{"id":27107,"date":"2021-03-23T13:00:38","date_gmt":"2021-03-23T13:00:38","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=27107"},"modified":"2024-06-06T22:26:01","modified_gmt":"2024-06-06T22:26:01","slug":"fonctions-algebriques-de-nombres-reels","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/fonctions-algebriques-de-nombres-reels\/","title":{"rendered":"Fonctions Alg\u00e9briques de Nombres R\u00e9els"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px; text-align:center;\">\n<h1>Fonctions Alg\u00e9briques de Nombres R\u00e9els<\/h1>\n<p>    <em><strong>R\u00e9sum\u00e9 :<\/strong><br \/>\nDans cette classe, nous explorerons les fonctions alg\u00e9briques, leur d\u00e9finition, propri\u00e9t\u00e9s et applications. Ces fonctions sont fondamentales dans divers domaines des math\u00e9matiques et ont de nombreuses applications pratiques.<\/em><\/p>\n<p>    <strong>OBJECTIFS D&#8217;APPRENTISSAGE<\/strong><\/p>\n<p>\u00c0 la fin de cette classe, l&#8217;\u00e9tudiant sera capable de :<\/p>\n<p style=\"text-align:left;\">\n        1. D\u00e9finir et comprendre les fonctions alg\u00e9briques et leurs propri\u00e9t\u00e9s.<br \/>\n        2. Identifier le domaine et le parcours des fonctions alg\u00e9briques.<br \/>\n        3. Appliquer les fonctions alg\u00e9briques dans des contextes math\u00e9matiques et pratiques.\n    <\/p>\n<p>    <strong>TABLE DES MATI\u00c8RES :<\/strong><\/p>\n<p>\n        <a href=\"#1\"><strong>1. Introduction<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#2\"><strong>2. Qu&#8217;est-ce que les Fonctions Alg\u00e9briques ?<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#3\"><strong>3. Autres Types de Fonctions<\/strong><\/a>\n    <\/p>\n<p>    <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/dLHAQhMjuag\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>1. Introduction<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=173s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">L&#8217;\u00e9tude des fonctions alg\u00e9briques commence par l&#8217;introduction des variables :<\/span><\/strong><\/a> des symboles qui repr\u00e9sentent l&#8217;emplacement o\u00f9 un nombre peut aller. Traditionnellement, on utilise les lettres <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x, y, z<\/span> pour repr\u00e9senter des nombres r\u00e9els, dans d&#8217;autres contextes, le <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z<\/span> est pr\u00e9f\u00e9r\u00e9 pour les complexes. Il est \u00e9galement d&#8217;usage d&#8217;utiliser des indices lorsque les variables sont nombreuses. Ainsi, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1, x_2, \\cdots , x_n<\/span> sont aussi des exemples de variables.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Les fonctions alg\u00e9briques sont fondamentales dans divers domaines des math\u00e9matiques et leurs applications. Ces fonctions sont d\u00e9finies par des expressions alg\u00e9briques impliquant des op\u00e9rations de base comme l&#8217;addition, la soustraction, la multiplication, la division, les puissances et les racines de variables. Comprendre les fonctions alg\u00e9briques est essentiel pour l&#8217;\u00e9tude de nombreux domaines des math\u00e9matiques pures et appliqu\u00e9es, y compris l&#8217;alg\u00e8bre, le calcul, la g\u00e9om\u00e9trie et la th\u00e9orie des nombres. De plus, elles ont une importance cruciale en physique, en ing\u00e9nierie, en \u00e9conomie et en sciences sociales, car elles permettent de mod\u00e9liser et d&#8217;analyser des ph\u00e9nom\u00e8nes r\u00e9els de mani\u00e8re pr\u00e9cise et efficace.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Dans le domaine \u00e9ducatif, les fonctions alg\u00e9briques servent de base solide pour le d\u00e9veloppement de la pens\u00e9e abstraite et la r\u00e9solution de probl\u00e8mes. Gr\u00e2ce \u00e0 l&#8217;\u00e9tude de ces fonctions, les \u00e9tudiants apprennent \u00e0 manipuler des expressions alg\u00e9briques et \u00e0 comprendre les relations entre les variables, ce qui est fondamental pour progresser dans des math\u00e9matiques plus complexes.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Dans la vie quotidienne, les fonctions alg\u00e9briques sont utilis\u00e9es dans une vari\u00e9t\u00e9 de contextes pratiques. Par exemple, elles sont appliqu\u00e9es dans la gestion financi\u00e8re pour calculer les int\u00e9r\u00eats et les amortissements, en informatique pour d\u00e9velopper des algorithmes et en ing\u00e9nierie pour concevoir des structures et des syst\u00e8mes. Les fonctions alg\u00e9briques sont \u00e9galement essentielles dans l&#8217;analyse de donn\u00e9es et la mod\u00e9lisation statistique, aidant \u00e0 interpr\u00e9ter et \u00e0 pr\u00e9dire les comportements bas\u00e9s sur les donn\u00e9es observ\u00e9es.