{"id":28151,"date":"2021-04-09T13:00:53","date_gmt":"2021-04-09T13:00:53","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28151"},"modified":"2024-09-03T17:39:38","modified_gmt":"2024-09-03T17:39:38","slug":"pruebas-por-induccion-generalizacion-de-morgan-y-distribucion","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/pruebas-por-induccion-generalizacion-de-morgan-y-distribucion\/","title":{"rendered":"Pruebas por Inducci\u00f3n: Generalizaci\u00f3n De Morgan y Distribuci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Pruebas por Inducci\u00f3n: Reglas Generalizadas de De Morgan y Distribuci\u00f3n<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>RESUMEN<\/strong><br \/><em>En esta clase se aborda el tema de las pruebas por inducci\u00f3n en matem\u00e1ticas y l\u00f3gica proposicional. Se explican los dos tipos de pruebas existentes: las pruebas internas o deductivas que se basan en las reglas de la l\u00f3gica, y las pruebas externas o metamatem\u00e1ticas que son necesarias para probar afirmaciones que se refieren a la l\u00f3gica en s\u00ed misma. Se introduce la Inducci\u00f3n Matem\u00e1tica como un m\u00e9todo de demostraci\u00f3n que permite demostrar que ciertas afirmaciones valen para todos los n\u00fameros naturales. Se presenta un ejemplo con la demostraci\u00f3n correspondiente y se explican las formas generalizadas de las leyes de De Morgan y de las leyes distributivas en l\u00f3gica proposicional, junto con sus respectivas demostraciones por inducci\u00f3n. Esta clase es de gran importancia para entender los fundamentos de la matem\u00e1tica y la l\u00f3gica, y para aplicarlos en diferentes \u00e1reas del conocimiento.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Reconocer<\/strong> los dos tipos de pruebas que se deben distinguir: pruebas internas o deductivas y pruebas externas o metamatem\u00e1ticas.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> inducci\u00f3n matem\u00e1tica para hacer demostraciones sobre los n\u00fameros naturales y en la l\u00f3gica proposicional<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> las notaciones de conjuntorias y disyuntorias para escribir expresiones de la l\u00f3gica proposicional.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la forma generalizada de las leyes de DeMorgan y de Distribuci\u00f3n de la L\u00f3gica Proposicional<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el concepto de hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n y su papel en la demostraci\u00f3n por inducci\u00f3n.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>\u00cdNDICE<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">PRUEBAS INTERNAS Y EXTERNAS<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">PRUEBAS POR INDUCCI\u00d3N MATEM\u00c1TICA<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">PRUEBAS POR INDUCCI\u00d3N EN L\u00d3GICA PROPOSICIONAL<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">FORMA GENERALIZADA DE LAS LEYES DE DE MORGAN<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">FORMA GENERALIZADA DE LAS LEYES DISTRIBUTIVAS<\/a><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/eJQcNPrKyW0\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Pruebas internas y externas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=eJQcNPrKyW0&amp;t=212s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Existen dos tipos de pruebas que deben ser distinguidas.<\/strong><\/a> Hasta ahora hemos visto muchos ejemplos de pruebas formales. Este tipo de pruebas emergen desde las reglas de la l\u00f3gica. Tales pruebas se dicen que tienen lugar \u00abdentro de la l\u00f3gica\u00bb, y por lo tanto nos referimos a ellas tambi\u00e9n por el nombre de \u00abpruebas internas\u00bb o deductivas. Este tipo de pruebas formales tienen un enfoque limitado, porque s\u00f3lo sirven para probar afirmaciones que pueden ser escritas en el lenguaje de la l\u00f3gica. Sin embargo, podr\u00edamos querer probar algunas cosas sobre la l\u00f3gica misma. Podr\u00edamos querer probar que todas las afirmaciones de la l\u00f3gica proposicional cumplen con cierta propiedad. Tales afirmaciones que se refieren a la l\u00f3gica en s\u00ed misma no pueden ni ser establecidas ni probadas dentro de la l\u00f3gica. Para probar tales afirmaciones utilizamos una prueba externa Las pruebas externas algunas veces son llamadas \u00abmetamatem\u00e1ticas\u00bb y ya nos hemos encontrado con este tipo de cosas, como cuando vimos el (meta)teorema de deducci\u00f3n. Es aqu\u00ed donde contextualizamos las pruebas inductivas.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Pruebas por Inducci\u00f3n Matem\u00e1tica<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=eJQcNPrKyW0&amp;t=359s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>La Inducci\u00f3n Matem\u00e1tica es un m\u00e9todo de demostraci\u00f3n<\/strong><\/a> que nos permite demostrar que algunas cosas valen para todos los n\u00fameros naturales.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>EJEMPLO:<\/strong><br \/>\nEs posible probar todo n\u00famero de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11^n - 4^n<\/span><\/span>, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> es cualquier n\u00famero natural, siempre es divisible por 7.