{"id":30842,"date":"2021-07-03T13:00:16","date_gmt":"2021-07-03T13:00:16","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=30842"},"modified":"2025-01-02T04:22:32","modified_gmt":"2025-01-02T04:22:32","slug":"la-primera-ley-de-la-termodinamica","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-primera-ley-de-la-termodinamica\/","title":{"rendered":"La Primera Ley de la Termodin\u00e1mica"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol {\n\t\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1, h2 {\n\ttext-align:center;\n\t}\n<\/style>\n<h1>La Primera Ley de la Termodin\u00e1mica<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>La Primera Ley de la Termodin\u00e1mica es la base que conecta conceptos fundamentales como el calor, el trabajo y la energ\u00eda interna, estableciendo que la energ\u00eda no se crea ni se destruye, solo se transforma. Este material explora c\u00f3mo esta ley se aplica a sistemas cerrados, profundizando en el an\u00e1lisis del trabajo termodin\u00e1mico, las capacidades calor\u00edficas y las propiedades estad\u00edsticas de los gases. A trav\u00e9s de una combinaci\u00f3n de formulaciones matem\u00e1ticas y razonamientos f\u00edsicos, descubrir\u00e1s herramientas esenciales para comprender procesos energ\u00e9ticos en sistemas complejos.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Justificar<\/strong> la Primera Ley de la Termodin\u00e1mica para sistemas cerrados, explicando las relaciones entre calor, trabajo y energ\u00eda interna.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> el concepto de trabajo termodin\u00e1mico en procesos de compresi\u00f3n y expansi\u00f3n, utilizando f\u00f3rmulas diferenciales.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> la capacidad calor\u00edfica en condiciones de volumen y presi\u00f3n constantes, aplicando restricciones termodin\u00e1micas.<\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> la distribuci\u00f3n de Maxwell-Boltzmann y el principio de equipartici\u00f3n de energ\u00eda en sistemas moleculares.<\/li>\n<li><strong>Demostrar<\/strong> relaciones espec\u00edficas entre capacidades calor\u00edficas, el \u00edndice adiab\u00e1tico y otras propiedades termodin\u00e1micas para gases ideales.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center\"><strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Formulaci\u00f3n de la Primera Ley de la Termodin\u00e1mica<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Trabajo termodin\u00e1mico<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Capacidad calor\u00edfica<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Distribuci\u00f3n de Maxwell-Boltzmann y la equipartici\u00f3n de la Energ\u00eda<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Ejercicios<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/T6K1Nizc5NE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Formulaci\u00f3n de la Primera Ley de la Termodin\u00e1mica<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=140s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>La primera ley de la termodin\u00e1mica<\/strong><\/a> establece que:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #c0ffc0;\"><span style=\"color: #000080;\">PRIMERA LEY DE LA TERMODIN\u00c1MICA<br \/>\n<strong>La energ\u00eda no se crea ni se destruye; y adem\u00e1s, calor y trabajo son formas de energ\u00eda (emitida, absorbida o utilizado por un proceso) <\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>La energ\u00eda interna <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U<\/span> es una funci\u00f3n de estado porque tiene un valor bien definido para cada estado de equilibrio del sistema. Se puede cambiar la energ\u00eda interna del sistema aplicando calor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q<\/span> o mediante un trabajo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">W<\/span>; sin embargo, trabajo y el calor no son funciones de estado. Esto se debe a que ambos dependen del proceso con que se agrega o extrae la energ\u00eda y, una vez finalizado el proceso, es imposible saber qu\u00e9 cantidad de calor o trabajo se efectu\u00f3 para llevarlo a tal estado de equilibrio.<\/p>\n<p>El cambio de la energ\u00eda interna de un sistema puede ser escrita de la forma:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta U = \\Delta Q + \\Delta W<\/span><\/span>,<\/p>\n<p>donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta Q<\/span><\/span> es la cantidad de calor suministrado y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta W<\/span><\/span> la cantidad de trabajo realizado sobre el sistema. Por convenci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta Q<\/span><\/span> es positivo cuando se suministra calor al sistema; si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta Q<\/span><\/span> es negativo, entonces se est\u00e1 extrayendo calor del sistema; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta W<\/span><\/span> es positivo para el trabajo realizado sobre el sistema; si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta W<\/span><\/span> es negativo, el sistema hace trabajo sobre el entorno.