{"id":32798,"date":"2022-03-15T13:00:55","date_gmt":"2022-03-15T13:00:55","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=32798"},"modified":"2025-04-01T18:30:48","modified_gmt":"2025-04-01T18:30:48","slug":"introducao-as-equacoes-diferenciais-ordinarias","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/introducao-as-equacoes-diferenciais-ordinarias\/","title":{"rendered":"Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0s Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Ordin\u00e1rias"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0s Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Ordin\u00e1rias<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>Esta aula oferece uma explora\u00e7\u00e3o detalhada das ideias fundamentais que regem essas equa\u00e7\u00f5es e suas aplica\u00e7\u00f5es em v\u00e1rios campos. Come\u00e7ando com uma an\u00e1lise da natureza da mudan\u00e7a incessante no mundo ao nosso redor, s\u00e3o apresentados conceitos b\u00e1sicos como fun\u00e7\u00f5es, derivadas e sua rela\u00e7\u00e3o com a mudan\u00e7a cont\u00ednua e discreta. Introduz-se a distin\u00e7\u00e3o entre Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Parciais (EDP) e Ordin\u00e1rias (EDO), com foco no estudo das EDO. Conceitos s\u00e3o ilustrados com exemplos pr\u00e1ticos como o resfriamento de uma x\u00edcara de caf\u00e9, as Leis de Newton e modelos populacionais. Os estudantes ter\u00e3o a oportunidade de se familiarizar com equa\u00e7\u00f5es diferenciais que regem fen\u00f4menos naturais e f\u00edsicos, descobrir como podem ser representadas matematicamente e entender algumas t\u00e9cnicas para estudar suas solu\u00e7\u00f5es. Esse conhecimento inicial constituir\u00e1 a base para estudos mais avan\u00e7ados em equa\u00e7\u00f5es diferenciais e suas aplica\u00e7\u00f5es na ci\u00eancia e engenharia.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>Objetivos de Aprendizagem<\/u>:<\/strong><br \/>Ao concluir esta aula, o estudante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Compreender<\/strong> os conceitos b\u00e1sicos relacionados \u00e0s equa\u00e7\u00f5es diferenciais, como a natureza da mudan\u00e7a, as fun\u00e7\u00f5es, as derivadas e as diferen\u00e7as entre Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Parciais (EDP) e Ordin\u00e1rias (EDO)<\/li>\n<\/ul>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/bYwm6NAEvVA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>\u00cdNDICE<\/strong><br \/>\n<a href=\"#LasEcuacionesDiferencialesYLaNaturalezaDeLasCosas\"><strong>As Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais e a Natureza das Coisas<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#ElCambioIncesante\">A Mudan\u00e7a Incessante<\/a><br \/>\n<a href=\"#FuncionesDerivadasYSusCambios\">Fun\u00e7\u00f5es, derivadas e suas mudan\u00e7as<\/a><br \/>\n<a href=\"#EDOyEDP\">EDO e EDP<\/a><br \/>\n<a href=\"#EjemplosDeEcuacionesDiferencialesOrdinarias\"><strong>Exemplos de Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Ordin\u00e1rias<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#ElEnfriamientoDeUnaTazaDeCafe\">O resfriamento de uma x\u00edcara de caf\u00e9<\/a><br \/>\n<a href=\"#LasLeyesDeNewton\">As Leis de Newton<\/a><br \/>\n<a href=\"#ModeloDePoblaciones\">Modelo populacional<\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><a name=\"LasEcuacionesDiferencialesYLaNaturalezaDeLasCosas\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KgUDA2Q1qaA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>As Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais e a Natureza das Coisas<\/h2>\n<p><a name=\"ElCambioIncesante\"><\/a><\/p>\n<h3>A Mudan\u00e7a Incessante<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=133s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Na natureza, tudo est\u00e1 em constante mudan\u00e7a.<\/span><\/strong><\/a> Mesmo aquilo que parece nunca mudar, como o brilho do Sol, varia se for observado na escala de tempo adequada. Tudo muda: o brilho das estrelas, a temperatura do caf\u00e9 em uma x\u00edcara, a posi\u00e7\u00e3o de um objeto e o tamanho de uma popula\u00e7\u00e3o s\u00e3o alguns exemplos, e essas taxas de mudan\u00e7a geralmente est\u00e3o relacionadas com o estado do que muda enquanto essa mudan\u00e7a ocorre.