{"id":32247,"date":"2021-05-09T13:00:03","date_gmt":"2021-05-09T13:00:03","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=32247"},"modified":"2025-03-02T23:51:17","modified_gmt":"2025-03-02T23:51:17","slug":"dominios-de-integridad-y-los-numeros-enteros","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominios-de-integridad-y-los-numeros-enteros\/","title":{"rendered":"Dominios de Integridad y los N\u00fameros Enteros"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol{\n\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1{\n\ttext-align:center;\n\ttext-transform: uppercase;\n\t}\n\th2{\n\ttext-align:center;\n\ttext-transform: uppercase;\n\tfont-size:24pt;\n\t}\n\th3 { \n\t\ttext-align: center;\n\t\ttext-transform: uppercase;\n\t\tfont-size: 24px !important;\n\t}\n\t<\/style>\n<h1>Dominios de Integridad y los N\u00fameros Enteros<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\n\tEn esta clase se introduce el concepto de Dominio de Integridad, se explica su relevancia en el estudio del \u00e1lgebra general y se demuestran mediante pruebas formales algunas de sus propiedades m\u00e1s importantes. <\/em><\/p>\n<p>h<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><\/em><br \/>\n\tAl concluir esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de;\n\t<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el prop\u00f3sito del estudio del \u00e1lgebra general. <\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el concepto de dominio de integridad. <\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> los aspectos b\u00e1sicos comunes entre los dominios de integridad y los n\u00fameros enteros. <\/li>\n<li><strong>Demostrar<\/strong> mediante pruebas formales las propiedades b\u00e1sicas de los dominios de integridad. <\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\">\n\t<strong><u>INDICE DE CONTENIDOS<\/u><\/strong><br \/>\n\t<a href=\"#1\">EL OBJETIVO DEL \u00c1LGEBRA GENERAL Y CONOCIMIENTOS PREVIOS<\/a><br \/>\n\t<a href=\"#2\">DE LOS N\u00daMEROS ENTEROS A LOS DOMINIOS DE INTEGRIDAD<\/a><br \/>\n\t<a href=\"#3\">ASPECTOS B\u00c1SICOS COMUNES A LOS DOMINIOS DE INTEGRIDAD Y LOS N\u00daMEROS ENTEROS<\/a><br \/>\n\t<a href=\"#4\">PROPIEDADES DE LOS DOMINIOS DE INTEGRIDAD Y LOS N\u00daMEROS ENTEROS<\/a><br \/>\n\t<a href=\"#5\">EJERCICIOS<\/a>\n\t<\/p>\n<p>\t<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hxmc1-eXWxU?si=57GADT52JG4fHFT-\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n\t<\/center><br \/>\n\t<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>El objetivo del \u00e1lgebra general y conocimientos previos<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hxmc1-eXWxU&amp;t=183s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">El objetivo principal del \u00e1lgebra general<\/span><\/strong><\/a> es estudio de toda la variedad de los sistemas matem\u00e1ticos posibles. Aqu\u00ed estudiaremos varios de tales sistemas, y de entre los m\u00e1s importantes destacan los n\u00fameros naturales y enteros, y a trav\u00e9s de estos \u00faltimos llegaremos los dominios de integridad.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{N}= \\{1,2,3,4,\\cdots\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{Z}= \\{0,\\pm 1,\\pm 2,\\pm 3,\\pm 4,\\cdots\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p>\t<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>De los n\u00fameros enteros a los dominios de integridad<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hxmc1-eXWxU&amp;t=358s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Comenzaremos nuestro estudio con los n\u00fameros enteros,<\/span><\/strong><\/a> y la raz\u00f3n de proceder de esta manera es porque ellos cuentan con la mayor cantidad de semejanzas con la mayor\u00eda de los sistemas num\u00e9ricos que revisaremos en este estudio.