{"id":32511,"date":"2025-02-25T13:00:31","date_gmt":"2025-02-25T13:00:31","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=32511"},"modified":"2025-03-09T16:32:55","modified_gmt":"2025-03-09T16:32:55","slug":"le-modele-binomial-a-une-periode-et-la-condition-de-non-arbitrage","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/le-modele-binomial-a-une-periode-et-la-condition-de-non-arbitrage\/","title":{"rendered":"Le Mod\u00e8le Binomial \u00e0 une P\u00e9riode et la Condition de Non-Arbitrage"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Le Mod\u00e8le Binomial \u00e0 une P\u00e9riode et la Condition de Non-Arbitrage<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><b>R\u00e9sum\u00e9 :<\/b><br \/>\nImaginez un casino o\u00f9 vous pouvez parier sur un jeu et, quel que soit le r\u00e9sultat, vous gagnez toujours de l&#8217;argent. Cela semble trop beau pour \u00eatre vrai, n&#8217;est-ce pas ? Sur les march\u00e9s financiers, de telles opportunit\u00e9s apparaissent gr\u00e2ce \u00e0 la possibilit\u00e9 d\u2019arbitrage ; cependant, elles sont rapidement \u00e9limin\u00e9es par l&#8217;action des acteurs du march\u00e9. Dans ce cours, nous explorons le mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode et la condition de non-arbitrage, en analysant comment les prix des actifs, les taux d&#8217;int\u00e9r\u00eat et les strat\u00e9gies d&#8217;investissement \u00e9liminent la possibilit\u00e9 de gains sans risque. \u00c0 travers des exemples d\u00e9taill\u00e9s et une d\u00e9monstration math\u00e9matique rigoureuse, nous r\u00e9v\u00e9lerons les principes fondamentaux qui sous-tendent la stabilit\u00e9 financi\u00e8re et pourquoi d\u00e9tecter une opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage n&#8217;est que le d\u00e9but d&#8217;une histoire bien plus complexe.<\/em>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><b>Objectifs d\u2019Apprentissage<\/b><br \/>\n\u00c0 la fin de ce cours, l\u2019\u00e9tudiant sera capable de :\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprendre<\/strong> le mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode et son application dans l\u2019\u00e9valuation des actifs financiers.<\/li>\n<li><strong>Identifier<\/strong> les \u00e9l\u00e9ments fondamentaux du mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode : actif sous-jacent, facteurs de hausse et de baisse, et actif sans risque.<\/li>\n<li><strong>Comprendre<\/strong> la construction et la fonction d\u2019un portefeuille auto-financ\u00e9 dans le mod\u00e8le binomial.<\/li>\n<li><strong>Comprendre<\/strong> la condition de non-arbitrage sur les march\u00e9s financiers et comment elle emp\u00eache la possibilit\u00e9 de gains sans risque gr\u00e2ce \u00e0 des portefeuilles auto-financ\u00e9s.<\/li>\n<li><strong>\u00c9valuer<\/strong> l\u2019existence d\u2019opportunit\u00e9s d\u2019arbitrage sur un march\u00e9 en analysant la condition de non-arbitrage.<\/li>\n<li><strong>Analyser<\/strong> comment l\u2019arbitrage influence les prix des actifs et provoque des ajustements sur le march\u00e9.<\/li>\n<li><strong>D\u00e9crire<\/strong> l\u2019effet du taux d\u2019emprunt des actions sur la strat\u00e9gie d\u2019arbitrage et la condition de non-arbitrage.<\/li>\n<li><strong>Expliquer<\/strong> \u00e0 l\u2019aide de mod\u00e8les math\u00e9matiques comment le march\u00e9 se r\u00e9ajuste apr\u00e8s l\u2019apparition d\u2019opportunit\u00e9s d\u2019arbitrage.<\/li>\n<li><strong>Comprendre<\/strong> la d\u00e9monstration formelle du th\u00e9or\u00e8me de la condition de non-arbitrage.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>TABLE DES MATI\u00c8RES<\/u><\/b><br \/>\n<a href=\"#1\">Qu&#8217;est-ce que le mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode ?<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Comment reconna\u00eetre un march\u00e9 avec des opportunit\u00e9s d\u2019arbitrage et leur rapide disparition<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">D\u00e9monstration du Th\u00e9or\u00e8me de la Condition de Non-Arbitrage<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Conclusion<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/-oshd8mj6bg?si=8Dgu1tTvP8giiEwd\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Qu&#8217;est-ce que le mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode ?<\/h2>\n<p>Le <strong>mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode<\/strong> est un mod\u00e8le math\u00e9matique utilis\u00e9 en finance pour d\u00e9crire l&#8217;\u00e9volution du prix d&#8217;un actif dans un cadre temporel discret. Il est appel\u00e9 \u00abbinomial\u00bb car \u00e0 chaque p\u00e9riode de temps, le prix de l&#8217;actif ne peut \u00e9voluer que dans deux directions possibles : monter ou descendre. Ce mod\u00e8le est largement utilis\u00e9 pour l\u2019\u00e9valuation des produits d\u00e9riv\u00e9s financiers, en particulier les options, et constitue la base du mod\u00e8le binomial \u00e0 plusieurs p\u00e9riodes.<\/p>\n<h3>\u00c9l\u00e9ments du mod\u00e8le<\/h3>\n<p>Le mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode repose sur les \u00e9l\u00e9ments fondamentaux suivants :<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><strong>Un actif sous-jacent :<\/strong> Repr\u00e9sent\u00e9 par son prix <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(t)<\/span> au temps <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t<\/span>. Au moment initial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=0<\/span>, le prix de l&#8217;actif est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span>. Au temps <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=1<\/span>, son prix peut \u00e9voluer vers l&#8217;une des deux valeurs possibles, not\u00e9es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1,\\text{monte})<\/span> (prix s&#8217;il monte) ou <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1,\\text{descend})<\/span> (prix s&#8217;il descend) :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nS(1) =\n\n\\begin{cases}\n\nS(1,\\text{monte}) = S(0)  u, &amp; \\text{avec probabilit\u00e9 } p, \\\\\n\nS(1,\\text{descend}) = S(0)  d, &amp; \\text{avec probabilit\u00e9 } 1 - p.