{"id":28392,"date":"2021-04-21T13:00:58","date_gmt":"2021-04-21T13:00:58","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28392"},"modified":"2024-09-15T00:44:12","modified_gmt":"2024-09-15T00:44:12","slug":"algoritmo-forma-normal-y-aplicaciones","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algoritmo-forma-normal-y-aplicaciones\/","title":{"rendered":"Algoritmo Forma Normal y Aplicaciones"},"content":{"rendered":"<p>\t<center><\/p>\n<h1>Algoritmo Forma Normal y Aplicaciones<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>RESUMEN<\/strong><br \/><em>En esta clase revisaremos el algoritmo FND\/FNC, el cual nos permitir\u00e1 encontrar, a partir de cualquier expresi\u00f3n de la l\u00f3gica proposicional, su expresi\u00f3n equivalente en forma normal conjuntiva o disyuntiva. Comenzaremos explicando los tres pasos que componen este algoritmo, los cuales consisten en la eliminaci\u00f3n de implicancias y doble implicancias, la eliminaci\u00f3n de dobles negaciones y la aplicaci\u00f3n de distribuci\u00f3n, seg\u00fan si queremos obtener una FNC o una FND. Adem\u00e1s, presentaremos ejemplos de c\u00f3mo aplicar este algoritmo a expresiones concretas. Posteriormente, abordaremos c\u00f3mo obtener la forma normal a partir de las tablas de verdad utilizando interruptores simples y compuestos, y las cajas negras. Para esto, se utilizar\u00e1n conceptos como cables, nodos, interruptores simples, interruptores compuestos y cajas negras. Finalmente, se presentar\u00e1n ejercicios de ejemplo en los que se deber\u00e1 resumir informaci\u00f3n en una tabla de verdad y extraer la FND y FNC que reproduzca el funcionamiento de un dispositivo, as\u00ed como dise\u00f1ar un interruptor compuesto que tenga el mismo funcionamiento que el dispositivo.<\/em><\/p>\n<p>\t<\/center><br \/>\n\t<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\n\tAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n\t<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> el algoritmo FND\/FNC a expresiones concretas para encontrar sus formas normales conjuntiva y disyuntiva.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el uso de interruptores simples y compuestos en la l\u00f3gica proposicional.<\/li>\n<li><strong>Identificar<\/strong> la estructura de los interruptores compuestos y las cajas negras.<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> la tabla de verdad para resumir informaci\u00f3n sobre un dispositivo.<\/li>\n<li><strong>Extraer<\/strong> la FND y la FNC de un dispositivo a partir de su tabla de verdad.<\/li>\n<li><strong>Dise\u00f1ar<\/strong> un interruptor compuesto que tenga el mismo funcionamiento que un dispositivo dado.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>\u00cdNDICE<\/strong><br \/>\n\t<a href=\"#1\">EL ALGORITMO FND\/FNC<\/a><br \/>\n\t<a href=\"#2\">ALGORITMO PARA OBTENER LA FORMA NORMAL A PARTIR DE LAS TABLAS DE VERDAD: CAJAS NEGRAS E INTERRUPTORES COMPUESTOS<\/a><br \/>\n\t<a href=\"#3\">EJERCICIOS DE EJEMPLO<\/a><\/p>\n<p>\t<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/aEQ2WFB4dls\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Si bien hemos probado que todas las expresiones de la l\u00f3gica proposicional son equivalentes a una <strong>forma normal,<\/strong> nada hemos dicho sobre c\u00f3mo encontrar tales formas normales. Para lograr esto, revisaremos un algoritmo cuyo objetivo es generar expresiones en forma normal y, finalmente, revisaremos las aplicaciones que emergen de estos temas.<\/p>\n<p>\t<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>El Algoritmo FND\/FNC<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aEQ2WFB4dls&amp;t=107s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>El algoritmo FND\/FNC es una serie de pasos <\/strong><\/a>que te permitir\u00e1 encontrar, a partir de cualquier expresi\u00f3n de la l\u00f3gica proposicional, su expresi\u00f3n equivalente en FND o FNC (seg\u00fan corresponda). Se realiza se la siguiente manera:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>PASO 1:<\/strong> Remplaza todas las sub-expresiones de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(F\\rightarrow G)<\/span><\/span> por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\neg F\\vee G),<\/span><\/span> de igual forma con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(F\\leftrightarrow G).