{"id":33162,"date":"2025-02-25T13:00:23","date_gmt":"2025-02-25T13:00:23","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33162"},"modified":"2025-06-01T06:38:53","modified_gmt":"2025-06-01T06:38:53","slug":"das-ein-perioden-binomialmodell-und-die-no-arbitrage-bedingung","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-ein-perioden-binomialmodell-und-die-no-arbitrage-bedingung\/","title":{"rendered":"Das Ein-Perioden-Binomialmodell und die No-Arbitrage-Bedingung"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Das Ein-Perioden-Binomialmodell und die No-Arbitrage-Bedingung<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><b>Zusammenfassung:<\/b><br \/>\nStellen Sie sich ein Casino vor, in dem Sie auf ein Spiel wetten k\u00f6nnen und unabh\u00e4ngig vom Ergebnis immer Geld verdienen. Klingt zu sch\u00f6n, um wahr zu sein, oder? An den Finanzm\u00e4rkten entstehen solche Gelegenheiten durch die M\u00f6glichkeit des Arbitragehandels; sie werden jedoch schnell durch das Handeln der Marktteilnehmer beseitigt. In dieser Unterrichtseinheit untersuchen wir das Ein-Perioden-Binomialmodell und die No-Arbitrage-Bedingung und analysieren, wie Verm\u00f6genspreise, Zinss\u00e4tze und Anlagestrategien die M\u00f6glichkeit risikofreier Gewinne ausschlie\u00dfen. Durch detaillierte Beispiele und einen rigorosen mathematischen Beweis werden wir die grundlegenden Prinzipien aufdecken, die der finanziellen Stabilit\u00e4t zugrunde liegen, und erkl\u00e4ren, warum die Entdeckung einer Arbitragem\u00f6glichkeit nur der Anfang einer viel komplexeren Geschichte ist.<\/em>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><b>Lernziele<\/b><br \/>\nAm Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Das<\/strong> Ein-Perioden-Binomialmodell und seine Anwendung bei der Bewertung finanzieller Verm\u00f6genswerte zu <strong>verstehen<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>Die<\/strong> grundlegenden Elemente des Ein-Perioden-Binomialmodells zu <strong>identifizieren<\/strong>: Basiswert, Aufw\u00e4rts- und Abw\u00e4rtsfaktor sowie risikofreier Verm\u00f6genswert.<\/li>\n<li><strong>Die<\/strong> Konstruktion und Funktion eines selbstfinanzierenden Portfolios im Binomialmodell zu <strong>verstehen<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>Die<\/strong> No-Arbitrage-Bedingung an Finanzm\u00e4rkten und wie sie risikofreie Gewinne durch selbstfinanzierende Portfolios verhindert, zu <strong>verstehen<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>Die<\/strong> Existenz von Arbitragem\u00f6glichkeiten durch Analyse der No-Arbitrage-Bedingung zu <strong>bewerten<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>Zu analysieren<\/strong>, wie Arbitrage die Verm\u00f6genspreise beeinflusst und Marktanpassungen verursacht.<\/li>\n<li><strong>Die<\/strong> Wirkung von Aktienleihezinsen auf Arbitragestrategien und die No-Arbitrage-Bedingung zu <strong>beschreiben<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>Zu erkl\u00e4ren<\/strong>, wie durch mathematische Modelle Marktanpassungen nach dem Auftreten von Arbitragem\u00f6glichkeiten erfolgen.<\/li>\n<li><strong>Den<\/strong> formalen Beweis des Theorems der No-Arbitrage-Bedingung zu <strong>verstehen<\/strong>.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u><\/b><br \/>\n<a href=\"#1\">Was ist das Ein-Perioden-Binomialmodell?<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Wie erkennt man einen Markt mit Arbitragem\u00f6glichkeiten und deren rasche Aufl\u00f6sung<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Beweis des No-Arbitrage-Bedingungssatzes<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Fazit<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/-oshd8mj6bg?si=8Dgu1tTvP8giiEwd\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Was ist das Ein-Perioden-Binomialmodell?<\/h2>\n<p>Das <strong>Ein-Perioden-Binomialmodell<\/strong> ist ein mathematisches Modell, das in der Finanzwelt verwendet wird, um die Entwicklung des Preises eines Verm\u00f6genswerts in einem diskreten Zeitrahmen zu beschreiben. Es wird \u201ebinomial\u201c genannt, weil sich der Preis des Verm\u00f6genswerts in jeder Periode nur in zwei Richtungen bewegen kann: nach oben oder nach unten. Dieses Modell wird h\u00e4ufig zur Bewertung von Finanzderivaten, insbesondere Optionen, eingesetzt und bildet die Grundlage f\u00fcr das Mehrperioden-Binomialmodell.<\/p>\n<h3>Elemente des Modells<\/h3>\n<p>Das Ein-Perioden-Binomialmodell basiert auf den folgenden grundlegenden Elementen:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><strong>Ein Basiswert:<\/strong> Dargestellt durch seinen Preis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(t)<\/span> zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t<\/span>. Zum Anfangszeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=0<\/span> betr\u00e4gt der Preis des Verm\u00f6genswerts <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span>. Zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=1<\/span> kann sich sein Preis auf einen von zwei m\u00f6glichen Werten bewegen, bezeichnet als <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1,\\text{up})<\/span> (Preis bei Anstieg) oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1,\\text{down})<\/span> (Preis bei R\u00fcckgang):<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nS(1) =\n\n\\begin{cases}\n\nS(1,\\text{up}) = S(0)  u, &amp; \\text{mit Wahrscheinlichkeit } p, \\\\\n\nS(1,\\text{down}) = S(0)  d, &amp; \\text{mit Wahrscheinlichkeit } 1 - p.