{"id":28791,"date":"2024-09-19T17:27:46","date_gmt":"2024-09-19T17:27:46","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28791"},"modified":"2024-09-19T17:39:38","modified_gmt":"2024-09-19T17:39:38","slug":"braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/","title":{"rendered":"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d&#8217;Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel"},"content":{"rendered":"<h1 style=\"text-align:center;\">Le Calcul Variationnel en M\u00e9canique Classique et l&#8217;\u00c9quation d&#8217;Euler-Lagrange<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>R\u00e9sum\u00e9 :<\/strong><\/br>Dans cette le\u00e7on, nous examinerons l&#8217;obtention de l&#8217;\u00e9quation d&#8217;Euler-Lagrange de la M\u00e9canique Analytique en utilisant les techniques du calcul variationnel et, \u00e0 partir de cela, nous montrerons en d\u00e9tail son application \u00e0 la r\u00e9solution du probl\u00e8me de la brachistochrone.<\/em><\/p>\n<hr>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objectifs d&#8217;Apprentissage :<\/strong><br \/>\n\u00c0 la fin de cette le\u00e7on, l&#8217;\u00e9tudiant sera capable de :<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Comprendre<\/strong> le principe de Hamilton de la moindre action<\/li>\n<li><strong>D\u00e9montrer<\/strong> l&#8217;\u00e9quation d&#8217;Euler-Lagrange<\/li>\n<li><strong>R\u00e9soudre<\/strong> le probl\u00e8me de la brachistochrone en utilisant l&#8217;\u00e9quation d&#8217;Euler-Lagrange.<\/li>\n<\/ol>\n<hr>\n<p style=\"text-align:center;\">\n<strong><u>TABLE DES MATI\u00c8RES<\/u> :<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">POURQUOI LE CALCUL VARIATIONNEL EN M\u00c9CANIQUE CLASSIQUE<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">FORMULATION DU PROBL\u00c8ME VARIATIONNEL<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">L&#8217;\u00c9QUATION D&#8217;EULER-LAGRANGE<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">LE PROBL\u00c8ME DE LA BRACHISTOCHRONE<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">R\u00c9PERTOIRE GITHUB AVEC L&#8217;ALGORITHME DE WOLFRAM<\/a>\n<\/p>\n<hr>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/JyumifjGzM0\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<hr>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Pourquoi le calcul variationnel en m\u00e9canique classique<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">La physique newtonienne pr\u00e9sente de nombreux probl\u00e8mes qui peuvent \u00eatre abord\u00e9s de mani\u00e8re plus efficace en utilisant le calcul variationnel. Cette approche est fondamentale dans les \u00e9quations de Lagrange et dans le principe de moindre action de Hamilton. Essentiellement, cette m\u00e9thode consiste \u00e0 trouver les trajectoires qui maximisent ou minimisent une certaine quantit\u00e9. Par exemple, on peut rechercher la trajectoire entre deux points qui minimise la distance parcourue ou le temps de parcours. Un exemple de cette approche est le principe de Fermat, qui stipule que la lumi\u00e8re suit toujours la trajectoire qui minimise le temps de parcours, ce qui conduit \u00e0 la <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/la-refraction-de-la-lumiere-et-la-loi-de-snell\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">loi de Snell de la r\u00e9fraction de la lumi\u00e8re<\/a>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Le calcul variationnel offre de multiples avantages en m\u00e9canique classique. Par exemple, il permet d&#8217;obtenir des solutions analytiques exactes pour des syst\u00e8mes avec sym\u00e9trie, et des solutions approximatives \u00e0 travers la th\u00e9orie des perturbations variationnelles pour des syst\u00e8mes plus complexes. De plus, dans des situations o\u00f9 il est difficile d&#8217;exprimer les forces en termes d&#8217;\u00e9quations diff\u00e9rentielles, le principe de moindre action fournit une m\u00e9thode plus efficace pour r\u00e9soudre les probl\u00e8mes en m\u00e9canique classique. En r\u00e9sum\u00e9, le calcul variationnel est un outil fondamental qui offre une formulation alternative des lois de Newton, une unification des lois de la physique, une plus grande efficacit\u00e9 dans la r\u00e9solution des probl\u00e8mes et une plus grande pr\u00e9cision dans la pr\u00e9diction des r\u00e9sultats exp\u00e9rimentaux.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Formulation du probl\u00e8me variationnel<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Le calcul variationnel vise \u00e0 trouver la fonction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> qui extr\u00e9mise la valeur du fonctionnel :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J(x,y(x))=\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(x),\\frac{dy(x)}{dx}\\right)dx,<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">afin de trouver sa valeur maximale ou minimale. Dans cette \u00e9quation, le fonctionnel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> d\u00e9pend de la fonction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> et de sa d\u00e9riv\u00e9e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dy(x)\/dx,<\/span> tandis que les limites d&#8217;int\u00e9gration restent fixes. Pour extr\u00e9miser l&#8217;int\u00e9grale, on applique des variations sur la fonction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span>, cherchant \u00e0 obtenir la fonction qui rend la valeur du fonctionnel extr\u00eame. Par exemple, si on parvient \u00e0 ce que l&#8217;int\u00e9grale atteigne sa valeur minimale, toute fonction <em>dans son voisinage<\/em>, peu importe \u00e0 quelle distance elle est de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span>, augmentera la valeur du fonctionnel.