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 20 \\times -10 = -200 <\/span> Dollar<\/p>\n<\/ul>\n<p>Berechnung der erwarteten Rendite des Leerverkaufs:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Erwartete Rendite des Leerverkaufs} = (0.6 \\times 200) + (0.4 \\times -200) = 120 - 80 = 40 <\/span> Dollar<\/p>\n<h4>Berechnung der Varianz und Standardabweichung zur Risikomessung<\/h4>\n<p>Nun berechnen wir zur Risikobewertung in einem einfachen Marktmodell die <strong>Varianz der Renditen<\/strong> des Leerverkaufs. Die Formel f\u00fcr die Varianz, basierend auf m\u00f6glichen Ergebnissen und deren Wahrscheinlichkeiten, lautet:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Varianz} = (0.6) \\times (200 - 40)^2 + (0.4) \\times (-200 - 40)^2 = 38400<\/span>\n<p>Zum Schluss berechnen wir die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Standardabweichung} = \\sqrt{38400} \\approx 196 <\/span>\n<h4>Interpretation der Standardabweichung im Kontext der Normalverteilung<\/h4>\n<p>Die Standardabweichung ist ein Ma\u00df f\u00fcr die Streuung der Werte um den Mittelwert. Im Kontext einer Normalverteilung spielt die Standardabweichung eine wichtige Rolle f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis des Risikos und der Wahrscheinlichkeit bestimmter Renditen.<\/p>\n<h4>Zusammenhang zwischen Standardabweichung und Normalverteilung<\/h4>\n<p>Die <strong>Normalverteilung<\/strong> (auch Gau\u00dfsche Glockenkurve) ist eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung um ihren Mittelwert, bei der die meisten Werte nahe dem Mittelwert liegen. Viele finanzielle Renditen, wie die Ertr\u00e4ge gut diversifizierter Portfolios, n\u00e4hern sich h\u00e4ufig einer Normalverteilung an.<\/p>\n<p>In einer Normalverteilung gilt:<\/p>\n<ul>\n<li>Etwa 68\u202f% der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.<\/li>\n<li>Etwa 95\u202f% der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.<\/li>\n<li>Etwa 99,7\u202f% der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.<\/li>\n<\/ul>\n<h4>Interpretation im Kontext von Risiko und finanziellen Renditen<\/h4>\n<p>Wenn wir annehmen, dass die Renditen des Leerverkaufs ungef\u00e4hr normalverteilt sind, erm\u00f6glicht uns die Standardabweichung von 196 Dollar, die Wahrscheinlichkeit bestimmter Renditen um den erwarteten Mittelwert abzusch\u00e4tzen. Zum Beispiel:<\/p>\n<ul>\n<li>Mit einer Standardabweichung von 196 Dollar und einer erwarteten Rendite von 40 Dollar k\u00f6nnen wir sagen, dass 68\u202f% der Ergebnisse im Bereich von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 40 \\pm 196 <\/span> Dollar liegen (also zwischen \u2212156 und 236 Dollar).<\/li>\n<li>Zur Einsch\u00e4tzung von <strong>extremen Risiken<\/strong> k\u00f6nnten wir Ergebnisse analysieren, die zwei oder drei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegen. In einer Normalverteilung sind solche Ereignisse (5\u202f% oder weniger) zwar unwahrscheinlich, k\u00f6nnen aber erhebliche Auswirkungen auf das Portfolio haben.<\/li>\n<\/ul>\n<h4>Beschr\u00e4nkungen im Kontext des Leerverkaufs<\/h4>\n<p>Es ist wichtig zu beachten, dass die Renditen bei einem Leerverkauf m\u00f6glicherweise keiner perfekten Normalverteilung folgen, da die Strategie eine <strong>Asymmetrie<\/strong> aufweist: Der Aktienpreis kann unbegrenzt steigen, was zu unbegrenzten Verlusten f\u00fchren kann, aber nicht unter null fallen. Dies f\u00fchrt zu einer Verzerrung der Verteilung und erh\u00f6ht die Wahrscheinlichkeit extremer Verluste mehr, als es eine Normalverteilung vermuten l\u00e4sst.<\/p>\n<p><center><a name=\"9\"><\/a><\/p>\n<h2>Vorgeschlagene \u00dcbungen<\/h2>\n<p><\/center><\/p>\n<h3>\u00dcbung 1: Renditeberechnung bei einer Anleihe<\/h3>\n<p>Angenommen, du kaufst eine risikofreie Anleihe zu einem Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 200 <\/span> Dollar, und am Ende des Jahres steigt der Preis der Anleihe auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 220 <\/span> Dollar.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Wie hoch ist die Rendite dieser Anleiheinvestition?<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 2: Rendite bei einer risikobehafteten Aktie mit probabilistischen Szenarien<\/h3>\n<p>Du kaufst eine Aktie zu einem Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 100 <\/span> Dollar. Am Ende des Jahres kann der Preis der Aktie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 110 <\/span> mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 90 <\/span> mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 betragen.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Berechne die Rendite in jedem Szenario und die erwartete Rendite dieser Investition in die Aktie.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 3: Wert eines gemischten Portfolios<\/h3>\n<p>Du erstellst ein Portfolio mit 15 Aktien und 5 Anleihen. Zu Beginn betr\u00e4gt der Preis jeder Aktie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 30 <\/span> Dollar, und der Preis jeder Anleihe betr\u00e4gt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> Dollar.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Wie hoch ist der Gesamtwert deines Portfolios zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span>?