<\/p>\n<p>En lugar de intentar definir qu\u00e9 son los n\u00fameros enteros, iniciaremos suponiendo que, sean lo que sea, satisfacen ciertas propiedades. Para esto se elige un conjunto de axiomas de modo tal que sea posible inferir todas las propiedades que intuitivamente asociamos a los enteros.<\/p>\n<p>Todas estas cosas se hacen a trav\u00e9s de los <strong>axiomas de Peano<\/strong> de los Naturales al introducir las operaciones b\u00e1sicas de la aritm\u00e9tica. Siguiendo este m\u00e9todo axiom\u00e1tico y ampliando las distintas operaciones sobre los naturales y enteros se van obteniendo nuevos conjuntos num\u00e9ricos, tales como los racionales, irracionales, reales, complejos, cuaterniones, octoniones, y un largo etc.<\/p>\n<p>Luego, si observamos a los n\u00fameros enteros, veremos que estos tienen propiedades que se van a repetir en todos los dem\u00e1s conjuntos num\u00e9ricos, como la existencia de un neutro multiplicativo, neutro aditivo y leyes distributivas, de modo que refiri\u00e9ndonos a estas cosas podemos establecer un lenguaje que nos permita hablar de todos esos conjuntos simult\u00e1neamente. Es en este contexto en que emergen palabras como<\/p>\n<ul>\n<li>Dominio de Integridad<\/li>\n<li>Anillo<\/li>\n<li>Grupo<\/li>\n<li>Espacio Vectorial<\/li>\n<\/ul>\n<p>Y un largo etc&#8230; de t\u00e9rminos de este estilo. Nosotros centraremos nuestras energ\u00edas en estudiar primero los <strong>Dominios de Integridad.<\/strong><\/p>\n<p>\t<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Aspectos b\u00e1sicos comunes a los dominios de integridad y los n\u00fameros enteros<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hxmc1-eXWxU&amp;t=472s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para explicar qu\u00e9 es un dominio de integridad<\/span><\/strong><\/a> nos valdremos de las propiedades que entendemos muy bien desde los n\u00fameros enteros. En ese contexto tenemos que si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span>,<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> son n\u00fameros enteros, entonces se cumplen las <strong>leyes<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li><strong>Conmutativas:<\/strong>\n<ul>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b = b + a<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab = ba<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Asociativas:<\/strong>\n<ul>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(ab)c = abc = a(bc)<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Distributivas:<\/strong>\n<ul>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>Adem\u00e1s de esto, existen ciertos elementos especiales conocidos como neutros<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Neutro aditivo:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+ c = a \\leftrightarrow c=0<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>Neutro multiplicativo:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ac = a \\leftrightarrow c=1<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>El objeto cuyo s\u00edmbolo es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span> es el neutro aditivo, y al que le corresponde el s\u00edmbolo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span> es el neutro multiplicativo.<\/p>\n<p>Los enteros tambi\u00e9n poseen inversos aditivos. A cada entero le corresponde un inverso aditivo que al sumarse con \u00e9l proporciona el neutro aditivo.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Inverso aditivo:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+ c = 0 \\longleftrightarrow c=-a<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Los inversos aditivos se reconocen por el signo \u00ab-\u00bb que les acompa\u00f1a.