{"id":29040,"date":"2021-06-26T13:00:48","date_gmt":"2021-06-26T13:00:48","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=29040"},"modified":"2024-09-24T15:45:06","modified_gmt":"2024-09-24T15:45:06","slug":"dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/","title":{"rendered":"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEsta clase introduce los conceptos de dominio, recorrido y gr\u00e1fico de funciones, aplic\u00e1ndolos a ejemplos pr\u00e1cticos de funciones algebraicas. Se revisan t\u00e9cnicas gr\u00e1ficas y anal\u00edticas para determinar estos elementos<br \/>\n<\/em><br \/>\n<strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de <\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Definir<\/strong> correctamente el dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> m\u00e9todos gr\u00e1ficos para determinar el dominio y el recorrido de funciones algebraicas.<\/li>\n<li><strong>Construir<\/strong> tablas de signos para analizar el comportamiento de funciones.<\/li>\n<\/ol>\n<p><\/center><\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/zhb8GKlcdA8\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<\/center><\/p>\n<h2>Definici\u00f3n de dominio, recorrido y gr\u00e1fico<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Llegados a este punto ya hemos realizado un estudio bastante detallado sobre las funciones lineales, cuadr\u00e1ticas y similares. Estudiamos tambi\u00e9n curvas como las rectas, par\u00e1bolas, elipses e hip\u00e9rbolas y las operaciones con polinomios y funciones algebraicas en general. Con esto realizado, ahora ser\u00e1 mucho m\u00e1s sencillo adentrarnos en aspectos un poco m\u00e1s fundacionales en torno a las funciones en general, que es lo que comenzaremos a revisar en esta ocasi\u00f3n introduciendo los conceptos de <strong>dominio, recorrido y gr\u00e1fico.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zhb8GKlcdA8&amp;t=306s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Sea <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> una funci\u00f3n<\/strong><\/a> definida entre los conjuntos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{matrix}f &amp; : &amp; A &amp; \\longrightarrow &amp; B \\\\ &amp; &amp; x &amp; \\longmapsto &amp; y=f(x)\n\n\\end{matrix}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Los conjuntos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> se dicen que son los conjuntos de \u00abentrada\u00bb y \u00absalida\u00bb, respectivamente. Y a partir de estos se definen los siguientes conjuntos:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(f) = \\{x\\in A\\;|\\; (\\exists y \\in B)(y=f(x))\\}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Rec(f) = \\{y\\in B\\;|\\; (\\exists ! x \\in Dom(f))(y=f(x))\\}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Graf(f) = \\{(x,y)\\in A\\times B\\;|\\; x\\in Dom(f) \\wedge y=f(x) \\}<\/span>\n<h2>An\u00e1lisis de Ejemplos<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Todo lo que se puede aprender sobre los conceptos de dominio, recorrido y gr\u00e1fico, si bien es en esencia una cuesti\u00f3n te\u00f3rica, su comprensi\u00f3n radica m\u00e1s en el desarrollo de ejemplos pr\u00e1cticos, que es lo que realizaremos justo ahora analizando los siguientes tres casos:<\/p>\n<h3>Calcular dominio, recorrido y gr\u00e1fico de: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = \\sqrt{1-x^2}<\/span><\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zhb8GKlcdA8&amp;t=560s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Iniciemos este an\u00e1lisis<\/strong><\/a> escribiendo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x).<\/span> Si hacemos tal cosa, entonces obtendremos la ecuaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y = \\sqrt{1-x^2}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Si esta expresi\u00f3n la elevamos al cuadrado, r\u00e1pidamente llegaremos a una expresi\u00f3n que conducir\u00e1 a cuestiones que ya conocemos<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n&amp; y^2 = 1-x^2 \\\\\n\n\\equiv &amp; x^2 + y^2 = 1 \\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es la ecuaci\u00f3n de la circunferencia unitaria.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-DQGthMyBY6g\/YNVVrnVQEfI\/AAAAAAAAFOQ\/6_lf8fRQdDIT9NMqstyLOJ2F7nQM9pc8ACLcBGAsYHQ\/s0\/circulounitario.PNG\" alt=\"Circulo Unitario y el dominio, recorrido y gr\u00e1fico\" class=\"aligncenter lazyload\" width=\"245\" height=\"249\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-DQGthMyBY6g\/YNVVrnVQEfI\/AAAAAAAAFOQ\/6_lf8fRQdDIT9NMqstyLOJ2F7nQM9pc8ACLcBGAsYHQ\/s0\/circulounitario.PNG\" alt=\"Circulo Unitario y el dominio, recorrido y gr\u00e1fico\" class=\"aligncenter lazyload\" width=\"245\" height=\"249\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Sin embargo, debemos tener cuidado aqu\u00ed, porque al elevar al cuadrado hemos \u00abagregado algo de informaci\u00f3n\u00bb. Algebraicamente existen dos valores que satisfacen la condici\u00f3n de \u00abser la ra\u00edz cuadrada de\u00bb, sin embargo, en el punto de partida de este an\u00e1lisis, la ra\u00edz es especificada como una funci\u00f3n, y estas s\u00f3lo admiten un \u00fanico resultado. Hablamos de la ra\u00edz principal. Por este motivo, el planteamiento original hace referencia s\u00f3lo a la parte superior de la circunferencia, en lugar de la figura completa.