\n\n\\end{cases}\n\n<\/span>\n<p>Dabei stehen die Koeffizienten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> f\u00fcr die Aufw\u00e4rts- bzw. Abw\u00e4rtsfaktoren des Preises und erf\u00fcllen die Beziehung:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\lt d \\lt 1 \\lt u<\/span>.<\/p>\n<p>Diese Beziehung stellt au\u00dferdem sicher, dass zuk\u00fcnftige Preise streng positiv bleiben, wie es die grundlegenden Annahmen des <strong>einfachen Marktmodells<\/strong> verlangen.<\/p>\n<\/li>\n<li><strong>Wahrscheinlichkeiten:<\/strong> Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis des Verm\u00f6genswerts steigt, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p<\/span> betr\u00e4gt, und die Wahrscheinlichkeit, dass er f\u00e4llt, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1 - p<\/span>, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt p \\lt 1<\/span> gilt. Diese Einschr\u00e4nkung garantiert, dass beide Bewegungen des Verm\u00f6genswerts m\u00f6glich sind, und verhindert deterministische Situationen, in denen der Preis immer steigt oder f\u00e4llt, was das Binomialmodell ung\u00fcltig machen und Arbitragem\u00f6glichkeiten schaffen w\u00fcrde.<\/li>\n<li><strong>Ein risikofreier Verm\u00f6genswert:<\/strong> Es wird ein Anleihepapier oder ein Finanzinstrument eingef\u00fchrt, dessen Wert sich mit einem risikofreien Zinssatz <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> vorhersehbar entwickelt. Sein Preis in der n\u00e4chsten Periode ist gegeben durch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = A(0)(1+r)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<h3><b>Satz:<\/b> No-Arbitrage-Bedingung im Ein-Perioden-Binomialmodell<\/h3>\n<p>Angenommen, ein Verm\u00f6genswert hat einen Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0) \\gt 0<\/span>, und sein Wert zum Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=1<\/span> folgt der zuvor beschriebenen binomialen Struktur. Weiterhin existiert ein risikofreier Verm\u00f6genswert (Anleihe) mit einem Preis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = A(0)(1+r)<\/span>, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> der risikofreie Zinssatz ist. Dann ist der Markt genau dann arbitragefrei, wenn die Aufw\u00e4rts- und Abw\u00e4rtsfaktoren folgende Bedingung erf\u00fcllen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d \\lt 1 + r \\lt u<\/span>\n<p>In einem arbitragefreien Markt ist es nicht m\u00f6glich, ein selbstfinanzierendes Portfolio zu konstruieren, das risikofreie Gewinne generiert.<\/p>\n<h3>Was ist ein selbstfinanzierendes Portfolio?<\/h3>\n<p>Ein <strong>selbstfinanzierendes Portfolio<\/strong> ist eine Anlagestrategie, bei der kein zus\u00e4tzliches Kapital erforderlich ist, da jeder Kauf von Verm\u00f6genswerten durch den Verkauf anderer innerhalb desselben Portfolios finanziert wird. Mit anderen Worten: Es werden keine externen Mittel eingebracht, um es umzusetzen.<\/p>\n<p>Wenn in einem Markt ein selbstfinanzierendes Portfolio konstruiert werden kann, das in allen m\u00f6glichen Szenarien einen Gewinn garantiert, dann existiert eine Arbitragem\u00f6glichkeit. Die No-Arbitrage-Bedingung impliziert, dass es nicht m\u00f6glich ist, solche Portfolios zu konstruieren.<\/p>\n<p>Mathematisch wird ein selbstfinanzierendes Portfolio wie folgt konstruiert:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Position im riskanten Verm\u00f6genswert:<\/strong> Kauf oder Leerverkauf von <i>x<\/i> Einheiten des Verm\u00f6genswerts mit dem Anfangspreis <i>S(0)<\/i>.<\/li>\n<li><strong>Position im risikofreien Verm\u00f6genswert:<\/strong> Investieren oder Leihen eines Betrags <i>y<\/i> in eine Anleihe mit dem Preis <i>A(0)<\/i> und risikofreiem Zinssatz <i>r<\/i>.<\/li>\n<li><strong>Selbstfinanzierungsbedingung:<\/strong> Folgende Gleichung muss erf\u00fcllt sein:<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(0) = x S(0) + y A(0) = 0. <\/span>\n<li><strong>Bewertung in der n\u00e4chsten Periode:<\/strong> Zum Zeitpunkt <i>t = 1<\/i> ist der Portfoliowert:<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = \\begin{cases} x S(1,\\text{up}) + y A(1), &amp; \\text{wenn der Preis steigt}, \\\\ x S(1,\\text{down}) + y A(1), &amp; \\text{wenn der Preis f\u00e4llt}. \\end{cases} <\/span>\n<\/ul>\n<p>Wenn es eine Kombination von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> gibt, so dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1) \\geq 0<\/span> in beiden Szenarien und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1) \\gt 0<\/span> in mindestens einem, dann wurde eine Arbitragem\u00f6glichkeit gefunden.<\/p>\n<h3>Wie erkennt man einen Markt ohne Arbitragem\u00f6glichkeiten mithilfe des Satzes?<\/h3>\n<p>Angenommen, ein Verm\u00f6genswert hat einen Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0) = 100<\/span> Dollar, und in der n\u00e4chsten Periode kann sein Preis folgenderma\u00dfen verlaufen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nS(1) = \\begin{cases}\n\nS(1,\\text{up}) = S(0) u = 120, &amp; \\text{wenn der Preis steigt}, \\\\\n\nS(1,\\text{down}) = S(0) d = 90, &amp; \\text{wenn der Preis f\u00e4llt}.