\n\n\\end{cases}\n\n<\/span>\n<p>O\u00f9 les coefficients <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> repr\u00e9sentent les facteurs d\u2019augmentation et de diminution du prix, satisfaisant la relation :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\lt d \\lt 1 \\lt u<\/span>.<\/p>\n<p>Cette relation garantit \u00e9galement que les prix futurs restent strictement positifs, conform\u00e9ment aux hypoth\u00e8ses fondamentales du <strong>mod\u00e8le simple du march\u00e9.<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li><strong>Probabilit\u00e9s :<\/strong> On suppose que la probabilit\u00e9 que l\u2019actif monte est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p<\/span> et que la probabilit\u00e9 qu&#8217;il descende est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1 - p<\/span>, avec <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt p \\lt 1<\/span>. Cette contrainte garantit que les deux \u00e9volutions de l\u2019actif sont possibles et emp\u00eache les situations d\u00e9terministes o\u00f9 le prix monte ou descend syst\u00e9matiquement, ce qui invaliderait le mod\u00e8le binomial et cr\u00e9erait des opportunit\u00e9s d&#8217;arbitrage.<\/li>\n<li><strong>Un actif sans risque :<\/strong> Un bon ou un instrument financier est introduit, dont la valeur cro\u00eet de mani\u00e8re pr\u00e9visible avec un taux d\u2019int\u00e9r\u00eat sans risque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span>. Son prix \u00e0 la p\u00e9riode suivante est donn\u00e9 par <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = A(0)(1+r)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<h3><b>Th\u00e9or\u00e8me :<\/b> Condition de Non-Arbitrage dans un Mod\u00e8le Binomial \u00e0 une P\u00e9riode<\/h3>\n<p>Soit un actif dont le prix initial est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0) \\gt 0<\/span> et dont la valeur au temps <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=1<\/span> suit la structure binomiale d\u00e9crite pr\u00e9c\u00e9demment. Supposons qu&#8217;il existe un actif sans risque (obligation) avec un prix <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = A(0)(1+r)<\/span>, o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> est le taux sans risque. Alors, le march\u00e9 est exempt d\u2019arbitrage si et seulement si les facteurs de croissance et de d\u00e9croissance satisfont la condition suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d \\lt 1 + r \\lt u<\/span>\n<p>Dans un march\u00e9 sans arbitrage, il est impossible de construire un portefeuille auto-financ\u00e9 qui g\u00e9n\u00e8re des gains sans risque.<\/p>\n<h3>Qu&#8217;est-ce qu&#8217;un portefeuille auto-financ\u00e9 ?<\/h3>\n<p>Un <strong>portefeuille auto-financ\u00e9<\/strong> est une strat\u00e9gie d\u2019investissement o\u00f9 aucun capital suppl\u00e9mentaire n&#8217;est requis, car tout achat d&#8217;actifs est financ\u00e9 par la vente d&#8217;autres actifs au sein du m\u00eame portefeuille. En d&#8217;autres termes, aucun fonds externe n&#8217;est inject\u00e9 pour sa mise en \u0153uvre.<\/p>\n<p>Si, sur un march\u00e9, il est possible de construire un portefeuille auto-financ\u00e9 qui garantit un gain dans tous les sc\u00e9narios possibles, alors il existe une opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage. La condition de non-arbitrage implique qu&#8217;il est impossible de construire un tel portefeuille.<\/p>\n<p>Math\u00e9matiquement, un portefeuille auto-financ\u00e9 est construit comme suit :<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Position sur l\u2019actif risqu\u00e9 :<\/strong> On ach\u00e8te ou vend \u00e0 d\u00e9couvert <i>x<\/i> unit\u00e9s de l\u2019actif dont le prix initial est <i>S(0)<\/i>.<\/li>\n<li><strong>Position sur l\u2019actif sans risque :<\/strong> On investit ou on emprunte un montant <i>y<\/i> dans une obligation avec un prix <i>A(0)<\/i> et un taux sans risque <i>r<\/i>.<\/li>\n<li><strong>Condition d\u2019auto-financement :<\/strong> L&#8217;\u00e9quation suivante doit \u00eatre satisfaite :<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(0) = x S(0) + y A(0) = 0. <\/span>\n<li><strong>\u00c9valuation \u00e0 la p\u00e9riode suivante :<\/strong> \u00c0 <i>t = 1<\/i>, la valeur du portefeuille est :<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = \\begin{cases} x S(1,\\text{monte}) + y A(1), &amp; \\text{si le prix monte}, \\\\ x S(1,\\text{descend}) + y A(1), &amp; \\text{si le prix descend}. \\end{cases} <\/span>\n<\/ul>\n<p>Si une combinaison de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> existe telle que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1) \\geq 0<\/span> dans les deux sc\u00e9narios et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1) \\gt 0<\/span> dans au moins un cas, alors une opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage a \u00e9t\u00e9 identifi\u00e9e.<\/p>\n<h3>Comment reconna\u00eetre un march\u00e9 sans opportunit\u00e9s d\u2019arbitrage en utilisant le th\u00e9or\u00e8me ?<\/h3>\n<p>Supposons qu\u2019un actif ait un prix initial de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0) = 100<\/span> dollars et que, \u00e0 la p\u00e9riode suivante, son prix puisse \u00e9voluer comme suit :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nS(1) = \\begin{cases}\n\nS(1,\\text{monte}) = S(0) u = 120, &amp; \\text{si le prix monte}, \\\\\n\nS(1,\\text{descend}) = S(0) d = 90, &amp; \\text{si le prix descend}.