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-AxSf-9lgnuE\/YNVbSJpd-rI\/AAAAAAAAFOg\/0APXEMWIFpAm8DX9651iD6wcq5bTJwFoQCLcBGAsYHQ\/s0\/circulounitario%2B2.PNG\" alt=\"circulo unitario y dominio, recorrido y gr\u00e1fico\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"401\" height=\"361\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-AxSf-9lgnuE\/YNVbSJpd-rI\/AAAAAAAAFOg\/0APXEMWIFpAm8DX9651iD6wcq5bTJwFoQCLcBGAsYHQ\/s0\/circulounitario%2B2.PNG\" alt=\"circulo unitario y dominio, recorrido y gr\u00e1fico\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"401\" height=\"361\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de esta figura es claro que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(f) = \\{x\\in\\mathbb{R}\\;|\\; |x|\\leq 1\\} = [-1,1]<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Rec(f) = \\{y\\in\\mathbb{R}\\;|\\; 0\\leq y\\leq 1\\} = [0,1]<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Graf(f) = \\{(x,y)\\in \\mathbb{R}\\times \\mathbb{R}\\;|\\; x\\in [-1,1] \\wedge y=\\sqrt{1-x^2}\\}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Si bien he desarrollado este an\u00e1lisis desde una perspectiva gr\u00e1fica, tambi\u00e9n es posible hacer esto desde un enfoque m\u00e1s anal\u00edtico, para esto basta con revisar las operaciones involucradas.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = \\color{red}{\\sqrt{{1-x^2}}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">La parte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1-x^2<\/span> esta bien definida para todos los reales<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">En cambio, la ra\u00edz s\u00f3lo admite valores mayores o iguales a cero<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de esto se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rlrl}\n\nx\\in Dom(f) &amp; \\leftrightarrow &amp; 0 &amp;\\leq 1-x^2 \\\\\n\n{} &amp; \\leftrightarrow &amp; x^2 &amp;\\leq 1 \\\\\n\n&amp; \\leftrightarrow &amp; |x| &amp;\\leq 1 \\\\\n\n&amp; \\leftrightarrow &amp; -1 &amp;\\leq x \\leq 1 \\\\\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nPor\\,lo\\,tanto:\\; Dom(f) = \\{x\\in \\mathbb{R}\\;|x| \\leq 1\\} = [-1,1]\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Los m\u00e9todos anal\u00edticos para determinar el recorrido son en general mucho m\u00e1s complicados; los casos m\u00e1s sencillos se resuelven encontrando la funci\u00f3n inversa, pero antes de revisar ese tema en detalle es conveniente primero estudiar la composici\u00f3n de funciones y otros casos m\u00e1s sencillos para tener una base firme. Mientras tanto, los m\u00e9todos gr\u00e1ficos que revisaremos pronto cubrir\u00e1n gran parte de las dificultades que implica determinar el recorrido.<\/p>\n<h3>An\u00e1lisis para: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x) =\\displaystyle \\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}<\/span><\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zhb8GKlcdA8&amp;t=1049s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Una forma de encontrar<\/strong><\/a> r\u00e1pidamente el dominio de la funci\u00f3n es preguntando por los valores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> que \u00abestropean la funci\u00f3n\u00bb. Es claro que la funci\u00f3n s\u00f3lo se estropea cuando el denominador se anula. Es decir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n&amp; x^2 + 1 = 0 \\\\\n\n\\equiv &amp; x^2 = -1 \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Como ning\u00fan n\u00famero real puede satisfacer tal condicion, entonces es claro que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\color{blue}{Dom(g) = \\mathbb{R}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Determinar el gr\u00e1fico es generalmente la forma m\u00e1s r\u00e1pida de determinar el recorrido de una funci\u00f3n; y para lograrlo, la <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/algebra-de-polinomios-de-numeros-reales\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">divisi\u00f3n de polinomios<\/a> ser\u00e1 una buena herramienta.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Haciendo la divisi\u00f3n de polinomios llegaremos a que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y= \\displaystyle\\frac{x^2-1}{x^2+1} =<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-\\displaystyle\\frac{2}{x^2 + 1}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">De este modo, hemos separado la funci\u00f3n original en dos partes mas sencillas m\u00e1s faciles de tratar y que llamamos \u00abparte entera\u00bb y \u00abfraccionaria\u00bb. Graficar cada una de estas partes por separado es mucho m\u00e1s f\u00e1cil que graficar la funci\u00f3n original de una sola vez.<\/p>\n<h3>An\u00e1lisis para: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h(x) =\\displaystyle \\frac{x - 1}{\\sqrt{x+1}}<\/span><\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zhb8GKlcdA8&amp;t=1580s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Un an\u00e1lisis algebraico <\/strong><\/a>ayudar\u00e1 a determinar r\u00e1pidamente el dominio de esta funci\u00f3n. Basta con notar que estar\u00e1 bien definida siempre que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rrl}\n\n&amp; 0 &amp; \\lt x + 1 \\\\\n\n\\equiv &amp; -1 &amp; \\lt x \\\\\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Por lo tanto, es claro que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(h)=]-1,+\\infty[.<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para encontrar el recorrido es conveniente esbozar el gr\u00e1fico y para hacer esto de un modo simple utilizaremos una <strong>tabla de signos.