{"id":26771,"date":"2021-05-27T13:00:16","date_gmt":"2021-05-27T13:00:16","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26771"},"modified":"2024-05-22T01:39:59","modified_gmt":"2024-05-22T01:39:59","slug":"processo-de-poisson-aproximacao-do-processo-binomial","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/processo-de-poisson-aproximacao-do-processo-binomial\/","title":{"rendered":"Processo de Poisson: Aproxima\u00e7\u00e3o do Processo Binomial"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Processo de Poisson: Aproxima\u00e7\u00e3o do Processo Binomial<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumo<\/strong><br \/><em>Esta aula foca no Processo de Poisson como uma aproxima\u00e7\u00e3o ao Processo Binomial, come\u00e7ando com a defini\u00e7\u00e3o dos coeficientes e a distribui\u00e7\u00e3o de Poisson, que \u00e9 derivada de um evento de Bernoulli com um grande n\u00famero de tentativas e uma probabilidade individual muito pequena. A parte central desta aula aborda os processos aproximados de Poisson, tanto espaciais quanto temporais, utilizando exemplos de part\u00edculas min\u00fasculas em um l\u00edquido e a emiss\u00e3o de part\u00edculas por uma subst\u00e2ncia radioativa, respectivamente. Finalmente, conclui com exemplos pr\u00e1ticos da aplica\u00e7\u00e3o da distribui\u00e7\u00e3o de Poisson em diferentes contextos, como o atendimento ao cliente em um supermercado e a densidade populacional em uma localidade.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZADO:<\/strong><br \/>\nAo finalizar esta aula, o estudante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Compreender<\/strong> a defini\u00e7\u00e3o e os coeficientes da distribui\u00e7\u00e3o de Poisson.<\/li>\n<li><strong>Compreender<\/strong> o processo de Poisson como uma aproxima\u00e7\u00e3o ao processo binomial.<\/li>\n<li><strong>Compreender<\/strong> a equival\u00eancia formal entre os processos espaciais e temporais de Poisson.<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> a distribui\u00e7\u00e3o de Poisson para resolver problemas pr\u00e1ticos.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>\u00cdNDICE DE CONTE\u00daDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Os Coeficientes e a Distribui\u00e7\u00e3o de Poisson<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Processos aproximados de Poisson<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Processo Espacial de Poisson<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Processo Temporal de Poisson<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Temporal e Espacial<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Exemplos pr\u00e1ticos onde se usa a distribui\u00e7\u00e3o de Poisson<\/a><br \/>\n<\/center><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mQ0j3FE8p2U\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Os Coeficientes e a Distribui\u00e7\u00e3o de Poisson<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=154s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Agora consideremos uma aproxima\u00e7\u00e3o<\/span><\/strong><\/a> para a <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/el-ensayo-de-bernoulli-para-n-intentos-independientes\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">distribui\u00e7\u00e3o binomial<\/a>, na qual se considera um n\u00famero de tentativas <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> muito grande e todos com uma probabilidade individual <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p<\/span><\/span> muito pequena. Quando fazemos isso, passamos do t\u00edpico processo Binomial a um Processo de Poisson. Para visualizar isso, imaginemos uma sucess\u00e3o da forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{Bi(n;k;p_n)\\}_n,<\/span><\/span> onde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\to\\infty<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p_n<\/span><\/span> satisfaz a rela\u00e7\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">np_n=\\lambda \\gt 0<\/span><\/span>. A partir disso, veremos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}P\\left(Bi(n;k;P_n) \\right) = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Isso na verdade n\u00e3o \u00e9 dif\u00edcil de demonstrar, se tomarmos a probabilidade de um evento de Bernoulli <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Bi(n;k;p_n)<\/span><\/span> e a multiplicarmos e dividirmos por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n^k<\/span><\/span>, obtemos o seguinte racioc\u00ednio:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B(n;k;p_n))<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle={{n}\\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}<\/span><span style=\"color: #f00000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cdot \\displaystyle \\frac{n^k}{n^k}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle=\\frac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k} \\cdot \\frac{n^k}{n^k}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle=\\frac{n(n-1)\\cdots[n-(k-1)]}{n^k} \\cdot \\frac{(np_n)^k}{k!} (1-p_n)^{-k}(1-p_n)^n<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De modo que se calculamos o limite quando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\to\\infty<\/span><\/span>, teremos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><br \/>\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}\n\n\\displaystyle \\lim_{n\\to\\infty} {{n}\\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &amp;= \\lim_{n\\to\\infty} \\underbrace{\\frac{n(n-1)\\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\\to 1} \\cdot \\frac{\\overbrace{(np_n)^k}^{\\to\\lambda^k}}{k!