\n\n\\end{cases}\n\n<\/span>\n<p>Tandis qu\u2019une obligation cro\u00eet de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0) = 100<\/span> \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = 105<\/span>, avec <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r = 5\\%<\/span>. \u00c0 partir de ces donn\u00e9es, nous allons v\u00e9rifier s\u2019il est possible d\u2019obtenir un arbitrage simplement en examinant la condition de non-arbitrage :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d \\lt 1+r\\lt u<\/span>.<\/p>\n<p>En utilisant les valeurs donn\u00e9es :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 \\lt 0.9 \\lt 1.05 \\lt 1.2 <\/span>\n<p>\u00c9tant donn\u00e9 que cette in\u00e9galit\u00e9 est satisfaite, il est impossible de construire un portefeuille auto-financ\u00e9 garantissant des gains s\u00fbrs, ce qui assure la coh\u00e9rence du mod\u00e8le binomial.<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/LcbshxYeYjI?si=uoOXYUtRn31B-KKI\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Comment reconna\u00eetre un march\u00e9 avec des opportunit\u00e9s d\u2019arbitrage et leur rapide disparition<\/h2>\n<p>Consid\u00e9rons un actif dont le prix initial est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0) = 100<\/span> dollars. \u00c0 la p\u00e9riode suivante, son prix peut \u00e9voluer comme suit :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nS(1) = \\begin{cases}\n\nS(1,\\text{monte}) = S(0) u = 105.2, &amp; \\text{si le prix monte}, \\\\\n\nS(1,\\text{descend}) = S(0) d = 82, &amp; \\text{si le prix descend}.\n\n\\end{cases}\n\n<\/span>\n<p>Le prix de l\u2019actif sans risque est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0) = 100<\/span>, et \u00e0 la p\u00e9riode suivante, il cro\u00eet \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = 107<\/span>, avec un taux sans risque de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r = 7\\%<\/span>.<\/p>\n<p>V\u00e9rifions la condition de non-arbitrage :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 \\lt 0.82 \\lt 1.07 \\not\\lt 1.052 <\/span>\n<p>Comme l\u2019in\u00e9galit\u00e9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1+r \\lt u<\/span> n\u2019est pas satisfaite, il est donc possible de r\u00e9aliser un arbitrage sur ce march\u00e9. Pour le d\u00e9montrer, nous allons construire un portefeuille auto-financ\u00e9 selon le processus suivant :<\/p>\n<ul>\n<li><b>Vente \u00e0 d\u00e9couvert d\u2019une action :<\/b> L\u2019actif risqu\u00e9 est vendu \u00e0 d\u00e9couvert \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0) = 100<\/span>, ce qui signifie que l\u2019investisseur doit emprunter une action pour la vendre sur le march\u00e9.<\/li>\n<li><b>Investissement dans l\u2019actif sans risque :<\/b> Les 100 dollars obtenus sont investis dans des obligations.<\/li>\n<li><b>Rachat de l\u2019action \u00e0 la p\u00e9riode suivante :<\/b>\n<ul>\n<li>Si le prix baisse \u00e0 82, le gain net est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">107 - 82 = 25<\/span>.<\/li>\n<li>Si le prix monte \u00e0 105.2, le gain net est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">107 - 105.2 = 1.8<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dans les deux cas, l\u2019investisseur r\u00e9alise des gains garantis, confirmant ainsi l\u2019existence d\u2019une opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage.<\/p>\n<h3>\ud83d\udccc Ajustements du March\u00e9 face \u00e0 une Strat\u00e9gie d\u2019Arbitrage<\/h3>\n<p>Cependant, dans un march\u00e9 efficient, ces opportunit\u00e9s ne persistent pas. \u00c0 mesure que davantage d\u2019investisseurs d\u00e9tectent cette inefficacit\u00e9, ils commencent \u00e0 ex\u00e9cuter des strat\u00e9gies d\u2019arbitrage via la <strong>vente \u00e0 d\u00e9couvert<\/strong>, ce qui entra\u00eene plusieurs effets majeurs :<\/p>\n<ul>\n<li><b>Augmentation de l\u2019offre de l\u2019actif risqu\u00e9 :<\/b> La vente \u00e0 d\u00e9couvert implique que de nombreux investisseurs empruntent et vendent des actions sur le march\u00e9, augmentant ainsi l\u2019offre d\u2019actions disponibles. Cette augmentation de l\u2019offre g\u00e9n\u00e8re une <strong>pression baissi\u00e8re sur le prix initial<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span>.<\/li>\n<li><b>Ajustement des prix futurs de l\u2019actif :<\/b> \u00c9tant donn\u00e9 que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1, \\text{monte}) = S(0) u<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1, \\text{descend}) = S(0) d<\/span>, la baisse de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> entra\u00eene un r\u00e9ajustement des valeurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span>, impactant ainsi leur relation avec le taux sans risque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1 + r<\/span>. Cela tend \u00e0 r\u00e9tablir la condition de non-arbitrage.<\/li>\n<li><b>Impact sur le prix de l\u2019obligation :<\/b> \u00c0 mesure que les investisseurs utilisent les fonds obtenus gr\u00e2ce \u00e0 la vente \u00e0 d\u00e9couvert pour investir dans des obligations, la demande pour ces derni\u00e8res augmente. Cela entra\u00eene une <strong>hausse du prix actuel de l\u2019obligation<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span>. Comme la valeur future de l\u2019obligation reste <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(1) = 107<\/span>, cela <strong>r\u00e9duit la rentabilit\u00e9 effective de l\u2019investissement<\/strong> dans les obligations, ajustant ainsi le rendement de l\u2019actif sans risque.<\/li>\n<li><b>Co\u00fbt de la vente \u00e0 d\u00e9couvert :<\/b> Les investisseurs qui empruntent des actions pour les vendre \u00e0 d\u00e9couvert doivent payer un <strong>taux de pr\u00eat des actions<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span>. Ce taux repr\u00e9sente un co\u00fbt suppl\u00e9mentaire qui peut r\u00e9duire les gains nets de l\u2019arbitrage.