{"id":28852,"date":"2021-04-20T13:00:29","date_gmt":"2021-04-20T13:00:29","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28852"},"modified":"2024-09-22T02:07:10","modified_gmt":"2024-09-22T02:07:10","slug":"ecuacion-de-la-recta-y-los-sistemas-cartesianos","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/ecuacion-de-la-recta-y-los-sistemas-cartesianos\/","title":{"rendered":"Ecuaci\u00f3n de la Recta y los Sistemas Cartesianos"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Ecuaci\u00f3n de la Recta y los Sistemas Cartesianos<\/h1>\n<p style=\"text-align: center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\n      En esta clase abordaremos los fundamentos de la geometr\u00eda anal\u00edtica, mostrando c\u00f3mo representar puntos en un plano mediante coordenadas y c\u00f3mo formular la ecuaci\u00f3n de la recta a partir de la pendiente y un punto dado. Se exploran conceptos clave como la pendiente, el uso de la ecuaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y = mx + b<\/span> y la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de rectas, adem\u00e1s de incluir ejercicios pr\u00e1cticos y aplicaciones para resolver problemas en contextos reales, como el c\u00e1lculo de posiciones y la intersecci\u00f3n entre rectas.<\/em><\/p>\n<p>   <strong>Objetivos de Aprendizaje<\/strong><\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Comprender<\/strong> los principios b\u00e1sicos de la geometr\u00eda anal\u00edtica y su aplicaci\u00f3n en la representaci\u00f3n de puntos en un plano cartesiano.<\/li>\n<li><strong>Identificar<\/strong> la f\u00f3rmula de la pendiente de una recta y su significado geom\u00e9trico.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la ecuaci\u00f3n general de la recta <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y = mx + b<\/span> para describir relaciones lineales.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> la ecuaci\u00f3n de la recta a partir de un punto y la pendiente.<\/li>\n<li><strong>Graficar<\/strong> rectas en un plano cartesiano utilizando su ecuaci\u00f3n lineal.<\/li>\n<li><strong>Resolver<\/strong> problemas que involucran la intersecci\u00f3n de dos rectas mediante sistemas de ecuaciones.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> la relaci\u00f3n entre dos magnitudes lineales y c\u00f3mo representarlas mediante una ecuaci\u00f3n de la recta.<\/li>\n<\/ol>\n<p>   <strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n   <a href=\"#1\">Los principios de la Geometr\u00eda Anal\u00edtica<\/a><br \/>\n   <a href=\"#2\">La Ecuaci\u00f3n de la recta<\/a><br \/>\n   <a href=\"#3\">C\u00f3mo graficar la Ecuaci\u00f3n de la Recta<\/a><br \/>\n   <a href=\"#4\">Interersecciones entre Rectas<\/a>\n   <\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p>   <center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mNISGHOByAI\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora iniciaremos nuestro estudio sobre la ecuaci\u00f3n de la recta, los sistemas cartesianos y los principios de la geometr\u00eda anal\u00edtica.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Los principios de la Geometr\u00eda Anal\u00edtica<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=140s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Cuando introducen los n\u00fameros reales<\/strong><\/a>, normalmente se dice que estos son puntos sobre una recta<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GVaIW2wJ8sQ\/YH8dbLc562I\/AAAAAAAAE8Q\/mQOvNS6N18gbsEvWuU4gzrjvBYuS20_-ACLcBGAsYHQ\/s0\/RECTA%2BDE%2BLOS%2BREALES.PNG\" alt=\"RECTA DE LOS REALES\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"581\" height=\"128\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GVaIW2wJ8sQ\/YH8dbLc562I\/AAAAAAAAE8Q\/mQOvNS6N18gbsEvWuU4gzrjvBYuS20_-ACLcBGAsYHQ\/s0\/RECTA%2BDE%2BLOS%2BREALES.PNG\" alt=\"RECTA DE LOS REALES\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"581\" height=\"128\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de esto, Descartes tuvo la genialidad de usar dos rectas para representar los puntos sobre un plano como un par de coordenadas (x,y)<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-HVR3PImxths\/YH8d4-azX3I\/AAAAAAAAE8Y\/Qw5_Ir_CzZwM446x73emMv2R4FRssqfHwCLcBGAsYHQ\/s0\/PLANO%2BCARTESIANO.PNG\" alt=\"PLANO CARTESIANO\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"434\" height=\"252\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-HVR3PImxths\/YH8d4-azX3I\/AAAAAAAAE8Y\/Qw5_Ir_CzZwM446x73emMv2R4FRssqfHwCLcBGAsYHQ\/s0\/PLANO%2BCARTESIANO.PNG\" alt=\"PLANO CARTESIANO\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"434\" height=\"252\" \/><\/noscript><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a>     <\/p>\n<h2>La Ecuaci\u00f3n de la recta<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Utilizando estos conceptos, ahora es posible considerar un conjunto de puntos sobre el plano para formar curvas en el plano, donde a coordenada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> le corresponde otra coordenada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span>, y \u00e9sta ley de correspondencia viene dada por una funci\u00f3n. Es en este punto en donde el \u00e1lgebra penetra en la geometr\u00eda y nace la \u00abGeometr\u00eda Anal\u00edtica\u00bb.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=320s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Geom\u00e9tricamente entendemos una recta<\/strong><\/a> como la cuva que conecta dos puntos recorriendo la distancia m\u00e1s corta posible.