{"id":32693,"date":"2022-03-15T13:00:21","date_gmt":"2022-03-15T13:00:21","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=32693"},"modified":"2025-04-01T18:17:50","modified_gmt":"2025-04-01T18:17:50","slug":"introduccion-a-las-ecuaciones-diferenciales-ordinarias","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/introduccion-a-las-ecuaciones-diferenciales-ordinarias\/","title":{"rendered":"Introducci\u00f3n a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Introducci\u00f3n a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>En esta clase se ofrece una exploraci\u00f3n detallada de las ideas fundamentales que rigen estas ecuaciones y sus aplicaciones en varios campos. Comenzando con un an\u00e1lisis de la naturaleza del cambio incesante en el mundo que nos rodea, se presentan conceptos b\u00e1sicos como funciones, derivadas y su relaci\u00f3n con el cambio continuo y discreto. Se introduce la distinci\u00f3n entre Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) y Ordinarias (EDO), enfoc\u00e1ndose en el estudio de las EDO. Se ilustran conceptos con ejemplos pr\u00e1cticos como el enfriamiento de una taza de caf\u00e9, las Leyes de Newton y modelos de poblaci\u00f3n. Los estudiantes tendr\u00e1n la oportunidad de familiarizarse con ecuaciones diferenciales que rigen fen\u00f3menos naturales y f\u00edsicos, descubrir c\u00f3mo se pueden representar matem\u00e1ticamente y entender algunas t\u00e9cnicas para estudiar sus soluciones. Este conocimiento inicial constituir\u00e1 la base para estudios m\u00e1s avanzados en ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ciencia e ingenier\u00eda..<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>Objetivos de Aprendizaje<\/u>:<\/strong><br \/>Al concluir esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> los conceptos b\u00e1sicos relacionados con ecuaciones diferenciales, como la naturaleza del cambio, las funciones, las derivadas y las diferencias entre Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) y Ordinarias (EDO)<\/li>\n<\/ul>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/bYwm6NAEvVA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INDICE<\/strong><br \/>\n<a href=\"#LasEcuacionesDiferencialesYLaNaturalezaDeLasCosas\"><strong>Las Ecuaciones Diferenciales y la Naturaleza de las Cosas<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#ElCambioIncesante\">El Cambio Incesante<\/a><br \/>\n<a href=\"#FuncionesDerivadasYSusCambios\">Funciones, derivadas y sus cambios<\/a><br \/>\n<a href=\"#EDOyEDP\">EDO y EDP<\/a><br \/>\n<a href=\"#EjemplosDeEcuacionesDiferencialesOrdinarias\"><strong>Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#ElEnfriamientoDeUnaTazaDeCafe\">El enfriamiento de una taza de caf\u00e9<\/a><br \/>\n<a href=\"#LasLeyesDeNewton\">Las Leyes de Newton<\/a><br \/>\n<a href=\"#ModeloDePoblaciones\">Modelo de poblaciones<\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><a name=\"LasEcuacionesDiferencialesYLaNaturalezaDeLasCosas\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KgUDA2Q1qaA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Las Ecuaciones Diferenciales y la Naturaleza de las Cosas<\/h2>\n<p><a name=\"ElCambioIncesante\"><\/a><\/p>\n<h3>El Cambio Incesante<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=133s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">En la naturaleza, todo est\u00e1 en constante cambio.<\/span><\/strong><\/a> Incluso aquello que parece nunca cambiar, como el brillo del Sol, var\u00eda si se observa en la escala de tiempo adecuada. Todo cambia: el brillo de las estrellas, la temperatura del caf\u00e9 en una taza, la posici\u00f3n de un objeto, y el tama\u00f1o de una poblaci\u00f3n son algunos ejemplos, y estas tasas de cambio generalmente est\u00e1n relacionadas con el estado de lo que cambia mientras ocurre ese cambio.<\/p>\n<p>Una manera intuitiva de entender el cambio es observar c\u00f3mo las cosas se modifican conforme pasa el tiempo. Al cambio que ocurre respecto al tiempo es lo que llamamos evoluci\u00f3n, y todo lo que podemos observar est\u00e1 en continua evoluci\u00f3n. Pero la evoluci\u00f3n no es la \u00fanica forma de cambio; por ejemplo, si bien nuestra altura con respecto al nivel del mar puede variar con el paso del tiempo, es m\u00e1s probable que cambie seg\u00fan nuestra posici\u00f3n (o coordenadas geogr\u00e1ficas).