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>\ud83d\udccc Comment le taux de pr\u00eat des actions affecte-t-il l\u2019arbitrage ?<\/h3>\n<p>Si le taux de pr\u00eat des actions <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> est \u00e9lev\u00e9, il peut r\u00e9duire, voire \u00e9liminer, le gain net de l\u2019arbitrage. L\u2019\u00e9quation corrig\u00e9e pour la valeur finale de la strat\u00e9gie d\u2019arbitrage est :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nV(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)\n\n<\/span>\n<p>O\u00f9 :<\/p>\n<ul>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> est le taux de pr\u00eat des actions.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)(1+r)<\/span> repr\u00e9sente l\u2019investissement dans l\u2019obligation.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1)<\/span> est le co\u00fbt du rachat de l\u2019action \u00e0 la fin de la p\u00e9riode.<\/li>\n<\/ul>\n<p>En int\u00e9grant le taux <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> du pr\u00eat des actions, la condition de Non-Arbitrage s\u2019ajuste de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d \\lt 1 + r - r_s \\lt u<\/span>\n<p>Dans ce cas particulier, les valeurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> qui satisfont cette relation sont :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 \\lt 0.82 \\lt 1.07 - r_s \\lt 1.052 <\/span>\n<p>Cela implique que :<\/p>\n<ul>\n<li><b>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\leq r_s \\lt 0.018<\/span> :<\/b> L\u2019opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage persiste, car le gain reste positif dans les deux sc\u00e9narios.<\/li>\n<li><b>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.018 \\leq r_s \\leq 0.25<\/span> :<\/b> L\u2019arbitrage dispara\u00eet, car le co\u00fbt du pr\u00eat des actions \u00e9quilibre l\u2019\u00e9quation, \u00e9liminant ainsi les gains s\u00fbrs.<\/li>\n<li><b>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s \\gt 0.25<\/span> :<\/b> Dans ce cas, aucun investisseur rationnel ne r\u00e9aliserait l\u2019op\u00e9ration, car le co\u00fbt du pr\u00eat d\u00e9passe tout b\u00e9n\u00e9fice possible. Comme la valeur future du portefeuille serait n\u00e9gative dans tous les sc\u00e9narios, un portefeuille auto-financ\u00e9 dans ce contexte est math\u00e9matiquement impossible.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>\ud83d\udccc Que se passe-t-il si les pertes \u00e9puisent le portefeuille ? Liquidation forc\u00e9e et appel de marge<\/h3>\n<p>Si le taux de pr\u00eat des actions <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> est si \u00e9lev\u00e9 qu\u2019il garantit des pertes s\u00fbres (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s \\gt 0.25<\/span>), le courtier intervient automatiquement pour \u00e9viter que le compte de l\u2019investisseur ne tombe en solde n\u00e9gatif. Cela entra\u00eene une <strong>liquidation forc\u00e9e<\/strong>, \u00e9galement connue sous le nom de <b>margin call<\/b>.<\/p>\n<h5>\ud83d\udd39 Processus de liquidation forc\u00e9e :<\/h5>\n<ol>\n<li><b>L\u2019obligation est vendue automatiquement :<\/b>\n<p>Le courtier liquide l\u2019investissement dans les obligations <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)(1 + r)<\/span> afin d\u2019obtenir des liquidit\u00e9s.<\/p>\n<\/li>\n<li><b>Rachat de l\u2019action pour cl\u00f4turer la position courte :<\/b>\n<p>Avec les liquidit\u00e9s disponibles, le courtier <strong>rach\u00e8te l\u2019action<\/strong> au prix du march\u00e9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1)<\/span> afin de la restituer au pr\u00eateur.<\/p>\n<\/li>\n<li><b>R\u00e8glement de la dette et cl\u00f4ture de la position :<\/b>\n<p>Si le solde disponible apr\u00e8s la vente de l\u2019obligation <strong>ne couvre pas le rachat de l\u2019action<\/strong>, l\u2019investisseur se retrouve avec un solde n\u00e9gatif, ce qui pourrait entra\u00eener des cons\u00e9quences l\u00e9gales ou n\u00e9cessiter un d\u00e9p\u00f4t de fonds suppl\u00e9mentaires.<\/p>\n<\/li>\n<li><b>Pertes consolid\u00e9es :<\/b>\n<p>L\u2019op\u00e9ration, qui \u00e9tait d\u00e9j\u00e0 perdante d\u00e8s le d\u00e9but, se cl\u00f4ture avec une perte totale d\u00e9termin\u00e9e par :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Perte Finale} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s) <\/span>\n<p>Si la <strong>perte finale<\/strong> est sup\u00e9rieure aux liquidit\u00e9s disponibles sur le compte de l\u2019investisseur, ce dernier perd tout son capital et pourrait se retrouver endett\u00e9 envers le courtier.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h3>\ud83d\udccc Comment la condition de non-arbitrage est-elle r\u00e9tablie ?<\/h3>\n<p>Lorsque le taux de pr\u00eat des actions <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> est suffisamment bas, l\u2019opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage demeure, incitant les investisseurs \u00e0 ex\u00e9cuter des ventes \u00e0 d\u00e9couvert en grandes quantit\u00e9s afin d\u2019obtenir un gain garanti.<\/p>\n<p><b>Pour cette analyse, consid\u00e9rons que le taux de pr\u00eat des actions est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s = 0.015<\/span>.<\/b><\/p>\n<p>La forte activit\u00e9 induite par ce faible taux d\u2019int\u00e9r\u00eat entra\u00eene un ajustement du march\u00e9 qui, avec le temps, r\u00e9tablit la condition de non-arbitrage. En particulier, les effets suivants sont observ\u00e9s :<\/p>\n<ul>\n<li><b>Baisse du prix initial de l\u2019action <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> :<\/b> La forte demande pour effectuer des ventes \u00e0 d\u00e9couvert augmente l\u2019offre d\u2019actions sur le march\u00e9, exer\u00e7ant une <strong>pression baissi\u00e8re<\/strong> sur son prix initial. \u00c0 mesure que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> diminue, les coefficients de croissance et de d\u00e9croissance <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> s\u2019ajustent proportionnellement, modifiant ainsi les prix futurs de l\u2019actif et leur relation avec le taux sans risque.