\n\n\\end{cases}\n\n<\/span>\n<p>Gleichzeitig w\u00e4chst eine Anleihe von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0) = 100<\/span> auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = 105<\/span>, mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r = 5\\%<\/span>. Auf dieser Grundlage \u00fcberpr\u00fcfen wir das Vorhandensein von Arbitrage, indem wir einfach die No-Arbitrage-Bedingung pr\u00fcfen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d \\lt 1+r\\lt u<\/span>.<\/p>\n<p>Aus den gegebenen Daten ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 \\lt 0{,}9 \\lt 1{,}05 \\lt 1{,}2 <\/span>\n<p>Da die Ungleichung erf\u00fcllt ist, ist es nicht m\u00f6glich, ein selbstfinanzierendes Portfolio mit risikofreien Gewinnen zu konstruieren, was die Konsistenz des Binomialmodells gew\u00e4hrleistet.<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/LcbshxYeYjI?si=uoOXYUtRn31B-KKI\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Wie erkennt man einen Markt mit Arbitragem\u00f6glichkeiten und deren rasche Aufl\u00f6sung?<\/h2>\n<p>Betrachten wir einen Verm\u00f6genswert mit einem Anfangspreis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0) = 100<\/span> Dollar. In der n\u00e4chsten Periode kann sich sein Preis wie folgt entwickeln:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nS(1) = \\begin{cases}\n\nS(1,\\text{up}) = S(0) u = 105{,}2, &amp; \\text{wenn der Preis steigt}, \\\\\n\nS(1,\\text{down}) = S(0) d = 82, &amp; \\text{wenn der Preis f\u00e4llt}.\n\n\\end{cases}\n\n<\/span>\n<p>Der Preis des risikofreien Verm\u00f6genswerts betr\u00e4gt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0) = 100<\/span>, und in der n\u00e4chsten Periode steigt er auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = 107<\/span>, mit einem risikofreien Zinssatz von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r = 7\\%<\/span>.<\/p>\n<p>Wir \u00fcberpr\u00fcfen die No-Arbitrage-Bedingung:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 \\lt 0{,}82 \\lt 1{,}07 \\not\\lt 1{,}052 <\/span>\n<p>Da die Ungleichung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1+r \\lt u<\/span> nicht erf\u00fcllt ist, ist Arbitrage auf diesem Markt m\u00f6glich. Um dies zu zeigen, werden wir ein selbstfinanzierendes Portfolio mit folgendem Verfahren konstruieren:<\/p>\n<ul>\n<li><b>Leerverkauf einer Aktie:<\/b> Der riskante Verm\u00f6genswert wird zum Preis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0) = 100<\/span> leerverkauft, was bedeutet, dass der Investor eine Aktie leihen muss, um sie am Markt zu verkaufen.<\/li>\n<li><b>Investition in den risikofreien Verm\u00f6genswert:<\/b> Die durch den Leerverkauf erhaltenen 100\u00a0Dollar werden in Anleihen investiert.<\/li>\n<li><b>R\u00fcckkauf der Aktie in der n\u00e4chsten Periode:<\/b>\n<ul>\n<li>F\u00e4llt der Preis auf 82, ergibt sich ein Nettogewinn von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">107 - 82 = 25<\/span>.<\/li>\n<li>Steigt der Preis auf 105{,}2, ergibt sich ein Nettogewinn von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">107 - 105{,}2 = 1{,}8<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>In beiden F\u00e4llen erzielt der Investor risikofreie Gewinne, was die Existenz von Arbitrage best\u00e4tigt.<\/p>\n<h3>\ud83d\udccc Marktanpassungen an eine Arbitragestrategie<\/h3>\n<p>In einem effizienten Markt bleiben solche Gelegenheiten jedoch nicht bestehen. Sobald mehr Investoren diese Ineffizienz erkennen, beginnen sie, Arbitragestrategien durch <strong>Leerverk\u00e4ufe<\/strong> umzusetzen, was mehrere wichtige Effekte zur Folge hat:<\/p>\n<ul>\n<li><b>Zunahme des Angebots des riskanten Verm\u00f6genswerts:<\/b> Leerverk\u00e4ufe bedeuten, dass viele Investoren Aktien leihen und am Markt verkaufen, wodurch das Angebot verf\u00fcgbarer Aktien steigt. Dieses erh\u00f6hte Angebot erzeugt <strong>Abw\u00e4rtsdruck auf den Anfangspreis<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span>.<\/li>\n<li><b>Anpassung der zuk\u00fcnftigen Preise des Verm\u00f6genswerts:<\/b> Da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1, \\text{up}) = S(0) u<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1, \\text{down}) = S(0) d<\/span> gilt, f\u00fchrt der R\u00fcckgang von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> zu einer Neuanpassung der Werte von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span>, was ihre Beziehung zum risikofreien Zinssatz <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1 + r<\/span> beeinflusst. Dies tendiert dazu, die No-Arbitrage-Bedingung wiederherzustellen.<\/li>\n<li><b>Auswirkung auf den Anleihepreis:<\/b> Da Investoren die durch Leerverk\u00e4ufe erhaltenen Mittel in Anleihen investieren, steigt die Nachfrage nach Anleihen. Dies f\u00fchrt zu <strong>einem Anstieg des aktuellen Preises der Anleihe<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span>. Da der zuk\u00fcnftige Wert der Anleihe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = 107<\/span> unver\u00e4ndert bleibt, <strong>verringert sich dadurch die effektive Rendite<\/strong> der Investition in Anleihen, wodurch sich die Verzinsung des risikofreien Verm\u00f6genswerts anpasst.