{"id":26795,"date":"2021-06-13T13:00:29","date_gmt":"2021-06-13T13:00:29","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26795"},"modified":"2024-05-22T03:35:56","modified_gmt":"2024-05-22T03:35:56","slug":"variaveis-aleatorias-e-distribuicoes-de-probabilidades","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/variaveis-aleatorias-e-distribuicoes-de-probabilidades\/","title":{"rendered":"Vari\u00e1veis Aleat\u00f3rias e Distribui\u00e7\u00f5es de Probabilidades"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Vari\u00e1veis Aleat\u00f3rias e Distribui\u00e7\u00f5es de Probabilidades<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumo<\/strong><br \/><em>Esta aula proporciona uma imers\u00e3o profunda nos conceitos de vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade, pilares fundamentais da teoria das probabilidades e da an\u00e1lise estat\u00edstica. A defini\u00e7\u00e3o de uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria como um n\u00famero que depende do resultado de um experimento aleat\u00f3rio \u00e9 introduzida. A fun\u00e7\u00e3o de distribui\u00e7\u00e3o de uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria \u00e9 abordada, destacando sua import\u00e2ncia e suas propriedades essenciais. Finalmente, a rela\u00e7\u00e3o entre vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade \u00e9 analisada, explicando que duas vari\u00e1veis podem ter a mesma distribui\u00e7\u00e3o sem serem a mesma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:<\/strong><br \/>\nAo finalizar esta aula, o estudante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Compreender<\/strong> o conceito de vari\u00e1veis aleat\u00f3rias: Os estudantes devem ser capazes de descrever e explicar o que s\u00e3o as vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e como s\u00e3o definidas matematicamente.<\/li>\n<li><strong>Compreender<\/strong> o conceito de distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade: Os estudantes devem ser capazes de explicar o que s\u00e3o as distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade e como s\u00e3o representadas.<\/li>\n<li><strong>Descrever<\/strong> as propriedades das distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade: Os estudantes devem ser capazes de reconhecer e explicar as propriedades chave das distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade.<\/li>\n<li><strong>Analisar<\/strong> a rela\u00e7\u00e3o entre vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade: Os estudantes devem ser capazes de discutir como as vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e as distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade est\u00e3o inter-relacionadas, e como duas vari\u00e1veis podem ter a mesma distribui\u00e7\u00e3o sem serem a mesma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria.<\/li>\n<li><strong>Demonstrar<\/strong> e aplicar as propriedades das distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade em situa\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas: Os estudantes devem ser capazes de demonstrar matematicamente as propriedades das distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade e aplicar essas propriedades em situa\u00e7\u00f5es reais.<\/li>\n<li><strong>Compreender<\/strong> o conceito de fun\u00e7\u00f5es de distribui\u00e7\u00e3o: Os estudantes devem ser capazes de descrever o que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o de distribui\u00e7\u00e3o e como \u00e9 usada para descrever uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>\u00cdNDICE DE CONTE\u00daDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>O que s\u00e3o vari\u00e1veis aleat\u00f3rias?<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>O que s\u00e3o distribui\u00e7\u00f5es de probabilidades?<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Propriedades das distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Rela\u00e7\u00e3o entre vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e distribui\u00e7\u00f5es de probabilidades<\/a><br \/>\n<\/center><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/gIKn9t1hnrw\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Um dos conceitos chave da teoria das probabilidades e da an\u00e1lise estat\u00edstica s\u00e3o os de vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e de distribui\u00e7\u00f5es de probabilidades. Embora a teoria que desenvolvemos at\u00e9 agora seja em certo sentido \u00abcompleta\u00bb, a verdade \u00e9 que no estado atual \u00e9 bastante rudimentar; as vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e as distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade s\u00e3o, por assim dizer, conceitos que nos permitem \u00ablubrificar nossa capacidade de trabalhar com probabilidades e fazer an\u00e1lise estat\u00edstica\u00bb.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>O que s\u00e3o vari\u00e1veis aleat\u00f3rias?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para nos familiarizarmos com o conceito de vari\u00e1vel aleat\u00f3ria<\/span><\/strong>, \u00e9 \u00fatil come\u00e7ar com uma abordagem intuitiva: pode-se interpretar uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria como \u00abum n\u00famero que depende do resultado de um experimento aleat\u00f3rio\u00bb. No entanto, para uma compreens\u00e3o mais precisa, \u00e9 essencial tamb\u00e9m explorar sua defini\u00e7\u00e3o formal. Vamos ver esta defini\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000080;\"><strong>Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/span> Uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria sobre um conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{X}<\/span><\/span> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f:\\Omega \\longmapsto \\mathcal{X}<\/span><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">O caso mais comum \u00e9 quando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{X}= \\mathbb{R},<\/span><\/span> e, a menos que se especifique o contr\u00e1rio, \u00e9 o que assumiremos a partir de agora; ou seja, trabalharemos com vari\u00e1veis aleat\u00f3rias com valores reais. Geralmente, as vari\u00e1veis aleat\u00f3rias s\u00e3o denotadas por letras mai\u00fasculas, como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X,Y,Z, \\cdots,<\/span><\/span>, enquanto as constantes s\u00e3o denotadas por letras min\u00fasculas. Para simplificar, nos referiremos \u00e0s vari\u00e1veis aleat\u00f3rias simplesmente como \u00abvari\u00e1veis\u00bb.