<\/span><\/span> Repetir este paso hasta eliminar todas las implicancias y doble implicancias de la expresi\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>PASO 2:<\/strong> Eliminar dobles negaciones y aplicar las leyes de De Morgan donde sea posible. Se deben aplicar los siguientes remplazos\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg G \\longmapsto G<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(G\\wedge H) \\longmapsto (\\neg G \\vee \\neg H)<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(G\\vee H) \\longmapsto (\\neg G \\wedge \\neg H)<\/span><\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Cuando ya no queden sub-expresiones de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg G,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(G \\wedge H)<\/span><\/span> ni <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(G \\vee H),<\/span><\/span> contin\u00faa con el paso 3.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Paso 3:<\/strong> Este paso se divide en dos partes seg\u00fan si se desea llegar a una FND o a una FNC\n<ul>\n<li><strong>Si que quiere llegar a una FNC:<\/strong>\n<p style=\"text-align: justify;\">Utilizar <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vee<\/span>-distribuci\u00f3n donde sea posible. Es decir, se deben aplicar los siguientes remplazos:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\begin{matrix}G\\vee(H\\wedge K) \\\\ \\\\ (H\\wedge K)\\vee G \\end{matrix} \\right\\} \\longmapsto (G\\vee H)\\wedge (G\\vee K)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Cuando ya no queden expresiones de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">G\\vee(H\\wedge K)<\/span><\/span> o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(H\\wedge K)\\vee G<\/span><\/span>, se habr\u00e1 llegado a una FNC<\/p>\n<\/li>\n<li><strong>Si que quiere llegar a una FND:<\/strong>\n<p style=\"text-align: justify;\">Utilizar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span>-distribuci\u00f3n donde sea posible. Es decir, se deben aplicar los siguientes remplazos:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\begin{matrix}G\\wedge(H\\vee K) \\\\ \\\\ (H\\vee K)\\wedge G \\end{matrix} \\right\\} \\longmapsto (G\\wedge H)\\vee (G\\vee K)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Cuando ya no queden expresiones de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">G\\wedge(H\\vee K)<\/span><\/span> o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(H\\vee K)\\wedge G<\/span><\/span>, se habr\u00e1 llegado a una FND<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Ejemplos<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Utilice el Algoritmo FND\/FNC las siguientes expresiones en su forma normal conjuntiva y disyuntiva.<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\rightarrow (B\\rightarrow A))<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aEQ2WFB4dls&amp;t=436s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((A\\vee B)\\rightarrow(\\neg B \\wedge A))<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aEQ2WFB4dls&amp;t=665s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/li>\n<\/ol>\n<p>\t<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Algoritmo para obtener la Forma Normal a partir de las Tablas de Verdad: Cajas Negras e Interruptores Compuestos<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aEQ2WFB4dls&amp;t=915s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>El algoritmo FND\/FNC nos permite encontrar,<\/strong><\/a> para cualquier expresi\u00f3n de la l\u00f3gica proposicional, su expresi\u00f3n equivalente en forma normal. Pero hay situaciones en que no tenemos una expresi\u00f3n inicial con qu\u00e9 trabajar en primer lugar. Tal es el caso cuando tenemos el resultado de una tabla de verdad de alguna expresi\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span> cuya estructura proposicional desconocemos. Explicar esto en palabras es un proceso largo; la t\u00e9cnica, sin embargo, se entiende mucho mejor mostrando con ejemplos de c\u00f3mo se desarrolla, as\u00ed que dejar\u00e9 unos ejemplos que desarrollar\u00e9 en v\u00eddeo, pero antes debe revisar los siguientes conceptos:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>Cable:<\/strong> Medio por el que circula una se\u00f1al<\/li>\n<li><strong>Nodo:<\/strong> Punto donde se unen 3 o m\u00e1s cables.<\/li>\n<li><strong>Interruptor simple:<\/strong> Dispositivo que admite los estados de encendido (1) y apagado (0), estando siempre en uno, y s\u00f3lo uno, de esos estados. El estado de encendido permite el paso de una se\u00f1al y el de apagado lo impide.<\/li>\n<li><strong>Interruptor compuesto:<\/strong> Es un dispositivo compuesto de interruptores simples y cables.<\/li>\n<li><strong>Caja Negra:<\/strong> Es cualquier dispositivo cuya estructura interna no se puede observar.