<\/li>\n<li><b>Augmentation de la valeur pr\u00e9sente de l\u2019obligation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span> :<\/b> Les investisseurs utilisent les fonds obtenus via la vente \u00e0 d\u00e9couvert pour acheter des obligations, ce qui entra\u00eene une augmentation de leur <strong>demande<\/strong>. Cela fait monter leur prix pr\u00e9sent <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span>, r\u00e9duisant ainsi la rentabilit\u00e9 effective de l\u2019investissement dans les obligations et affectant la perception du taux sans risque.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ces effets combin\u00e9s conduisent \u00e0 un r\u00e9ajustement progressif des param\u00e8tres du march\u00e9. La baisse de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> et l\u2019augmentation de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span> modifient la structure des coefficients <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span>, ainsi que la relation entre le taux sans risque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> et le taux de pr\u00eat des actions <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span>, jusqu\u2019\u00e0 ce que la condition de non-arbitrage soit r\u00e9tablie :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d \\lt 1 + r - r_s \\lt u<\/span>\n<h4>\ud83d\udd39 Mod\u00e9lisation du r\u00e9ajustement des prix<\/h4>\n<p>Le processus de r\u00e9ajustement peut \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 \u00e0 l\u2019aide des coefficients d\u2019ajustement <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>, qui repr\u00e9sentent les facteurs de correction appliqu\u00e9s \u00e0 la valeur pr\u00e9sente des obligations et des actions, respectivement.<\/p>\n<p>Ces coefficients modifient les valeurs actuelles des actifs, ajustant ainsi les facteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> jusqu\u2019\u00e0 ce que la condition de non-arbitrage soit r\u00e9tablie. Autrement dit, le prix initial de l\u2019action s\u2019ajuste de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta S(0)<\/span>, tandis que la valeur pr\u00e9sente de l\u2019obligation passe de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span> \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha A(0)<\/span>.<\/p>\n<p>En cons\u00e9quence, les nouvelles valeurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span> sont d\u00e9finies en fonction de ces coefficients d\u2019ajustement :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nu&#039; = \\dfrac{S(1,\\text{monte})}{\\beta S(0)}, \\quad d&#039; = \\dfrac{S(1,\\text{descend})}{\\beta S(0)}\n\n<\/span>\n<p>De m\u00eame, le nouveau taux sans risque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&#039;<\/span> s\u2019ajuste en fonction de la nouvelle valeur pr\u00e9sente de l\u2019obligation :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nr&#039; + 1 = \\dfrac{A(1)}{\\alpha A(0)}\n\n<\/span>\n<p>Cela conduit \u00e0 une condition de non-arbitrage reformul\u00e9e :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt \\dfrac{S(1,\\text{descend})}{\\beta S(0)} \\lt \\dfrac{A(1)}{\\alpha A(0)} - r_s \\lt \\dfrac{S(1,\\text{monte})}{\\beta S(0)} <\/span>\n<p>En isolant les coefficients d\u2019ajustement, nous obtenons :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\beta \\gt \\dfrac{A(0)S(1,\\text{descend})\\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\\alpha)}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\beta \\lt \\dfrac{A(0)S(1,\\text{monte})\\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\\alpha)}\n\n<\/span>\n<p>Si nous appliquons les valeurs sp\u00e9cifiques du probl\u00e8me et consid\u00e9rons que le prix des actions diminue tandis que la valeur des obligations augmente, nous obtenons :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\beta &amp;\\gt \\dfrac{ 82 \\alpha}{107 - 1.5\\alpha} \\\\ \\\\\n\n\\beta &amp;\\lt \\dfrac{105.2 \\alpha}{107 - 1.5\\alpha } \\\\ \\\\\n\n\\beta &amp;\\lt 1 \\\\ \\\\\n\n\\alpha &amp;\\gt 1\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>La solution de ce syst\u00e8me se visualise dans la r\u00e9gion la plus sombre du graphique suivant :<\/p>\n<p><center><br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion.jpg\" alt=\"\" width=\"892\" height=\"677\" class=\"aligncenter size-full wp-image-32197 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion.jpg\" alt=\"\" width=\"892\" height=\"677\" class=\"aligncenter size-full wp-image-32197 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion.jpg 892w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion-300x228.jpg 300w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/coef-correccion-768x583.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 892px) 100vw, 892px\" \/><\/noscript><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p>Par cons\u00e9quent, une combinaison possible de valeurs vers laquelle le march\u00e9 pourrait converger pour \u00e9liminer l\u2019opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage est, par exemple, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha=1.05<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta=0.95<\/span>.