<\/p>\n<p>Y finalmente, existe una <strong>ley de simplificaci\u00f3n<\/strong> que se expresa a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(c\\neq 0 \\wedge ca = cb) \\longleftrightarrow (a=b)<\/span><\/span><\/p>\n<p>Estas propiedades que hemos revisado funcionan para muchos otros conjuntos: reales, complejos, polinomios, etc. De modo que llamamos <strong>Dominio de Integridad<\/strong> a todos los conjuntos que satisfacen estas propiedades.<\/p>\n<p><span style=\"color: #800000;\"><strong>DEFINICI\u00d3N:<\/strong><\/span> Un Dominio de integridad es cualquier conjunto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span> provisto de una operaci\u00f3n de suma y producto tales que<\/p>\n<ul>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in D \\longrightarrow a+b \\in D<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in D \\longrightarrow ab \\in D<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Y adem\u00e1s se satisfacen las leyes <strong>asociativas, conmutativas<\/strong> y <strong>distributiva,<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span> contiene <strong>neutros aditivos<\/strong> y <strong>multiplicativos<\/strong> (cada uno de estos son \u00fanicos) y finalmente, vale la <strong>ley de simplificaci\u00f3n.<\/strong><\/p>\n<h4>Ejemplo de Dominio de Integridad<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hxmc1-eXWxU&amp;t=749s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Consideremos el conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=\\{a+b\\sqrt{3}\\; |\\; a,b\\in \\mathbb{Z}\\}.<\/span><\/span><\/span> <\/strong><\/a>Este conjunto provisto de las operaciones de suma y producto usuales es un dominio de integridad porque satisface las leyes de conmutatividad, asociatividad y distribuci\u00f3n, tiene neutro aditivo y multiplicativo y finalmente un inverso aditivo.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Neutro aditivo:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0+0\\sqrt{3}<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>Neutro multiplicativo:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1+0\\sqrt{3}<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>Inverso aditivo:<\/strong> Todo elemento <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b\\sqrt{3}<\/span><\/span> tiene inverso aditivo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-a-b\\sqrt{3}<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Y lo m\u00e1s importante de todo. Este conjunto A es cerrado para las operaciones de suma y producto, en el sentido de que si tomamos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x,y\\in A<\/span><\/span> entonces se tendr\u00e1 que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x+y\\in A<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">xy\\in A.<\/span><\/span> Esto es facil de corroborar: Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_1 + b_1\\sqrt{3}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_2 + b_2\\sqrt{3}<\/span><\/span> son elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span>, entonces se tendr\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text.align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\t(a_1 + b_1\\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\\sqrt{3}) &amp;=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\\sqrt{3} \\in A\\\\ \\\\\n\n\t(a_1 + b_1\\sqrt{3})  (a_2 + b_2\\sqrt{3})  &amp;= a_1a_2 + a_1b_2\\sqrt{3}+b_1a_2\\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\\\\n\n\t&amp;=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\\sqrt{3} \\in A\n\n\t\\end{array}<\/span>\n<p>\t<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/y6jXNPhjKv4?si=9SaXhWHN42sC73lZ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>\t<a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Propiedades de los Dominios de Integridad y los N\u00fameros Enteros<\/h3>\n<h4>El neutro aditivo de un dominio de integridad es \u00fanico<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=26s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Esto se puede demostrar a trav\u00e9s