<\/p>\n<p><a name=\"FuncionesDerivadasYSusCambios\"><\/a><\/p>\n<h3>Funciones, derivadas y sus cambios<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=301s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">En t\u00e9rminos m\u00e1s generales,<\/span><\/strong><\/a> una funci\u00f3n de varias variables <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_1,x_2, \\cdots, x_n)<\/span><\/span> puede variar si alguna de sus variables cambia, y ese cambio puede ser continuo o discreto. Para una funci\u00f3n de varias variables, el cambio continuo se puede estudiar a trav\u00e9s de las <strong>derivadas parciales:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial f(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_1} = \\lim_{\\Delta x_1 \\to 0} \\frac{ f(x_1 + \\Delta x_1, \\cdots, x_n) -  f(x_1, \\cdots, x_n)}{\\Delta x_1} <\/span>\n<p>Si la funci\u00f3n es de una sola variable, se utiliza la <strong>derivada ordinaria:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{df(x)}{dx} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{ f(x + \\Delta x) -  f(x)}{\\Delta x} <\/span>\n<p>Si el cambio es discreto en lugar de continuo, simplemente se omite el c\u00e1lculo del l\u00edmite que aparece en las derivadas.<\/p>\n<p><a name=\"EDOyEDP\"><\/a><\/p>\n<h3>EDO y EDP<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=624s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Una ecuaci\u00f3n que involucra una funci\u00f3n y sus distintas derivadas<\/span><\/strong><\/a> se conoce como <strong>Ecuaci\u00f3n Diferencial<\/strong>. Si estas derivadas son parciales u ordinarias, se denominan respectivamente <strong>Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)<\/strong> o <strong>Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)<\/strong>. En este momento, nos centraremos en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias y revisaremos algunos ejemplos en los que aparecen.<\/p>\n<p><a name=\"EjemplosDeEcuacionesDiferencialesOrdinarias\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias<\/h2>\n<p><a name=\"ElEnfriamientoDeUnaTazaDeCafe\"><\/a><\/p>\n<h3>El enfriamiento de una taza de caf\u00e9<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=680s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La tasa de enfriamiento de una taza de caf\u00e9 es proporcional<\/span><\/strong><\/a> a la diferencia de temperatura entre el ambiente y el caf\u00e9. Si la temperatura del aire, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_a<\/span><\/span>, es constante y la temperatura del caf\u00e9 es una funci\u00f3n del tiempo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_c=T_c(t),<\/span><\/span>, podemos encontrar una ecuaci\u00f3n diferencial que nos permitir\u00e1 determinar la temperatura del caf\u00e9 en cada momento. Inicialmente tenemos que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dT_c(t)}{dt} = -\\alpha^2(T_c(t) - T_a) <\/span>\n<p>Donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> es una constante de proporcionalidad, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_a \\lt T_c(t)<\/span><\/span> y el signo negativo indica que la temperatura del caf\u00e9 est\u00e1 disminuyendo. M\u00e1s adelante, veremos que esta ecuaci\u00f3n tiene una soluci\u00f3n de la forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_c(t) = T_a + Be^{-\\alpha^2 t}<\/span>\n<p>Donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> es una constante a determinar.<\/p>\n<p><a name=\"LasLeyesDeNewton\"><\/a><\/p>\n<h3>Las Leyes de Newton<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=885s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La Segunda Ley de Newton es, esencialmente, una ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria,<\/span><\/strong><\/a> ya que en la expresi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F=ma<\/span><\/span> (fuerza igual a masa por aceleraci\u00f3n), la aceleraci\u00f3n, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=d^2x(t)\/dt^2,<\/span><\/span>, es la segunda derivada temporal de la posici\u00f3n del objeto. Mediante esta ley, podemos encontrar