{"id":30080,"date":"2021-03-28T13:00:56","date_gmt":"2021-03-28T13:00:56","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=30080"},"modified":"2025-01-12T12:44:20","modified_gmt":"2025-01-12T12:44:20","slug":"problemas-de-combinatorias-en-termodinamica","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/problemas-de-combinatorias-en-termodinamica\/","title":{"rendered":"Problemas de Combinatorias en Termodin\u00e1mica"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol {\n\t\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1, h2 {\n\ttext-align:center;\n\t}\n<\/style>\n<h1>Problemas de Combinatorias en Termodin\u00e1mica<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>\u00bfCu\u00e1ntas formas existen de organizar un sistema f\u00edsico compuesto por millones de elementos? En esta clase, abordaremos c\u00f3mo las matem\u00e1ticas permiten responder preguntas como esta en el contexto de la termodin\u00e1mica, desde la distribuci\u00f3n de cuantos de energ\u00eda en sistemas at\u00f3micos hasta el c\u00e1lculo de configuraciones posibles en sistemas de gran escala. Utilizando herramientas como las combinatorias, los logaritmos y la f\u00f3rmula de Stirling, exploraremos c\u00f3mo manejar n\u00fameros extraordinariamente grandes y resolver problemas aparentemente inabordables.<br \/>\n<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> c\u00f3mo los problemas de combinatoria se aplican en el contexto de la termodin\u00e1mica, espec\u00edficamente en la organizaci\u00f3n de sistemas f\u00edsicos.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> configuraciones posibles de sistemas at\u00f3micos mediante n\u00fameros combinatorios.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la f\u00f3rmula de Stirling para estimar el orden de magnitud de configuraciones complejas.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Problemas de combinatoria<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Problemas con grandes n\u00fameros<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Uso de logaritmos y la f\u00f3rmula de Stirling para el c\u00e1lculo del orden de magnitud<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\"><em>Desarrollo mediante la aproximaci\u00f3n simplificada<\/em><\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><em>Desarrollo mediante la aproximaci\u00f3n ordinaria<\/em><\/a><br \/>\n<a href=\"#6\"><strong>Ejemplos de c\u00e1lculos combinatorios y de orden de magnitud<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Caso 1: Grandes factoriales<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">Caso 2: Grandes combinatorias<\/a>\n<\/p>\n<p>Una pregunta com\u00fan en ciertas situaciones f\u00edsicas es: \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras distintas se puede organizar un sistema dado? Estos problemas combinatorios son frecuentes en termodin\u00e1mica. Aunque inicialmente parecen sencillos, se vuelven complejos al incorporar n\u00fameros extremadamente grandes, como el <strong><a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/mol-y-masa-molar\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">n\u00famero de Avogadro<\/a><\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N_A<\/span>, que ejemplifican lo abrumador que puede resultar trabajar con magnitudes de esta escala.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Problemas de combinatoria<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/K7_De9wux4A?si=q93_T8xh15EdfJ6B\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Para comprender la magnitud de los problemas que involucran combinatoria en termodin\u00e1mica, consideremos el siguiente ejemplo:<\/p>\n<h4>Ejemplo: combinaciones sobre cuantos de energ\u00eda<\/h4>\n<p>Supongamos un sistema compuesto por 10 \u00e1tomos. Cada \u00e1tomo puede almacenar \u00fanicamente 1 o 0 unidades de energ\u00eda, denominadas <strong>cuantos de energ\u00eda<\/strong>. \u00bfDe cu\u00e1ntas formas distintas se pueden distribuir estos cuantos si tenemos (a) 10 cuantos de energ\u00eda y (b) 5 cuantos de energ\u00eda?<\/p>\n<h5>Soluci\u00f3n<\/h5>\n<p>Representamos los \u00e1tomos como espacios disponibles para almacenar un cuanto de energ\u00eda. Si un espacio est\u00e1 lleno, significa que el \u00e1tomo correspondiente ya posee su cuanto de energ\u00eda.