de reducci\u00f3n al absurdo:<\/span><\/strong><\/a> Supongamos que existen dos neutros aditivos, sean <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0^\\prime<\/span><\/span> tales neutros. Entonces se tendr\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\t(1) &amp; 0\\neq 0^\\prime &amp; \\text{; Premisa}\\\\\n\n\t(2) &amp; a+0 = a &amp; \\text{; Premisa: $0$ es neutro aditivo}\\\\\n\n\t(3) &amp; b+0^\\prime = b &amp; \\text{; Premisa: $0^\\prime$ es neutro aditivo}\\\\\n\n\t(4) &amp; 0^\\prime + 0 = 0^\\prime &amp; \\text{; Sustituyendo $a=0^\\prime$ en $(2)$}\\\\\n\n\t(5) &amp; 0 + 0^\\prime = 0 &amp; \\text{; Sustituyendo $b=0$ en $(3)$}\\\\\n\n\t(6) &amp; 0 = 0^\\prime  &amp; \\text{; De$(4,5)$ y conmutatividad de la suma}\\\\\n\n\t(7) &amp; \\bot &amp;\\text{; De$(1,6)$}\n\n\t\\end{array}<\/span>\n<p>A partir de este razonamiento concluimos que, por lo tanto:<\/p>\n<p><p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{0 \\neq 0^\\prime, a + 0 = a, b + 0^\\prime = b\\}\\vdash \\bot.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Luego, por reducci\u00f3n al absurdo se tiene<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{a + 0 = a, b + 0^\\prime = b\\}\\vdash 0 = 0^\\prime.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Es decir, si hay dos neutros aditivos, entonces son el mismo, y por lo tanto es \u00fanico.<\/p>\n<h4>El neutro multiplicativo tambi\u00e9n es \u00fanico<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=305s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La demostraci\u00f3n es pr\u00e1cticamente an\u00e1loga a la anterior.<\/span><\/strong><\/a> Si existieran dos: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1^\\prime<\/span><\/span>, entonces se podr\u00eda hacer el siguiente razonamiento:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\t(1) &amp; 1\\neq 1^\\prime &amp; \\text{; Premisa}\\\\\n\n\t(2) &amp; 1\\cdot a = a &amp; \\text{; Premisa: $0$ es neutro aditivo}\\\\\n\n\t(3) &amp; 1^\\prime \\cdot b = b &amp; \\text{; Premisa: $0^\\prime$ es neutro aditivo}\\\\\n\n\t(4) &amp; 1\\cdot 1^\\prime = 1^\\prime &amp; \\text{; Sustituyendo $a=0^\\prime$ en $(2)$}\\\\\n\n\t(5) &amp; 1\\prime \\cdot 1 = 1 &amp; \\text{; Sustituyendo $b=0$ en $(3)$}\\\\\n\n\t(6) &amp; 1 = 1^\\prime  &amp; \\text{; De$(4,5)$ y conmutatividad de la suma}\\\\\n\n\t(7) &amp; \\bot &amp;\\text{; De$(1,6)$}\n\n\t\\end{array}<\/span>\n<p>Por lo que llegamos a que, por lo tanto:<\/p>\n<p><p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{1 \\neq 1^\\prime, 1a= a, 1b = b\\}\\vdash \\bot.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Luego, por reducci\u00f3n al absurdo se tiene que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{1a= a, 1b= b\\}\\vdash 1 = 1^\\prime.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Es decir, si hay dos neutros multiplicativos, entonces son el mismo, y por lo tanto es \u00fanico.<\/p>\n<h4>Vale la ley de simplificaci\u00f3n para las sumas<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=461s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Esto es lo que hacemos cuando<\/span><\/strong><\/a> eliminamos t\u00e9rminos en una igualdad<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b = a+c \\longleftrightarrow a = c<\/span><\/span><\/p>\n<p>No es dif\u00edcil demostrar esta situaci\u00f3n, basta con hacer el siguiente razonamiento:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\t(1) &amp; a+b = a+c &amp; \\text{; Premisa} \\\\\n\n\t(2) &amp; a+b-a = a+c-a &amp; \\text{; De$(1)$, sumando $-a$ a ambos lados} \\\\\n\n\t(3) &amp; (a-a)+b = (a-a)+c &amp; \\text{; De$(2)$, conmutatividad y asociatividad} \\\\\n\n\t(4) &amp; 0+b = 0+c &amp; \\text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo} \\\\\n\n\t(5) &amp; b = c &amp; \\text{; De$(4)$ y Neutro Aditivo} \\\\\n\n\t\\end{array}<\/span>\n<p>Como este razonamiento se puede