<\/li>\n<li><b>Kosten des Leerverkaufs:<\/b> Investoren, die Aktien leihen, um sie leerzuverkaufen, m\u00fcssen einen <strong>Aktienleihezins<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> zahlen. Dieser Zinssatz stellt eine zus\u00e4tzliche Kostenbelastung dar, die die Nettoarbitragegewinne reduzieren kann.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>\ud83d\udccc Wie beeinflusst der Aktienleihezins Arbitrage?<\/h3>\n<p>Wenn der Aktienleihezins <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> hoch ist, kann er den Nettogewinn aus der Arbitrage reduzieren oder sogar eliminieren. Die korrigierte Gleichung f\u00fcr den Endwert der Arbitragestrategie lautet:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nV(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)\n\n<\/span>\n<p>Wobei gilt:<\/p>\n<ul>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> ist der Aktienleihezins.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)(1+r)<\/span> stellt die Investition in die Anleihe dar.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1)<\/span> ist der Preis f\u00fcr den R\u00fcckkauf der Aktie am Ende der Periode.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Unter Ber\u00fccksichtigung des Aktienleihezinses <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> passt sich die No-Arbitrage-Bedingung wie folgt an:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d \\lt 1 + r - r_s \\lt u<\/span>\n<p>F\u00fcr diesen speziellen Fall lauten die Werte von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span>, die die Beziehung erf\u00fcllen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 \\lt 0{,}82 \\lt 1{,}07 - r_s \\lt 1{,}052 <\/span>\n<p>Das bedeutet:<\/p>\n<ul>\n<li><b>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\leq r_s \\lt 0{,}018<\/span>:<\/b> Die Arbitragem\u00f6glichkeit bleibt bestehen, da der Gewinn in beiden Szenarien positiv bleibt.<\/li>\n<li><b>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0{,}018 \\leq r_s \\leq 0{,}25<\/span>:<\/b> Die Arbitrage verschwindet, da die Leihkosten die Gleichung ausgleichen und risikofreie Gewinne eliminieren.<\/li>\n<li><b>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s \\gt 0{,}25<\/span>:<\/b> In diesem Fall w\u00fcrde kein rationaler Investor die Operation durchf\u00fchren, da die Leihkosten jeden m\u00f6glichen Vorteil \u00fcbersteigen. Da der zuk\u00fcnftige Portfoliowert in allen Szenarien negativ w\u00e4re, ist ein selbstfinanzierendes Portfolio in diesem Kontext mathematisch unm\u00f6glich.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>\ud83d\udccc Was passiert, wenn Verluste das Portfolio aufzehren? Zwangsliquidation und Margin Call<\/h3>\n<p>Wenn der Aktienleihezins <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> so hoch ist, dass er gesicherte Verluste garantiert (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s \\gt 0{,}25<\/span>), greift der Broker automatisch ein, um zu verhindern, dass das Konto des Investors ins Minus rutscht. Das f\u00fchrt zu einer <strong>Zwangsliquidation<\/strong>, auch bekannt als <b>Margin Call<\/b>.<\/p>\n<h5>\ud83d\udd39 Ablauf einer Zwangsliquidation:<\/h5>\n<ol>\n<li><b>Die Anleihe wird automatisch verkauft:<\/b>\n<p>Der Broker liquidiert die Anleiheinvestition <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)(1 + r)<\/span>, um Bargeld zu beschaffen.<\/p>\n<\/li>\n<li><b>R\u00fcckkauf der Aktie zur Schlie\u00dfung der Short-Position:<\/b>\n<p>Mit dem verf\u00fcgbaren Bargeld <strong>kauft der Broker die Aktie zur\u00fcck<\/strong> zum Marktpreis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1)<\/span>, um sie dem Verleiher zur\u00fcckzugeben.<\/p>\n<\/li>\n<li><b>Schuldenausgleich und Positionsschlie\u00dfung:<\/b>\n<p>Wenn das verf\u00fcgbare Guthaben nach dem Verkauf der Anleihe <strong>nicht ausreicht, um den R\u00fcckkauf der Aktie zu decken<\/strong>, bleibt dem Investor ein negativer Kontostand, was rechtliche Konsequenzen haben oder zus\u00e4tzliche Einzahlungen erforderlich machen kann.<\/p>\n<\/li>\n<li><b>Konsolidierter Verlust:<\/b>\n<p>Die Operation, die von Anfang an verlustreich war, wird mit einem Gesamtverlust abgeschlossen, der bestimmt ist durch:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Finaler Verlust} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s) <\/span>\n<p>Wenn der <strong>finale Verlust<\/strong> das verf\u00fcgbare Guthaben im Konto des Investors \u00fcbersteigt, verliert er sein gesamtes Kapital und k\u00f6nnte dem Broker gegen\u00fcber verschuldet sein.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h3>\ud83d\udccc Wie wird die No-Arbitrage-Bedingung wiederhergestellt?<\/h3>\n<p>Wenn der Aktienleihezins <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> ausreichend niedrig ist, bleibt die Arbitragem\u00f6glichkeit bestehen und ermutigt Investoren dazu, in gro\u00dfem Umfang Leerverk\u00e4ufe durchzuf\u00fchren, um einen risikofreien Gewinn zu erzielen.<\/p>\n<p><b>F\u00fcr diese Analyse nehmen wir an, dass der Aktienleihezins <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s = 0{,}015<\/span> betr\u00e4gt.