{"id":28978,"date":"2021-05-05T13:00:12","date_gmt":"2021-05-05T13:00:12","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28978"},"modified":"2024-09-22T01:53:06","modified_gmt":"2024-09-22T01:53:06","slug":"ecuacion-de-las-hiperbolas-y-su-deduccion","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/ecuacion-de-las-hiperbolas-y-su-deduccion\/","title":{"rendered":"Ecuaci\u00f3n de las Hip\u00e9rbolas y su Deducci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Ecuaci\u00f3n de las Hip\u00e9rbolas y su Deducci\u00f3n<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase exploraremos la definici\u00f3n geom\u00e9trica de la hip\u00e9rbola, contrast\u00e1ndola con la elipse, y deduciremos su ecuaci\u00f3n general y can\u00f3nica.<br \/>\n   <\/em><\/p>\n<p>   <strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\n   Al finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Definir<\/strong> geom\u00e9tricamente qu\u00e9 es una hip\u00e9rbola.<\/li>\n<li><strong>Deducir<\/strong> la ecuaci\u00f3n general y can\u00f3nica de las hip\u00e9rbolas a partir de su definici\u00f3n geom\u00e9trica.<\/li>\n<li><strong>Identificar<\/strong> las diferencias entre las elipses y las hip\u00e9rbolas en t\u00e9rminos de las distancias focales.<\/li>\n<\/ol>\n<p>   <strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Definici\u00f3n geom\u00e9trica de Hip\u00e9rbola<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Deducci\u00f3n de la Ecuaci\u00f3n de las Hip\u00e9rbolas<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Ecuaci\u00f3n General de las Hip\u00e9rbolas<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Ecuaci\u00f3n Can\u00f3nica de las Hip\u00e9rbolas<\/a>\n   <\/p>\n<p>   <\/center><\/p>\n<p>   <center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/1Aearz-E3bk\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a>   <\/p>\n<h2>Definici\u00f3n geom\u00e9trica de Hip\u00e9rbola<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Anteriormente revisamos la ecuaci\u00f3n de las elipses y circunferencias y descubrimos tienen la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0<\/span>, donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> son dos cantidades distintas de cero y con el mismo signo. Sobre esto se coment\u00f3 que si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> tienen signos opuestos, entonces en lugar de una elipse se tendr\u00e1 una Hip\u00e9rbola. Nada m\u00e1s dijimos sobre estas curvas y ahora llenaremos ese vac\u00edo. Completaremos nuestro estudio definiendo qu\u00e9 es geom\u00e9tricamente una hip\u00e9rbola y, a partir de esto, obtendremos la ecuaci\u00f3n general y can\u00f3nica de las hip\u00e9rbolas.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=176s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Por un lado tenemos que la elipse se define<\/strong><\/a> como el conjunto de todos los puntos tales que la suma de su distancia respecto a otros dos puntos que llamamos focos es siempre el mismo valor. De un modo similar, y en contra posici\u00f3n, la hip\u00e9rbola se define como la colecci\u00f3n de todos los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias desde los puntos focales es siempre el mismo valor.<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-BNQiwaq_OJs\/YJGda6VHOmI\/AAAAAAAAFDo\/edTQHWwLGGQwyGszR7c-7H74a09ASsK2gCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola%2Bdefinici%25C3%25B3n%2Bgr%25C3%25A1fica.PNG\" alt=\"Hip\u00e9rbola definici\u00f3n geom\u00e9trica\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"493\" height=\"340\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-BNQiwaq_OJs\/YJGda6VHOmI\/AAAAAAAAFDo\/edTQHWwLGGQwyGszR7c-7H74a09ASsK2gCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola%2Bdefinici%25C3%25B3n%2Bgr%25C3%25A1fica.PNG\" alt=\"Hip\u00e9rbola definici\u00f3n geom\u00e9trica\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"493\" height=\"340\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es decir, se satisface la relaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> es un n\u00famero real fijo cualquiera.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Esto produce en realidad dos ecuaciones, a saber: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a<\/span>, una para cada rama de la hip\u00e9rbola.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a>  <\/p>\n<h2>Deducci\u00f3n de la Ecuaci\u00f3n de las Hip\u00e9rbolas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=331s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>A partir de la definici\u00f3n geom\u00e9trica es posible obtener<\/strong><\/a> la representaci\u00f3n algebraica de las hip\u00e9rbolas, para esto iniciaremos desde el caso m\u00e1s sencillo, y desde ah\u00ed extenderemos las generalizaciones. Nuestro razonamiento se realizar\u00e1 para una sola rama de la hip\u00e9rbola, el razonamiento para la otra rama es completamente an\u00e1logo.<\/p>\n<h3>Deducci\u00f3n de la Forma simplificada<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=356s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Consideremos dos puntos focales<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_1 = (-c,0)<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_2 = (c,0).