{"id":27339,"date":"2021-01-27T13:00:40","date_gmt":"2021-01-27T13:00:40","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=27339"},"modified":"2024-07-06T22:11:14","modified_gmt":"2024-07-06T22:11:14","slug":"4-tecnicas-de-deduccion-imprescindibles","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/4-tecnicas-de-deduccion-imprescindibles\/","title":{"rendered":"4 t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n imprescindibles"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Aprende 4 t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n imprescindibles<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><\/br>En esta clase se describen 4 t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n de la l\u00f3gica proposicional para enriquecer el c\u00e1lculo proposicional rudimentario que se ha presentado hasta ahora. Se presenta la regla de presunci\u00f3n y su combinaci\u00f3n con la regla de monoton\u00eda, as\u00ed como el silogismo hipot\u00e9tico y dos formas de obtener esta regla de deducci\u00f3n. Tambi\u00e9n se explican las equivalencias de doble negaci\u00f3n y el contrapositivo de la implicancia.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>Objetivos de Aprendizaje<\/u>:<\/strong><br \/>Al finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Recordar<\/strong> la estructura de un razonamiento y ejemplos sencillos.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la regla de presunci\u00f3n y su relaci\u00f3n con el teorema de deducci\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la regla del silogismo hipot\u00e9tico y su relaci\u00f3n con el modus ponens.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> el teorema de deducci\u00f3n en la l\u00f3gica proposicional.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la regla de monoton\u00eda en la deducci\u00f3n de expresiones.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la equivalencias de doble negaci\u00f3n y el contrapositivo de la implicancia de la l\u00f3gica proposicional.<\/li>\n<li><strong>Conocer<\/strong> las demostraciones de las t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n y ser capaz de aplicarlas en la pr\u00e1ctica.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">REGLA DE PRESUNCI\u00d3N (PRE)<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">EL SILOGISMO HIPOT\u00c9TICO (SH)<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">EQUIVALENCIAS DE DOBLE NEGACI\u00d3N (DN)<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">EQUIVALENCIA DEL CONTRAPOSITIVO DE LA IMPLICANCIA (CPI)<\/a>\n<\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/6f_aavuC4E0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ya hemos visto c\u00f3mo es la estructura de un razonamiento y ejemplos sencillos. Ahora pondremos a prueba ese conocimiento <strong>razonando con 4 t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n de la l\u00f3gica proposicional.<\/strong> A trav\u00e9s de esto no solo veremos que estas cosas funcionan, sino que adem\u00e1s comenzaremos a dar cierta riqueza de procedimientos que sacar\u00e1 del estado rudimentario en que se encuentra el c\u00e1lculo proposicional que hasta ahora se ha presentado.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> son expresiones del c\u00e1lculo proposicional, entonces es posible inferir las siguientes t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n desde los fundamentos:<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Regla de Presunci\u00f3n (Pre)<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6f_aavuC4E0&amp;t=168s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La regla de deducci\u00f3n m\u00e1s sencilla<\/span><\/strong><\/a> de todas es la de presunci\u00f3n. Esta se obtiene directamente al aplicar el <strong>rec\u00edproco del teorema de deducci\u00f3n<\/strong> sobre el teorema <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash(\\alpha\\rightarrow\\alpha)<\/span>. Si esto te ha sonado a lenguaje arcano, todo lo que necesitas saber est\u00e1 <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/sistemas-deductivos-formales-y-definiciones\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>aqu\u00ed<\/strong><\/a>.<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Combinada con la regla de monoton\u00eda, te permitir\u00e1 agregar expresiones convenientes dentro de tus deducciones.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>El Silogismo Hipot\u00e9tico (SH)<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6f_aavuC4E0&amp;t=206s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">El silogismo hipot\u00e9tico<\/span><\/strong><\/a>, o transitividad de la implicaci\u00f3n, es una suerte de evoluci\u00f3n del modus ponens. Su formulaci\u00f3n es la siguiente:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha\\rightarrow\\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash (\\alpha\\rightarrow\\gamma)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Existen varias formas de obtener esta regla de deducci\u00f3n, veremos un par de ellas en breve.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si razonamos a partir de expresiones, ser\u00e1 sencillo construir el siguiente razonamiento:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\beta\\rightarrow \\gamma)<\/span><\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/td>\n<td>; MP(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/td>\n<td>; MP(4,3)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">Por lo tanto<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha,(\\alpha\\rightarrow\\beta),(\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash\\gamma<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Finalmente, aplicando el teorema de deducci\u00f3n sobre esta \u00faltima expresi\u00f3n se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\alpha\\rightarrow\\beta),(\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash(\\alpha\\rightarrow \\gamma)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Otra forma de obtener la demostraci\u00f3n