<br \/>\n<strong>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/strong> Si observamos lo que ocurre con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=1<\/span><\/span> veremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11^1 - 4^1 = 7<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">que obviamente, es divisible por 7.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora supongamos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11^n - 4^n<\/span><\/span> es divisible para un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=k.<\/span><\/span> A partir de esto probaremos que en consecuencia tal expresi\u00f3n tambi\u00e9n se cumplir\u00e1 para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=k+1.<\/span><\/span> Esto lo podemos realizar de la siguiente forma:<\/p>\n<table\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11^{k+1} - 4^{k+1}<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">=11 \\cdot 11^{k} - 4 \\cdot 4^{k}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">=11 \\cdot 11^{k} - (11-7) \\cdot 4^{k}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">=11 \\cdot 11^{k} - 11 \\cdot 4^{k} + 7\\cdot 4^{k}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">=11 ( 11^{k} - 4^{k} ) + 7\\cdot 4^{k}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Por lo tanto, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11^k - 4^k<\/span><\/span> es divisible por 7, en consecuencia lo ser\u00e1 <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11 ( 11^{k} - 4^{k} ) + 7\\cdot 4^{k}<\/span><\/span>, que es lo mismo que decir que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11^{k+1} - 4^{k+1}<\/span><\/span> es divisible por 7. De aqu\u00ed tenemos que si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">11^k - 4^k<\/span><\/span> es divisible para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=1<\/span><\/span>, entonces lo ser\u00e1 para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=2, k=3, k=4,\\cdots<\/span><\/span> y asi sucesivamente, y por tanto, divisible para cualquier <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\in\\mathbb{N}.<\/span><\/span> Cuando esto ocurre decimos que la inducci\u00f3n es completa. \u25a0<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Pruebas por Inducci\u00f3n en L\u00f3gica Proposicional<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=eJQcNPrKyW0&amp;t=775s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Para las pruebas por inducci\u00f3n que realizaremos a continuaci\u00f3n,<\/strong><\/a> sera primero necesario introducir el siguiente convenio de notaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>NOTACI\u00d3N: <\/strong> Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_1,\\cdots, F_n<\/span><\/span> un conjunto finito de expresiones cualesquiera de la l\u00f3gica proposicional. Se introducen las conjuntorias y disyuntorias de estas expresiones a trav\u00e9s de:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigwedge_{i=1}^n F_i := F_1\\wedge \\cdots \\wedge F_n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigvee_{i=1}^n F_i := F_1\\vee \\cdots \\vee F_n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Con esto podremos tratar ahora con las siguientes dos formas generalizadas.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Forma Generalizada de las Leyes de De Morgan<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=eJQcNPrKyW0&amp;t=829s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Dado un conjunto finito de expresiones de la l\u00f3gica proposicional<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_1,\\cdots, F_n,<\/span><\/span> se cumplir\u00e1n siempre las siguientes dos propiedades:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\equiv \\left( \\bigvee_{i=1}^n \\neg F_i \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\neg\\left(\\bigvee_{i=1}^n F_i \\right) \\equiv \\left( \\bigwedge_{i=1}^n \\neg F_i \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/strong> Primero probaremos por inducci\u00f3n sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\equiv \\left( \\bigvee_{i=1}^n \\neg F_i \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Primero debemos revisar lo que ocurre con el caso inicial <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=1.<\/span><\/span> En este caso es claro que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg F_1 \\equiv \\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^1F_i\\right)\\equiv \\left(\\bigvee_{i=1}^n \\neg F_i \\right) \\equiv\\neg F_1<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Supongamos ahora que la propiedad funciona para alg\u00fan <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=k;<\/span><\/span> es decir, que dada una colecci\u00f3n finita de expresiones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_1, F_2, \\cdots, F_k<\/span><\/span> se cumple que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^k F_i\\right) \\equiv \\left(\\bigvee_{i=1}^k \\neg F_i\\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Entonces probaremos que en consecuencia vale<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k+1} F_i\\right) \\equiv \\left(\\bigvee_{i=1}^{k+1} \\neg F_i\\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Utilizando la definici\u00f3n de la conjuntoria tenemos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k+1} F_i\\right) := \\neg\\left[\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k} F_i\\right) \\wedge F_{k+1}\\right]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Sobre esta expresi\u00f3n podemos aplicar las leyes de De Morgan (la usual sobre dos t\u00e9rminos) para obtener:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k+1} F_i\\right)\\equiv \\left[\\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k} F_i\\right) \\vee \\neg F_{k+1}\\right]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora, si aplicamos la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n, obtendremos:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\neg\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k+1} F_i\\right)\\equiv \\left[ \\left(\\bigvee_{i=1}^k \\neg F_i\\right) \\vee \\neg F_{k+1}\\right] := \\left(\\bigvee_{i=1}^{k+1}\\neg F_i \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y por este motivo la inducci\u00f3n es completa y la propiedad vale para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> en general. La segunda relaci\u00f3n se puede obtener de un modo completamente an\u00e1logo, por lo que lo dejar\u00e9 como ejercicio para el lector muajaja!<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Forma Generalizada de las Leyes Distributivas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=eJQcNPrKyW0&amp;t=1205s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>De forma similar a las leyes de De Morgan<\/strong><\/a>, las leyes de distribuci\u00f3n se pueden generalizar de la siguiente manera. Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{F_1, \\cdots, F_n\\}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{G_1,\\cdots, G_m\\}<\/span><\/span> dos conjuntos finitos de expresiones cualesquiera, entonces valen las siguientes equivalencias:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^m G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[\\bigwedge_{i=1}^n\\left(\\bigwedge_{j=1}^m(F_i\\vee G_j) \\right) \\right]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigvee_{i=1}^n F_i \\right) \\wedge \\left(\\bigvee_{j=1}^m G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[\\bigvee_{i=1}^n\\left(\\bigvee_{j=1}^m(F_i\\wedge G_j) \\right) \\right]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/strong> Para construir esta demostraci\u00f3n debemos hacer una inducci\u00f3n doble, sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m.<\/span><\/span> A continuaci\u00f3n har\u00e9 la inducci\u00f3n primero sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> y luego sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span><\/span> para la expresi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^m G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[\\bigwedge_{i=1}^n\\left(\\bigwedge_{j=1}^m(F_i\\vee G_j) \\right) \\right]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Si tomamos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=1,<\/span><\/span> entonces esta expresi\u00f3n queda escrita como<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^1 G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[\\bigwedge_{i=1}^n\\left(\\bigwedge_{j=1}^1(F_i\\vee G_j) \\right) \\right].<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Que es lo mismo que decir:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee G_1 \\right] \\equiv \\left[\\bigwedge_{i=1}^n\\left( F_i\\vee G_1 \\right) \\right].<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora demostraremos que \u00e9sta expresi\u00f3n por inducci\u00f3n sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Si tomamos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=1,<\/span><\/span> entonces la expresi\u00f3n se reduce a<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_1 \\vee G_1 \\equiv F_1 \\vee G_1.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Cosa que ya sabemos, es cierta. Ahora supongamos que se cumple para un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=k<\/span><\/span> cualquiera; es decir, la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n ser\u00e1:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^k F_i \\right) \\vee G_1 \\right] \\equiv \\left[\\bigwedge_{i=1}^k\\left( F_i\\vee G_1 \\right) \\right].<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Entonces, a partir de \u00e9sto mostraremos que en consecuencia se cumple para un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=k+1.