<\/p>\n<p>Uma maneira intuitiva de entender a mudan\u00e7a \u00e9 observar como as coisas se modificam com o passar do tempo. A mudan\u00e7a que ocorre em rela\u00e7\u00e3o ao tempo \u00e9 o que chamamos de evolu\u00e7\u00e3o, e tudo o que podemos observar est\u00e1 em cont\u00ednua evolu\u00e7\u00e3o. Mas a evolu\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 a \u00fanica forma de mudan\u00e7a; por exemplo, embora nossa altura em rela\u00e7\u00e3o ao n\u00edvel do mar possa variar com o tempo, \u00e9 mais prov\u00e1vel que mude de acordo com nossa posi\u00e7\u00e3o (ou coordenadas geogr\u00e1ficas).<\/p>\n<p><a name=\"FuncionesDerivadasYSusCambios\"><\/a><\/p>\n<h3>Fun\u00e7\u00f5es, derivadas e suas mudan\u00e7as<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=301s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Em termos mais gerais,<\/span><\/strong><\/a> uma fun\u00e7\u00e3o de v\u00e1rias vari\u00e1veis <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_1,x_2, \\cdots, x_n)<\/span><\/span> pode variar se alguma de suas vari\u00e1veis mudar, e essa mudan\u00e7a pode ser cont\u00ednua ou discreta. Para uma fun\u00e7\u00e3o de v\u00e1rias vari\u00e1veis, a mudan\u00e7a cont\u00ednua pode ser estudada por meio das <strong>derivadas parciais:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial f(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_1} = \\lim_{\\Delta x_1 \\to 0} \\frac{ f(x_1 + \\Delta x_1, \\cdots, x_n) -  f(x_1, \\cdots, x_n)}{\\Delta x_1} <\/span>\n<p>Se a fun\u00e7\u00e3o for de uma \u00fanica vari\u00e1vel, utiliza-se a <strong>derivada ordin\u00e1ria:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{df(x)}{dx} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{ f(x + \\Delta x) -  f(x)}{\\Delta x} <\/span>\n<p>Se a mudan\u00e7a for discreta em vez de cont\u00ednua, simplesmente se omite o c\u00e1lculo do limite que aparece nas derivadas.<\/p>\n<p><a name=\"EDOyEDP\"><\/a><\/p>\n<h3>EDO e EDP<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=624s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Uma equa\u00e7\u00e3o que envolve uma fun\u00e7\u00e3o e suas diferentes derivadas<\/span><\/strong><\/a> \u00e9 conhecida como <strong>Equa\u00e7\u00e3o Diferencial<\/strong>. Se essas derivadas forem parciais ou ordin\u00e1rias, denominam-se, respectivamente, <strong>Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Parciais (EDP)<\/strong> ou <strong>Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Ordin\u00e1rias (EDO)<\/strong>. Neste momento, focaremos no estudo das equa\u00e7\u00f5es diferenciais ordin\u00e1rias e revisaremos alguns exemplos em que elas aparecem.<\/p>\n<p><a name=\"EjemplosDeEcuacionesDiferencialesOrdinarias\"><\/a><\/p>\n<h2>Exemplos de Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Ordin\u00e1rias<\/h2>\n<p><a name=\"ElEnfriamientoDeUnaTazaDeCafe\"><\/a><\/p>\n<h3>O resfriamento de uma x\u00edcara de caf\u00e9<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=680s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A taxa de resfriamento de uma x\u00edcara de caf\u00e9 \u00e9 proporcional<\/span><\/strong><\/a> \u00e0 diferen\u00e7a de temperatura entre o ambiente e o caf\u00e9. Se a temperatura do ar, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_a<\/span><\/span>, \u00e9 constante e a temperatura do caf\u00e9 \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o do tempo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_c=T_c(t),<\/span><\/span>, podemos encontrar uma equa\u00e7\u00e3o diferencial que nos permitir\u00e1 determinar a temperatura do caf\u00e9 em cada momento. Inicialmente temos que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dT_c(t)}{dt} = -\\alpha^2(T_c(t) - T_a) <\/span>\n<p>Onde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> \u00e9 uma constante de proporcionalidade, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_a \\lt T_c(t)<\/span><\/span> e o sinal negativo indica que a temperatura do caf\u00e9 est\u00e1 diminuindo. Mais adiante, veremos que essa equa\u00e7\u00e3o tem uma solu\u00e7\u00e3o da forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_c(t) = T_a + Be^{-\\alpha^2 t}<\/span>\n<p>Onde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> \u00e9 uma constante a ser determinada.