{"id":28916,"date":"2021-04-27T13:00:20","date_gmt":"2021-04-27T13:00:20","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28916"},"modified":"2024-09-22T02:14:35","modified_gmt":"2024-09-22T02:14:35","slug":"caracterizacion-de-parabolas-y-sus-graficos","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/caracterizacion-de-parabolas-y-sus-graficos\/","title":{"rendered":"Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas y sus Gr\u00e1ficos"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas y sus Gr\u00e1ficos<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\n   En esta clase revisremos la caracterizaci\u00f3n de las par\u00e1bolas a partir de su ecuaci\u00f3n general y forma can\u00f3nica, explicando c\u00f3mo identificar elementos clave como el v\u00e9rtice, el foco, la directriz, el eje de simetr\u00eda y los posibles cortes con el eje X.<br \/>\n   <\/em><br \/>\n   <strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\n   Al finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol style=\"text-align: left;\">\n<li><strong>Calcular<\/strong> la posici\u00f3n del vertice, foco y directriz de la par\u00e1bola a partir de su forma general y can\u00f3nica.<\/li>\n<li><strong>Transformar<\/strong> la ecuaci\u00f3n can\u00f3nica a la forma general para extraer informaci\u00f3n geom\u00e9trica.<\/li>\n<li><strong>Esquematizar<\/strong> el gr\u00e1fico de la par\u00e1bola con la informaci\u00f3n obtenida.<\/li>\n<\/ol>\n<p>   <strong>INDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n   <a href=\"#1\">Forma general y can\u00f3nica de las par\u00e1bolas<\/a><br \/>\n   <a href=\"#2\">Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas desde la Ecuaci\u00f3n General<\/a><br \/>\n   <a href=\"#3\">Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas desde la Ecuaci\u00f3n Can\u00f3nica<\/a><br \/>\n   <a href=\"#4\">Caracterizaci\u00f3n autom\u00e1tica con Excel<\/a>\n   <\/p>\n<p>   <\/center><br \/>\n   <center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/C6DbrJDiZTM\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n   <a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Forma general y can\u00f3nica de las par\u00e1bolas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">En la clase anterior vimos que las par\u00e1bolas se pueden expresar algebr\u00e1icamente a traves de la ecuaci\u00f3n general de las parabolas como.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde el par <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)<\/span> es la posici\u00f3n del v\u00e9rtice y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> es la distancia focal. Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f \\gt 0<\/span> entonces el foco est\u00e1 a una distancia <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> sobre el v\u00e9rtice, y si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\lt 0,<\/span> entonces el foco estar\u00e1 a una distancia <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> por debajo del v\u00e9rtice.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Tambien hemos visto que la ecuaci\u00f3n de las par\u00e1bolas llevada a su forma can\u00f3nica es equivalente a un polinomio de grado 2.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x) = ax^2 + bx + c,<\/span> con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=228s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Caracterizar una par\u00e1bola consiste<\/strong><\/a> en revelar la siguiente informaci\u00f3n.<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Las coordenadas del v\u00e9rtice<\/li>\n<li>Las coordenadas del foco<\/li>\n<li>La ecuaci\u00f3n de la directriz<\/li>\n<li>La ecuaci\u00f3n del eje de simetr\u00eda<\/li>\n<li>Los cortes con el eje x (si existen)<\/li>\n<li>Finalmente, construir un esbozo del gr\u00e1fico con la informaci\u00f3n recolectada.<\/li>\n<\/ul>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xAUdvfTRbjw\/YIbmIXDdT-I\/AAAAAAAAFAI\/8NH0t_EWbH0KIuFDnsRu2IyHdyN4WU54wCLcBGAsYHQ\/s0\/caracterizaci%25C3%25B3n%2Bde%2Bpar%25C3%25A1bolas.PNG\" alt=\"Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"537\" height=\"414\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xAUdvfTRbjw\/YIbmIXDdT-I\/AAAAAAAAFAI\/8NH0t_EWbH0KIuFDnsRu2IyHdyN4WU54wCLcBGAsYHQ\/s0\/caracterizaci%25C3%25B3n%2Bde%2Bpar%25C3%25A1bolas.PNG\" alt=\"Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"537\" height=\"414\" \/><\/noscript><br \/>\n   <a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas desde la Ecuaci\u00f3n General<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=316s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si tienes la par\u00e1bola descrita a trav\u00e9s <\/strong><\/a>de la ecuaci\u00f3n general, entonces ya tienes casi toda la informaci\u00f3n necesaria para completar la caracterizaci\u00f3n, s\u00f3lo los cortes con el eje x necesitar\u00e1 an\u00e1lisis adicional.