<\/p>\n<p>Ainsi, les coefficients corrig\u00e9s sont :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nu^\\prime &amp;= \\dfrac{S(1,\\text{monte})}{\\beta S(0)}  = \\dfrac{105.2}{0.95\\cdot 100} \\approx 1.107 \\\\ \\\\\n\nd^\\prime &amp;= \\dfrac{S(1,\\text{descend})}{\\beta S(0)}  = \\dfrac{82}{0.95\\cdot 100} \\approx 0.863 \\\\ \\\\\n\nr^\\prime + 1 &amp;= \\dfrac{A(1)}{\\alpha A(0)} = \\dfrac{107}{1.05 \\cdot 100} \\approx 1.019\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>De cette mani\u00e8re, la condition de non-arbitrage est satisfaite :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt d^\\prime \\lt 1+r^\\prime - r_s \\lt u^\\prime<\/span>\n<p>En rempla\u00e7ant les valeurs obtenues :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt 0.863 \\lt 1.019 - 0.015 = 1.004 \\lt 1.107<\/span>\n<p>De plus, on peut calculer les valeurs corrig\u00e9es des actifs au moment pr\u00e9sent en raison de la pression exerc\u00e9e par les investisseurs cherchant \u00e0 exploiter l\u2019opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nA^\\prime(0) &amp;= \\alpha A(0) = 1.05\\cdot 100 = 105 \\\\ \\\\\n\nS^\\prime(0) &amp;= \\beta S(0) = 0.95\\cdot 100 = 95\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/iBmmjdFzVDI?si=BETKzTcGMB4yiZ8R\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>D\u00e9monstration du Th\u00e9or\u00e8me de la Condition de Non-Arbitrage<\/h2>\n<p>Jusqu&#8217;\u00e0 pr\u00e9sent, nous avons explor\u00e9 le fonctionnement du th\u00e9or\u00e8me de la condition de non-arbitrage. Nous allons maintenant proc\u00e9der \u00e0 son d\u00e9veloppement d\u00e9monstratif \u00e9tape par \u00e9tape. Pour ce faire, il est utile d\u2019identifier les signaux indiquant la pr\u00e9sence d\u2019une opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage :<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><b>Relation entre les rendements des actifs risqu\u00e9s et les obligations sans risque :<\/b><\/p>\n<p>Si le rendement de l\u2019actif risqu\u00e9 dans son pire sc\u00e9nario d\u00e9passe le taux sans risque, il est alors possible de financer son achat en empruntant \u00e0 ce taux, garantissant ainsi un gain sans risque m\u00eame dans le pire des cas.<\/p>\n<p>De mani\u00e8re analogue, si le taux sans risque d\u00e9passe le rendement de l\u2019actif risqu\u00e9 dans son meilleur sc\u00e9nario, un arbitrage peut \u00eatre construit en vendant \u00e0 d\u00e9couvert l\u2019actif et en investissant dans des obligations, obtenant ainsi un gain sans risque.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><b>Relation entre le taux sans risque et le taux d\u2019emprunt :<\/b><\/p>\n<p>En compl\u00e9ment du point pr\u00e9c\u00e9dent, il est important de distinguer entre le taux d\u2019un emprunt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> et le taux sans risque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span>, en particulier lors de l\u2019analyse des strat\u00e9gies d\u2019arbitrage ou de ventes \u00e0 d\u00e9couvert. En g\u00e9n\u00e9ral, la relation suivante est v\u00e9rifi\u00e9e :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1\\leq r \\leq r_s<\/span>\n<p>Si cette relation n\u2019est pas satisfaite, un arbitrage peut \u00eatre obtenu en empruntant au taux le plus bas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s<\/span> et en investissant dans des obligations avec le taux plus \u00e9lev\u00e9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span>, assurant ainsi un gain sans risque. Si une telle opportunit\u00e9 existait, les investisseurs l\u2019exploiteraient jusqu\u2019\u00e0 ce que le march\u00e9 ajuste les taux, \u00e9liminant l\u2019arbitrage. De plus, les pr\u00eateurs exigent g\u00e9n\u00e9ralement un taux plus \u00e9lev\u00e9 pour compenser le risque de d\u00e9faut.<\/p>\n<p>Dans les mod\u00e8les financiers simplifi\u00e9s, on suppose souvent <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_s = r<\/span>, et dans la plupart des cas, on impose \u00e9galement <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r \\geq 0<\/span> pour \u00e9viter les taux n\u00e9gatifs, bien que cela ne soit pas strictement n\u00e9cessaire.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><b>Conditions d\u2019existence d\u2019un arbitrage dans un portefeuille :<\/b><\/p>\n<p>La valeur d\u2019un portefeuille au temps pr\u00e9sent <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=0<\/span> est donn\u00e9e par :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(0) = xS(0) + y A(0)<\/span>\n<p>o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(0)<\/span> repr\u00e9sente la valeur actuelle des actions et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A(0)<\/span> la valeur actuelle des obligations. Au temps futur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=1<\/span>, la valeur du portefeuille d\u00e9pendra de l\u2019\u00e9volution de l\u2019actif risqu\u00e9 :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1) =\n\n\\begin{cases}\n\nx S(0) u + y A(0) (1 + r), &amp;\\text{si le prix monte},\\\\\n\nx S(0) d + y A(0) (1 + r), &amp;\\text{si le prix descend}.\n\n\\end{cases}<\/span>\n<p>Une opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage existe si et seulement si il est possible de construire un portefeuille <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x,y)<\/span> qui satisfait les trois conditions suivantes :<\/p>\n<ol>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(0)=0<\/span>, c\u2019est-\u00e0-dire que le portefeuille est auto-financ\u00e9 et ne n\u00e9cessite aucun investissement initial.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1)\\geq 0 <\/span> dans tous les \u00e9tats possibles du march\u00e9, garantissant qu\u2019il n\u2019y ait pas de pertes.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V(1) \\gt 0<\/span> dans au moins un des \u00e9tats possibles, assurant un gain strictement positif.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pour d\u00e9velopper cette d\u00e9monstration, nous introduirons la convention de notation suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\nV(1,\\omega) &amp;=&amp; xS(1,\\omega) + yA(1).