{"id":29546,"date":"2024-11-18T17:32:40","date_gmt":"2024-11-18T17:32:40","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=29546"},"modified":"2024-11-18T17:32:40","modified_gmt":"2024-11-18T17:32:40","slug":"limite-y-continuidad","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/limite-y-continuidad\/","title":{"rendered":"L\u00edmite y Continuidad"},"content":{"rendered":"<style>\np {\ntext-align:justify;\n}\n<\/style>\n<p><center><\/p>\n<h1>L\u00edmite y Continuidad<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><\/em><br \/>\nEn esta clase aborda se aborda la relaci\u00f3n entre el l\u00edmite y la continuidad de una funci\u00f3n, comenzando con una explicaci\u00f3n intuitiva y formal del t\u00e9rmino. Se explora la continuidad en un punto y en un conjunto, detallando las condiciones necesarias para que una funci\u00f3n sea continua. Tambi\u00e9n se presentan las propiedades algebraicas de las funciones continuas, incluidas sumas, productos, cocientes y composici\u00f3n de funciones. Finalmente, se resuelven ejemplos pr\u00e1cticos para analizar la continuidad de diferentes funciones y calcular l\u00edmites, relacion\u00e1ndolos con el concepto de continuidad.\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Analizar<\/strong> la continuidad de una funci\u00f3n en un punto mediante la verificaci\u00f3n de las condiciones definidas.<\/li>\n<li><strong>Evaluar<\/strong> si una funci\u00f3n es continua en un conjunto determinado utilizando la definici\u00f3n formal de continuidad.<\/li>\n<li><strong>Demostrar<\/strong> la continuidad de una funci\u00f3n a partir de sus propiedades algebraicas.<\/li>\n<li><strong>Clasificar<\/strong> los puntos de discontinuidad en diferentes tipos seg\u00fan las condiciones que no se cumplen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Introducci\u00f3n<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Continuidad en un Punto<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Continuidad en un Conjunto<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Propiedades de las Funciones Continuas<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Ejercicios<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/4kehfJcyPRg\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p ><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=4kehfJcyPRg&amp;t=109s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Intuitivamente hablando se entiende la continuidad<\/strong><\/a> de una funci\u00f3n como la propuedad que permite dibujar su gr\u00e1fico \u00absin levantar el lapiz\u00bb. Esta noci\u00f3n que es bastante sencilla de entender por si sola no es suficiente, sin embargo, si lo que se desea es la rigurosidad del razonamiento matem\u00e1tico. Es necesario un m\u00ednimo de modales. Formalmente hablando, la continuidad de las funciones est\u00e1 intimamente ligada al concepto de l\u00edmite y esto es lo que estudiaremos en detalle.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>Continuidad en un Punto<\/h3>\n<p ><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=4kehfJcyPRg&amp;t=152s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Una funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> es continua en un punto<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=x_0<\/span> si, y s\u00f3lo si, se cumplen las siguientes condiciones:<\/p>\n<ul >\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> est\u00e1 definida en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/li>\n<li>El l\u00edmite <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} f(x)<\/span> existe<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} f(x) = f(x_0)<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p >Todo esto se puede sintetizar matem\u00e1ticamente a trav\u00e9s de la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall \\epsilon \\gt 0 \\right) \\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left(0\\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |f(x) - f(x_0)|\\lt \\epsilon\\right)<\/span>\n<p >Esto es justo la definici\u00f3n matem\u00e1tica de l\u00edmite en que se ha remplazado el valor \u00abL\u00bb por \u00abf(<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span>)\u00bb<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Continuidad en un Conjunto<\/h3>\n<p ><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=4kehfJcyPRg&amp;t=462s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>La definici\u00f3n de continuidad<\/strong><\/a> puntual se puede extender a la continuidad para todos los puntos dentro de un cierto conjunto. Decimos que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> es continua dentro de un conjunto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I\\subseteq Dom(f)<\/span> si es continua para todos los puntos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in I.<\/span> Esto se puede sintetizar matem\u00e1ticamente a trav\u00e9s de la siguiente expresi\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall x_0 \\in I\\subseteq Dom(f) \\right)\\left(\\forall \\epsilon \\gt 0 \\right) \\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left(0\\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |f(x) - f(x_0)|\\lt \\epsilon\\right)<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Propiedades de las Funciones Continuas<\/h3>\n<h4>\u00c1lgebra de Funciones Continuas<\/h4>\n<p ><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=4kehfJcyPRg&amp;t=575s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> son funciones continuas<\/strong><\/a> en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I\\subseteq Dom(f)\\cap Dom(g)<\/span> entonces se tendr\u00e1 que:<\/p>\n<ul >\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\pm g<\/span> es continua en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\cdot g<\/span> es continua en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/li>\n<li>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha\\in\\mathbb{R}<\/span>, entonces <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha f<\/span> es continua en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\/g<\/span> es continua en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span> siempre que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g\\neq 0<\/span><\/li>\n<li>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta\\neq 0<\/span>, entonces <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^{\\alpha\/\\beta}<\/span> es continua en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span>, siempre que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^{\\alpha\/\\beta}<\/span> est\u00e9 bien definida en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p >Todas estas propiedades que parecen dificiles de demostrar desde la definici\u00f3n formal de continuidad son en realidad muy f\u00e1ciles, porque son practicamente an\u00e1logas al \u00e1lgebra de l\u00edmites que <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/la-definicion-de-limite-demostraciones-y-teoremas\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">ya tenemos demostradas<\/a>, por lo que quedamos eximidos de hacerlas.<\/p>\n<h5>Composici\u00f3n de Funciones Continuas<\/h5>\n<p >Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> es continua en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I\\subseteq Dom(f)<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> es continua en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(I)<\/span>, entonces la composici\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(g\\circ f)(x) = g(f(x))<\/span> es continua en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span>. Esto, como ya se intuye, es una consecuencia directa de las leyes de composici\u00f3n para los l\u00edmites de funciones.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/R91vswfQT_Q\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<ol >\n<li>Analice la continuidad de las siguientes funciones<br \/>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"30\">a.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\dfrac{1}{x-2} - 3x<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=33s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>b.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=97s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>c.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=|x-1| + \\sin(x)<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=215s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>d.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\dfrac{\\cos(x)}{x}<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=450s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>e.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=csc(2x)<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=564s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>f.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\dfrac{x\\tan(x)}{x^2 + 1}<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=666s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>g.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sqrt{2x + 3}<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=784s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>h.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\dfrac{x+2}{\\cos(x)}<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=917s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>i.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\dfrac{\\sqrt{x^4 + 1}}{1+\\sin^2(x)}<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=952s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<li>Calcule los siguientes l\u00edmites. \u00bfLas funciones son continuas en los puntos a los que se aproximan?<br \/>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"30\">a.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to\\pi} \\sin(x -\\sin(x))<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=1033s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>b.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0} \\sin\\left(\\dfrac{\\pi}{2}\\cos(\\tan(x)) \\right)<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=1092s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>c.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 1} \\sec\\left(x\\sec^2(x) - \\tan^2(x) -1 \\right)<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=1162s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>d.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0} \\tan\\left(\\dfrac{\\pi}{4}\\cos\\left(\\sin\\left(x^{1\/3}\\right)\\right) \\right)<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=1274s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>e.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0} \\cos\\left(\\dfrac{\\pi}{\\sqrt{19 - 3\\sec{2x}}} \\right)<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=1424s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>f.<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to \\pi\/6} \\sqrt{\\csc^2(x) + 5\\sqrt{3}\\tan(x)}<\/span><\/td>\n<td><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=R91vswfQT_Q&amp;t=1505s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>SOLUCI\u00d3N<\/strong><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>L\u00edmite y Continuidad Resumen: En esta clase aborda se aborda la relaci\u00f3n entre el l\u00edmite y la continuidad de una funci\u00f3n, comenzando con una explicaci\u00f3n intuitiva y formal del t\u00e9rmino. 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Aqu\u00ed entender\u00e1s estas ideas del c\u00e1lculo con ejemplos y definiciones formales.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/limite-y-continuidad\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"L\u00edmite y Continuidad\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"\u00bfQu\u00e9 es la continuidad y qu\u00e9 relacion guarda con el l\u00edmite? 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