{"id":29004,"date":"2021-05-05T13:00:44","date_gmt":"2021-05-05T13:00:44","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=29004"},"modified":"2024-09-22T04:31:07","modified_gmt":"2024-09-22T04:31:07","slug":"secciones-conicas-caracterizacion-y-grafico-de-parabolas-elipses-e-hiperbolas","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/secciones-conicas-caracterizacion-y-grafico-de-parabolas-elipses-e-hiperbolas\/","title":{"rendered":"Secciones C\u00f3nicas: Caracterizaci\u00f3n y Gr\u00e1fico de Par\u00e1bolas, Elipses e Hip\u00e9rbolas"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Secciones C\u00f3nicas: Caracterizaci\u00f3n y Gr\u00e1fico de Par\u00e1bolas, Elipses e Hip\u00e9rbolas<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase revisaremos las secciones c\u00f3nicas (par\u00e1bolas, elipses e hip\u00e9rbolas), comenzando con sus ecuaciones can\u00f3nicas y generales. Se explica c\u00f3mo identificar y caracterizar cada curva, enfoc\u00e1ndose en elementos clave como el v\u00e9rtice, foco y eje de simetr\u00eda en las par\u00e1bolas, y la distinci\u00f3n entre elipses e hip\u00e9rbolas seg\u00fan los signos de sus coeficientes.<br \/>\n<\/em><br \/>\n<strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Reconocer<\/strong> las ecuaciones can\u00f3nicas de las secciones c\u00f3nicas (par\u00e1bolas, elipses, hip\u00e9rbolas)<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> cada una de las caracteristicas de las secciones c\u00f3nicas: longitud de semiejes, distancia focal, directriz, etc.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Secciones c\u00f3nicas<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Revisi\u00f3n a las Par\u00e1bolas<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Revisi\u00f3n a las Elipses e Hip\u00e9rbolas<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Caracterizaci\u00f3n de la elipse<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Caracterizaci\u00f3n de la hip\u00e9rbola<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Ejercicios Resueltos<\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/d21_9EHUv_M\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Secciones c\u00f3nicas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=126s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Se llaman secciones c\u00f3nicas a todas<\/strong><\/a> las curvas que resultan de intersecar la superficie de un cono con un plano. La familia de las secciones c\u00f3nicas las componen las circunferencias y elipses, y las hip\u00e9rbolas, todas son curvas que ya hemos estudiado.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-5eckvpNxzlg\/YJJimcxkMYI\/AAAAAAAAFEA\/dfGTvXblcD4dZXSjpWvonYFN8O0EMNqtwCLcBGAsYHQ\/s0\/curvas-conicas-secciones-cono.png\" alt=\"Secciones C\u00f3nicas\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"531\" height=\"272\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-5eckvpNxzlg\/YJJimcxkMYI\/AAAAAAAAFEA\/dfGTvXblcD4dZXSjpWvonYFN8O0EMNqtwCLcBGAsYHQ\/s0\/curvas-conicas-secciones-cono.png\" alt=\"Secciones C\u00f3nicas\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"531\" height=\"272\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora haremos una revisi\u00f3n sobre las t\u00e9cnicas para reconocer y caracterizar cada una de estas curvas. Nos concentraremos especialmente en las formas can\u00f3nicas, porque esta es la que con m\u00e1s frecuencia se presenta y es la que menos informaci\u00f3n revelan de forma expl\u00edcita. Las ecuaciones generales, por el contrario, de por si revelan casi toda la caracterizaci\u00f3n geom\u00e9trica.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Revisi\u00f3n a las Par\u00e1bolas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=160s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Toda par\u00e1bola es representada<\/strong><\/a> por una ecuaci\u00f3n de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ax^2 + bx + c,<\/span> con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">En t\u00e9rminos de esto obtuvimos<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Coordenadas del V\u00e9rtice: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (x_0, y_0)=\\left( -\\dfrac{b}{2a}, c - \\dfrac{b^2}{4a} \\right)<\/span><\/li>\n<li>Posici\u00f3n focal: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f=\\dfrac{1}{4a}<\/span><\/li>\n<li>Coordenadas del foco: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle foco=\\left( -\\dfrac{b}{2a}, c - \\dfrac{b^2}{4a} + f \\right) =\\left( -\\dfrac{b}{2a}, c + \\dfrac{1- b^2}{4a} \\right)<\/span><\/li>\n<li>Ecuaci\u00f3n de la directriz: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle y= c - \\dfrac{b^2}{4a} - f = c - \\dfrac{1+b^2}{4a}<\/span><\/li>\n<li>Ecuaci\u00f3n del eje de simetr\u00eda: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle x= -\\dfrac{b}{2a} <\/span><\/li>\n<li>Cortes con el eje x (si existen): <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle x_{1,2}= \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a} <\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y con esto ya tenemos toda la informaci\u00f3n necesaria para graficar cualquier par\u00e1bola.