hacer de ida y de vuelta aplicando los mismos pasos, se tiene que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b=a+c \\dashv \\vdash b=c<\/span><\/span><\/p>\n<p>Que es equivalente a decir que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash a+b=a+c \\longleftrightarrow b=c<\/span><\/span><\/p>\n<h4>El neutro aditivo es, a su vez, un absorbente multiplicativo<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=632s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Con esto simplemente se quiere<\/span><\/strong><\/a> decir que, para todo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> en el dominio de integridad se cumplir\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\cdot 0 = 0<\/span><\/span><\/p>\n<p>Esto tambi\u00e9n es f\u00e1cil de demostrar, basta con seguir el siguiente razonamiento:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\t(1) &amp; a\\cdot a + a\\cdot 0 = a\\cdot  (a+0) &amp; \\text{; Leyes distributivas}\\\\\n\n\t(2) &amp; a\\cdot a + a\\cdot 0 = a\\cdot  (a+a-a) &amp; \\text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo}\\\\\n\n\t(3) &amp; a\\cdot a + a\\cdot 0 = a\\cdot a + a\\cdot a - a\\cdot a &amp; \\text{; De$(2)$ y Distributividad}\\\\\n\n\t(4) &amp;  a\\cdot 0 =  a\\cdot a - a\\cdot a &amp; \\text{; De$(3)$ y Simplificaci\u00f3n de sumas}\\\\\n\n\t(5) &amp;  a\\cdot 0 =  0 &amp; \\text{; De$(4)$ e Inverso Aditivo}\\\\\n\n\t\\end{array}<\/span>\n<h4><strong>Ley de los signos:<\/strong><\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=736s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">El producto de cantidades de igual signo<\/span><\/strong><\/a> siempre es positiva; el producto de cantidades con signos opuestos siempre es negativa. La demostraci\u00f3n de esta propiedad tambi\u00e9n es sencilla:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\t(1) &amp; a\\cdot b = a\\cdot b + 0 &amp; \\text{; Neutro Aditivo}\\\\\n\n\t(2) &amp; a\\cdot b = a\\cdot b + (a)\\cdot(-b) - (a)\\cdot(-b) &amp; \\text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo}\\\\\n\n\t(3) &amp; a\\cdot b = a\\cdot (b -b) - (a)\\cdot(-b) &amp; \\text{; De$(2)$ e Inverso Aditivo}\\\\\n\n\t(4) &amp; a\\cdot b = a\\cdot 0 + (-a)\\cdot(-b) &amp; \\text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo}\\\\\n\n\t(5) &amp; a\\cdot b = (-a)\\cdot(-b) &amp; \\text{; De$(4)$ e Absorvente multiplicativo}\\\\\n\n\t\\end{array}<\/span>\n<p>Por lo tanto: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ab = (-a)(-b)<\/span><\/span><\/p>\n<p>Para los signos opuestos la cosa es similar:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\t(1) &amp; a\\cdot(-b) = a \\cdot (-b) + 0 &amp; \\text{; Neutro Aditivo} \\\\\n\n\t(2) &amp; a\\cdot(-b) = a \\cdot (-b) + a \\cdot b  -  a \\cdot b  &amp; \\text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo} \\\\\n\n\t(3) &amp; a\\cdot(-b) = a \\cdot (b-b)  -  a \\cdot b  &amp; \\text{; De$(2)$ y Distributividad} \\\\\n\n\t(4) &amp; a\\cdot(-b) = a \\cdot 0  -  a \\cdot b  &amp; \\text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo} \\\\\n\n\t(5) &amp; a\\cdot(-b) = - a \\cdot b  &amp; \\text{; De$(4)$ e Absorvente Multiplicativo} \\\\\n\n\t\\end{array}<\/span>\n<p>Por lo tanto: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a(-b) = -a(b)<\/span><\/span><\/p>\n<h4>Si el producto de dos n\u00fameros es cero, por lo menos uno de ellos es cero<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=y6jXNPhjKv4&amp;t=875s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Otra propiedad que tambi\u00e9n<\/span><\/strong><\/a> se usa bastante es la siguiente:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab=0 \\leftrightarrow (a=0 \\vee b=0)<\/span><\/span><\/p>\n<p>Su demostraci\u00f3n tambi\u00e9n es sencilla<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\t(1) &amp; \\{a=0\\} \\models a\\cdot b = 0  &amp; \\textbf{; Absorvente