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000000;\"><strong>Exemplo:<\/strong><\/span> Suponhamos que um dado de 6 faces seja lan\u00e7ado duas vezes. Ent\u00e3o teremos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{2d6} = \\{(\\omega_1, \\omega_2)\\;|\\; \\omega_1,\\omega_2 \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir disso, podemos definir as seguintes vari\u00e1veis aleat\u00f3rias:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X=<\/span><\/span> \u00abO n\u00famero de vezes que sai um\u00bb<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y=<\/span><\/span> \u00abA soma dos resultados obtidos\u00bb <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">=\\omega_1 + \\omega_2<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Z=<\/span><\/span> \u00abO resultado do segundo lan\u00e7amento\u00bb <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">= \\omega_2<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>O que s\u00e3o distribui\u00e7\u00f5es de probabilidades?<\/h2>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000080;\"><strong>Defini\u00e7\u00e3o: <\/strong><\/span><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Uma fun\u00e7\u00e3o de distribui\u00e7\u00e3o (ou \u00abFD\u00bb)<\/span><\/strong> de uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X: \\mathbb{R} \\longmapsto \\mathbb{R}<\/span><\/span> definida pela rela\u00e7\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X(x) = P(\\{\\omega \\;|\\; X(\\omega)\\leq x\\}),<\/span><\/span> ou de forma mais abreviada: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X\\leq x).<\/span><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Geralmente, o que interessa em uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria n\u00e3o \u00e9 tanto sua express\u00e3o expl\u00edcita em um espa\u00e7o amostral <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span><\/span>, mas sua fun\u00e7\u00e3o de distribui\u00e7\u00e3o. O subscrito <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> em <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X<\/span><\/span> pode ser omitido se o contexto for claro e n\u00e3o houver ambiguidade. \u00c9 comum usar a nota\u00e7\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim F<\/span><\/span> para indicar que a vari\u00e1vel aleat\u00f3ria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tem uma fun\u00e7\u00e3o de distribui\u00e7\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F.<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Propriedades das distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=gIKn9t1hnrw&amp;t=806s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Se <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> \u00e9 uma distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades<\/span><\/strong><\/a> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b<\/span><\/span> s\u00e3o quaisquer n\u00fameros reais, ent\u00e3o as seguintes propriedades ser\u00e3o cumpridas:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(a) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b \\longrightarrow [P(a\\lt X \\leq b) = F(b) - F(a)]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(b) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b \\longrightarrow F(a) \\leq F(b),<\/span><\/span> ou seja, \u00abF \u00e9 crescente\u00bb.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(c) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty} F(x) = 1<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to -\\infty} F(x) = 0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(d) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(X=x)=\\lim_{t\\to x^+}F(t) - \\lim_{t\\to x^-}F(t)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(e) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle F(x)=\\lim_{t\\to x^+}F(t)<\/span><\/span><\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\"><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e00d3ddc041\"  tabindex=\"0\" title=\"DEMONSTRA\u00c7\u00c3O\"    >DEMONSTRA\u00c7\u00c3O<\/span><div id=\"target-id69e00d3ddc041\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(a)<\/strong> Sejam <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> os eventos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{X\\leq a\\}<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{X\\leq b\\}<\/span><\/span> respectivamente, com <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b.<\/span><\/span> Se tudo isso acontece, ent\u00e3o teremos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\subseteq B<\/span><\/span> e, portanto, ocorrer\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{P(a\\lt X\\leq b)} = P(B\\setminus A) = P(B) - P(B\\cap A) = P(B)-P(A) =\\color{blue}{F(b) - F(a)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(b)<\/strong> Da parte (a) temos que: Como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B\\setminus A)\\geq 0,<\/span><\/span> temos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(b) - F(a) \\geq 0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">o que \u00e9 o mesmo que dizer<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(a) \\leq F(b)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(c)<\/strong> Aqui usaremos o fato de que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> \u00e9 mon\u00f3tono crescente (provado em (b)) e limitado com valor m\u00e1ximo igual a \u00ab1\u00bb (porque a distribui\u00e7\u00e3o \u00e9 definida em termos de probabilidade). S\u00f3 isso j\u00e1 \u00e9 suficiente para dizer que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty} F(x) = 1<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Uma abordagem complementar nos permite fazer os seguintes c\u00e1lculos com o mesmo resultado.