<\/strong> La funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h(x)<\/span> se compone de dos partes<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h(x)=\\displaystyle\\frac{\\color{green}{x-1}}{\\color{red}{\\sqrt{x+1}}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">La parte de arriba se anula en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=1<\/span>; La parte de abajo adem\u00e1s de anularse en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=-1<\/span>, se indetermina si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\lt-1<\/span>. Con esta informaci\u00f3n se construye la siguiente tabla de signos:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-\\infty<\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1<\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">+1<\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">+\\infty<\/span><\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x-1<\/span><\/th>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-\\infty <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> - <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} - <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> - <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> + <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} +\\infty <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{x+1}<\/span><\/th>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> No\\,Existe  <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> No\\,Existe <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> + <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} + <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> + <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} + <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\frac{x-1}{\\sqrt{x+1}}<\/span><\/th>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> No\\,Existe <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{}No\\,Existe <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> -\\infty <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} - <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 0 <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> + <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} +\\infty <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Con la informaci\u00f3n desplegada en esta tabla, ahora es muy sencillo hacer el gr\u00e1fico de la funci\u00f3n.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-mWc6Hza3Wl0\/YNWMYho7pPI\/AAAAAAAAFO4\/0D8zrIeKcc8HY7hlWuvJOWDnYE6Zw--cQCLcBGAsYHQ\/s0\/grafico%2B2.PNG\" alt=\"dominio, recorrido y grafico con tabla de signos\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"498\" height=\"310\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-mWc6Hza3Wl0\/YNWMYho7pPI\/AAAAAAAAFO4\/0D8zrIeKcc8HY7hlWuvJOWDnYE6Zw--cQCLcBGAsYHQ\/s0\/grafico%2B2.PNG\" alt=\"dominio, recorrido y grafico con tabla de signos\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"498\" height=\"310\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y con esto, determinar el dominio y el recorrido es ahora una cosa trivial:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(h)=]-1,+\\infty[<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Rec(h)=\\mathbb{R}<\/span>\n<h3>Ejercicio Propuesto<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Utilizando las herramientas que acabamos de revisar, encuentra el dominio, recorrido y el gr\u00e1fico de la siguiente funci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x) = \\displaystyle\\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}<\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas Resumen: Esta clase introduce los conceptos de dominio, recorrido y gr\u00e1fico de funciones, aplic\u00e1ndolos a ejemplos pr\u00e1cticos de funciones algebraicas. Se revisan t\u00e9cnicas gr\u00e1ficas y anal\u00edticas para determinar estos elementos Objetivos de Aprendizaje: Al finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de Definir correctamente el dominio, recorrido y [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":29058,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":51,"footnotes":""},"categories":[579,563],"tags":[],"class_list":["post-29040","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-algebra-y-geometria","category-matematica"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v26.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"El dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n son conceptos fundamentales en matem\u00e1ticas. El dominio representa los valores de entrada permitidos, el recorrido los posibles resultados, y el gr\u00e1fico visualiza la relaci\u00f3n entre ambos.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"El dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n son conceptos fundamentales en matem\u00e1ticas. El dominio representa los valores de entrada permitidos, el recorrido los posibles resultados, y el gr\u00e1fico visualiza la relaci\u00f3n entre ambos.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-06-26T13:00:48+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-09-24T15:45:06+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"1792\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"815\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/jpeg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"El dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n son conceptos fundamentales en matem\u00e1ticas. El dominio representa los valores de entrada permitidos, el recorrido los posibles resultados, y el gr\u00e1fico visualiza la relaci\u00f3n entre ambos.