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Revisi\u00f3n a las Elipses e Hip\u00e9rbolas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=449s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Las elipses e hip\u00e9rbolas, hemos visto,<\/strong><\/a> tienen una expresi\u00f3n can\u00f3nica de la forma.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> son constantes distintas de cero, y a partir de lo que hemos estudiado se tiene que:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> tienen el mismo signo, entonces es una elipse.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> tienen signo opuestos, entonces es una hip\u00e9rbola.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para separar de forma clara ambos casos, escribiremos que:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha x^2+ \\beta x + \\gamma y^2 + \\delta y + \\epsilon = 0<\/span> es una elipse.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha x^2+ \\beta x - \\gamma y^2 + \\delta y + \\epsilon = 0<\/span> es una hip\u00e9rbola.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Siendo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta, \\gamma, \\delta<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span> n\u00fameros reales cualesquiera y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> siempre positivos. Escribir de esta manera nos permite separar de forma clara ambos casos. A partir de esto podemos hacer las siguientes inferencias:<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Caracterizaci\u00f3n de la elipse<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=552s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Partiendo desde la ecuaci\u00f3n can\u00f3nica<\/strong><\/a> tenemos la siguiente deducci\u00f3n:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50\">(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha x^2+ \\beta x + \\gamma y^2 + \\delta y + \\epsilon = 0<\/span><\/td>\n<td>; ecuaci\u00f3n can\u00f3nica de las elipses.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\left( x^2+ \\dfrac{\\beta}{\\alpha }x\\right) + \\gamma \\left(y^2 + \\dfrac{\\delta}{\\gamma }y\\right) =- \\epsilon<\/span><\/td>\n<td>; factorizando y reagrupando t\u00e9rminos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2 + \\gamma \\left(y + \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2 =\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span><\/td>\n<td>; completando cuadrados y reagrupando t\u00e9rminos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\dfrac{\\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2}{\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} + \\gamma \\dfrac{\\left(y + \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2}{\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} = 1<\/span><\/td>\n<td>; dividiendo todo por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2}{\\dfrac{1}{\\alpha }\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} + \\dfrac{\\left(y + \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2}{\\dfrac{1}{ \\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} = 1<\/span><\/td>\n<td>; Reordenando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left( \\dfrac{ x - \\left(-\\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)}{\\sqrt{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}}\\right)^2 + \\left( \\dfrac{y - \\left(-\\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)}{\\sqrt{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}}\\right)^2 = 1<\/span><\/td>\n<td>; reestructurando con ra\u00edces<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">En el desarrollo de esta deducci\u00f3n es particularmente delicado el paso (3), porque si el coeficiente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span> es negativo, entonces la elipse no puede existir.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Recordemos que la ecuaci\u00f3n general de las elipses es de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left( \\dfrac{x-h}{a} \\right)^2 + \\left(\\dfrac{y-k}{b} \\right)^2 = 1<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Con este \u00faltimo resultado tenemos ahora una relaci\u00f3n directa entre los par\u00e1metros de la formula general que nos permite revelar toda la informaci\u00f3n guardada en la expresi\u00f3n can\u00f3nica:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Coordenadas del centro: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (h,k) = \\left( -\\dfrac{\\beta}{2\\alpha}, -\\dfrac{\\delta}{2\\gamma}\\right)<\/span><\/li>\n<li>Longitud del semieje horizontal: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle a = \\sqrt{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}<\/span><\/li>\n<li>Longitud del semieje vertical: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle b = \\sqrt{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Con esto ya