<\/p>\n<p>La relaci\u00f3n entre el trabajo, el calor y la energ\u00eda interna tambi\u00e9n se puede expresar de forma diferencial a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dU = \\delta Q + \\delta W<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Aqu\u00ed se utiliza la letra <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span> para representar diferenciales inexactos.<\/p>\n<p>Se define un sistema t\u00e9rmicamente aislado como aquel sistema que no puede intercambiar calor con su entorno. Cuando esto ocurre, entonces se tiene que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d U = \\delta W<\/span><\/span>. Esto es la <strong>Primera Ley de la Termodin\u00e1mica<\/strong> restringida a un sistema adiab\u00e1tico.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Trabajo termodin\u00e1mico<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=418s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Cuando comprimimos un resorte <\/strong><\/a>en una distancia <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dx<\/span><\/span>, este responde con una fuerza el\u00e1stica de magnitud <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span> y, por lo tanto, realizamos un trabajo<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta W = Fdx<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Cuando comprimimos un gas, podemos imaginar que este se compone de un mont\u00f3n de resortes puestos unos junto a los otros y llenando un cierto espacio. De este modo tenemos que, si aplicamos una fuerza <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span> sobre una superficie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span>, entonces estaremos aplicando una presi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P=F\/A<\/span><\/span> y podremos escribir, por lo tanto, que el trabajo realizado ser\u00e1<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta W = PAdx = -PdV <\/span><\/span>.<\/p>\n<p>El signo negativo que aparece en la \u00faltima igualdad se debe a que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Adx=-dV<\/span><\/span>, y esto se debe a que, cuando los \u00abresortes\u00bb son comprimidos una distancia <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dx<\/span><\/span>, el volumen formado por estos disminuye. Cuando se realiza trabajo sobre un sistema termodin\u00e1mico, este reacciona reduciendo su volumen.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Capacidad calor\u00edfica<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=677s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Supongamos que ahora<\/strong><\/a> queremos entender con m\u00e1s detalles c\u00f3mo cambia la energ\u00eda interna de un sistema cuando se agrega calor. En general, la energ\u00eda interna es una funci\u00f3n de la temperatura y del volumen, por lo que podemos escribir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U=U(T,V)<\/span><\/span>. Luego, como la energ\u00eda es un diferencial exacto, es posible expresar el cambio de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U<\/span> respecto de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle dU = \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V dT + \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T dV<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Ahora, a partir de las relaciones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dU=\\delta Q + \\delta W<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta W=-PdV<\/span><\/span> podemos reformular la <strong>Primera Ley de la Termodin\u00e1mica<\/strong> a trav\u00e9s de los siguientes razonamientos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\delta Q &amp;= dU + PdV\\\\ \\\\\n\n&amp; \\displaystyle  =\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V dT + \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T dV + PdV\\\\ \\\\\n\n&amp; \\displaystyle =\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V dT + \\left[\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T + P\\right]dV \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle  \\frac{\\delta Q}{dT} &amp; \\displaystyle  =\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V + \\left[\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T + P\\right]\\frac{dV}{dT}.\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Esto \u00faltimo es una relaci\u00f3n v\u00e1lida para cualquier cambio de temperatura y volumen.<\/p>\n<p>A partir de esto que hemos obtenido podemos determinar la cantidad de calor que debemos agregar para producir un cambio de temperatura bajo ciertas restricciones.