} \\overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\\to 1} {(1-p_n)^n} \\\\ \\\\\n\n&amp;\\displaystyle = \\frac{\\lambda^k}{k!} \\lim_{n\\to\\infty}\\left(1 - \\frac{\\lambda}{n} \\right)^n \\\\ \\\\\n\n&amp; \\displaystyle = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir disso, os coeficientes de Poisson, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Po(k;\\lambda)<\/span><\/span>, s\u00e3o definidos atrav\u00e9s de<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle Po(k;\\lambda) := \\lim_{n\\to\\infty} {{n}\\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">E diz-se que uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tem distribui\u00e7\u00e3o de Poisson, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Po(k,\\lambda),<\/span><\/span> se satisfizer que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(X=k) = Po(k;\\lambda) <\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Processos aproximados de Poisson<\/h2>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Processo Espacial de Poisson<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=665s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Suponhamos que temos um recipiente de volume<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span><\/span> com um l\u00edquido onde se encontram <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> part\u00edculas min\u00fasculas uniformemente misturadas. Aqui assumimos que o l\u00edquido est\u00e1 bem batido e que as part\u00edculas n\u00e3o interagem entre si, n\u00e3o se atraem nem se repelem. Estas s\u00e3o suposi\u00e7\u00f5es que podem ser formalizadas atrav\u00e9s das seguintes afirma\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><strong>Hip\u00f3tese de Homogeneidade Espacial:<\/strong> A probabilidade de encontrar uma part\u00edcula em uma regi\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> do l\u00edquido depende unicamente do volume de tal regi\u00e3o.<\/li>\n<li><strong>N\u00e3o-Intera\u00e7\u00e3o:<\/strong> Os eventos \u00aba j-\u00e9sima part\u00edcula est\u00e1 na regi\u00e3o D\u00bb, com j=1,2,&#8230;,n s\u00e3o todos n-independentes.<\/li>\n<li><strong>N\u00e3o-Sobreposi\u00e7\u00e3o:<\/strong> Duas part\u00edculas n\u00e3o podem ocupar o mesmo lugar no espa\u00e7o.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Se nos damos uma regi\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> com um volume <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span><\/span>, a probabilidade do evento \u00abem <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> h\u00e1 <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> part\u00edculas\u00bb depende exclusivamente de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span><\/span>; chamemos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(v)<\/span><\/span> a tal evento. Seja <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h(v)<\/span><\/span> a probabilidade de que a part\u00edcula esteja no interior de uma regi\u00e3o de volume <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v.<\/span><\/span> Se <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_2<\/span><\/span> s\u00e3o duas regi\u00f5es disjuntas de volume <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_1<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_2<\/span><\/span> respectivamente, ent\u00e3o teremos que se <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D=D_1\\cup D_2,<\/span><\/span> tem volume <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v,<\/span><\/span> ent\u00e3o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v=v_1+v_2.<\/span><\/span> E como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_2<\/span><\/span> s\u00e3o disjuntos (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1\\cap D_2 = \\emptyset <\/span><\/span>), teremos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(v) = h(v_1) + h(v_2) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Se <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span><\/span> \u00e9 o volume do l\u00edquido completo, ent\u00e3o teremos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(V) = 1 <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">E consequentemente:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(v) =\\displaystyle \\frac{v}{V} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Daqui temos que o evento <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(v)<\/span><\/span> \u00e9 na verdade um evento de tipo Bernoulli com <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p=v\/V<\/span><\/span> e est\u00e1 dado por:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> g_k(v) =B(n;k;p=v\/V) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">No entanto, a maioria das situa\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas deste estilo envolve um grande n\u00famero de part\u00edculas <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> e as regi\u00f5es consideradas tendem a ser pequenas em rela\u00e7\u00e3o ao tamanho do sistema, de modo que se cumprem as condi\u00e7\u00f5es para aplicar a aproxima\u00e7\u00e3o de Poisson e temos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(g_k(v)) = \\lim_{\\begin{matrix}n\\to\\infty\\\\ v\/V=c \\end{matrix}}P(B(n;k;p=v\/V)) =\\displaystyle \\frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Processo Temporal de Poisson<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=944s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Suponhamos que estamos registrando a quantidade<\/span><\/strong><\/a> de part\u00edculas emitidas por uma subst\u00e2ncia radioativa a partir do instante t=0 e, a partir disso, calcularemos a probabilidade de que no intervalo [0,t[ sejam emitidas exatamente k part\u00edculas sob os seguintes pressupostos:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><strong>Invari\u00e2ncia:<\/strong> As condi\u00e7\u00f5es do experimento n\u00e3o mudam no tempo.