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Pour \u00e9tablir le concept de <em>fonction voisine<\/em>, nous pouvons attribuer une repr\u00e9sentation param\u00e9trique <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=(\\alpha,x)<\/span> \u00e0 toutes les fonctions possibles <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span>, de sorte que si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha=0<\/span>, alors <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(0,x)=y(x)<\/span> est la fonction qui extr\u00e9mise <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span>. Ceci peut \u00eatre exprim\u00e9 de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha, x) = y(x) + \\alpha \\eta(x),<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> est une fonction de classe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{C}^1<\/span> qui s&#8217;annule en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2<\/span>, de sorte que la fonction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha,x)<\/span> qui inclut cette variation est identique \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> aux points initiaux et finaux de la trajectoire d&#8217;int\u00e9gration.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">En substituant la fonction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha,x)<\/span> qui inclut la variation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> \u00e0 la place de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> dans l&#8217;int\u00e9grale qui d\u00e9finit le fonctionnel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span>, on obtient un nouveau fonctionnel qui d\u00e9pend du param\u00e8tre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J(x,y(\\alpha, x)) = \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(\\alpha,x), \\dfrac{d}{dx}y(\\alpha,x)\\right)dx<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Pour qu&#8217;il existe des extr\u00eames locaux, il est n\u00e9cessaire que la condition suivante soit remplie :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\\right|_{\\alpha=0} = 0<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">pour toute fonction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x).<\/span>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>L&#8217;\u00c9quation d&#8217;Euler-Lagrange<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">En analysant la d\u00e9riv\u00e9e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\partial J(x,y(\\alpha,x))\/\\partial \\alpha<\/span>, on obtient :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{}\\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\n\n&amp;=&amp;\\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(\\alpha,x),\\dfrac{dy(\\alpha, x)}{dx}\\right)dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left(\\dfrac{\\partial f}{\\partial x}\\dfrac{\\partial x}{\\partial  \\alpha} + \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}\\dfrac{\\partial y(\\alpha, x)}{\\partial  \\alpha}  + \\dfrac{\\partial f }{ \\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}}{\\partial \\alpha}\\right)dx \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">\u00c0 partir de ce point, il est important de noter que :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\\dfrac{\\partial x}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; 0 \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{\\partial y(\\alpha,x)}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; \\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\left(y(x) + \\alpha \\eta(x) \\right) = \\eta(x) \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha}\\left( \\dfrac{dy(\\alpha, x)}{dx} \\right)&amp;=&amp; \\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\left(\\dfrac{dy(x)}{dx} + \\alpha\\dfrac{d\\eta(x)}{dx} \\right) = \\dfrac{d\\eta}{dx}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">De sorte que l&#8217;expression se r\u00e9duit comme suit :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} \\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left(\\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha,x)}\\eta(x) + \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta(x)}{dx} \\right)dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha,x)}\\eta(x) dx +  \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta(x)}{dx} dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Ensuite, si nous observons la seconde int\u00e9grale, nous verrons qu&#8217;elle peut \u00eatre simplifi\u00e9e en utilisant l&#8217;int\u00e9gration par parties :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta}{dx} dx\n\n&amp;=&amp; \\left. \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\eta(x)\\right|_{x_1}^{x_2} - \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2}\\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha, x)}{dx}} \\right) dx\\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; - \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2}\\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha, x)}{dx}} \\right)dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Et par cons\u00e9quent :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{} \\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left[ \\eta(x) \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}  - \\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\right) \\right]dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left[ \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\right) \\right] \\eta(x) dx\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Ainsi, par la condition que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\dfrac{\\partial J (x,y(\\alpha, x))}{\\partial \\alpha}\\right|_{\\alpha=0} = 0,<\/span> et comme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> est une fonction quelconque soumise \u00e0 la seule condition de s&#8217;annuler en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2,<\/span> nous avons :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\dfrac{\\partial f}{\\partial y(0, x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(0,x)}{dx}}\\right) = \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(x)}{dx}}\\right) = 0.\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Enfin, en \u00absimplifiant la notation\u00bb dans cette derni\u00e8re expression, nous arrivons \u00e0 ce qui est connu sous le nom d&#8217;\u00c9quation d&#8217;Euler-Lagrange :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\dfrac{\\partial f}{\\partial y}= \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial y^\\prime} \\right)},<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">et cela repr\u00e9sente de mani\u00e8re beaucoup plus simple la condition n\u00e9cessaire pour que le fonctionnel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> atteigne une valeur extr\u00eame.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Le Probl\u00e8me de la Brachistochrone<\/h2>\n<h3>Formulation du Probl\u00e8me<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Le probl\u00e8me de la brachistochrone est un classique de la physique m\u00e9canique qui se r\u00e9sout par le calcul variationnel. La situation pos\u00e9e est la suivante : Supposons que nous avons un objet mat\u00e9riel qui se d\u00e9place sous l&#8217;effet d&#8217;un champ de forces constant, se d\u00e9pla\u00e7ant d&#8217;un point initial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)<\/span> \u00e0 un point final <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span>, o\u00f9 le point initial est \u00e0 une hauteur plus \u00e9lev\u00e9e que le point final. La question pos\u00e9e est : Quelle est la trajectoire que la particule doit suivre pour atteindre le point final dans le temps le plus court possible ?<\/p>\n<h3>Formulation de la Solution<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la brachistochrone, il est utile de consid\u00e9rer la situation de mani\u00e8re simple. On peut donc fixer le point de d\u00e9part <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1, y_1)<\/span> \u00e0 l&#8217;origine des coordonn\u00e9es, tandis que le point d&#8217;arriv\u00e9e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> se trouve \u00e0 droite de l&#8217;origine et en dessous de l&#8217;axe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span>.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png\" alt=\"calcul variationnel - probl\u00e8me de la brachistochrone\" width=\"711\" height=\"505\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28729 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png\" alt=\"calcul variationnel - probl\u00e8me de la brachistochrone\" width=\"711\" height=\"505\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28729 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png 711w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona-300x213.png 300w\" sizes=\"(max-width: 711px) 100vw, 711px\" \/><\/noscript><\/div>\n<p style=\"text-align:justify;\">Dans cette situation, on peut consid\u00e9rer un champ de force agissant vers le bas (dans la direction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-\\hat{y}<\/span>) g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par la gravit\u00e9, et supposer que le mouvement se fait sans friction. Dans ce contexte, la particule est restreinte \u00e0 suivre diff\u00e9rentes trajectoires reliant les points de d\u00e9part et d&#8217;arriv\u00e9e dans le but de trouver celle qui minimise le temps de trajet.<\/p>\n<h3>Examen de l&#8217;\u00c9nergie<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Pour r\u00e9soudre ce probl\u00e8me, nous pouvons exploiter la conservation de l&#8217;\u00e9nergie du syst\u00e8me gravitationnel. L&#8217;\u00e9nergie totale du syst\u00e8me restera constante, en tenant compte \u00e0 la fois de l&#8217;\u00e9nergie cin\u00e9tique <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{cin}=\\frac{1}{2}mv^2<\/span> et de l&#8217;\u00e9nergie potentielle gravitationnelle <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}<\/span>, o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> est la masse de la particule et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span> sa vitesse. Pour l&#8217;\u00e9nergie potentielle, on a pris l&#8217;origine comme r\u00e9f\u00e9rence, de sorte que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}(y=0)=0<\/span>, tandis que pour toute autre hauteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span>, on a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}(y)=mgy.