<\/b><\/p>\n<p>Die durch diesen niedrigen Zinssatz ausgel\u00f6ste hohe Aktivit\u00e4t verursacht eine Marktneuanpassung, die mit der Zeit zur Wiederherstellung der No-Arbitrage-Bedingung f\u00fchrt. Dabei lassen sich insbesondere folgende Effekte beobachten:<\/p>\n<ul>\n<li><b>R\u00fcckgang des Anfangspreises der Aktie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span>:<\/b> Die hohe Nachfrage nach Leerverk\u00e4ufen erh\u00f6ht das Angebot an Aktien auf dem Markt, was einen <strong>Abw\u00e4rtsdruck<\/strong> auf den Anfangspreis aus\u00fcbt. Mit dem R\u00fcckgang von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> passen sich die Wachstums- und R\u00fcckgangsfaktoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> proportional an, wodurch sich die zuk\u00fcnftigen Preise des Verm\u00f6genswerts und seine Beziehung zum risikofreien Zinssatz ver\u00e4ndern.<\/li>\n<li><b>Anstieg des Barwerts der Anleihe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span>:<\/b> Investoren verwenden die durch Leerverk\u00e4ufe erhaltenen Mittel, um Anleihen zu kaufen, was deren <strong>Nachfrage<\/strong> erh\u00f6ht. Dies f\u00fchrt zu einem Anstieg ihres aktuellen Preises <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span>, wodurch die effektive Rendite von Anleiheinvestitionen sinkt und die Wahrnehmung des risikofreien Zinssatzes beeinflusst wird.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Diese kombinierten Effekte f\u00fchren zu einer schrittweisen Neuanpassung der Marktparameter. Der R\u00fcckgang von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> und der Anstieg von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span> ver\u00e4ndern die Struktur der Koeffizienten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> sowie das Verh\u00e4ltnis zwischen dem risikofreien Zinssatz <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> und dem Aktienleihezins <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span>, bis die No-Arbitrage-Bedingung wiederhergestellt ist:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d \\lt 1 + r - r_s \\lt u<\/span>\n<h4>\ud83d\udd39 Modellierung der Preisanpassung<\/h4>\n<p>Der Anpassungsprozess kann unter Verwendung der Anpassungskoeffizienten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> modelliert werden, welche die Korrekturfaktoren darstellen, die auf den Barwert von Anleihen bzw. Aktien angewendet werden.<\/p>\n<p>Diese Koeffizienten ver\u00e4ndern die aktuellen Werte der Verm\u00f6genswerte, indem sie die Faktoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> anpassen, bis die No-Arbitrage-Bedingung wiederhergestellt ist. Das hei\u00dft, der Anfangspreis der Aktie wird von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta S(0)<\/span> angepasst, w\u00e4hrend sich der Barwert der Anleihe von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span> auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha A(0)<\/span> \u00e4ndert.<\/p>\n<p>Infolgedessen werden die neuen Werte von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> unter Verwendung dieser Anpassungskoeffizienten wie folgt definiert:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nu&#039; = \\dfrac{S(1,\\text{up})}{\\beta S(0)}, \\quad d&#039; = \\dfrac{S(1,\\text{down})}{\\beta S(0)}\n\n<\/span>\n<p>Ebenso wird der neue risikofreie Zinssatz <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&#039;<\/span> entsprechend dem neuen Barwert der Anleihe angepasst:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nr&#039; + 1 = \\dfrac{A(1)}{\\alpha A(0)}\n\n<\/span>\n<p>Daraus ergibt sich eine umformulierte No-Arbitrage-Bedingung:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt \\dfrac{S(1,\\text{down})}{\\beta S(0)} \\lt \\dfrac{A(1)}{\\alpha A(0)} - r_s \\lt \\dfrac{S(1,\\text{up})}{\\beta S(0)} <\/span>\n<p>Durch L\u00f6sen nach den Anpassungskoeffizienten erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\beta \\gt \\dfrac{A(0)S(1,\\text{down})\\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\\alpha)}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\beta \\lt \\dfrac{A(0)S(1,\\text{up})\\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\\alpha)}\n\n<\/span>\n<p>Wenden wir die konkreten Werte des Problems an und ber\u00fccksichtigen, dass die Aktienpreise sinken, w\u00e4hrend die Anleihewerte steigen, so ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\beta &amp;\\gt \\dfrac{ 82 \\alpha}{107 - 1.5\\alpha} \\\\ \\\\\n\n\\beta &amp;\\lt \\dfrac{105.2 \\alpha}{107 - 1.5\\alpha } \\\\ \\\\\n\n\\beta &amp;\\lt 1 \\\\ \\\\\n\n\\alpha &amp;\\gt 1\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Die L\u00f6sung dieses Systems ist im dunkelsten Bereich der folgenden Grafik dargestellt:<\/p>\n<p><center><br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion.jpg\" alt=\"\" width=\"892\" height=\"677\" class=\"aligncenter size-full wp-image-32197 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion.jpg\" alt=\"\" width=\"892\" height=\"677\" class=\"aligncenter size-full wp-image-32197 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion.jpg 892w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion-300x228.jpg 300w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion-768x583.