de esta regla es razonando a partir de deducciones, construyendo a trav\u00e9s de la presunci\u00f3n y la monoton\u00eda. Observe el siguiente razonamiento a partir de deducciones:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash \\alpha <\/span><\/td>\n<td>; Presunci\u00f3n y Monoton\u00eda<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\beta) <\/span><\/td>\n<td>; Presunci\u00f3n y Monoton\u00eda<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash (\\beta\\rightarrow\\gamma) <\/span><\/td>\n<td>; Presunci\u00f3n y Monoton\u00eda<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash \\beta <\/span><\/td>\n<td>; MP(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha, (\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash \\gamma <\/span><\/td>\n<td>; MP(4,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha\\rightarrow \\beta), (\\beta\\rightarrow\\gamma)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\gamma) <\/span><\/td>\n<td>; TD(5)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Debes notar aqu\u00ed que ambas demostraciones son identicas, s\u00f3lo que se han desarrollado con estilos diferentes. En la practica puedes alternar entre ambos estilos seg\u00fan lo que te resulte m\u00e1s comodo.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Equivalencias de Doble Negaci\u00f3n (DN)<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6f_aavuC4E0&amp;t=500s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Las equivalencias de doble negaci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a> reproduce la noci\u00f3n intuitiva de que la doble negaci\u00f3n de una afirmaci\u00f3n es equivalente a la misma afirmaci\u00f3n. Esto, escrito de forma simb\u00f3lica, ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha\\dashv\\vdash\\neg\\neg\\alpha<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Veamos ahora una demostraci\u00f3n:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow (\\neg\\neg\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow\\neg\\neg\\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash ((\\neg\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow(\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\neg\\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash ((\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow(\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash ((\\neg\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow(\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; SH(2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash (\\neg\\neg\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; RTD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash ((\\neg\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow(\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; Monoton\u00eda(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash (\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; MP(5,6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash \\alpha<\/span><\/td>\n<td>; RTD(7)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">Por lo tanto<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\alpha \\} \\vdash \\alpha <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Para hacer la demostraci\u00f3n en el otro sentido podemos hacer uso de \u00e9sta que acabamos de hacer readapt\u00e1ndola a trav\u00e9s de una simple sustituci\u00f3n, obteniendo lo siguiente:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\neg \\alpha \\} \\vdash \\neg \\alpha <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y a partir de \u00e9sto armamos la demostraci\u00f3n en el otro sentido:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\neg\\neg \\neg \\alpha \\} \\vdash \\neg \\alpha <\/span><\/td>\n<td>; Lo que acabamos de Probar<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash(\\neg\\neg \\neg \\alpha\\rightarrow \\neg \\alpha) <\/span><\/td>\n<td>; TD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash((\\neg\\neg \\neg \\alpha\\rightarrow \\neg \\alpha) \\rightarrow(\\alpha \\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)) <\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash(\\alpha \\rightarrow\\neg\\neg\\alpha) <\/span><\/td>\n<td>; MP(2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash\\neg\\neg\\alpha <\/span><\/td>\n<td>; RTD(4)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">Por lo tanto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha \\} \\vdash \\neg\\neg \\alpha <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Finalmente, de estas dos demostraciones se tiene que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\alpha \\dashv\\vdash \\neg\\neg \\alpha <\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Equivalencia del Contrapositivo de la Implicancia (CpI)<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6f_aavuC4E0&amp;t=948s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Esto corresponde<\/span><\/strong><\/a> a la siguientes equivalencias<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta) \\dashv\\vdash (\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)<\/span>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n(\\neg\\alpha\\rightarrow\\beta)\\dashv\\vdash (\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)<\/span>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\rightarrow\\neg\\beta) \\dashv\\vdash (\\beta\\rightarrow\\neg\\alpha)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La demostraci\u00f3n de \u00e9sta primera relaci\u00f3n se hace de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De un lado, se obtiene directamente desde el tercer axioma<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash ((\\neg\\beta\\rightarrow \\neg\\alpha) \\rightarrow (\\alpha \\rightarrow\\beta))<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow \\neg\\alpha)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; RTD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">Por lo tanto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\neg\\beta\\rightarrow \\neg\\alpha)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y en el otro sentido, la demostraci\u00f3n se puede obtener desde el siguiente razonamiento:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg\\alpha \\dashv \\vdash \\alpha<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; TD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg\\beta \\dashv \\vdash \\beta<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg\\neg \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; TD(3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Pre<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; SH(5,6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\} \\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg\\neg \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\neg\\neg \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; SH(7,8)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(10)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\neg\\neg \\beta) \\rightarrow (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha )<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash ((\\neg\\neg \\alpha \\rightarrow \\neg\\neg \\beta) \\rightarrow (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha ))<\/span><\/td>\n<td>; Mon(10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha )<\/span><\/td>\n<td>; SH(10;11)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">Por lo tanto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por lo tanto, de los dos razonamientos anteriores se tiene que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (\\alpha \\rightarrow \\beta) \\dashv\\vdash (\\neg \\beta \\rightarrow \\neg \\alpha ) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Para demostrar la segunda podemos hacer los siguientes dos razonamientos:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta \\dashv\\vdash \\neg\\neg\\beta<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg\\neg\\alpha \\dashv\\vdash \\neg\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; TD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; TD(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Pre<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; SH(5,6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(9)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\beta)<\/span><\/td>\n<td>; SH(7,8)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(10)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\beta) \\rightarrow (\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(11)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash ((\\neg\\neg\\neg\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\beta) \\rightarrow (\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; Mon(10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(12)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash (\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; MP(9,11)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(13)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg\\neg \\alpha \\dashv \\vdash \\alpha<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(14)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\neg\\neg \\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; TD(13)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(15)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\} \\vdash (\\neg\\neg \\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(14)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(16)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\} \\vdash(\\neg\\beta \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; SH(12,15)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">Por lo tanto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)\\} \\vdash(\\neg\\beta \\rightarrow \\alpha) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ahora falta hacer la demostraci\u00f3n en el sentido inverso. Lo podemos hacer a trav\u00e9s del siguiente razonamiento:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha \\dashv \\vdash \\neg\\neg\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; DN<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; TD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Pre<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; Mon(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\neg\\beta\\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; SH(3,4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\neg\\beta\\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span><\/td>\n<td>; A3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(7)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash ((\\neg\\beta\\rightarrow\\neg\\neg\\alpha)\\rightarrow (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta)) <\/span><\/td>\n<td>; Mon(6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(8)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span><\/td>\n<td>; MP(5,7)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">Por lo tanto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{(\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha)\\}\\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Finalmente, de estos dos razonamientos se concluye que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (\\neg\\beta\\rightarrow\\alpha) \\dashv \\vdash (\\neg\\alpha \\rightarrow \\beta) <\/span>, que es lo que se quer\u00eda demostar.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La \u00faltima equivalencia quedar\u00e1 como ejercicio. Para demostrarla puedes guiarte con las dos demostraciones que ya he dado. Esta es la mejor formda que existe para dominar las t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Aprende 4 t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n imprescindibles Resumen:En esta clase se describen 4 t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n de la l\u00f3gica proposicional para enriquecer el c\u00e1lculo proposicional rudimentario que se ha presentado hasta ahora. 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