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">De aqu\u00ed ya tienes:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>V\u00e9rtice:<\/strong> El punto de coordenadas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)<\/span><\/li>\n<li><strong>Posicion focal: <\/strong> a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> unidades sobre el v\u00e9rtice<\/li>\n<li><strong>Foco:<\/strong> el punto de coordenadas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0 + f)<\/span><\/li>\n<li><strong>Directriz:<\/strong> la recta de ecuaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y= y_0 - f<\/span><\/li>\n<li><strong>El eje de simetr\u00eda:<\/strong> la recta de ecuaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x= x_0<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para encontrar los cortes con el eje x, deber\u00e1s pasar la ecuaci\u00f3n general a su forma can\u00f3nica, igualar el polinomio de segundo grado resultante a cero. Si existen soluciones, tales ser\u00e1n los cortes con el eje x.<\/p>\n<p>   <a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas desde la Ecuaci\u00f3n Can\u00f3nica<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=393s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Cuando la ecuaci\u00f3n de las par\u00e1bolas<\/strong><\/a> se presenta en forma can\u00f3nica tienes dos posibilidades: 1) Caracterizar transformando a la ecuaci\u00f3n general o 2) Usando la simetr\u00eda y los cortes con el eje x. Ambos m\u00e9todos tienen sus virtudes. El segundo es generalmente m\u00e1s r\u00e1pido, pero las par\u00e1bolas no siempre cortan el eje X, el primero es mas engorroso pero tambi\u00e9n, como veremos m\u00e1s adelante, es sencillo de automatizar. Nosotros examinaremos ambas alternativas para que puedas elegir seg\u00fan tus preferencias y necesidades qu\u00e9 camino tomar.<\/p>\n<h3>Transformando a la ecuaci\u00f3n general<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=475s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>La transformaci\u00f3n a la forma general<\/strong><\/a> se hace a trav\u00e9s del siguiente razonamiento, donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{R}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0.<\/span>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50\">(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ax^2 + bx + c<\/span><\/td>\n<td>; Ecuaci\u00f3n can\u00f3nica de las par\u00e1bolas<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a\\left[x^2 + \\dfrac{b}{a}x + \\dfrac{c}{a}\\right]<\/span><\/td>\n<td>; Factorizando por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a\\left[ \\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 - \\dfrac{b^2}{4a^2} + \\dfrac{c}{a}\\right]<\/span><\/td>\n<td>; Porque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 = x^2 + \\dfrac{b}{a}x + \\dfrac{b^2}{4a^2}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a\\left[ \\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 + \\dfrac{4ac - b^2}{4a^2} \\right]<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a \\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 + \\dfrac{4ac - b^2}{4a}<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=a \\left(x + \\dfrac{b}{2a}\\right)^2 + \\left(c - \\dfrac{b^2}{4a}\\right)<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\left[x - \\left(- \\dfrac{b}{2a}\\right)\\right]^2 = \\dfrac{1}{a} \\left[y - \\left(c - \\dfrac{b^2}{4a}\\right)\\right]<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\left[x - \\left( -\\dfrac{b}{2a}\\right)\\right]^2 = 4\\left(\\dfrac{1}{4a}\\right) \\left[y - \\left(c - \\dfrac{b^2}{4a}\\right)\\right]<\/span><\/td>\n<td>; Ecuaci\u00f3n de las par\u00e1bolas en forma general<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de esto, podemos extraer toda la informaci\u00f3n que teniaos de la ecuaci\u00f3n general relacionando sus par\u00e1metros con los de la ecuaci\u00f3n can\u00f3nica, de este modo tenemos:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>V\u00e9rtice:<\/strong> El