<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 4: Rendite des Portfolios in verschiedenen Marktszenarien<\/h3>\n<p>F\u00fcr das Portfolio aus der vorherigen \u00dcbung betr\u00e4gt der Aktienpreis am Jahresende <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 35 <\/span>, wenn der Markt steigt, oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 25 <\/span>, wenn der Markt f\u00e4llt. Die risikofreie Anleihe hat in beiden F\u00e4llen einen Preis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 105 <\/span>.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Berechne den Wert und die Rendite des Portfolios in jedem Marktszenario.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 5: Auswirkung von Kursver\u00e4nderungen einer Aktie auf das Portfolio<\/h3>\n<p>Angenommen, du besitzt ein Portfolio, das aus 10 Anleihen und 40 Aktien besteht. Der Preis jeder Anleihe betr\u00e4gt zu Beginn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 90 <\/span> Dollar, und der Preis jeder Aktie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 20 <\/span> Dollar. Am Jahresende steigt der Aktienkurs auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 30 <\/span> und der Anleihekurs auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 95 <\/span>.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Berechne den Anfangs- und Endwert des Portfolios und bestimme die Rendite des Portfolios.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 6: Berechnung der gewichteten Rendite eines diversifizierten Portfolios in einem einfachen Marktmodell<\/h3>\n<p>Du investierst 60\u202f% deines Portfolios in risikofreie Anleihen und 40\u202f% in Aktien. Der Anfangspreis der Anleihen betr\u00e4gt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 200 <\/span> Dollar, und ihr Endpreis betr\u00e4gt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 210 <\/span> Dollar. Der Anfangspreis der Aktien betr\u00e4gt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span>, und ihr Endpreis h\u00e4ngt davon ab, ob der Markt steigt (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 55 <\/span> mit Wahrscheinlichkeit 0,6) oder f\u00e4llt (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 45 <\/span> mit Wahrscheinlichkeit 0,4).<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Berechne die erwartete Gesamtrendite des Portfolios.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 7: Risikobewertung anhand der Standardabweichung<\/h3>\n<p>Bei einer Leerverkaufsstrategie leihst du dir 500 Dollar, um Aktien leerzuverkaufen, die einen Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 25 <\/span> Dollar haben. Am Jahresende kann der Aktienkurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 20 <\/span> (Wahrscheinlichkeit 0,7) oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 30 <\/span> (Wahrscheinlichkeit 0,3) betragen.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Berechne die erwartete Rendite und die Standardabweichung dieser Leerverkaufsinvestition.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 8: Erstellung eines Portfolios mit garantierter Zielrendite<\/h3>\n<p>Du verf\u00fcgst \u00fcber 2000 Dollar und m\u00f6chtest ein Portfolio mit risikofreien Anleihen (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> Dollar, mit einer Rendite von 5\u202f%) und Aktien (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> Dollar) erstellen, deren erwartete Rendite 8\u202f% betr\u00e4gt.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Wie viele Anleihen und Aktien musst du kaufen, damit die erwartete Gesamtrendite des Portfolios 6\u202f% betr\u00e4gt?<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 9: Analyse der Auswirkungen der Diversifikation auf das Portfolio<\/h3>\n<p>Du investierst 3000 Dollar in ein Portfolio, das aus Anleihen und Aktien besteht. Die H\u00e4lfte deiner Investition steckt in Anleihen (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 150 <\/span> Dollar, mit garantierter Rendite von 4\u202f%) und die andere H\u00e4lfte in Aktien (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 75 <\/span> Dollar), deren Preis zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> entweder 90 (Wahrscheinlichkeit 0,5) oder 60 (Wahrscheinlichkeit 0,5) betragen kann.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Berechne die erwartete Rendite und die Standardabweichung des Portfolios.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>\u00dcbung 10: Auswirkung von Kursver\u00e4nderungen auf das Portfolio und Solvenz<\/h3>\n<p>Du erstellst ein Portfolio mit 1000 Dollar, indem du 300 in Anleihen und 700 in Aktien investierst. Bei den Anleihen ist die Rendite mit 3\u202f% festgelegt, w\u00e4hrend der Aktienkurs (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 35 <\/span>) entweder auf 25 fallen oder auf 45 steigen kann \u2013 jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit.<\/p>\n<p><strong>Frage:<\/strong> Wie hoch ist der Portfoliowert in jedem Szenario im einfachen Marktmodell? Beurteile, ob das Portfolio die Annahme der Solvenz erf\u00fcllt (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) \\geq 0 <\/span>).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ein Einfaches Marktmodell:Grundlegende Begriffe und Annahmen Zusammenfassung: Diese Lektion f\u00fchrt in das \u201eEinfache Marktmodell\u201c ein, einen Ansatz, der das Erlernen zentraler Anlagekonzepte erleichtert. Es kombiniert risikofreie Verm\u00f6genswerte (Anleihen mit bekanntem Ertrag) und risikobehaftete Verm\u00f6genswerte (Aktien mit unsicherem Ertrag). 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