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 892px) 100vw, 892px\" \/><\/noscript><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p>Eine m\u00f6gliche Kombination von Werten, auf die sich der Markt zubewegen k\u00f6nnte, um die Arbitragem\u00f6glichkeit zu eliminieren, ist daher zum Beispiel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha=1{,}05<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta=0{,}95<\/span>.<\/p>\n<p>Damit lauten die korrigierten Koeffizienten:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nu^\\prime &amp;= \\dfrac{S(1,\\text{up})}{\\beta S(0)}  = \\dfrac{105.2}{0.95\\cdot 100} \\approx 1.107 \\\\ \\\\\n\nd^\\prime &amp;= \\dfrac{S(1,\\text{down})}{\\beta S(0)}  = \\dfrac{82}{0.95\\cdot 100} \\approx 0.863 \\\\ \\\\\n\nr^\\prime + 1 &amp;= \\dfrac{A(1)}{\\alpha A(0)} = \\dfrac{107}{1.05 \\cdot 100} \\approx 1.019\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Damit ist die No-Arbitrage-Bedingung erf\u00fcllt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d^\\prime \\lt 1+r^\\prime - r_s \\lt u^\\prime<\/span>\n<p>Einsetzen der ermittelten Werte:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt 0{,}863 \\lt 1{,}019 - 0{,}015 = 1{,}004 \\lt 1{,}107<\/span>\n<p>Zus\u00e4tzlich k\u00f6nnen die korrigierten Werte der Verm\u00f6genswerte im aktuellen Moment aufgrund des Drucks berechnet werden, der durch Investoren ausge\u00fcbt wird, die versuchen, die Arbitragem\u00f6glichkeit auszunutzen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nA^\\prime(0) &amp;= \\alpha A(0) = 1{,}05\\cdot 100 = 105 \\\\ \\\\\n\nS^\\prime(0) &amp;= \\beta S(0) = 0{,}95\\cdot 100 = 95\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/iBmmjdFzVDI?si=BETKzTcGMB4yiZ8R\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Beweis des No-Arbitrage-Bedingungssatzes<\/h2>\n<p>Bis zu diesem Punkt haben wir die Funktionsweise des Satzes \u00fcber die No-Arbitrage-Bedingung untersucht. Nun werden wir seinen Beweis schrittweise entwickeln. Dazu ist es hilfreich, die Signale zu identifizieren, die auf das Vorhandensein einer Arbitragem\u00f6glichkeit hinweisen:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><b>Beziehung zwischen den Renditen riskanter Verm\u00f6genswerte und risikofreier Anleihen:<\/b><\/p>\n<p>Wenn die Rendite des riskanten Verm\u00f6genswerts im schlechtesten Fall den risikofreien Zinssatz \u00fcbersteigt, kann sein Kauf durch Kreditaufnahme zu diesem Zinssatz finanziert werden, was selbst im schlechtesten Fall einen risikofreien Gewinn garantiert.<\/p>\n<p>Ebenso kann, wenn der risikofreie Zinssatz die Rendite des riskanten Verm\u00f6genswerts im besten Fall \u00fcbersteigt, Arbitrage durch Leerverkauf des Verm\u00f6genswerts und Investition in Anleihen konstruiert werden, wodurch ein risikofreier Gewinn erzielt wird.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><b>Beziehung zwischen risikofreiem Zinssatz und Leihzins:<\/b><\/p>\n<p>Erg\u00e4nzend zum vorherigen Punkt ist es wichtig, zwischen dem Leihzins <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> und dem risikofreien Zinssatz <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> zu unterscheiden, insbesondere bei der Analyse von Arbitragestrategien oder Leerverk\u00e4ufen. Im Allgemeinen gilt folgende Beziehung:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1\\leq r \\leq r_s<\/span>\n<p>Wenn diese Beziehung nicht erf\u00fcllt ist, kann Arbitrage erzielt werden, indem man zu dem niedrigeren Zinssatz <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> leiht und in Anleihen mit dem h\u00f6heren Zinssatz <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> investiert, wodurch ein risikofreier Gewinn gesichert wird. Wenn diese M\u00f6glichkeit best\u00fcnde, w\u00fcrden Investoren sie ausnutzen, bis der Markt die Zinss\u00e4tze angepasst und Arbitrage beseitigt h\u00e4tte. Dar\u00fcber hinaus verlangen Kreditgeber in der Regel einen h\u00f6heren Zinssatz als Ausgleich f\u00fcr das Ausfallrisiko.<\/p>\n<p>In vereinfachten Finanzmodellen wird oft angenommen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s = r<\/span> gilt, und in den meisten F\u00e4llen wird auch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r \\geq 0<\/span> vorausgesetzt, um negative Zinss\u00e4tze zu vermeiden \u2013 obwohl dies nicht zwingend erforderlich ist.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><b>Bedingungen f\u00fcr das Vorhandensein von Arbitrage in einem Portfolio:<\/b><\/p>\n<p>Der Wert eines Portfolios zum aktuellen Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=0<\/span> wird gegeben durch:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(0) = xS(0) + y A(0)<\/span>\n<p>wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> den aktuellen Wert der Aktien und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span> den aktuellen Wert der Anleihen darstellt. Zum zuk\u00fcnftigen Zeitpunkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=1<\/span> h\u00e4ngt der Portfoliowert von der Entwicklung des riskanten Verm\u00f6genswerts ab:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1) =\n\n\\begin{cases}\n\nx S(0) u + y A(0) (1 + r), &amp;\\text{wenn der Preis steigt},\\\\\n\nx S(0) d + y A(0) (1 + r), &amp;\\text{wenn der Preis f\u00e4llt}.