<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Comme la particule part de l&#8217;origine avec une vitesse nulle, son \u00e9nergie totale est \u00e9gale \u00e0 z\u00e9ro. Donc, on a :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{cin} + E_{pot,g}=0<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Comme la particule tombe en dessous du point de r\u00e9f\u00e9rence, son \u00e9nergie potentielle sera n\u00e9gative et son \u00e9nergie cin\u00e9tique sera positive. De cette mani\u00e8re, nous pouvons isoler la vitesse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span> \u00e0 partir de l&#8217;\u00e9quation de conservation de l&#8217;\u00e9nergie et obtenir :<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} &amp;\\dfrac{1}{2}mv^2 + (-mgy) = 0 \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;\\dfrac{1}{2}mv^2 = mgy \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;v^2 = 2gy \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;v = \\sqrt{2gy}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">De cette fa\u00e7on, nous pouvons calculer la vitesse de la particule en tout point de sa trajectoire en fonction de la hauteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> \u00e0 laquelle elle se trouve.<\/p>\n<h3>Examen du Temps de Trajet<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Une fois que nous avons obtenu la vitesse de mouvement, nous pouvons construire l&#8217;\u00e9l\u00e9ment de temps de trajet en utilisant l&#8217;\u00e9l\u00e9ment de d\u00e9placement <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ds=\\sqrt{dx^2 + dy^2}<\/span> de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} dt &amp;= \\dfrac{ds}{v} = \\dfrac{\\sqrt{dx^2 + dy^2}}{\\sqrt{2gy}}\\\\ \\\\\n\n&amp;= \\sqrt{\\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy} }\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">De sorte que le temps de d\u00e9placement entre les points <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> peut \u00eatre obtenu en int\u00e9grant<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} t &amp;= \\displaystyle \\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} dt \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} \\sqrt{\\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy}} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\dfrac{1}{\\sqrt{2g}}\\int_{y_1}^{y_2} \\sqrt{\\dfrac{1+ \\left(\\dfrac{dx}{dy}\\right)^2 }{y}}dy \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<h3>Formulation du Probl\u00e8me Variationnel<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Avec cette derni\u00e8re expression, nous avons r\u00e9ussi \u00e0 exprimer le temps comme un fonctionnel de la forme<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n{}t = J(y,x(y)) = \\displaystyle \\int_{y_1}^{y_2} f\\left(y,x(y),\\dfrac{dx(y)}{dy} \\right) dy\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">o\u00f9<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\left(y,x(y), \\dfrac{dx(y)}{dx}\\right) = \\sqrt{\\dfrac{1+ \\left(\\dfrac{dx(y)}{dy} \\right)^2}{y}} <\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">\u00c0 ce stade, nous pouvons ignorer le facteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{2g},<\/span> car optimiser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> est exactement la m\u00eame chose qu&#8217;optimiser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{2g}J<\/span>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Avec ce qui pr\u00e9c\u00e8de, nous pouvons maintenant construire l&#8217;\u00e9quation d&#8217;Euler-Lagrange en suivant la m\u00eame proc\u00e9dure utilis\u00e9e pr\u00e9c\u00e9demment, aboutissant finalement \u00e0 :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x} = \\dfrac{d}{dy} \\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Cependant, ici, nous pouvons voir que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x} = 0,<\/span> donc<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dy}\\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime} = 0,<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">ou en d&#8217;autres termes<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}},<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> est une constante arbitraire \u00e9crite de cette mani\u00e8re car elle est \u00abpratique\u00bb pour les d\u00e9veloppements ult\u00e9rieurs.