<\/p>\n<h3>Restricci\u00f3n a volumen constante<\/h3>\n<p>Para ver lo que ocurre a volumen constante, recordemos la definici\u00f3n de capacidad calor\u00edfica a volumen constante es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_V=(\\partial Q\/ \\partial T)_V<\/span><\/span>. Luego, si nos restringimos a mantener el volumen constante en el an\u00e1lisis que hicimos antes, entonces anularemos el t\u00e9rmino <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dV\/dT<\/span><\/span> en la expresi\u00f3n de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta Q\/dT<\/span><\/span>. Esto nos sirve como justificaci\u00f3n para escribir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  C_V = \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T} \\right)_V<\/span><\/span><\/p>\n<h3>Restricci\u00f3n a presi\u00f3n constante<\/h3>\n<p>Si mantenemos la presi\u00f3n constante, entonces se tendr\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle C_p =\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial T}\\right)_P=\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V + \\left[\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T + P\\right]\\left(\\frac{\\partial V}{\\partial T}\\right)_p<\/span><\/span>.<\/p>\n<h3>Capacidad calor\u00edfica de un gas monoat\u00f3mico<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=974s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Cuando consideramos<\/strong><\/a> un gas monoat\u00f3mico, la energ\u00eda interna debido a la energ\u00eda cin\u00e9tica de sus part\u00edculas es de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n U=\\frac{3}{2}Nk_BT<\/span>. Este resultado es justificado por el principio de equipartici\u00f3n de la energ\u00eda que se puede estudiar desde un enfoque estad\u00edstico del movimiento de las part\u00edculas.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Distribuci\u00f3n de Maxwell-Boltzmann y la equipartici\u00f3n de la Energ\u00eda<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=1027s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Dado que la energ\u00eda de un sistema<\/strong><\/a> es proporcional al su <strong>Factor de Boltzmann<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">e^{-E\/(k_BT)}<\/span><\/span>. Razonando a partir de esto y considerando que la energ\u00eda cin\u00e9tica de las part\u00edculas es la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  E_{cin}=\\frac{1}{2}mv^2<\/span><\/span>, podemos inferir que la energ\u00eda asociada al movimiento de las part\u00edculas del sistema proyectada sobre uno de los tres ejes coordenados (Centr\u00e9monos de momento en el eje <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span><\/span>) ser\u00e1, en consecuencia de una distribuci\u00f3n de velocidades <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(v_x)<\/span><\/span> proporcional a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">e^{-mv_x^2\/(2k_BT)}<\/span><\/span>. Es decir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(v_x)= A e^{-mv_x^2\/(2k_BT)}<\/span><\/span>,<\/p>\n<p>donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> es alguna constante a determinar. Ahora, dado que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(v_x)<\/span><\/span> es una funci\u00f3n de distribuci\u00f3n, esta debe estar normalizada de modo que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\int_{-\\infty}^{+\\infty} g(v_x)dv_x= 1<\/span><\/span><\/p>\n<p>Un resultado que es \u00fatil para analizar esta situaci\u00f3n es el de la integral Gaussiana<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-x^2}dx= \\sqrt{\\pi}<\/span><\/span><\/p>\n<p>A partir de esto se infiere que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle 1= \\int_{-\\infty}^{+\\infty} Ae^{\\frac{-mv_x^2}{2k_BT}}dv_x= A\\sqrt{\\frac{\\pi}{m\/(2k_BT)}} = A\\sqrt{\\frac{2\\pi k_BT}{m}}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Y por lo tanto<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  g(v_x) = \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi k_BT}}e^{-mv_x^2\/(2k_BT)}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Con esto a mano ahora es posible calcular rapidez media proyectada sobre el eje <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span><\/span>, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left&lt; v_x^2\\right&gt;<\/span><\/span>. Su resultado es:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left&lt; v_x^2\\right \\gt = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} v_x^2 g(v_x) dv_x = \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi k_BT}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} v_x^2 e^{-mv_x^2\/(2k_BT)} = \\frac{k_BT}{m} <\/span><\/span><\/p>\n<p>Y como la rapidez cuadr\u00e1tica media se puede descomponer de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  \\left\\lt v^2\\right\\gt = \\left\\lt v_x^2\\right\\gt + \\left\\lt v_y^2\\right\\gt + \\left\\lt v_z^2\\right\\gt<\/span><\/span> y cada uno de estos componentes tienen id\u00e9ntico desarrollo y resultado, es posible escribir la energ\u00eda cin\u00e9tica promedio del sistema de part\u00edculas a trav\u00e9s de<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  \\left\\lt E_{cin}\\right\\gt =\\frac{1}{2}m\\left\\lt v^2\\right\\gt  = \\frac{1}{2}m \\cdot 3\\frac{k_BT}{m}= \\frac{3}{2}k_BT<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Esto