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aEQ2WFB4dls&amp;t=1361s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Los interruptores simples son modelados<\/strong><\/a> a trav\u00e9s de variables proposicionales, y los compuestos mediante expresiones de la l\u00f3gica proposicional. Los casos m\u00e1s sencillos son los que se obtienen de los conectores de disyunci\u00f3n y conjunci\u00f3n que se muestran a continuaci\u00f3n<\/p>\n<h3>Esquema de la Conjunci\u00f3n<\/h3>\n<p>\t<img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xK_trhHRmzw\/YHeQhyDxUBI\/AAAAAAAAE48\/VUFuzNDMtBslDTcM7X2UlrmSzJ_evD4-ACLcBGAsYHQ\/s0\/conectorY.PNG\" alt=\"Conector Y\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"901\" height=\"407\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xK_trhHRmzw\/YHeQhyDxUBI\/AAAAAAAAE48\/VUFuzNDMtBslDTcM7X2UlrmSzJ_evD4-ACLcBGAsYHQ\/s0\/conectorY.PNG\" alt=\"Conector Y\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"901\" height=\"407\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>\t<img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-alLO75lFiw8\/YHeQiiHLF-I\/AAAAAAAAE5I\/yN2bqhtGxtIAzpLLAus5PLTMbse5uA2BwCLcBGAsYHQ\/s0\/tablaConectorY.PNG\" alt=\"Tabla Conector Y\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"1041\" height=\"420\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-alLO75lFiw8\/YHeQiiHLF-I\/AAAAAAAAE5I\/yN2bqhtGxtIAzpLLAus5PLTMbse5uA2BwCLcBGAsYHQ\/s0\/tablaConectorY.PNG\" alt=\"Tabla Conector Y\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"1041\" height=\"420\" \/><\/noscript><\/p>\n<h3>Esquema de la Disyunci\u00f3n<\/h3>\n<p>\t<img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xLVAp74wmRE\/YHeQh1p67rI\/AAAAAAAAE5A\/QRB4g9BENGgj4Jqw6Lee200YT02fUaaIQCLcBGAsYHQ\/s0\/conectorO.PNG\" alt=\"Conector O\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"1077\" height=\"661\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xLVAp74wmRE\/YHeQh1p67rI\/AAAAAAAAE5A\/QRB4g9BENGgj4Jqw6Lee200YT02fUaaIQCLcBGAsYHQ\/s0\/conectorO.PNG\" alt=\"Conector O\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"1077\" height=\"661\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>\t<img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-ZhxmnR7oxZU\/YHeQiDdLT_I\/AAAAAAAAE5E\/Gbh-I7c6yWwif685Z4GRLO_6iHMT3_yrQCLcBGAsYHQ\/s0\/tablaConectorO.PNG\" alt=\"Tabla del Conector O\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"1135\" height=\"598\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-ZhxmnR7oxZU\/YHeQiDdLT_I\/AAAAAAAAE5E\/Gbh-I7c6yWwif685Z4GRLO_6iHMT3_yrQCLcBGAsYHQ\/s0\/tablaConectorO.PNG\" alt=\"Tabla del Conector O\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"1135\" height=\"598\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>\t<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios de Ejemplo<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Se tiene un dispositivo formado por una caja negra y 4 interruptores ordenados. La activaci\u00f3n del dispositivo ocurre bajo las siguientes condiciones\n<ul>\n<li><strong>Condici\u00f3n 1:<\/strong> Se activa si hay dos interruptores consecutivos encendidos. Esta condici\u00f3n deja de funcionar si hay tres interruptores consecutivos encendidos.<\/li>\n<li><strong>Condici\u00f3n 2:<\/strong> Se activa si est\u00e1n todos los interruptores apagados.<\/li>\n<li><strong>Excepci\u00f3n:<\/strong> Si las condiciones anteriores no se cumplen, entonces el dispositivo se apaga.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">a) Resuma esta informaci\u00f3n en una tabla de verdad <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aEQ2WFB4dls&amp;t=2158s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">b) A partir de la tabla de verdad, extraiga la FND y la FNC que reproduzca el funcionamiento de la m\u00e1quina. <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aEQ2WFB4dls&amp;t=2283s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">c) Utilice la FNC o la FND obtenida en el paso anterior (la m\u00e1s sencilla) para dise\u00f1ar un interruptor compuesto que tenga el mismo funcionamiento que el dispositivo. <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aEQ2WFB4dls&amp;t=2402s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong> [SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/a><\/p>\n<\/li>\n<li>Lo mismo que en el ejercicio anterior, s\u00f3lo que ahora el dispositivo tiene 5 interruptores. <strong>[DESAF\u00cdO PARA EL LECTOR]<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Algoritmo Forma Normal y Aplicaciones RESUMENEn esta clase revisaremos el algoritmo FND\/FNC, el cual nos permitir\u00e1 encontrar, a partir de cualquier expresi\u00f3n de la l\u00f3gica proposicional, su expresi\u00f3n equivalente en forma normal conjuntiva o disyuntiva. 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