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Definimos o conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A_n=\\{\\omega\\;|\\;X(\\omega)\\leq n\\}.<\/span><\/span> A partir disso, \u00e9 f\u00e1cil verificar que, para qualquer <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> teremos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A_{n}\\subseteq A_{n+1},<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\bigcup_{n\\lt +\\infty} A_n = \\Omega<\/span><\/span> e, portanto, usando a propriedade de <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/teoremas-uteis-para-o-calculo-de-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">continuidade<\/a> teremos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle 1=P(\\Omega) = P\\left( \\bigcup_{n\\lt +\\infty} A_n \\right) = \\lim_{n\\to +\\infty} P(A_n) = \\lim_{n\\to +\\infty} P(\\{\\omega\\;|\\;X(\\omega)\\leq n\\}) = \\lim_{n\\to +\\infty} P(X\\leq n)=\\lim_{n\\to +\\infty}F(n)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ou seja:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\lim_{x\\to +\\infty} F(x) = 1}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por outro lado, para o limite em que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to -\\infty<\/span><\/span>, temos o seguinte:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Primeiro, definimos o conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_n=\\{\\omega\\;|\\;-n\\lt X(\\omega)\\}.<\/span><\/span> A partir disso, verifica-se que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{n \\to -\\infty}F(n) = \\lim_{n\\to -\\infty} P(X\\leq n) = \\lim_{n\\to \\infty} P(X\\leq -n)= 1 - \\lim_{n\\to \\infty} P(-n \\lt X) = 1 - \\lim_{n\\to \\infty}P(B_n)) = 1 - P(\\Omega) = 1-1=0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(d)<\/strong> A raz\u00e3o \u00e9 semelhante \u00e0 parte (c). Come\u00e7amos definindo o conjunto<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle C_n = \\left\\{x - \\frac{1}{n} \\leq X \\leq x + \\frac{1}{n}\\right\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">E a partir disso, temos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> C_{n+1}\\subseteq C_n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcap_{n\\gt 0} C_n = \\{X=x\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Portanto, usando <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/teoremas-uteis-para-o-calculo-de-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">um resultado da propriedade de continuidade<\/a>, temos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(X=x)=P\\left(\\bigcap_{n\\gt 0} C_n \\right) = \\lim_{n\\to \\infty} P(C_n) = \\lim_{x+1\/n \\to x^+}F\\left(x+1\/n\\right) - \\lim_{x-1\/n \\to x^-}F\\left(x-1\/n\\right)= \\lim_{t \\to x^+}F\\left(t\\right) - \\lim_{t \\to x^-}F\\left(t\\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(e)<\/strong> Este \u00faltimo caso \u00e9 obtido a partir do resultado anterior. De fato, uma vez que j\u00e1 provamos<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(X=x)= \\lim_{t \\to x^+}F\\left(t\\right) - \\lim_{t \\to x^-}F\\left(t\\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Podemos escrever<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{t \\to x^+}F\\left(t\\right) = P(X=x) + \\lim_{t \\to x^-}F\\left(t\\right) = P(X=x) + \\lim_{t\\to x^-}P(X\\leq t)= P(X\\leq x) = F(x)<\/span><\/span><\/p>\n<\/div><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Rela\u00e7\u00e3o entre vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e distribui\u00e7\u00f5es de probabilidades<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Diz-se que duas vari\u00e1veis <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y<\/span><\/span> t\u00eam a mesma distribui\u00e7\u00e3o de probabilidade se <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall A\\subseteq \\mathbb{R})(P(X\\in A) = P(Y\\in A)).<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Duas vari\u00e1veis <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y<\/span><\/span> definidas no mesmo espa\u00e7o amostral <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span><\/span> podem ter a mesma distribui\u00e7\u00e3o, mas n\u00e3o por isso serem necessariamente a mesma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria. Por exemplo, se considerarmos o experimento de lan\u00e7ar uma moeda equilibrada de duas faces e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X=1<\/span><\/span> corresponder a cara e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X=0<\/span><\/span> corresponder a coroa, podemos definir a vari\u00e1vel aleat\u00f3ria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y=1-X<\/span><\/span> e teremos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X=1) = P(Y=1)=0.5,<\/span><\/span> e que ambas t\u00eam a mesma distribui\u00e7\u00e3o, mas se calcularmos a probabilidade de que ambas tenham o mesmo valor teremos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X=Y)=0<\/span><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Vari\u00e1veis Aleat\u00f3rias e Distribui\u00e7\u00f5es de Probabilidades ResumoEsta aula proporciona uma imers\u00e3o profunda nos conceitos de vari\u00e1veis aleat\u00f3rias e distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade, pilares fundamentais da teoria das probabilidades e da an\u00e1lise estat\u00edstica. 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