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-zJa7H7iMOGY\/YF3QhG94SoI\/AAAAAAAAEuI\/olfdSHfeJOgKea3vHXEAyr5QCJ1ZjmcpgCLcBGAsYHQ\/s839\/cuantodeenergia.PNG\" \n               class=\"aligncenter lazyload\" alt=\"Problemas de combinatoria en termodin\u00e1mica\" width=\"400\" height=\"200\" \/><\/center><\/p>\n<p>Para contar las formas en que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> cuantos de energ\u00eda se distribuyen entre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> espacios, utilizamos el n\u00famero combinatorio:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\binom{n}{k}=\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}<\/span>\n<p>Este c\u00e1lculo nos proporciona el n\u00famero <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span> de estados posibles.<\/p>\n<p><strong>(a)<\/strong> Si hay 10 cuantos distribuidos entre 10 espacios, solo existe una forma de hacerlo. Por lo tanto, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega=1<\/span>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\Omega = \\binom{10}{10}=\\dfrac{10!}{10!(10-10)!} = \\dfrac{10!}{10!0!} = 1 <\/span>\n<p><strong>(b)<\/strong> Para 5 cuantos distribuidos entre 10 espacios, realizamos el c\u00e1lculo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\Omega &amp;= \\displaystyle\\binom{10}{5} \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\dfrac{10!}{5!(10-5)!} = \\dfrac{10!}{5!\\cdot 5!} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\dfrac{5! \\cdot 6\\cdot 7\\cdot 8 \\cdot 9\\cdot 10}{5! \\cdot 2\\cdot 3\\cdot 4\\cdot 5} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\dfrac{ 7\\cdot 8 \\cdot 9\\cdot 10}{ 4\\cdot 5} = 7\\cdot 2 \\cdot 9 \\cdot 2 = 252\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Por lo tanto, hay 252 configuraciones posibles.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Problemas con grandes n\u00fameros<\/h2>\n<p>Lo que hemos analizado hasta ahora es solo el comienzo. Si ampliamos el sistema del caso (b) a 100 \u00e1tomos y 50 cuantos, obtendremos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega \\approx 10^{28}<\/span>. Ahora, imagina realizar el mismo c\u00e1lculo con un mol de \u00e1tomos; el resultado ser\u00eda inconcebible.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Uso de logaritmos y la f\u00f3rmula de Stirling para el c\u00e1lculo del orden de magnitud<\/h3>\n<p>Cuando deseamos estimar una magnitud de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega = \\binom{n}{k}<\/span> para valores grandes de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span>, especialmente cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=n\/2<\/span>, que es el caso en el que se alcanzan los valores m\u00e1ximos, resulta \u00fatil emplear la aproximaci\u00f3n logar\u00edtmica de Stirling.<\/p>\n<p>Para manejar n\u00fameros de esta magnitud, podemos reformular los c\u00e1lculos tomando logaritmos, obteniendo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\ln(\\Omega)=\\ln\\left(\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\\right)= \\ln(n!) - \\ln((n-k)!) - \\ln(k!)<\/span>\n<p>Esta expresi\u00f3n se puede trabajar utilizando la aproximaci\u00f3n de Stirling para el logaritmo factorial, para esto tenemos dos versiones posibles, la ordinaria y la simplificada:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Aproximaci\u00f3n ordinaria:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln(n!) \\approx \\dfrac{1}{2}\\ln(2n\\pi) + n\\ln(n) - n<\/span> <\/li>\n<li><strong>Aproximaci\u00f3n simplificada:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln(n!) \\approx  n\\ln(n) - n<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h4>Desarrollo mediante la aproximaci\u00f3n simplificada<\/h4>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/fnt99FeeHPM?si=H6r-5GhO2yqaeaXd\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Usando la aproximaci\u00f3n simplificada se obtienen los siguientes resultados:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\ln(\\Omega) &amp; \\approx n\\ln(n) - n - (n-k)\\ln(n-k) + (n-k) - k\\ln(k) + k \\\\ \\\\\n\n&amp;= n\\ln(n) - (n-k)\\ln(n-k) - k\\ln(k) \\\\ \\\\\n\n&amp;= n\\ln(n) - n\\ln(n-k) + k\\ln(n-k) - k\\ln(k) \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\ln\\left[ \\left( \\dfrac{n}{n-k} \\right)^n \\right] + k\\ln\\left( \\dfrac{n-k}{k} \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\ln\\left[ \\dfrac{1}{\\left(1 - \\dfrac{k}{n} \\right)^n} \\right] + k\\ln\\left( \\dfrac{n}{k} - 1 \\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Como esta aproximaci\u00f3n considera valores grandes de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span>, aplicamos la relaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{n\\to\\infty} \\left(1-\\dfrac{k}{n} \\right)^n = e^{-k} <\/span>\n<p>Por lo tanto:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln(\\Omega) \\approx \\ln(e^k) + k\\ln\\left( \\dfrac{n}{k} -1 \\right) = k + k\\ln\\left( \\dfrac{n}{k} -1 \\right) <\/span>\n<p>Finalmente, al emplear el cambio de base para logaritmos, obtenemos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\log(\\Omega) = \\log(e)\\ln(\\Omega) \\approx k\\log(e)\\left[1 + \\ln\\left( \\dfrac{n}{k} - 1 \\right) \\right] <\/span>\n<p>Lo que nos conduce al resultado:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\Omega \\approx 10^{k\\log(e)\\left[1 + \\ln\\left( \\dfrac{n}{k} - 1 \\right) \\right]}}<\/span>\n<p>Aunque este resultado no da el valor exacto de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span>, permite obtener una estimaci\u00f3n del n\u00famero de d\u00edgitos necesarios para representarlo y que mejora conforme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> se hace m\u00e1s grande. Con este m\u00e9todo basta con calcular lo que figura en el exponente, algo que la mayor\u00eda de las calculadoras si pueden realizar.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, este enfoque permite estimar r\u00e1pidamente el valor m\u00e1ximo de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span> para un valor grande de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span>. Considerando el caso en que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=n\/2<\/span>, obtenemos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Max}\\left(\\Omega\\right) \\approx 10^{\\dfrac{n}{2}\\log(e)\\left[1 + \\ln\\left( \\dfrac{n}{n\/2} - 1 \\right) \\right]} = 10^{ n\\log(e)\/2 } <\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h4>Desarrollo mediante la aproximaci\u00f3n ordinaria<\/h4>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/i3OO4lHV24Q?si=jEPCafXqgVxNYqH-\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Si bien el desarrollo mediante la aproximaci\u00f3n ordinaria ofrecer\u00e1 un resultado m\u00e1s preciso, se este implicar\u00e1 algunos c\u00e1lculos adicionales que conduciran a resultados aproximadamente equivalentes para grandes valores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span>. El desarrollo de esta aproximaci\u00f3n reciclar\u00e1 varios de los c\u00e1lculos ya realizados en la aproximaci\u00f3n simplificada quedando como se muestra en el siguiente razonamiento:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rcl}\n\n\\ln(\\Omega) &amp; = &amp; \\ln\\left(\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\\right)= \\ln(n!) - \\ln((n-k)!) - \\ln(k!) \\\\ \\\\\n\n&amp; \\approx &amp; \\color{red}\\dfrac{1}{2}\\ln(2n\\pi)\\color{black} + n\\ln(n) - n \\\\ \\\\\n\n&amp; &amp; \\color{red}-\\dfrac{1}{2}\\ln(2(n-k)\\pi)\\color{black} - (n-k)\\ln(n-k) + (n-k) \\\\ \\\\\n\n&amp; &amp; \\color{red}-\\dfrac{1}{2}\\ln(2k\\pi)\\color{black} - k\\ln(k) + k\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>La parte destacada en rojo corresponde a los elementos adicionales considerados en la aproximaci\u00f3n ordinara, mientras que todo lo dem\u00e1s es lo que ya se obtuvo en la aproximaci\u00f3n ordinaria. A partir de esto se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rcl}\n\n\\ln(\\Omega) &amp; \\approx &amp; \\color{red}\\dfrac{1}{2}\\ln\\left( \\dfrac{2n\\pi}{2(n-k)\\pi \\cdot 2k\\pi} \\right)\\color{black} + k + k\\ln\\left(\\dfrac{n}{k} - 1\\right) \\\\ \\\\\n\n&amp; = &amp;  k + k\\ln\\left(\\dfrac{n}{k} - 1\\right) - \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(\\dfrac{2k\\pi(n-k)}{n}\\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Luego, empleando cambio de base de logaritmos se tiene<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\log(\\Omega) = \\log(e)\\ln(\\Omega) \\approx \\log(e) \\left[ k + k\\ln\\left(\\dfrac{n}{k} - 1\\right) - \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(\\dfrac{2k\\pi(n-k)}{n}\\right) \\right] <\/span>\n<p>Finalmente, tomando exponencial de base 10 se obtiene<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\Omega \\approx 10^{\\log(e) \\left[ k + k\\ln\\left(\\dfrac{n}{k} - 1\\right) - \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(\\dfrac{2k\\pi(n-k)}{n}\\right) \\right]}\n\n<\/span>\n<p>Ahora, de forma an\u00e1loga a antes, podemos encontrar el valor m\u00e1ximo de este n\u00famero evaluando con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=n\/2<\/span>, que en este caso proporcionar\u00e1 el siguiente