es posible reconocer y graficar una elipse directamente desde su forma can\u00f3nica. Su gr\u00e1fico se ver\u00e1 de la siguiente forma:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-aVD7YQ7DfL0\/YJKBv9QXeTI\/AAAAAAAAFEQ\/urCuFtrn-YYBQ_fVSGXsmhMqExFumag-ACLcBGAsYHQ\/s0\/elipse.PNG\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"414\" height=\"291\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-aVD7YQ7DfL0\/YJKBv9QXeTI\/AAAAAAAAFEQ\/urCuFtrn-YYBQ_fVSGXsmhMqExFumag-ACLcBGAsYHQ\/s0\/elipse.PNG\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"414\" height=\"291\" \/><\/noscript><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Caracterizaci\u00f3n de la hip\u00e9rbola<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=911s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Razonando de una forma completamente an\u00e1loga puedes,<\/strong><\/a> desde la ecuaci\u00f3n can\u00f3nica, hacer la caracterizaci\u00f3n completa de las hip\u00e9rbolas. De hecho, el an\u00e1lisis es tan an\u00e1logo que voy a copiar y pegar el an\u00e1lisis de las elipses y s\u00f3lo voy a modificar algunas partes.<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50\">(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha x^2+ \\beta x - \\gamma y^2 + \\delta y + \\epsilon = 0<\/span><\/td>\n<td>; ecuaci\u00f3n can\u00f3nica de las hip\u00e9rbolas.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\left( x^2+ \\dfrac{\\beta}{\\alpha }x\\right) - \\gamma \\left(y^2 - \\dfrac{\\delta}{\\gamma }y\\right) =- \\epsilon<\/span><\/td>\n<td>; factorizando y reagrupando t\u00e9rminos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2 - \\gamma \\left(y - \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2 =\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span><\/td>\n<td>; completando cuadrados y reagrupando t\u00e9rminos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\dfrac{\\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2}{\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} - \\gamma \\dfrac{\\left(y - \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2}{\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} = 1<\/span><\/td>\n<td>; dividiendo todo por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2}{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} - \\dfrac{\\left(y - \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2}{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} = 1<\/span><\/td>\n<td>; reordenando los t\u00e9rminos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left( \\dfrac{ x - \\left(-\\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)}{\\sqrt{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}}\\right)^2 - \\left( \\dfrac{y - \\left(\\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)}{\\sqrt{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}}\\right)^2 = 1<\/span><\/td>\n<td>; reestructurando con ra\u00edces<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de esto tenemos ahora una relaci\u00f3n directa entre la ecuaci\u00f3n can\u00f3nica y la ecuaci\u00f3n de las hip\u00e9rbolas que nos permitir\u00e1 confeccionar r\u00e1pidamente su gr\u00e1fico.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\dfrac{x-h}{a} \\right)^2 - \\left(\\dfrac{y-k}{b} \\right)^2 =1 <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora, a diferencia de lo que se hace con las elipses, aqu\u00ed es mas correcto hablar de \u00abcaja generadora\u00bb por como veremos en la siguiente figura que se muestra m\u00e1s adelante:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Coordenadas del centro: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (h,k) = \\left( -\\dfrac{\\beta}{2\\alpha}, \\dfrac{\\delta}{2\\gamma}\\right)<\/span><\/li>\n<li>Longitud del semieje horizontal: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle a = \\sqrt{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}<\/span><\/li>\n<li>Longitud del semieje vertical: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle b = \\sqrt{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-bd0n_BuEFiE\/YJKJ1fPDhMI\/AAAAAAAAFEY\/-QjR2QbycSkKJihjHnwmdIDESYgNDyuBgCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola.PNG\" alt=\"Hip\u00e9rbola\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"428\" height=\"305\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-bd0n_BuEFiE\/YJKJ1fPDhMI\/AAAAAAAAFEY\/-QjR2QbycSkKJihjHnwmdIDESYgNDyuBgCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola.PNG\" alt=\"Hip\u00e9rbola\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"428\" height=\"305\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Con los resultados de estos an\u00e1lisis podemos ya graficar cualquier miembro de la familia de las secciones c\u00f3nicas sin ninguna dificultad en especial.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios Resueltos<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/PKjQrcC0HG4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; 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