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Por la definici\u00f3n de conjuntoria se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k+1}F_i \\right) \\vee G_1 \\right] := \\left[\\left(\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k}F_i \\right)\\wedge F_{k+1} \\right) \\vee G_1 \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora, usando la <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vee<\/span><\/span>-distribuci\u00f3n, tendremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k+1}F_i \\right) \\vee G_1 \\right] \\equiv \\left[\\left(\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k}F_i \\right)\\vee G_{1} \\right) \\wedge \\left(F_{k+1} \\vee G_1 \\right) \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y justo en este punto podemos usar la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n para obtener:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[\\left(\\bigwedge_{i=1}^{k+1}F_i \\right) \\vee G_1 \\right] \\equiv \\left[\\left(\\bigwedge_{i=1}^k\\left( F_i\\vee G_1 \\right) \\right) \\wedge \\left(F_{k+1} \\vee G_1 \\right) \\right] := \\left[\\bigwedge_{i=1}^{k+1}(F_{i}\\vee G_1 \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Por lo tanto, hemos probado por inducci\u00f3n que para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\in\\mathbb{N}<\/span><\/span> que se cumple<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right)\\vee G_1\\right] \\equiv \\left[\\bigwedge_{i=1}^n(F_i\\vee G_1)\\right]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Completando la inducci\u00f3n sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> hemos corroborado que funciona el caso inicial para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=1,<\/span><\/span> ahora s\u00f3lo nos falta completar la inducci\u00f3n sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m.<\/span><\/span> Para hacer esto \u00faltimo establecemos la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n para un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=l<\/span><\/span>, es decir, que funciona<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^l G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[\\bigwedge_{i=1}^n\\left(\\bigwedge_{j=1}^l(F_i\\vee G_j) \\right) \\right]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">y a partir de esto probaremos que tambien funciona para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=l+1.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Partiendo, como siempre, desde la definici\u00f3n de conjuntoria tenemos que<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \\right) \\right] := \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\left(\\bigwedge_{j=1}^{l} G_j \\right) \\wedge G_{l+1}\\right) \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora, usando la <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vee<\/span><\/span>-distribuci\u00f3n se tendr\u00e1<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[ \\left( \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left( \\bigwedge_{j=1}^l G_j \\right) \\right) \\wedge \\left( \\left( \\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right)\\vee G_{l+1} \\right) \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">En consecuencia, utilizando la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n podr\u00e1s escribir<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[ \\bigwedge_{i=1}^n\\left(\\bigwedge_{j=1}^l(F_i\\vee G_j) \\right) \\wedge \\left( \\left( \\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right)\\vee G_{l+1} \\right) \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y si ahora tomamos el resultado de la inducci\u00f3n sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[ \\bigwedge_{i=1}^n\\left(\\bigwedge_{j=1}^l(F_i\\vee G_j) \\right) \\wedge \\left( \\bigwedge_{i=1}^n (F_i \\vee G_{l+1} )\\right) \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Que, finalmente, por la definici\u00f3n de conjuntoria nos queda<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[ \\bigwedge_{i=1}^n\\left(\\bigwedge_{j=1}^{l+1}(F_i\\vee G_j) \\right) \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y por lo tanto, la inducci\u00f3n sobre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span><\/span> es completa y la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[ \\left(\\bigwedge_{i=1}^n F_i \\right) \\vee \\left(\\bigwedge_{j=1}^{m} G_j \\right) \\right] \\equiv \\left[ \\bigwedge_{i=1}^n\\left(\\bigwedge_{j=1}^{m}(F_i\\vee G_j) \\right) \\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">es v\u00e1lida para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n,m\\in\\mathbb{N}<\/span><\/span>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Este recorrido por las pruebas por inducci\u00f3n ha demostrado c\u00f3mo se pueden aplicar t\u00e9cnicas rigurosas de demostraci\u00f3n matem\u00e1tica no solo en el \u00e1mbito de los n\u00fameros naturales, sino tambi\u00e9n en la l\u00f3gica proposicional. A trav\u00e9s de la inducci\u00f3n, hemos logrado establecer la validez de las formas generalizadas de las leyes de De Morgan y las leyes distributivas, reforzando as\u00ed la comprensi\u00f3n de los fundamentos l\u00f3gicos que subyacen en diversas \u00e1reas del conocimiento matem\u00e1tico. Este enfoque no solo es esencial para el desarrollo de habilidades de razonamiento abstracto, sino que tambi\u00e9n sirve como una herramienta poderosa para abordar problemas complejos en matem\u00e1ticas y m\u00e1s all\u00e1.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Pruebas por Inducci\u00f3n: Reglas Generalizadas de De Morgan y Distribuci\u00f3n RESUMENEn esta clase se aborda el tema de las pruebas por inducci\u00f3n en matem\u00e1ticas y l\u00f3gica proposicional. 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