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    En r\u00e9sum\u00e9, l&#8217;\u00e9tude des fonctions alg\u00e9briques est non seulement une pierre angulaire des math\u00e9matiques, mais elle a aussi un large \u00e9ventail d&#8217;applications pratiques qui soulignent sa pertinence et son utilit\u00e9 dans le monde moderne. Avec une compr\u00e9hension solide de ces fonctions, on peut aborder des probl\u00e8mes complexes et d\u00e9velopper des solutions innovantes dans divers domaines.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>2. Qu&#8217;est-ce que les Fonctions Alg\u00e9briques ?<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=242s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Les fonctions alg\u00e9briques sont un type sp\u00e9cial de fonction.<\/span><\/strong><\/a> Une fonction est une loi de correspondance entre deux ensembles que nous repr\u00e9sentons par l&#8217;\u00e9criture :<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f: A\\longmapsto B<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">O\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> est l&#8217;ensemble des entr\u00e9es et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> est l&#8217;ensemble des sorties.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Toute fonction <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> a, en outre, un <strong>domaine<\/strong> (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(f)<\/span>) et un <strong>ensemble d&#8217;images<\/strong> (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Rec(f)<\/span>). Le domaine est l&#8217;ensemble de toutes les valeurs d&#8217;entr\u00e9e pour lesquelles la fonction produit un r\u00e9sultat valide, et l&#8217;ensemble d&#8217;images est l&#8217;ensemble de toutes les sorties possibles de la fonction. L&#8217;ensemble d&#8217;images est aussi appel\u00e9 <strong>image<\/strong>, et le domaine <strong>pr\u00e9image<\/strong>. Lors de la d\u00e9finition d&#8217;une fonction, il est parfois courant de l&#8217;\u00e9crire de l&#8217;une des deux mani\u00e8res suivantes :<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f: Dom(f)\\subseteq A\\longmapsto Rec(f)\\subseteq B<\/span>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f: Dom(f)\\ \\longmapsto Rec(f)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Ainsi, les fonctions alg\u00e9briques sont celles qui s&#8217;\u00e9crivent en termes des <strong>op\u00e9rations alg\u00e9briques<\/strong> de leurs variables, telles que l&#8217;addition, la soustraction, la multiplication, la division, la puissance et la racine principale. Il est \u00e9galement dit qu&#8217;une fonction est de variable r\u00e9elle si l&#8217;on s&#8217;attend \u00e0 ce que ses variables soient remplac\u00e9es par des nombres r\u00e9els, de variable complexe si l&#8217;on s&#8217;attend \u00e0 ce qu&#8217;elles soient remplac\u00e9es par des nombres complexes, et ainsi de suite avec tout autre ensemble num\u00e9rique. On parle aussi de fonctions \u00e0 une, deux, trois ou plusieurs variables, selon qu&#8217;elles ont une, deux, trois ou de nombreuses variables.\n<\/p>\n<h3>2.1. Exemples de Fonctions Alg\u00e9briques<\/h3>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>\n        <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=349s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Consid\u00e9rons la fonction suivante<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n            <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{matrix}\n\n            f : &amp; \\mathbb{R} &amp; \\longrightarrow &amp; \\mathbb{R} \\\\\n\n            &amp; x &amp; \\longmapsto &amp; f(x) =x^3 + 5x + \\displaystyle \\frac{6}{\\sqrt{x}} \\\\\n\n            \\end{matrix}\n\n            <\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n            C&#8217;est une fonction alg\u00e9brique d&#8217;une variable r\u00e9elle. Ici, nous pouvons voir directement que\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n            <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(f) = \\{x\\in\\mathbb{R}\\;|\\; x\\gt 0\\} = ]0, +\\infty[ <\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n            Cela est d\u00fb au fait qu&#8217;il n&#8217;y a pas de divisions par z\u00e9ro et que la racine principale n&#8217;est bien d\u00e9finie que pour les nombres r\u00e9els positifs.