\n\n\\end{cases}<\/span>\n<p>Eine Arbitragem\u00f6glichkeit existiert genau dann, wenn es m\u00f6glich ist, ein Portfolio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x,y)<\/span> zu konstruieren, das die folgenden drei Bedingungen erf\u00fcllt:<\/p>\n<ol>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(0)=0<\/span>, das bedeutet, das Portfolio ist selbstfinanzierend und erfordert keine Anfangsinvestition.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1)\\geq 0 <\/span> in allen m\u00f6glichen Marktzust\u00e4nden, was Verluste ausschlie\u00dft.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1) \\gt 0<\/span> in mindestens einem der m\u00f6glichen Zust\u00e4nde, was einen strikt positiven Gewinn sichert.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Um diesen Beweis zu entwickeln, f\u00fchren wir die folgende Notationskonvention ein:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\nV(1,\\omega) &amp;=&amp; xS(1,\\omega) + yA(1).\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\omega<\/span> entweder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{up}<\/span> oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{down}<\/span> sein kann. Zus\u00e4tzlich ist es notwendig, die Bedingung, unter der ein Portfolio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x,y)<\/span> eine Arbitragem\u00f6glichkeit ausnutzt, mathematisch zu formulieren. Diese lautet wie folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{l}\n\nV(0) = 0, \\\\\n\n\\forall \\omega \\quad V(1,\\omega) \\geq 0, \\\\\n\n\\exists \\omega \\quad V(1,\\omega) &gt; 0.\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Mit diesen klaren Konzepten k\u00f6nnen wir nun den Ausdruck, der eine Arbitragem\u00f6glichkeit charakterisiert, mathematisch und pr\u00e4zise definieren:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\text{Arbitrage}:= &amp; V(0) = 0 \\wedge  (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega \\quad V(1,\\omega) \\geq 0) \\wedge \\cdots \\\\\n\n&amp; \\cdots \\wedge  (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\exists \\omega \\quad V(1,\\omega) \\gt 0) \\\\ \\\\\n\n\\text{No-Arbitrage}:= &amp; \\neg \\text{Arbitrage}\\\\\n\n= &amp; V(0) \\neq 0 \\vee  \\neg(\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega \\quad V(1,\\omega) \\geq 0) \\vee \\cdots \\\\\n\n&amp; \\cdots \\vee  \\neg(\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\exists \\omega \\quad V(1,\\omega) \\gt 0)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich wird die Menge der Pr\u00e4missen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{H}<\/span>, auf denen der Beweis basiert, wie folgt formuliert:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rcl}\n\n\\mathcal{H} &amp;=&amp; \\left\\{  \\right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\\\ \\\\\n\n&amp; &amp;V(t,\\omega) = xS(t,\\omega) + yA(t), A(0), S(0) \\gt 0, \\\\ \\\\\n\n&amp; &amp;  S(1) = \\begin{cases} S(1, \\text{up})  = S(0)u &amp; \\text{mit Wahrscheinlichkeit } p \\\\ S(1,\\text{down})  = S(0)d &amp; \\text{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p \\end{cases},  \\\\ \\\\\n\n&amp; &amp;  0 \\lt d \\lt u , \\left.  A(1) = A(0)(1+r), r\\geq -1 \\right\\}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Diese Menge enth\u00e4lt nicht nur die Pr\u00e4missen des Satzes, sondern auch die zugrunde liegenden Bedingungen des Ein-Perioden-Binomialmodells.<\/p>\n<p>Mit diesen festgelegten Prinzipien schreiten wir fort, um die Beziehung, die in einem arbitragefreien Markt gelten muss, mathematisch zu beweisen.<\/p>\n<h3>Formaler Beweis des Satzes:<\/h3>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\mathcal{H} \\models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 &amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\\n\n(2) &amp; \\mathcal{H} \\models V(1,\\omega) =xS(1,\\omega) + yA(1) &amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\\n\n(3) &amp; \\mathcal{H} \\models A(0) \\gt  0 &amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\\n\n(4) &amp; \\mathcal{H} \\models S(0) \\gt  0 &amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\\n\n(5) &amp; \\mathcal{H} \\models r \\gt  -1 &amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\\n\n(6) &amp; \\mathcal{H} \\models A(1) = (1+r) A(0) &amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\\n\n(7) &amp;\\color{red}\\mathcal{H} \\models 0 \\lt d \\lt u \\color{black}&amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\ \\\\\n\n(8) &amp; \\mathcal{H} \\models S(1) = \\begin{cases}S(1,\\text{up})=S(0)u &amp; \\text{, mit Wahrscheinlichkeit } p \\\\ S(1,\\text{down}) = S(0)d &amp; \\text{, mit Wahrscheinlichkeit } 1-p\\end{cases} &amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\ \\\\\n\n(9) &amp; \\mathcal{H} \\models y = \\dfrac{-xS(0)}{A(0)} \\wedge x\\in\\mathbb{R} &amp; \\text{; Aus (1)} \\\\\n\n(10)&amp; \\mathcal{H} \\models V(1,\\omega) =xS(1,\\omega) - \\dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) &amp; \\text{; Aus (2,9)} \\\\\n\n(11)&amp; \\mathcal{H} \\models V(1,\\omega) =xS(1,\\omega) - x(1+r)S(0) &amp; \\text{; Aus (6,10)} \\\\\n\n &amp;\\text{Dies ist der zuk\u00fcnftige Wert eines Portfolios, das durch ein Darlehen} &amp;\\\\\n\n &amp;\\text{zum Zinssatz $r$ zur Finanzierung eines Aktienkaufs finanziert wurde.