Multiplicativo} \\\\\n\n\t(2) &amp; \\models a=0 \\rightarrow a\\cdot b = 0  &amp;\\text{; TD$(1)$} \\\\\n\n\t(3) &amp; \\models \\neg (a\\cdot b = 0 ) \\rightarrow \\neg(a=0) &amp;\\text{; CPI$(2)$} \\\\\n\n\t(4) &amp; \\{\\neg (a\\cdot b = 0 ) \\}\\models   \\neg(a=0) &amp;\\text{; RTD$(3)$} \\\\\n\n\t(5) &amp; \\{\\neg (a\\cdot b = 0 ) \\}\\models   \\neg(b=0) &amp;\\text{; Analogo$(4)$} \\\\\n\n\t(6) &amp; \\{\\neg (a\\cdot b = 0 ) \\}\\models  \\neg(a=0) \\wedge \\neg(b=0) &amp;\\text{; $\\wedge$-int$(4,5)$} \\\\\n\n\t(7) &amp; \\models (\\neg (a\\cdot b = 0 )) \\rightarrow \\neg(a=0) \\wedge \\neg(b=0)  &amp;\\text{; TD(6)} \\\\\n\n\t(8) &amp; \\models \\neg(\\neg(a=0) \\wedge \\neg(b=0) ) \\rightarrow   (a\\cdot b = 0 ) &amp;\\text{; CPI(7)} \\\\\n\n\t(9) &amp; \\models (a=0 \\vee b=0) \\rightarrow   (a\\cdot b = 0 ) &amp;\\text{; DM(8)} \\\\\n\n\t(10)&amp; \\{a\\neq 0 , a\\cdot b=0\\} \\models b=0 &amp; \\textbf{; Absorvende Multiplicativo}\\\\\n\n\t(11)&amp; \\{a\\cdot b=0\\} \\models a\\neq 0 \\rightarrow  b=0 &amp; \\text{; TD(10)}\\\\\n\n\t(12)&amp; \\{a\\cdot b=0\\} \\models \\neg(a\\neq 0) \\vee  b=0 &amp; \\text{; $\\rightarrow$-Def(11)}\\\\\n\n\t(13)&amp; \\{a\\cdot b=0\\} \\models a=0 \\vee  b=0 &amp; \\text{; DN(12)}\\\\\n\n\t(14)&amp; \\models (a\\cdot b=0) \\rightarrow (a=0 \\vee  b=0) &amp; \\text{; TD(13)}\\\\\n\n\t(15)&amp; \\models (a\\cdot b=0) \\leftrightarrow (a=0 \\vee  b=0) &amp; \\text{; De(9,14)}\n\n\t\\end{array}<\/span>\n<p>\t<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KZQ3PXeMlKk?si=O_Hek5KFG853Q6qT\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>\t<a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios<\/h2>\n<p>Sean <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> elementos cualesquiera de un dominio de integridad <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span>. Demuestre que se cumplen las siguientes propiedades<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(-a)=(-1)a<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=306s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-(a+b)=(-a) + (-b)<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=827s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a(-b)=-(ab)<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=1213s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-(-a)=a<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=1628s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a(b-c) = ab - ac<\/span><\/span> <strong>[PROPUESTO]<\/strong><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a-b)+(b-c) = a-c<\/span><\/span> <strong>[PROPUESTO]<\/strong><\/li>\n<li>Para todos los <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\in D<\/span><\/span> existe un \u00fanico [lat ex]1[\/latex] tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\cdot 1 = a<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=KZQ3PXeMlKk&amp;t=2029s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">xx = x \\leftrightarrow (x=1 \\vee x=0)<\/span><\/span> <strong>[PROPUESTO]<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dominios de Integridad y los N\u00fameros Enteros Resumen: En esta clase se introduce el concepto de Dominio de Integridad, se explica su relevancia en el estudio del \u00e1lgebra general y se demuestran mediante pruebas formales algunas de sus propiedades m\u00e1s importantes. h Objetivos de Aprendizaje: Al concluir esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de; Comprender [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":32317,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":12,"footnotes":""},"categories":[1029,563],"tags":[],"class_list":["post-32247","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-algebra-general-es","category-matematica"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v26.7 - 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