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 minutos\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas\",\"datePublished\":\"2021-06-26T13:00:48+00:00\",\"dateModified\":\"2024-09-24T15:45:06+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/\"},\"wordCount\":1307,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg\",\"articleSection\":[\"\u00c1lgebra y Geometr\u00eda\",\"Matem\u00e1tica\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/\",\"name\":\"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas - toposuranos.com\/material\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg\",\"datePublished\":\"2021-06-26T13:00:48+00:00\",\"dateModified\":\"2024-09-24T15:45:06+00:00\",\"description\":\"El dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n son conceptos fundamentales en matem\u00e1ticas. El dominio representa los valores de entrada permitidos, el recorrido los posibles resultados, y el gr\u00e1fico visualiza la relaci\u00f3n entre ambos.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#primaryimage\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg\",\"width\":1792,\"height\":815},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/\",\"name\":\"toposuranos.com\/material\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"es\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\",\"name\":\"toposuranos.com\/material\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png\",\"width\":2400,\"height\":2059,\"caption\":\"toposuranos.com\/material\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\",\"https:\/\/x.com\/topuranos\",\"https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g\",\"https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\",\"name\":\"giorgio.reveco\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"caption\":\"giorgio.reveco\"},\"description\":\"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\"],\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas - toposuranos.com\/material","description":"El dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n son conceptos fundamentales en matem\u00e1ticas. El dominio representa los valores de entrada permitidos, el recorrido los posibles resultados, y el gr\u00e1fico visualiza la relaci\u00f3n entre ambos.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas","og_description":"El dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n son conceptos fundamentales en matem\u00e1ticas. El dominio representa los valores de entrada permitidos, el recorrido los posibles resultados, y el gr\u00e1fico visualiza la relaci\u00f3n entre ambos.","og_url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2021-06-26T13:00:48+00:00","article_modified_time":"2024-09-24T15:45:06+00:00","og_image":[{"width":1792,"height":815,"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas","twitter_description":"El dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n son conceptos fundamentales en matem\u00e1ticas. El dominio representa los valores de entrada permitidos, el recorrido los posibles resultados, y el gr\u00e1fico visualiza la relaci\u00f3n entre ambos.","twitter_image":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"6 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#article","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas","datePublished":"2021-06-26T13:00:48+00:00","dateModified":"2024-09-24T15:45:06+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/"},"wordCount":1307,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg","articleSection":["\u00c1lgebra y Geometr\u00eda","Matem\u00e1tica"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/","name":"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas - toposuranos.com\/material","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#primaryimage"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg","datePublished":"2021-06-26T13:00:48+00:00","dateModified":"2024-09-24T15:45:06+00:00","description":"El dominio, recorrido y gr\u00e1fico de una funci\u00f3n son conceptos fundamentales en matem\u00e1ticas. El dominio representa los valores de entrada permitidos, el recorrido los posibles resultados, y el gr\u00e1fico visualiza la relaci\u00f3n entre ambos.","breadcrumb":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#primaryimage","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/graficos.jpg","width":1792,"height":815},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/dominio-recorrido-y-grafico-de-funciones-algebraicas\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Dominio, Recorrido y Gr\u00e1fico de Funciones Algebraicas"}]},{"@type":"WebSite","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","name":"toposuranos.com\/material","description":"","publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"es"},{"@type":"Organization","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization","name":"toposuranos.com\/material","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","width":2400,"height":2059,"caption":"toposuranos.com\/material"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","https:\/\/x.com\/topuranos","https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190"]},{"@type":"Person","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1","name":"giorgio.reveco","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","caption":"giorgio.reveco"},"description":"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.","sameAs":["http:\/\/toposuranos.com\/material"],"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/"}]}},"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/29040","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=29040"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/29040\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media\/29058"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=29040"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=29040"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=29040"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}