<\/p>\n<h3>R\u00e9solution du Probl\u00e8me Variationnel<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">En substituant la fonction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> dans cette derni\u00e8re expression, on obtient :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} &amp;\\dfrac{\\partial }{\\partial x^\\prime} \\sqrt{\\dfrac{1+ x^{\\prime 2}}{y}}  = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{1}{2}\\left( \\dfrac{1 + x^{\\prime 2} }{y} \\right)^{-1\/2} \\left(\\dfrac{2x^\\prime}{y} \\right) = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{y}{1 + x^{\\prime 2}}} \\left(\\dfrac{2x^\\prime}{y} \\right) = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\sqrt{\\dfrac{4x^{\\prime 2} y}{4y^2 (1 + x^{\\prime 2})} }  = \\sqrt{\\dfrac{1}{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;  \\dfrac{y x^{\\prime 2} }{y^2 (1 + x^{\\prime 2})}   = \\dfrac{1}{ 2a} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; 2ayx^{\\prime 2} = y^2 + y^2 x^{\\prime 2} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;  x^{\\prime 2} (2ay - y^2) = y^2 \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\left(\\dfrac{dx}{dy}\\right)^2 = \\dfrac{y^2}{2ay - y^2} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{dx}{dy} = \\pm \\sqrt{\\dfrac{y^2}{2ay - y^2}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; dx = \\pm \\dfrac{ydy}{\\sqrt{2ay - y^2}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; x = \\displaystyle  \\pm \\int \\dfrac{y}{\\sqrt{2ay - y^2}}dy\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Pour r\u00e9soudre cette int\u00e9grale, une option \u00e0 consid\u00e9rer est de r\u00e9aliser la substitution suivante<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} y &amp;=&amp; a[1-\\cos(\\theta)] \\\\\n\n dy &amp;=&amp; a\\sin(\\theta) d\\theta\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Avec ceci, nous avons :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x= &amp; \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{y}{\\sqrt{2ay - y^2}}dy = \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]a\\sin(\\theta)}{\\sqrt{2a^2[1-\\cos(\\theta)] - a^2[1-\\cos(\\theta)]^2 }}d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; {} = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a^2[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{a^2[1-\\cos(\\theta)]\\left\\{ 2 - [1-\\cos(\\theta)] \\right\\} }}d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; {} = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{[1-\\cos(\\theta)]  [1 + \\cos(\\theta)]  }}d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; {} = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{ 1-\\cos^2(\\theta)}}d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; {} = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sin(\\theta)}d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; {} = \\pm \\displaystyle \\int a[1-\\cos(\\theta)] d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; {} = \\pm a(\\theta - \\sin(\\theta)) + C\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Nous pouvons observer que la courbe brachistochrone peut \u00eatre exprim\u00e9e comme une courbe param\u00e9trique en coordonn\u00e9es polaires, qui co\u00efncide avec une cyclo\u00efde ayant son point de d\u00e9part \u00e0 l&#8217;origine.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} &amp; x(\\theta) &amp;=&amp; \\pm a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   &amp; y(\\theta) &amp;=&amp; a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">La constante d&#8217;int\u00e9gration <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> a \u00e9t\u00e9 annul\u00e9e pour satisfaire la condition initiale que la trajectoire commence \u00e0 l&#8217;origine. De plus, nous pouvons observer qu&#8217;il existe un couple d&#8217;\u00e9quations offrant des solutions possibles au probl\u00e8me, o\u00f9 la constante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> peut \u00eatre ajust\u00e9e pour que la courbe passe par le point <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> \u00e0 la fin du trajet. Ces \u00e9quations sont :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Option 1 :<\/strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\begin{array}\n\n{} &amp; x(\\theta) &amp;=&amp; a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   &amp; y(\\theta) &amp;=&amp; a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Option 2 :<\/strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\begin{array}\n\n{} &amp; x(\\theta) &amp;=&amp; - a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   &amp; y(\\theta) &amp;=&amp; a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}}<\/span> <\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">La solution viable pour ce probl\u00e8me est donn\u00e9e par la seconde option, et en ajustant la constante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> comme une valeur n\u00e9gative, nous obtenons une courbe qui remplit les conditions n\u00e9cessaires pour \u00eatre une solution.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png\" alt=\"Exemple de solution possible, un arc de cyclo\u00efde\" width=\"497\" height=\"329\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28731 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png\" alt=\"Exemple de solution possible, un arc de cyclo\u00efde\" width=\"497\" height=\"329\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28731 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png 497w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis-300x199.png 300w\" sizes=\"(max-width: 497px) 100vw, 497px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h3>Ajustement Final de la Solution<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Apr\u00e8s les derniers ajustements effectu\u00e9s, la courbe brachistochrone a la forme param\u00e9trique :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} x(\\theta) &amp;= b(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   y(\\theta) &amp;= -b(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Nous avons remplac\u00e9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=-b,<\/span> o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\lt b.