} &amp;\\\\\n\n(12)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models 0 \\leq (1+r)S(0) \\leq \\underbrace{S(0) d}_{S(1,\\text{down})} \\lt \\underbrace{S(0) u}_{S(1,\\text{up})} &amp; \\text{; Aus (4,5,7,8)}\\\\\n\n(13)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models x(1+r)S(0) \\leq xS(1,\\omega) \\leftrightarrow x\\gt 0 &amp; \\text{; Aus (12)}\\\\\n\n(14)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega\\quad V(1,\\omega) \\geq 0) &amp;\\text{; Aus (2,9,13)}\\\\\n\n(15)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models V(1,\\omega) \\gt 0 \\leftrightarrow y \\gt \\dfrac{-xS(1,\\omega)}{A(1)} = \\dfrac{-xS(1,\\omega)}{(1+r)A(0)} &amp; \\text{; Aus (2,3,6,7.8)}\\\\\n\n(16)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\exists \\omega\\quad V(1,\\omega)\\gt 0) &amp;\\text{; Aus (14,15)}\\\\\n\n(17)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models \\text{Arbitrage} &amp;\\text{; Aus (1,14,16)}\\\\\n\n(18)&amp; \\color{red}\\mathcal{H}\\cup\\{\\text{No-Arbitrage}\\} \\models d \\lt 1+r\\color{black}&amp; \\text{; Widerspruchsbeweis (17)}\\\\ \\\\\n\n(19)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models 0 \\lt \\underbrace{S(0)d}_{S(1,\\text{down})} \\lt \\underbrace{S(0)u}_{S(1,\\text{up})} \\leq (1+r)S(0) &amp; \\text{; Aus (4,5,7,8)}\\\\\n\n(20)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models xS(1,\\omega) \\leq x(1+r)S(0) \\leftrightarrow x\\gt 0  &amp;\\text{; Aus (19)} \\\\\n\n(21)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models \\tilde{V}(0) = - V(0) = 0 &amp; \\text{; Aus (1)}\\\\\n\n(22)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models\\tilde{V}(1,\\omega)=-V(1,\\omega) &amp; \\\\\n\n &amp;\\phantom{\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models\\tilde{V}(1,\\omega)}=-xS(1,\\omega)+x(1+r)S(0) &amp; \\text{;Aus (11)}\\\\\n\n &amp;\\text{Dies ist der zuk\u00fcnftige Wert eines Portfolios, das durch Leerverkauf einer Aktie} &amp;\\\\\n\n &amp;\\text{finanziert wurde, um eine Anleihe mit Zinssatz $r$ zu kaufen.} &amp; \\\\\n\n(23)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega\\quad \\tilde{V}(1,\\omega) \\geq 0) &amp; \\text{; Aus (2,9,20,22)}\\\\\n\n(24)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models \\tilde{V}(1,\\omega)\\gt 0 \\leftrightarrow y \\lt \\dfrac{-xS(1,\\omega)}{A(1)} = \\dfrac{-xS(1,\\omega)}{(1+r)A(0)} &amp;\\text{; Aus (2,3,4,6,22)}\\\\\n\n(25)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models(\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\exists \\omega\\quad \\tilde{V}(1,\\omega)\\gt 0) &amp;\\text{; Aus (23,24)}\\\\\n\n(26)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models \\text{Arbitrage} &amp;\\text{; Aus (21,23,25)}\\\\\n\n(27)&amp;\\color{red}\\mathcal{H}\\cup\\{\\text{No-Arbitrage}\\} \\models 1+r \\lt u\\color{black}&amp; \\text{; Widerspruchsbeweis (26)}\\\\\n\n(28) &amp;\\mathcal{H}\\cup\\{\\text{No-Arbitrage}\\} \\models 0\\lt d\\lt1+r\\lt u &amp;\\text{;\\color{red}Konjunktion (7,18,27)}\\color{black} \\\\\n\n(29)&amp; \\boxed{\\mathcal{H} \\models\\text{No-Arbitrage}\\rightarrow 0\\lt d\\lt1+r\\lt u}  &amp; \\text{; Aus (28)}\\\\ \\\\\n\n(37)&amp; \\color{blue}\\mathcal{H} \\models 0\\lt d\\lt 1+r \\lt u \\leftrightarrow \\text{No-Arbitrage}\\color{black}\\quad\\blacksquare &amp; \\text{; Aus (29)}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Fazit<\/h2>\n<p>Das Ein-Perioden-Binomialmodell und die No-Arbitrage-Bedingung sind grundlegende Pfeiler der Finanztheorie. Sie bieten einen strukturierten Rahmen f\u00fcr die Bewertung von Verm\u00f6genswerten und die Stabilit\u00e4t der M\u00e4rkte. In diesem Beitrag haben wir analysiert, wie Arbitragem\u00f6glichkeiten \u2013 so theoretisch attraktiv sie auch sein m\u00f6gen \u2013 durch die Marktkr\u00e4fte schnell beseitigt werden, und zwar durch Anpassungen der Verm\u00f6genspreise und Zinss\u00e4tze. Wir haben mathematisch gezeigt, dass die Beziehung zwischen den Aufw\u00e4rts- und Abw\u00e4rtsfaktoren eines Verm\u00f6genswerts und dem risikofreien Zinssatz entscheidend daf\u00fcr ist, einen effizienten Markt frei von risikofreien Gewinnm\u00f6glichkeiten zu gew\u00e4hrleisten. Dar\u00fcber hinaus haben wir festgestellt, dass selbst wenn Arbitragem\u00f6glichkeiten entstehen, Mechanismen wie Preisdruck, Leihkosten und die Neukonfiguration von Marktparametern zwangsl\u00e4ufig zur Wiederherstellung des Gleichgewichts f\u00fchren. Aus diesem Verst\u00e4ndnis heraus wird klar, dass Arbitrage nicht blo\u00df eine vor\u00fcbergehende Anomalie ist, sondern ein grundlegendes Element in der Dynamik der Finanzm\u00e4rkte, das deren Effizienz und mathematische Konsistenz antreibt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das Ein-Perioden-Binomialmodell und die No-Arbitrage-Bedingung Zusammenfassung: Stellen Sie sich ein Casino vor, in dem Sie auf ein Spiel wetten k\u00f6nnen und unabh\u00e4ngig vom Ergebnis immer Geld verdienen. Klingt zu sch\u00f6n, um wahr zu sein, oder? 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