\n        <\/p>\n<\/li>\n<li>\n        <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=707s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Examinons maintenant la fonction suivante<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n            <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{matrix}\n\n            f : &amp; \\mathbb{R}^2 &amp; \\longrightarrow &amp; \\mathbb{R} \\\\\n\n            &amp; (x,y) &amp; \\longmapsto &amp; f(x,y) =\\displaystyle \\frac{2xy + \\frac{3}{x^2}}{\\sqrt[3]{y-1}} \\\\\n\n            \\end{matrix}\n\n            <\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n            C&#8217;est une fonction de deux variables r\u00e9elles qui donne comme r\u00e9sultat un nombre r\u00e9el. Cela est \u00e9galement connu sous le nom de <strong>champ scalaire.<\/strong> Ce type de fonctions d\u00e9passe \u00e9galement la port\u00e9e de ce cours, mais elles sont tr\u00e8s utiles en physique pour d\u00e9crire des magnitudes telles que la temp\u00e9rature ou les distributions de densit\u00e9. Le domaine de cette fonction peut \u00e9galement \u00eatre vu \u00ab\u00e0 l&#8217;\u0153il nu\u00bb.\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n            <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(f) = \\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2\\;|\\; x \\neq 0 \\wedge y\\neq 1 \\}<\/span>\n        <\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h3>2.2. Commentaires sur le Graphique et le Parcours<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    D\u00e9terminer le parcours est g\u00e9n\u00e9ralement compliqu\u00e9. Nous verrons plus tard des techniques qui nous permettront de le faire facilement, m\u00eame dans des cas o\u00f9 cela semble impossible \u00e0 r\u00e9aliser alg\u00e9briquement. Cependant, m\u00eame avec ces m\u00e9thodes, des probl\u00e8mes subsisteront car parfois des techniques allant au-del\u00e0 de la port\u00e9e de ce cours sont n\u00e9cessaires, comme le calcul des points critiques pour l&#8217;identification des maxima et des minima en <strong>calcul diff\u00e9rentiel.<\/strong> Cependant, m\u00eame sans le calcul, il y a beaucoup \u00e0 faire, et ces choses seront vues en temps voulu.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Si n\u00e9anmoins vous \u00eates int\u00e9ress\u00e9 \u00e0 conna\u00eetre le parcours et le graphique de ces fonctions, vous pouvez toujours consulter Wolfram Alpha. Allez sur <a href=\"https:\/\/www.wolframalpha.com\/\" rel=\"noopener, nofollow noopener\" target=\"_blank\">https:\/\/www.wolframalpha.com\/<\/a> et essayez de copier et coller ceci :<\/p>\n<p>    <code>x^3 + 5x + \\dfrac{6}{\\sqrt{x}}<\/code><\/p>\n<p>pour avoir une id\u00e9e de ce \u00e0 quoi ressemblerait le premier exemple. Pour le second, copiez et collez ceci :<\/p>\n<p>    <code>\\dfrac{2xy + \\dfrac{3}{x^2}}{\\sqrt[3]{y-1}}<\/code>\n<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>3. Autres Types de Fonctions<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=1041s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Les fonctions que nous \u00e9tudions dans ce cours peuvent \u00eatre divis\u00e9es en deux types :<\/span><\/strong><\/a> Fonctions Alg\u00e9briques et Fonctions Transcendantales. Les alg\u00e9briques, comme nous l&#8217;avons vu, sont celles qui s&#8217;\u00e9crivent en termes des op\u00e9rations fondamentales, tandis que les fonctions transcendantes ne peuvent pas \u00eatre \u00e9crites de cette mani\u00e8re ou n\u00e9cessitent des expressions compos\u00e9es d&#8217;un nombre infini d&#8217;op\u00e9rations. \u00c0 leur tour, les fonctions alg\u00e9briques peuvent \u00eatre divis\u00e9es en deux types : les polynomiales et les non-polynomiales. Une fonction polynomiale est toute fonction qui peut \u00eatre \u00e9crite comme une somme ou une diff\u00e9rence de puissances. Quelque chose de la forme suivante :\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(x) = \\sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \\cdots + a_n x^n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Toute fonction qui n&#8217;est pas de cette forme est non-polynomiale. Parmi les fonctions non-polynomiales, on distingue particuli\u00e8rement les fonctions rationnelles, qui sont celles qui peuvent \u00eatre \u00e9crites comme le quotient de deux fonctions polynomiales.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Fonctions Alg\u00e9briques de Nombres R\u00e9els R\u00e9sum\u00e9 : Dans cette classe, nous explorerons les fonctions alg\u00e9briques, leur d\u00e9finition, propri\u00e9t\u00e9s et applications. Ces fonctions sont fondamentales dans divers domaines des math\u00e9matiques et ont de nombreuses applications pratiques. OBJECTIFS D&#8217;APPRENTISSAGE \u00c0 la fin de cette classe, l&#8217;\u00e9tudiant sera capable de : 1. 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