<\/span> La courbe a une p\u00e9riode <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2b\\pi<\/span> et doit satisfaire la condition <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 \\in ]0,2b\\pi[<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_2 \\in ]-2b,0[.<\/span> Cela est crucial, car cela exige que la courbe brachistochrone soit repr\u00e9sent\u00e9e comme un seul arc de cyclo\u00efde, car la solution cessera d&#8217;\u00eatre valide si la particule revient au repos en revenant \u00e0 un point de hauteur z\u00e9ro.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Pour ajuster ces \u00e9quations au probl\u00e8me, nous devons trouver les valeurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> qui satisfont le syst\u00e8me :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} x_2 &amp;= b(\\theta - \\sin(\\theta))\\\\\n\ny_2 &amp;= - b(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Ce syst\u00e8me non lin\u00e9aire ne semble pas avoir de solutions analytiques, donc nous utiliserons des m\u00e9thodes num\u00e9riques dans Wolfram Mathematica. Ci-dessous, une s\u00e9rie d&#8217;\u00e9tapes pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me :<\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<h4>\u00c9tape 1 : \u00c9tablir le Syst\u00e8me<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">\u00c9tablir les \u00e9quations qui forment le syst\u00e8me \u00e0 r\u00e9soudre<\/p>\n<p><span dir=\"ltr\"><code>eq1 = x2 == b*(theta - Sin[theta])<br \/>\n eq2 = y2 == -b*(1 - Cos[theta])<\/code><\/span><br \/>\n<\/br><\/p>\n<h4>\u00c9tape 2 : D\u00e9finir le Point d&#8217;Arriv\u00e9e<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">\u00c9tablir le point auquel la particule arrivera \u00e0 la fin de son trajet. Dans ce cas, nous le fixerons \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)=(1,-2).<\/span> Vous pouvez modifier ces valeurs pour tester d&#8217;autres configurations similaires.<\/p>\n<p><code>x2val = 1; y2val = -2;<\/code><br \/>\n<\/br><\/p>\n<h4>\u00c9tape 3 : Calculer Num\u00e9riquement les Valeurs Recherch\u00e9es<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Utiliser la fonction \u00abFindRoot\u00bb pour calculer num\u00e9riquement la solution du probl\u00e8me<\/p>\n<p><code>sol = FindRoot[{eq1, eq2} \/. {x2 -> x2val, y2 -> y2val}, {{b,1}, {theta, 1}}]<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Ici, nous avons utilis\u00e9 les valeurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=1<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=1<\/span> comme point de d\u00e9part pour l&#8217;approximation num\u00e9rique de la solution. Ainsi, nous obtenons comme solution <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\approx 2.4056<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta \\approx 1.40138<\/span>\n<p><\/br><\/p>\n<h4>\u00c9tape 4 : V\u00e9rification des R\u00e9sultats<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Rappelons que, pour que ces r\u00e9ponses aient un sens physique, il est n\u00e9cessaire que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 \\in ]0,2b\\pi[<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_2 \\in ]-2b, 0[.<\/span> Nous pouvons v\u00e9rifier que c&#8217;est bien le cas rapidement gr\u00e2ce \u00e0 la proc\u00e9dure suivante<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Tout d&#8217;abord, nous extrayons les valeurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> obtenues comme solution<\/p>\n<p><code>bval = sol[[1, 2]]; thetaval = sol[[2, 2]];<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Et ensuite, nous demandons une confirmation<\/p>\n<p><code>If[0 < x2val < 2*Pi*bval &#038;&#038; -2*bval < y2val < 0 \"Valeurs valides\", \"Valeurs invalides\"]\n<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Si tout s'est bien pass\u00e9, nous devrions obtenir \"valeurs valides\" en sortie. Ce bout de code vous aidera \u00e0 v\u00e9rifier si la situation physique est correctement mod\u00e9lis\u00e9e.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Avec ces proc\u00e9dures, nous avons finalement ajust\u00e9 compl\u00e8tement notre courbe solution, qui relie les points <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)=(0,0)<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)=(1,-2).