resultado:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rcl}\n\n\\text{Max}(\\Omega) &amp;\\approx &amp; 10^{\\log(e) \\left[ \\dfrac{n}{2} + \\dfrac{n}{2}\\ln\\left(\\dfrac{n}{(n\/2)} - 1\\right) - \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(\\dfrac{2(n\/2)\\pi(n-n\/2)}{n}\\right) \\right]} \\\\ \\\\\n\n&amp; = &amp; 10^{\\log(e) \\left[\\dfrac{n}{2} - \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(\\dfrac{n\\pi}{2} \\right) \\right]} = 10^{\\log(e)(n-\\ln(n\\pi\/2))\/2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejemplos de c\u00e1lculos combinatorios y de orden de magnitud<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/M7NrtICrSzU?si=6UT34333Wp5YwFU1\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>Caso 1: Grandes factoriales<\/h3>\n<p>Estimemos el orden de magnitud de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(10^{50}\\right)!<\/span>, es decir, la cantidad de d\u00edgitos necesarios para escribir dicho n\u00famero.<\/p>\n<h5>Soluci\u00f3n<\/h5>\n<p>Para realizar este c\u00e1lculo, utilizamos la f\u00f3rmula de Stirling de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\ln\\left[ \\left(10^{50}\\right)! \\right] &amp;\\approx 10^{50}\\ln\\left(10^{50}\\right) - 10^{50}\\\\ \\\\\n\n&amp;= \\left[\\ln\\left(10^{50}\\right) -1\\right]10^{50}  \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\left[50\\ln(10)-1 \\right]10^{50} \\\\ \\\\\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>A continuaci\u00f3n, aplicamos el cambio de base de los logaritmos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\ln\\left[ \\left(10^{50}\\right)! \\right] = \\dfrac{\\log\\left[\\left(10^{50}\\right)!\\right]}{\\log{e}}<\/span>\n<p>Por lo tanto:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\log\\left[ \\left(10^{50}\\right)! \\right] \\approx \\log(e)\\left[50\\ln(10)-1 \\right]10^{50}\n\n<\/span>\n<p>Finalmente, al aplicar la exponencial de base 10, obtenemos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\left(10^{50}\\right)!  \\approx  10^{\\log(e)\\left[50\\ln(10)-1 \\right]10^{50}} = 10^{49,5657 \\cdot 10^{50}}\n\n<\/span>\n<p>El exponente sobre el 10 representa el orden de magnitud, proporcionando una estimaci\u00f3n de la cantidad de d\u00edgitos que tiene el n\u00famero <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(10^{50}\\right)!<\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h3>Caso 2: Grandes combinatorias<\/h3>\n<p>Una casa promedio tiene aproximadamente 12 interruptores de luz, los cuales pueden estar encendidos o apagados. En promedio, cada casa alberga 4 personas. Si una ciudad tiene 5 millones de habitantes, \u00bfde cu\u00e1ntas formas posibles puede estar encendida la mitad de los interruptores de la ciudad?<\/p>\n<h5>Soluci\u00f3n<\/h5>\n<p>El n\u00famero <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> de interruptores totales en la ciudad es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\nn &amp;=&amp;\\dfrac{\\text{habitantes en la ciudad}}{\\text{personas por casa}} \\times \\text{interruptores por casa} \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{5\\cdot 10^6}{4}\\cdot 12 = 15\\cdot 10^6\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>El macroestado formado por todos los microestados en los que la mitad de los interruptores est\u00e1n encendidos coincide con el macroestado que tiene el mayor n\u00famero de configuraciones posibles. Denotando este n\u00famero m\u00e1ximo como <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{max}<\/span>, podemos obtener las siguientes estimaciones seg\u00fan cada m\u00e9todo:<\/p>\n<ul>\n<ol><strong>Estimaci\u00f3n ordinaria:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{max} = 10^{\\log(e)\\left[15\\cdot10^6 - \\ln\\left(15\\pi\\cdot10^6 \/ 2 \\right) \\right]\/2} \\approx 10^{6.514.413,542}<\/span><\/ol>\n<ol><strong>Estimaci\u00f3n simplificada:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{max} = 10^{\\log(e)\\left[15\\cdot10^6 \\right]\/2} \\approx 10^{6.514.417,229}<\/span><\/ol>\n<\/ul>\n<p>Si bien entre ambas aproximaciones hay una diferencia de cercana a 4 ordenes de magnitud (que puede parecer bastante), en realidad esto no es realmente importante al lado de m\u00e1s de 6 millones y medio de \u00f3rdenes de magnitud.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problemas de Combinatorias en Termodin\u00e1mica \u00bfCu\u00e1ntas formas existen de organizar un sistema f\u00edsico compuesto por millones de elementos? 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