punto de coordenadas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0) = \\left(-\\dfrac{b}{2a}, c -\\dfrac{b^2}{4a} \\right)<\/span><\/li>\n<li><strong>Posicion focal: <\/strong> a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f = \\dfrac{1}{4a}<\/span> unidades sobre el v\u00e9rtice<\/li>\n<li><strong>Foco:<\/strong> el punto de coordenadas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0 + f) = \\left(-\\dfrac{b}{2a}, c -\\dfrac{b^2}{4a} + \\dfrac{1}{4a}\\right) =\\left(-\\dfrac{b}{2a}, c +\\dfrac{1-b^2}{4a}\\right) <\/span><\/li>\n<li><strong>Directriz:<\/strong> la recta de ecuaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=y_0 - f= c -\\dfrac{b^2}{4a} - \\dfrac{1}{4a} = c -\\dfrac{1 + b^2}{4a}<\/span><\/li>\n<li><strong>El eje de simetr\u00eda:<\/strong> la recta de ecuaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x= x_0 = -\\dfrac{b}{2a}<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y desde aqu\u00ed, la caracterizaci\u00f3n de las par\u00e1bolas se realiza como ya hemos visto usando la ecuaci\u00f3n general.<\/p>\n<h3>Usando la simetr\u00eda y los cortes con el eje x<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=769s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Cuando tenemos la ecuaci\u00f3n <\/strong><\/a>de las par\u00e1bolas escrita en forma can\u00f3nica <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ax^2 + bx+c<\/span> vemos que es relativamente sencillo calcular sus cortes con el eje x, basta con resolver la ecuaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ax^2 + bx + c = 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Cuando esto es posible, obtenemos cortes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2<\/span> dados por<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1 = \\dfrac{-b + \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 = \\dfrac{-b - \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Como las par\u00e1bolas son sim\u00e9tricas, tendremos que el eje de simetr\u00eda tendr\u00e1 ecuaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x = x_0 = \\dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\\dfrac{b}{2a}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">El eje de simetr\u00eda pasa necesariamente por el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola, cuyas coordenadas ser\u00e1n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \\left( -\\dfrac{b}{2a}, y\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right) \\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_0 = y\\left(-\\dfrac{b}{2a} \\right) = a\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right)^2 + b\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right) + c = \\dfrac{b^2}{4a} - \\dfrac{b^2}{2a} + c = c - \\dfrac{b^2}{4a}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">As\u00ed es como llegamos a las coordenadas del v\u00e9rtice que ya conociamos por los otros medios<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0, y_0) = \\left( -\\dfrac{b}{2a},c - \\dfrac{b^2}{4a} \\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">La posici\u00f3n focal es, como ya vimos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f=\\dfrac{1}{4a},<\/span> y a partir de esto ya podemos calcular la posici\u00f3n de la directriz, el foco y toda la informaci\u00f3n que ya ten\u00edamos desde la ecuaci\u00f3n general.<\/p>\n<p>   <a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Caracterizaci\u00f3n autom\u00e1tica con Excel<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=C6DbrJDiZTM&amp;t=1086s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Habiendo realizado<\/strong><\/a> todos estos razonamientos, ahora es muy sencillo automatizar la caracterizaci\u00f3n de cualquier par\u00e1bola a trav\u00e9s de excel. Puedes encontrar un ejemplo <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1LbNOKHHfzlPgHI3_NSzuB_6_b7KmXlTd\/view?usp=sharing\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">aqu\u00ed.<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Caracterizaci\u00f3n de Par\u00e1bolas y sus Gr\u00e1ficos Resumen: En esta clase revisremos la caracterizaci\u00f3n de las par\u00e1bolas a partir de su ecuaci\u00f3n general y forma can\u00f3nica, explicando c\u00f3mo identificar elementos clave como el v\u00e9rtice, el foco, la directriz, el eje de simetr\u00eda y los posibles cortes con el eje X. 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