<\/li>\n<li><strong>N\u00e3o-Mem\u00f3ria:<\/strong> O que aconteceu em [0,t[ n\u00e3o afeta o que ocorre em [t,t'[.<\/li>\n<li><strong>Eventos Isolados:<\/strong> As part\u00edculas s\u00e3o emitidas uma de cada vez.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Se compararmos os pressupostos do processo temporal com os do processo espacial, perceberemos que s\u00e3o formalmente equivalentes. Assim como a probabilidade de encontrar uma part\u00edcula em uma regi\u00e3o n\u00e3o depende do local de onde se escolhe a regi\u00e3o, mas apenas do tamanho, a probabilidade de observar a emiss\u00e3o de uma part\u00edcula n\u00e3o depende do momento escolhido para medir, mas apenas do intervalo de observa\u00e7\u00e3o. A n\u00e3o-mem\u00f3ria \u00e9 an\u00e1loga \u00e0 n\u00e3o-intera\u00e7\u00e3o dos processos espaciais: o que ocorreu em outro momento n\u00e3o afeta o que ocorre nos demais instantes. E finalmente, os eventos isolados implicam que em um instante de tempo s\u00f3 pode ser emitida uma part\u00edcula, de forma an\u00e1loga a como um lugar no espa\u00e7o s\u00f3 pode ser ocupado por um corpo de cada vez.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Assim, se definirmos o evento \u00abs\u00e3o emitidas k part\u00edculas em um intervalo de tempo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t<\/span><\/span>,\u00bb sua probabilidade de ocorrer ser\u00e1 um evento da forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(t)<\/span><\/span>, ou seja:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(g_k(t)) =\\displaystyle \\frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Temporal e Espacial<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=1102s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ambos os processos, espacial e temporal, s\u00e3o formalmente equivalentes.<\/span><\/strong><\/a> Apenas variam na forma como s\u00e3o interpretados para fins pr\u00e1ticos. Uma forma r\u00e1pida de tornar essa distin\u00e7\u00e3o mais clara \u00e9 observando o papel que cumpre a constante \u00abc\u00bb que aparece em ambos os casos. Para que a fun\u00e7\u00e3o exponencial esteja bem definida, \u00e9 necess\u00e1rio que seu argumento seja adimensional; no entanto, esta cont\u00e9m em seu conte\u00fado unidades de tempo ou de espa\u00e7o segundo se tratamos com processos temporais ou espaciais. Este problema \u00e9 resolvido justamente pela constante c. Temos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Po(k;\\lambda)=\\displaystyle \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}=\\left\\{\\begin{matrix} {Tomando\\,\\lambda = \\rho v } &amp; \\longmapsto &amp;\\displaystyle \\frac{(\\rho v)^k}{k!}e^{-\\rho v} &amp; {Processo\\,Espacial} \\\\ {Tomando\\,\\lambda = \\nu t } &amp; \\longmapsto &amp;\\displaystyle \\frac{(\\nu t)^k}{k!}e^{-\\nu t} &amp; {Processo\\,Temporal} \\end{matrix} \\right.<\/span><\/span><\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Se <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c=\\rho<\/span><\/span>, trata-se de uma densidade espacial (n\u00famero de coisas por unidade de espa\u00e7o), portanto define um processo espacial de Poisson.<\/li>\n<li>Se <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c=\\nu<\/span><\/span>, trata-se de uma densidade temporal (ou frequ\u00eancia, quantidade de ocorr\u00eancias por unidade de tempo), portanto, define um processo temporal de Poisson.<\/li>\n<\/ul>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/8qvHRoEckSc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"6\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Exemplos pr\u00e1ticos onde se usa a distribui\u00e7\u00e3o de Poisson<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>O caixa de um supermercado atende em m\u00e9dia 2 clientes a cada 9 minutos. Elabore uma tabela onde mostre as probabilidades de que atenda entre 1, 2, 3, e assim por diante, at\u00e9 5 pessoas em um espa\u00e7o de tempo de 5 minutos.<\/li>\n<li>Uma cl\u00ednica veterin\u00e1ria tem a capacidade para atender no m\u00e1ximo 12 clientes por dia. Se em m\u00e9dia recebem 9 clientes por dia, qual \u00e9 a probabilidade de que em um dia qualquer a capacidade de atendimento da cl\u00ednica seja ultrapassada?<\/li>\n<li>Certa localidade tem uma densidade populacional de 10 pessoas por cada 1000 metros quadrados. Qual \u00e9 a probabilidade de que em um local de 60 metros quadrados encontremos menos de 15 pessoas?<\/li>\n<li>Uma galinha quer atravessar a rua. Caminhando em linha reta, leva 58 segundos. Se a rua tem um tr\u00e1fego veicular de 3 ve\u00edculos por minuto, e se um ve\u00edculo passar enquanto a galinha tenta atravessar, com toda certeza ser\u00e1 atropelada com resultados fatais. Qual \u00e9 a probabilidade de que a galinha chegue viva do outro lado?<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Processo de Poisson: Aproxima\u00e7\u00e3o do Processo Binomial ResumoEsta aula foca no Processo de Poisson como uma aproxima\u00e7\u00e3o ao Processo Binomial, come\u00e7ando com a defini\u00e7\u00e3o dos coeficientes e a distribui\u00e7\u00e3o de Poisson, que \u00e9 derivada de um evento de Bernoulli com um grande n\u00famero de tentativas e uma probabilidade individual muito pequena. 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