<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-Bgjb959iAoo\/YH8eKEZ_ocI\/AAAAAAAAE8g\/FaZmlsj4Pn8tZ_A_XpqA5yfE7SWdygj7QCLcBGAsYHQ\/s0\/RECTA%2BEN%2BEL%2BPLANO%2BCARTESIANO.PNG\" alt=\"RECTA EN EL PLANO CARTESIANO\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"429\" height=\"267\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-Bgjb959iAoo\/YH8eKEZ_ocI\/AAAAAAAAE8g\/FaZmlsj4Pn8tZ_A_XpqA5yfE7SWdygj7QCLcBGAsYHQ\/s0\/RECTA%2BEN%2BEL%2BPLANO%2BCARTESIANO.PNG\" alt=\"RECTA EN EL PLANO CARTESIANO\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"429\" height=\"267\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Geom\u00e9tricamente entendemos una recta como la cuva que conecta dos puntos recorriendo la distancia m\u00e1s corta posible. Y analizando esto, en virtud del teorema de Thales, veremos que a todo incremento de la corrdenada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> le corresponder\u00e1 un incremento de la coordenada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> tal que el cociente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=(y_2 - y_1)\/(x_2 - x_1)=\\Delta y \/ \\Delta x<\/span> siempre ser\u00e1 constante para cualquier par de puntos sobre la recta. Esto es lo que llamamos <strong>\u00abpendiente de la recta\u00bb<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Como la pendiente es la misma para cualquier par de puntos de la recta, entonces si consideramos los puntos de la recta con coordenadas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x,y),<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0),<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2),<\/span> podemos escribir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{y-y_0}{x - x_0} = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Que es lo mismo que decir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{matrix}y &amp; = &amp; \\displaystyle \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\\\ \\\\ &amp; = &amp; \\displaystyle \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} (x - x_0) + y_0 \\end{matrix}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">De aqu\u00ed es de donde viene la conocida <strong>ecuaci\u00f3n de la recta<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{red}{{y = m(x-x_0) + y_0}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aqu\u00ed, el par <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)<\/span> es un punto fijo, mientras que el par <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x,y)<\/span> es un punto cualquiera.<\/p>\n<h3>Ejercicios de ejemplo<\/h3>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Calcular la ecuaci\u00f3n de la recta que pasa por el punto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)=(2,3)<\/span> con pendiente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=3\/2<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=695s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<li>Calcular la ecuaci\u00f3n de la recta que pasa por el punto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)=(1,8)<\/span> con pendiente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=7\/5<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=750s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<li>Calcular la ecuaci\u00f3n de la recta que pasa por los puntos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)=(3,5)<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)=(1,-2)<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=818s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>C\u00f3mo graficar la Ecuaci\u00f3n de la Recta<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=1063s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Ya hemos visto c\u00f3mo obtener<\/strong><\/a> la ecuaci\u00f3n de la recta a partir de algo de informaci\u00f3n gr\u00e1fica; ahora seguiremos el camino inverso, obtener la representaci\u00f3n gr\u00e1fica a partir de la ecuaci\u00f3n de la recta.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Al final del d\u00eda, la ecuaci\u00f3n de la recta siempre termina presentandose de la siguiente manera.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=mx + b<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=\\Delta Y \/ \\Delta x<\/span> es la pendiente y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> es el coeficiente de posici\u00f3n. A partir de esto tenemos la siguiente figura<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-qJd27JlFvC8\/YH8eiEun69I\/AAAAAAAAE8o\/_swD6Cx2J_gQLY5Nw8RoSo7cPfmaOpzLgCLcBGAsYHQ\/s0\/RECTA%2BEN%2BEL%2BPLANO%2BCARTESIANO%2BCON%2BCOORDENADAS.PNG\" alt=\"RECTA EN EL PLANO CARTESIANO CON COORDENADAS\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"350\" height=\"264\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-qJd27JlFvC8\/YH8eiEun69I\/AAAAAAAAE8o\/_swD6Cx2J_gQLY5Nw8RoSo7cPfmaOpzLgCLcBGAsYHQ\/s0\/RECTA%2BEN%2BEL%2BPLANO%2BCARTESIANO%2BCON%2BCOORDENADAS.PNG\" alt=\"RECTA EN EL PLANO CARTESIANO CON COORDENADAS\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"350\" height=\"264\" \/><\/noscript><\/p>\n<h3>Ejercicio de Ejemplo<\/h3>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Graficar la recta de ecuaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\displaystyle \\frac{3}{4}x + 2<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=1139s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<li>Graficar la recta de ecuaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\displaystyle -\\frac{2}{5}x + 6<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=1209s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<\/ol>\n<h3>Problemas de aplicaci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de la recta<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">La recta puede ser utilizada para resolver problemas que involucra la relaci\u00f3n directa entre dos magnitudes, como es el caso de los siguientes ejemplos<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Un vehiculo con posici\u00f3n inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0 = 12[m]<\/span> se mueve con rapidez <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v=0,3[m\/s]<\/span> \u00bfCu\u00e1l ser\u00e1 su posici\u00f3n luego de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">30[s]<\/span>? <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=1257s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<li>Una persona va a la feria y compra <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1[kg]<\/span> de manzanas, gastando un total de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">50 Z\\$.<\/span> Esa mismo d\u00eda, la misma persona volvi\u00f3 a ir a la feria para comprar otros <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">3[kg]<\/span> de manzanas, gastando un total de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">60 Z\\$.<\/span>. \u00bfCual es el precio de las manzanas y cu\u00e1l es el precio de los pasajes?<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=1383s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong> [SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Interersecciones entre Rectas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=1855s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Supongamos que tenemos dos rectas<\/strong><\/a> y queremos encontrar el punto que hay de com\u00fan entre estas; esto es, encontrar la intersecci\u00f3n entre rectas. Para resolver este tipo de problemas debemos resolver un sistema de ecuaciones. Para entender esto mejor, veamos el siguiente ejemplo.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=1914s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Consideremos las siguientes rectas:<\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">L_1 \\; : \\; y= \\displaystyle \\frac{3}{2}x + 1<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">L_1 \\; : \\; y=\\displaystyle -\\frac{1}{3}x + 9<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">\u00bfD\u00f3nde se intersectan estas dos rectas?<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para resolver esto, hacemos el siguiente razonamiento:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\displaystyle \\frac{3}{2}x + 1<\/span><\/td>\n<td>; Recta <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">L_1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y= \\displaystyle -\\frac{1}{3}x + 9<\/span><\/td>\n<td>; Recta <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">L_2<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{3}{2}x + 1 = -\\frac{1}{3}x + 9<\/span><\/td>\n<td>; De (1) y (2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{3}{2}x = -\\frac{1}{3}x + 8<\/span><\/td>\n<td>; Restando 1 a ambos lados<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">9x = -2x + 48<\/span><\/td>\n<td>; Multiplicando por 6 a ambos lados<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11x =48<\/span><\/td>\n<td>; Sumando 2x a ambos lados<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle x = \\frac{48}{11}<\/span><\/td>\n<td>; Dividiendo por 11 a ambos lados<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle y= \\frac{3}{2}\\cdot \\frac{48}{11} + 1<\/span><\/td>\n<td>; De (1) y (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle y= \\frac{3}{1}\\cdot \\frac{24}{11} + \\frac{11}{11}<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y= \\displaystyle \\frac{83}{11}<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (x,y)= \\left(\\frac{48}{11}, \\frac{83}{11} \\right)<\/span><\/td>\n<td>; De (3) y (4)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Por lo tanto, el punto de intersecci\u00f3n entre las rectas es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x,y)= \\displaystyle \\left(\\frac{48}{11}, \\frac{83}{11} \\right).<\/span>\n<h3>Ejemplo de problemas de aplicaci\u00f3n para la intersecci\u00f3n entre rectas<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para una fiesta se vendieron un total de 600 entradas con una recaudaci\u00f3n total de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\$1.300.000.<\/span> Las entradas para j\u00f3venes se vendieron en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\$1.000,<\/span> y las entradas para adultos en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\$3.000<\/span> \u00bfCu\u00e1ntos adultos y jovenes fueron a la fiesta?<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mNISGHOByAI&amp;t=2255s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong> [SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ecuaci\u00f3n de la Recta y los Sistemas Cartesianos Resumen: En esta clase abordaremos los fundamentos de la geometr\u00eda anal\u00edtica, mostrando c\u00f3mo representar puntos en un plano mediante coordenadas y c\u00f3mo formular la ecuaci\u00f3n de la recta a partir de la pendiente y un punto dado. 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