<\/span> La courbe r\u00e9sultante est :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} x(\\theta) &amp;\\approx 2.4056(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\ny(\\theta) &amp;\\approx -2.4056(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}\\;\\;;\\theta\\in [0, 1.40138]<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Ce qui graphiquement ressemble \u00e0 ceci :<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"345\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28733 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"345\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28733 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png 296w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis-257x300.png 257w\" sizes=\"(max-width: 296px) 100vw, 296px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>R\u00e9pertoire GitHub avec l'algorithme Wolfram<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Le code complet de la solution au probl\u00e8me de la brachistochrone, y compris l'algorithme d\u00e9velopp\u00e9 dans Wolfram Mathematica, est disponible pour t\u00e9l\u00e9chargement et consultation dans mon r\u00e9pertoire GitHub. Ce r\u00e9pertoire comprend un fichier `.nb` avec le code au format notebook interactif, ainsi qu'une version en texte brut `.m` pour ceux qui pr\u00e9f\u00e8rent voir directement le code.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><strong>Vous pouvez t\u00e9l\u00e9charger le r\u00e9pertoire depuis GitHub <a href=\"https:\/\/github.com\/girebz\/Braquist-crona\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">ici<\/a>.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">En plus du code, le r\u00e9pertoire contient un fichier \"README\" avec des instructions d\u00e9taill\u00e9es sur l'utilisation et la compr\u00e9hension de l'algorithme, ainsi qu'une explication \u00e9tape par \u00e9tape de la solution au probl\u00e8me de la brachistochrone. J'esp\u00e8re que vous le trouverez utile !<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le Calcul Variationnel en M\u00e9canique Classique et l&#8217;\u00c9quation d&#8217;Euler-Lagrange R\u00e9sum\u00e9 :Dans cette le\u00e7on, nous examinerons l&#8217;obtention de l&#8217;\u00e9quation d&#8217;Euler-Lagrange de la M\u00e9canique Analytique en utilisant les techniques du calcul variationnel et, \u00e0 partir de cela, nous montrerons en d\u00e9tail son application \u00e0 la r\u00e9solution du probl\u00e8me de la brachistochrone. Objectifs d&#8217;Apprentissage : \u00c0 la fin [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":28745,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":37,"footnotes":""},"categories":[948,647],"tags":[],"citadela-post-location":[],"class_list":["post-28791","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-mecanique-classique","category-physique"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v28.0 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d&#039;Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Apprenez \u00e0 d\u00e9river l&#039;\u00e9quation d&#039;Euler-Lagrange avec le calcul variationnel et le principe de moindre action pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la braquist\u00f3crona.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d&#039;Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Apprenez \u00e0 d\u00e9river l&#039;\u00e9quation d&#039;Euler-Lagrange avec le calcul variationnel et le principe de moindre action pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la braquist\u00f3crona.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2024-09-19T17:27:46+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-09-19T17:39:38+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange-1024x547.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d&#039;Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"Apprenez \u00e0 d\u00e9river l&#039;\u00e9quation d&#039;Euler-Lagrange avec le calcul variationnel et le principe de moindre action pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la braquist\u00f3crona.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"12 minutos\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d&#8217;Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel\",\"datePublished\":\"2024-09-19T17:27:46+00:00\",\"dateModified\":\"2024-09-19T17:39:38+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/\"},\"wordCount\":3400,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/09\\\/eulerlagrange.jpg\",\"articleSection\":[\"M\u00e9canique Classique\",\"Physique\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/\",\"name\":\"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d'Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel - toposuranos.com\\\/material\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/09\\\/eulerlagrange.jpg\",\"datePublished\":\"2024-09-19T17:27:46+00:00\",\"dateModified\":\"2024-09-19T17:39:38+00:00\",\"description\":\"Apprenez \u00e0 d\u00e9river l'\u00e9quation d'Euler-Lagrange avec le calcul variationnel et le principe de moindre action pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la braquist\u00f3crona.