relaciones que describen el movimiento de los cuerpos, que son en realidad ecuaciones diferenciales. Un ejemplo simple es el estudio de los resortes: si tenemos un resorte unido a una pared fija por un lado y a una masa por el otro en posici\u00f3n de equilibrio, y luego desplazamos la masa una distancia <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> de esa posici\u00f3n, por la ley de Hooke la masa sentir\u00e1 una fuerza de restituci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F=-kx<\/span><\/span>. Luego, por la segunda ley de Newton, tendremos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -kx(t) = m\\frac{d^2x(t)}{dt^2} <\/span>\n<p>M\u00e1s adelante constataremos que su soluci\u00f3n es de la forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle x(t) = A\\sin\\left(\\sqrt{\\frac{k}{m}}t + \\phi \\right)<\/span>\n<p>Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span> son constantes que ser\u00e1n determinadas por las <strong>condiciones iniciales del problema<\/strong>.<\/p>\n<p><a name=\"ModeloDePoblaciones\"><\/a><\/p>\n<h3>Modelo de poblaciones<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KgUDA2Q1qaA&#038;t=1184s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La tasa de crecimiento por habitante<\/span><\/strong><\/a> de una poblaci\u00f3n es igual a la diferencia entre las tasas de nacimientos y defunciones, es decir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{x(t)} \\frac{dx(t)}{dt} = N - M<\/span>\n<p>Si la tasa de nacimientos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> permanece constante en el tiempo y las muertes son proporcionales a la poblaci\u00f3n, es decir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M=\\alpha^2 x(t),<\/span><\/span>, entonces la ecuaci\u00f3n anterior toma la forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \\alpha^2 x(t))<\/span>\n<p>Esto es conocido como <strong>\u00abEcuaci\u00f3n Log\u00edstica de las Poblaciones\u00bb<\/strong>. A partir de esta ecuaci\u00f3n, se puede construir una generalizaci\u00f3n para muchas poblaciones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1(t), x_2(t), \\cdots, x_n(t)<\/span><\/span> que compiten entre s\u00ed por existir de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \\left(N_i - \\displaystyle \\sum_{j=1}^n\\alpha^2_{ij} x_j(t)  \\right)<\/span>\n<p>Con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in\\{1,\\cdots, n\\}<\/span><\/span>. Esto es lo que se conoce como <strong>Ecuaciones de Lotka-Volterra<\/strong>.<\/p>\n<h2>Conclusi\u00f3n<\/h2>\n<p>A lo largo de esta introducci\u00f3n a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, hemos explorado c\u00f3mo las matem\u00e1ticas pueden capturar de manera precisa y elegante los cambios que ocurren en el mundo natural. Desde el enfriamiento de una taza de caf\u00e9 hasta el movimiento de un resorte o el crecimiento de una poblaci\u00f3n, las EDO permiten traducir din\u00e1micas complejas en relaciones matem\u00e1ticas comprensibles y analizables.<\/p>\n<p>Comprender la estructura y el significado de estas ecuaciones abre la puerta a m\u00faltiples disciplinas, como la f\u00edsica, la biolog\u00eda, la econom\u00eda y la ingenier\u00eda. Esta clase sienta las bases conceptuales necesarias para continuar con estudios m\u00e1s avanzados, donde se profundizar\u00e1 en t\u00e9cnicas de resoluci\u00f3n, an\u00e1lisis cualitativo, y m\u00e9todos num\u00e9ricos. Lo m\u00e1s importante, sin embargo, es haber desarrollado una intuici\u00f3n inicial sobre c\u00f3mo el lenguaje del cambio \u2014las ecuaciones diferenciales\u2014 nos permite describir, entender y predecir el comportamiento de sistemas din\u00e1micos.<\/p>\n<p>En las siguientes clases continuaremos desarrollando herramientas m\u00e1s potentes y aplic\u00e1ndolas a nuevos contextos. Las ecuaciones diferenciales no solo nos ofrecen un modo de analizar la realidad, sino tambi\u00e9n de imaginar c\u00f3mo podr\u00eda evolucionar bajo diferentes condiciones.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias En esta clase se ofrece una exploraci\u00f3n detallada de las ideas fundamentales que rigen estas ecuaciones y sus aplicaciones en varios campos. 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