<\/span> El punto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p = (x,y)<\/span> estar\u00e1 contenido en la hip\u00e9rbola si<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-SMOUgyC1lM4\/YJGg_MIkJTI\/AAAAAAAAFDw\/6JzXOcfZi70lpvTZtbC6y26AvTQzcnWNgCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola%2Bcentrada%2Ben%2Bel%2Borigen.PNG\" alt=\"Hiperbola centrada en el origen\" class=\"aligncenter  lazyload\" width=\"342\" height=\"288\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-SMOUgyC1lM4\/YJGg_MIkJTI\/AAAAAAAAFDw\/6JzXOcfZi70lpvTZtbC6y26AvTQzcnWNgCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola%2Bcentrada%2Ben%2Bel%2Borigen.PNG\" alt=\"Hiperbola centrada en el origen\" class=\"aligncenter  lazyload\" width=\"342\" height=\"288\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a<\/span>\n<p>   &nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y desde ah\u00ed se tiene el siguiente razonamiento:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a<\/span><\/td>\n<td>; ecuaci\u00f3n de las hip\u00e9rbolas<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a<\/span><\/td>\n<td>; expendiendo los cuadrados<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}<\/span><\/td>\n<td>; redistribuyendo t\u00e9rminos<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\color{red}{x^2} + 2xc + \\color{purple}{c^2} + \\color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \\color{red}{x^2} - 2xc + \\color{purple}{c^2} + \\color{violet}{y^2}<\/span><\/td>\n<td>; elevando al cuadrado ambos lados<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 2xc = 4a^2 + 4a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc <\/span><\/td>\n<td>; Matando t\u00e9rminos semejantes<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 4xc = 4a^2 + 4a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} <\/span><\/td>\n<td>; redistribuyendo t\u00e9rminos semejantes<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> xc = a^2 + a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} <\/span><\/td>\n<td>; Simplificando t\u00e9rminos semejantes<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> xc - a^2 = a\\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} <\/span><\/td>\n<td>; simplificando t\u00e9rminos semejantes<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2) <\/span><\/td>\n<td>; elevando al cuadrado a ambos lados<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2c^2 \\color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \\color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2 <\/span><\/td>\n<td>; operando par\u00e9ntesis<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 <\/span><\/td>\n<td>; matando t\u00e9rminos semejantes<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2) <\/span><\/td>\n<td>; reagrupando t\u00e9rminos<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1 <\/span><\/td>\n<td>; reagrupando t\u00e9rminos<\/td>\n<\/tr>\n<tr><\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para esta \u00faltima expresi\u00f3n, al igual que para las elipses, se toma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^2=c^2-a^2<\/span> y se llega a la ecuaci\u00f3n de las elipses<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{ \\left(\\frac{x}{a}\\right)^2 - \\left(\\frac{y}{b}\\right)^2 = 1 }<\/span>\n<p><a name=\"3\"><\/a>     <\/p>\n<h2>Ecuaci\u00f3n General de las Hip\u00e9rbolas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=801s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Para obtener la ecuaci\u00f3n general<\/strong><\/a> de las hip\u00e9rbolas, basta con tomar la que acabamos de obtener y aplicar las transformaciones de posici\u00f3n<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\longmapsto x-h<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y\\longmapsto y-k<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">y con esto obtenemos de forma autom\u00e1tica la ecuaci\u00f3n general de las elipses de centro <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(h,k)<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{ \\left(\\frac{x-h}{a}\\right)^2 - \\left(\\frac{y-k}{b}\\right)^2 = 1 }<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a>     <\/p>\n<h2>Ecuaci\u00f3n Can\u00f3nica de las Hip\u00e9rbolas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=1Aearz-E3bk&amp;t=974s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Y si ahora tomamos la ecuaci\u00f3n general<\/strong><\/a> de las elipses y la desarrollamos, llegaremos a la expresi\u00f3n can\u00f3nica:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\frac{x-h}{a}\\right)^2 - \\left(\\frac{y-k}{b}\\right)^2 = 1<\/span><\/td>\n<td>; Ecuaci\u00f3n general de las hip\u00e9rbolas<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2<\/span><\/td>\n<td>; resolviendo cuadrados y multiplicando todo por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2b^2<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2<\/span><\/td>\n<td>; resolviendo par\u00e9ntesis<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0 <\/span><\/td>\n<td>; Agrupando t\u00e9rminos semejantes<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Esto \u00faltimo es una expresi\u00f3n de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0,<\/span> donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> son siempre distintas de cero y con signos opuestos, tal y como hab\u00edamos adelantado cuando estudi\u00e1bamos las elipses.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ecuaci\u00f3n de las Hip\u00e9rbolas y su Deducci\u00f3n Resumen: En esta clase exploraremos la definici\u00f3n geom\u00e9trica de la hip\u00e9rbola, contrast\u00e1ndola con la elipse, y deduciremos su ecuaci\u00f3n general y can\u00f3nica. Objetivos de Aprendizaje: Al finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de Definir geom\u00e9tricamente qu\u00e9 es una hip\u00e9rbola. Deducir la ecuaci\u00f3n general y can\u00f3nica de las [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":28988,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":169,"footnotes":""},"categories":[579,563],"tags":[],"class_list":["post-28978","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-algebra-y-geometria","category-matematica"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v26.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Ecuaci\u00f3n de las Hip\u00e9rbolas y su Deducci\u00f3n - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Aprende todo sobre las hip\u00e9rbolas: definici\u00f3n geom\u00e9trica, deducci\u00f3n de su ecuaci\u00f3n general y can\u00f3nica, diferencias con las elipses, y c\u00f3mo resolver ecuaciones paso a paso. 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