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/#primaryimage\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/09\\\/eulerlagrange.jpg\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/09\\\/eulerlagrange.jpg\",\"width\":1792,\"height\":958},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/fr\\\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/cursos-de-matematica-y-fisica\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d&rsquo;Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#website\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/\",\"name\":\"toposuranos.com\\\/material\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"es\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\",\"name\":\"toposuranos.com\\\/material\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/logo.png\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/logo.png\",\"width\":2400,\"height\":2059,\"caption\":\"toposuranos.com\\\/material\"},\"image\":{\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\"},\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/www.facebook.com\\\/groups\\\/toposuranos\",\"https:\\\/\\\/x.com\\\/topuranos\",\"https:\\\/\\\/www.youtube.com\\\/channel\\\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g\",\"https:\\\/\\\/www.linkedin.com\\\/company\\\/69429190\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\",\"name\":\"giorgio.reveco\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"caption\":\"giorgio.reveco\"},\"description\":\"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d'Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel - toposuranos.com\/material","description":"Apprenez \u00e0 d\u00e9river l'\u00e9quation d'Euler-Lagrange avec le calcul variationnel et le principe de moindre action pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la braquist\u00f3crona.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d'Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel","og_description":"Apprenez \u00e0 d\u00e9river l'\u00e9quation d'Euler-Lagrange avec le calcul variationnel et le principe de moindre action pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la braquist\u00f3crona.","og_url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2024-09-19T17:27:46+00:00","article_modified_time":"2024-09-19T17:39:38+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange-1024x547.jpg","type":"","width":"","height":""}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d'Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel","twitter_description":"Apprenez \u00e0 d\u00e9river l'\u00e9quation d'Euler-Lagrange avec le calcul variationnel et le principe de moindre action pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la braquist\u00f3crona.","twitter_image":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"12 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/#article","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d&#8217;Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel","datePublished":"2024-09-19T17:27:46+00:00","dateModified":"2024-09-19T17:39:38+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/"},"wordCount":3400,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","articleSection":["M\u00e9canique Classique","Physique"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/","name":"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d'Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel - toposuranos.com\/material","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/#primaryimage"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","datePublished":"2024-09-19T17:27:46+00:00","dateModified":"2024-09-19T17:39:38+00:00","description":"Apprenez \u00e0 d\u00e9river l'\u00e9quation d'Euler-Lagrange avec le calcul variationnel et le principe de moindre action pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de la braquist\u00f3crona.","breadcrumb":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/#primaryimage","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/eulerlagrange.jpg","width":1792,"height":958},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/braquistocrona-et-equation-deuler-lagrange-avec-calcul-variationnel\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Braquist\u00f3crona et \u00c9quation d&rsquo;Euler-Lagrange avec Calcul Variationnel"}]},{"@type":"WebSite","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#website","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","name":"toposuranos.com\/material","description":"","publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"es"},{"@type":"Organization","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization","name":"toposuranos.com\/material","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","width":2400,"height":2059,"caption":"toposuranos.com\/material"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","https:\/\/x.com\/topuranos","https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190"]},{"@type":"Person","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1","name":"giorgio.reveco","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","caption":"giorgio.reveco"},"description":"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.","sameAs":["http:\/\/toposuranos.com\/material"],"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/"}]}},"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28791","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=28791"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28791\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media\/28745"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=28791"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=28791"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=28791"},{"taxonomy":"citadela-post-location","embeddable":true,"href":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/citadela-post-location?post=28791"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}