<\/p>\n<p><a name=\"LasLeyesDeNewton\"><\/a><\/p>\n<h3>As Leis de Newton<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=885s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A Segunda Lei de Newton \u00e9, essencialmente, uma equa\u00e7\u00e3o diferencial ordin\u00e1ria,<\/span><\/strong><\/a> pois na express\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F=ma<\/span><\/span> (for\u00e7a igual a massa vezes acelera\u00e7\u00e3o), a acelera\u00e7\u00e3o, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=d^2x(t)\/dt^2,<\/span><\/span>, \u00e9 a segunda derivada temporal da posi\u00e7\u00e3o do objeto. Por meio desta lei, podemos encontrar rela\u00e7\u00f5es que descrevem o movimento dos corpos, que s\u00e3o, na realidade, equa\u00e7\u00f5es diferenciais. Um exemplo simples \u00e9 o estudo de molas: se temos uma mola presa a uma parede fixa de um lado e a uma massa do outro em posi\u00e7\u00e3o de equil\u00edbrio, e depois deslocamos a massa uma dist\u00e2ncia <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> dessa posi\u00e7\u00e3o, pela lei de Hooke a massa sentir\u00e1 uma for\u00e7a de restitui\u00e7\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F=-kx<\/span><\/span>. Ent\u00e3o, pela segunda lei de Newton, teremos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -kx(t) = m\\frac{d^2x(t)}{dt^2} <\/span>\n<p>Mais adiante veremos que sua solu\u00e7\u00e3o \u00e9 da forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle x(t) = A\\sin\\left(\\sqrt{\\frac{k}{m}}t + \\phi \\right)<\/span>\n<p>Onde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span> s\u00e3o constantes que ser\u00e3o determinadas pelas <strong>condi\u00e7\u00f5es iniciais do problema<\/strong>.<\/p>\n<p><a name=\"ModeloDePoblaciones\"><\/a><\/p>\n<h3>Modelo populacional<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=1184s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A taxa de crescimento por habitante<\/span><\/strong><\/a> de uma popula\u00e7\u00e3o \u00e9 igual \u00e0 diferen\u00e7a entre as taxas de nascimento e morte, ou seja:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{x(t)} \\frac{dx(t)}{dt} = N - M<\/span>\n<p>Se a taxa de nascimento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> permanece constante no tempo e as mortes s\u00e3o proporcionais \u00e0 popula\u00e7\u00e3o, ou seja, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M=\\alpha^2 x(t),<\/span><\/span>, ent\u00e3o a equa\u00e7\u00e3o anterior toma a forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \\alpha^2 x(t))<\/span>\n<p>Isso \u00e9 conhecido como a <strong>\u00abEqua\u00e7\u00e3o Log\u00edstica das Popula\u00e7\u00f5es\u00bb<\/strong>. A partir desta equa\u00e7\u00e3o, pode-se construir uma generaliza\u00e7\u00e3o para muitas popula\u00e7\u00f5es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1(t), x_2(t), \\cdots, x_n(t)<\/span><\/span> que competem entre si pela exist\u00eancia da seguinte maneira:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \\left(N_i - \\displaystyle \\sum_{j=1}^n\\alpha^2_{ij} x_j(t)  \\right)<\/span>\n<p>Com <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in\\{1,\\cdots, n\\}<\/span><\/span>. Isso \u00e9 o que se conhece como <strong>Equa\u00e7\u00f5es de Lotka-Volterra<\/strong>.<\/p>\n<h2>Conclus\u00e3o<\/h2>\n<p>Ao longo desta introdu\u00e7\u00e3o \u00e0s Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Ordin\u00e1rias, exploramos como a matem\u00e1tica pode capturar de maneira precisa e elegante as mudan\u00e7as que ocorrem no mundo natural. Desde o resfriamento de uma x\u00edcara de caf\u00e9 at\u00e9 o movimento de uma mola ou o crescimento de uma popula\u00e7\u00e3o, as EDO permitem traduzir din\u00e2micas complexas em rela\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas compreens\u00edveis e analis\u00e1veis.<\/p>\n<p>Compreender a estrutura e o significado dessas equa\u00e7\u00f5es abre as portas para m\u00faltiplas disciplinas, como f\u00edsica, biologia, economia e engenharia. Esta aula estabelece as bases conceituais necess\u00e1rias para prosseguir com estudos mais avan\u00e7ados, onde se aprofundar\u00e1 em t\u00e9cnicas de resolu\u00e7\u00e3o, an\u00e1lise qualitativa e m\u00e9todos num\u00e9ricos. O mais importante, no entanto, \u00e9 ter desenvolvido uma intui\u00e7\u00e3o inicial sobre como a linguagem da mudan\u00e7a \u2014 as equa\u00e7\u00f5es diferenciais \u2014 nos permite descrever, entender e prever o comportamento de sistemas din\u00e2micos.<\/p>\n<p>Nas pr\u00f3ximas aulas continuaremos desenvolvendo ferramentas mais poderosas e aplicando-as a novos contextos. As equa\u00e7\u00f5es diferenciais n\u00e3o s\u00f3 nos oferecem uma forma de analisar a realidade, mas tamb\u00e9m de imaginar como ela poderia evoluir sob diferentes condi\u00e7\u00f5es.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0s Equa\u00e7\u00f5es Diferenciais Ordin\u00e1rias Esta aula oferece uma explora\u00e7\u00e3o detalhada das ideias fundamentais que regem essas equa\u00e7\u00f5es e suas aplica\u00e7\u00f5es em v\u00e1rios campos. 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