\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>O\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\omega<\/span> peut \u00eatre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{monte}<\/span> ou <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{descend}<\/span>. De plus, il est n\u00e9cessaire d\u2019exprimer math\u00e9matiquement la condition qui est satisfaite lorsqu\u2019il existe un portefeuille <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x,y)<\/span> exploitant une opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage. Cette condition est formul\u00e9e de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{l}\n\nV(0) = 0, \\\\\n\n\\forall \\omega \\quad V(1,\\omega) \\geq 0, \\\\\n\n\\exists \\omega \\quad V(1,\\omega) &gt; 0.\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Avec ces concepts clairs, nous pouvons maintenant \u00e9tablir de mani\u00e8re math\u00e9matique et rigoureuse l\u2019expression qui d\u00e9finit une opportunit\u00e9 d\u2019arbitrage :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\text{Arbitrage}:= &amp; V(0) = 0 \\wedge  (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega \\quad V(1,\\omega) \\geq 0) \\wedge \\cdots \\\\\n\n&amp; \\cdots \\wedge  (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\exists \\omega \\quad V(1,\\omega) \\gt 0) \\\\ \\\\\n\n\\text{Non-Arbitrage}:= &amp; \\neg \\text{Arbitrage}\\\\\n\n= &amp; V(0) \\neq 0 \\vee  \\neg(\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega \\quad V(1,\\omega) \\geq 0) \\vee \\cdots \\\\\n\n&amp; \\cdots \\vee  \\neg(\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\exists \\omega \\quad V(1,\\omega) \\gt 0)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Enfin, l\u2019ensemble des pr\u00e9misses <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{H}<\/span> sur lequel repose la d\u00e9monstration est exprim\u00e9 de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rcl}\n\n\\mathcal{H} &amp;=&amp; \\left\\{  \\right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\\\ \\\\\n\n&amp; &amp;V(t,\\omega) = xS(t,\\omega) + yA(t), A(0), S(0) \\gt 0, \\\\ \\\\\n\n&amp; &amp;  S(1) = \\begin{cases} S(1, \\text{monte})  = S(0)u &amp; \\text{avec probabilit\u00e9 } p \\\\ S(1,\\text{descend})  = S(0)d &amp; \\text{avec probabilit\u00e9 } 1-p \\end{cases},  \\\\ \\\\\n\n&amp; &amp;  0 \\lt d \\lt u , \\left.  A(1) = A(0)(1+r), r\\geq -1 \\right\\}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Ce cadre inclut non seulement les pr\u00e9misses du th\u00e9or\u00e8me, mais aussi les conditions sous-jacentes du mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode.<\/p>\n<p>Avec ces principes \u00e9tablis, nous proc\u00e9derons maintenant \u00e0 la d\u00e9monstration math\u00e9matique de la relation qui doit \u00eatre satisfaite dans un march\u00e9 exempt d\u2019arbitrage.<\/p>\n<h3>Preuve Formelle du Th\u00e9or\u00e8me :<\/h3>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\mathcal{H} \\models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 &amp; \\text{; Pr\u00e9somption} \\\\\n\n(2) &amp; \\mathcal{H} \\models V(1,\\omega) =xS(1,\\omega) + yA(1) &amp; \\text{; Pr\u00e9somption} \\\\\n\n(3) &amp; \\mathcal{H} \\models A(0) \\gt  0 &amp; \\text{; Pr\u00e9somption} \\\\\n\n(4) &amp; \\mathcal{H} \\models S(0) \\gt  0 &amp; \\text{; Pr\u00e9somption} \\\\\n\n(5) &amp; \\mathcal{H} \\models r \\gt  -1 &amp; \\text{; Pr\u00e9somption} \\\\\n\n(6) &amp; \\mathcal{H} \\models A(1) = (1+r) A(0) &amp; \\text{; Pr\u00e9somption} \\\\\n\n(7) &amp;\\color{red}\\mathcal{H} \\models 0 \\lt d \\lt u \\color{black}&amp; \\text{; Pr\u00e9somption} \\\\ \\\\\n\n(8) &amp; \\mathcal{H} \\models S(1) = \\begin{cases}S(1,\\text{monte})=S(0)u &amp; \\text{, avec probabilit\u00e9 } p \\\\ S(1,\\text{descend}) = S(0)d &amp; \\text{, avec probabilit\u00e9 } 1-p\\end{cases} &amp; \\text{; Pr\u00e9somption} \\\\ \\\\\n\n(9) &amp; \\mathcal{H} \\models y = \\dfrac{-xS(0)}{A(0)} \\wedge x\\in\\mathbb{R} &amp; \\text{; De(1)} \\\\\n\n(10)&amp; \\mathcal{H} \\models V(1,\\omega) =xS(1,\\omega) - \\dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) &amp; \\text{; De(2,9)} \\\\\n\n(11)&amp; \\mathcal{H} \\models V(1,\\omega) =xS(1,\\omega) - x(1+r)S(0) &amp; \\text{; De(6,10)} \\\\\n\n &amp;\\text{Ceci est la valeur future d\u2019un portefeuille financ\u00e9 par un emprunt} &amp;\\\\\n\n &amp;\\text{avec un taux d\u2019int\u00e9r\u00eat $r$ dans le but de financer une action.} &amp;\\\\\n\n(12)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models 0 \\leq (1+r)S(0) \\leq \\underbrace{S(0) d}_{S(1,\\text{descend})} \\lt \\underbrace{S(0) u}_{S(1,\\text{monte})} &amp; \\text{; De(4,5,7,8)}\\\\\n\n(13)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models x(1+r)S(0) \\leq xS(1,\\omega) \\leftrightarrow x\\gt 0 &amp; \\text{; De(12)}\\\\\n\n(14)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega\\quad V(1,\\omega) \\geq 0) &amp;\\text{; De(2,9,13)}\\\\\n\n(15)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models V(1,\\omega) \\gt 0 \\leftrightarrow y \\gt \\dfrac{-xS(1,\\omega)}{A(1)} = \\dfrac{-xS(1,\\omega)}{(1+r)A(0)} &amp; \\text{; De(2,3,6,7,8)}\\\\\n\n(16)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\exists \\omega\\quad V(1,\\omega)\\gt 0) &amp;\\text{; De(14,15)}\\\\\n\n(17)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{1+r\\leq d\\} \\models \\text{Arbitrage} &amp;\\text{; De(1,14,16)}\\\\\n\n(18)&amp; \\color{red}\\mathcal{H}\\cup\\{\\text{Non-Arbitrage}\\} \\models d \\lt 1+r\\color{black}&amp; \\text{; RTD,CPI,TD(17)}\\\\ \\\\\n\n(19)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models 0 \\lt \\underbrace{S(0)d}_{S(1,\\text{descend})} \\lt \\underbrace{S(0)u}_{S(1,\\text{monte})} \\leq (1+r)S(0) &amp; \\text{; De(4,5,7,8)}\\\\\n\n(20)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models xS(1,\\omega) \\leq x(1+r)S(0) \\leftrightarrow x\\gt 0  &amp;\\text{; De(19)} \\\\\n\n(21)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models \\tilde{V}(0) = - V(0) = 0 &amp; \\text{; De(1)}\\\\\n\n(22)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models\\tilde{V}(1,\\omega)=-V(1,\\omega) &amp; \\\\\n\n &amp;\\phantom{\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models\\tilde{V}(1,\\omega)}=-xS(1,\\omega)+x(1+r)S(0) &amp; \\text{; De(11)}\\\\\n\n &amp;\\text{Ceci est la valeur future d\u2019un portefeuille financ\u00e9} &amp;\\\\\n\n &amp;\\text{par une vente \u00e0 d\u00e9couvert d\u2019une action afin d\u2019acheter une obligation} &amp;\\\\\n\n &amp;\\text{dont la valeur cro\u00eet avec un taux d\u2019int\u00e9r\u00eat $r$.} &amp; \\\\\n\n(23)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models (\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega\\quad \\tilde{V}(1,\\omega) \\geq 0) &amp; \\text{; De(2,9,20,22)}\\\\\n\n(24)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models \\tilde{V}(1,\\omega)\\gt 0 \\leftrightarrow y \\lt \\dfrac{-xS(1,\\omega)}{A(1)} = \\dfrac{-xS(1,\\omega)}{(1+r)A(0)} &amp;\\text{; De(2,3,4,6,22)}\\\\\n\n(25)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models(\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\exists \\omega\\quad \\tilde{V}(1,\\omega)\\gt 0) &amp;\\text{; De(23,24)}\\\\\n\n(26)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{u \\leq 1+r\\} \\models \\text{Arbitrage} &amp;\\text{; De(21,23,25)}\\\\\n\n(27)&amp;\\color{red}\\mathcal{H}\\cup\\{\\text{Non-Arbitrage}\\} \\models 1+r \\lt u\\color{black}&amp; \\text{; RTD,CPI,TD(26)}\\\\\n\n(28) &amp;\\mathcal{H}\\cup\\{\\text{Non-Arbitrage}\\} \\models 0\\lt d\\lt1+r\\lt u &amp;\\text{;\\color{red}$\\wedge$-Int(Mon(7),18,27)}\\color{black} \\\\\n\n(29)&amp; \\boxed{\\mathcal{H} \\models\\text{Non-Arbitrage}\\rightarrow 0\\lt d\\lt1+r\\lt u}  &amp; \\text{; TD(28)}\\\\ \\\\\n\n(30)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\} \\models 0\\lt d\\lt 1+r \\lt u &amp; \\text{; Pr\u00e9somption}\\\\\n\n(31)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\} \\models xS(0)d\\lt x(1+r)S(0) \\lt xS(0)u \\leftrightarrow x\\gt 0 &amp; \\text{; De(4,30)}\\\\\n\n&amp;\\phantom{\\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\}} \\models xS(0)d\\lt x(1+r)S(0)\\dfrac{A(0)}{A(0)} \\lt xS(0)u \\leftrightarrow x\\gt 0 &amp; \\\\\n\n&amp;\\phantom{\\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\}} \\models xS(0)d\\lt -y(1+r)A(0) \\lt xS(0)u \\leftrightarrow x\\gt 0 &amp; \\text{; De(9)} \\\\\n\n&amp;\\phantom{\\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\}} \\models xS(1,\\text{descend})\\lt -yA(1) \\lt xS(1,\\text{monte}) \\leftrightarrow x\\gt 0 &amp; \\text{; De(6,8)} \\\\\n\n(32)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\} \\models V(1,\\text{descend})\\lt 0 \\lt V(1,\\text{monte}) \\leftrightarrow x\\gt 0 &amp; \\text{; De(2,31)} \\\\\n\n(33)&amp; \\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\} \\models V(1,\\text{descend})\\gt 0 \\gt V(1,\\text{monte}) \\leftrightarrow x\\lt 0 &amp; \\text{; De(31,32)} \\\\\n\n(34)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\} \\models \\neg(\\exists xy\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\})(\\forall \\omega\\quad V(1,\\omega)\\geq 0) &amp; \\text{; De(32,33)} \\\\\n\n(35)&amp;\\mathcal{H}\\cup\\{0\\lt d\\lt 1+r \\lt u\\} \\models \\text{Non-Arbitrage} &amp; \\text{; $\\vee$-int(34)}\\\\\n\n(36)&amp;\\boxed{\\mathcal{H} \\models 0\\lt d\\lt 1+r \\lt u \\rightarrow \\text{Non-Arbitrage}} &amp; \\text{; TD(35)}\\\\ \\\\\n\n(37)&amp; \\color{blue}\\mathcal{H} \\models 0\\lt d\\lt 1+r \\lt u \\leftrightarrow \\text{Non-Arbitrage}\\color{black}\\quad\\blacksquare &amp; \\text{; De(29,36)}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Conclusion<\/h2>\n<p>Le mod\u00e8le binomial \u00e0 une p\u00e9riode et la condition de non-arbitrage sont des piliers fondamentaux de la th\u00e9orie financi\u00e8re, fournissant un cadre structur\u00e9 pour l\u2019\u00e9valuation des actifs et la stabilit\u00e9 des march\u00e9s. Tout au long de cet article, nous avons analys\u00e9 comment les opportunit\u00e9s d\u2019arbitrage, bien qu\u2019attractives en th\u00e9orie, sont rapidement \u00e9limin\u00e9es par les forces du march\u00e9 \u00e0 travers des ajustements des prix des actifs et des taux d\u2019int\u00e9r\u00eat. Nous avons d\u00e9montr\u00e9 math\u00e9matiquement que la relation entre les facteurs de croissance et de d\u00e9croissance d\u2019un actif et le taux sans risque est essentielle pour garantir un march\u00e9 efficient et exempt d\u2019opportunit\u00e9s de gains sans risque. De plus, nous avons observ\u00e9 que m\u00eame lorsque des opportunit\u00e9s d\u2019arbitrage apparaissent, des m\u00e9canismes tels que la pression sur les prix, le co\u00fbt des emprunts et la reconfiguration des param\u00e8tres du march\u00e9 conduisent in\u00e9vitablement \u00e0 la restauration de l\u2019\u00e9quilibre. Avec cette compr\u00e9hension, il devient \u00e9vident que l\u2019arbitrage n\u2019est pas seulement une anomalie passag\u00e8re, mais un \u00e9l\u00e9ment fondamental de la dynamique des march\u00e9s financiers, qui en renforce l\u2019efficience et la coh\u00e9rence math\u00e9matique.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le Mod\u00e8le Binomial \u00e0 une P\u00e9riode et la Condition de Non-Arbitrage R\u00e9sum\u00e9 : Imaginez un casino o\u00f9 vous pouvez parier sur un jeu et, quel que soit le r\u00e9sultat, vous gagnez toujours de l&#8217;argent. Cela semble trop beau pour \u00eatre vrai, n&#8217;est-ce pas ? 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