es lo que llamamos \u00abprincipio de equipartici\u00f3n de la energ\u00eda\u00bb. A partir de esto podemos decir que si el sistema est\u00e1 formado por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> part\u00edculas con energ\u00eda cin\u00e9tica media <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left\\lt E_{cin}\\right\\gt<\/span><\/span> y la energ\u00eda total del sistema es de origen netamente cin\u00e9tico, entonces no solo tendremos que la energ\u00eda interna del sistema ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n U=3Nk_BT\/2<\/span> (como se hab\u00eda predicho), sino que adem\u00e1s se justifica de un modo muy expl\u00edcito que la energ\u00eda interna s\u00f3lo depende de la temperatura del sistema por lo que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T = 0<\/span><\/span><\/p>\n<h3>Desarrollo para el gas ideal<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=1027s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Ahora, recordando la ecuaci\u00f3n de los gases ideales<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV=Nk_BT =nRT<\/span><\/span>. Si despejamos el volumen obtendremos<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  V= \\frac{nRT}{P}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Por lo tanto se tendr\u00e1<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  \\left(\\frac{\\partial V}{\\partial T} \\right)_P = \\frac{nR}{P}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Y si vamos a las expresiones de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_V<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_P<\/span><\/span> notaremos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nC_P - C_V &amp; \\displaystyle = \\left[\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V} \\right)_T + P \\right]\\left(\\frac{\\partial V}{\\partial T} \\right)_P = P\\cdot \\frac{nR}{P} = nR\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Ahora, como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  C_V=(\\partial U \/ \\partial T)_V<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U=3Nk_BT\/2=3nRT\/2<\/span><\/span>, se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle  C_V = \\frac{3}{2}nR\n\n<\/span>\n<p>y, por lo tanto<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nC_P = C_V + nR = \\displaystyle  \\frac{3}{2}nR + nR = \\frac{5}{2}nR\n\n<\/span>\n<h3>El \u00edndice adiab\u00e1tico<\/h3>\n<p>Una magnitud de uso frecuente es el cociente entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_P<\/span><\/span> u <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_V<\/span><\/span>, y por este motivo recibe un nombre especial. Se define el <strong>\u00edndice adiab\u00e1tico<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> a trav\u00e9s de<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\gamma = \\displaystyle  \\frac{C_P}{C_V}\n\n<\/span>\n<p>En el caso de los gases ideales, el \u00edndice adiab\u00e1tico tiene un valor exacto:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\gamma = \\displaystyle \\frac{5}{3}\n\n<\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios<\/h2>\n<ol>\n<li>\u00bfSer\u00e1 siempre verdad que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dU=C_VdT<\/span><\/span>? Compare el caso general con el de los gases ideales y fundamente su respuesta.<\/li>\n<li>Asumiendo que para un gas ideal se cumple que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U=C_VT<\/span><\/span>, calcule: (i) La energ\u00eda interna por unidad de masa y (ii) la energ\u00eda interna por unidad de volumen.<\/li>\n<li>Un mol de gas ideal monoat\u00f3mico es confinado en un cilindro por un pist\u00f3n y es mantenido a temperatura constante <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_0<\/span><\/span> a trav\u00e9s del contacto con una reserva t\u00e9rmica. El gas es expandido lentamente desde un volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V_1<\/span><\/span> hasta otro volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V_2<\/span><\/span> manteni\u00e9ndose la temperatura contante en todo momento. (i) \u00bfCambia la energ\u00eda interna del gas? (ii) Calcule el trabajo realizado por el gas y el flujo de calor hacia el gas.<\/li>\n<li>Muestre que, para un gas ideal se cumplen las siguientes relaciones:\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{R}{c_V} = \\gamma-1<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{R}{c_P} = \\frac{\\gamma -1}{\\gamma}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c_V<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c_P<\/span><\/span> son capacidades calor\u00edficas molares.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La Primera Ley de la Termodin\u00e1mica La Primera Ley de la Termodin\u00e1mica es la base que conecta conceptos fundamentales como el calor, el trabajo y la energ\u00eda interna, estableciendo que la energ\u00eda no se crea ni se destruye, solo se transforma. 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