{"id":26480,"date":"2021-03-26T13:00:36","date_gmt":"2021-03-26T13:00:36","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26480"},"modified":"2024-08-18T07:31:00","modified_gmt":"2024-08-18T07:31:00","slug":"tecnicas-de-contagem-permutacao-variacao-e-combinacao","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/tecnicas-de-contagem-permutacao-variacao-e-combinacao\/","title":{"rendered":"T\u00e9cnicas de Contagem: Permuta\u00e7\u00e3o, Varia\u00e7\u00e3o e Combina\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>T\u00e9cnicas de Contagem: Permuta\u00e7\u00e3o, Varia\u00e7\u00e3o e Combina\u00e7\u00e3o<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumo<\/strong><br \/><em>No estudo das probabilidades, as t\u00e9cnicas de contagem s\u00e3o ferramentas fundamentais para medir a cardinalidade do espa\u00e7o amostral e do evento a ser medido. Nesse sentido, as t\u00e9cnicas de combina\u00e7\u00e3o, varia\u00e7\u00e3o e permuta\u00e7\u00e3o s\u00e3o as mais utilizadas devido \u00e0 sua facilidade de uso e aplica\u00e7\u00e3o em experimentos com resultados equiprov\u00e1veis. Atrav\u00e9s da medida de probabilidade como limite de frequ\u00eancias relativas, estabelece-se a probabilidade de um evento como um quociente de cardinalidades. Portanto, o c\u00e1lculo de probabilidades se reduz a calcular a cardinalidade do espa\u00e7o amostral e do evento a ser medido. Nesse sentido, a obten\u00e7\u00e3o das t\u00e9cnicas de contagem atrav\u00e9s de experimentos com resultados equiprov\u00e1veis \u00e9 crucial para o estudo das probabilidades. Atrav\u00e9s da defini\u00e7\u00e3o de varia\u00e7\u00f5es, combina\u00e7\u00f5es e permuta\u00e7\u00f5es, \u00e9 poss\u00edvel medir o tamanho de conjuntos de forma eficiente e precisa. Nesta aula, ser\u00e3o apresentados v\u00e1rios experimentos pensados com resultados equiprov\u00e1veis e analisados seus espa\u00e7os amostrais para introduzir as t\u00e9cnicas de contagem. Com essas ferramentas, ser\u00e1 poss\u00edvel medir o tamanho de uma grande variedade de conjuntos e calcular probabilidades de eventos em experimentos com resultados equiprov\u00e1veis.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:<\/strong><br \/>\nAo completar esta aula o estudante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<strong>Lembrar<\/strong> a f\u00f3rmula dos casos favor\u00e1veis sobre os casos poss\u00edveis como uma maneira de calcular a probabilidade de um evento.<br \/>\n<strong>Compreender<\/strong> os conceitos de permuta\u00e7\u00e3o, varia\u00e7\u00e3o e combina\u00e7\u00e3o e seu uso no c\u00e1lculo de probabilidades.<br \/>\n<strong>Analisar<\/strong> e explicar a rela\u00e7\u00e3o entre o tamanho do espa\u00e7o amostral e a probabilidade de um evento em um experimento com resultados equiprov\u00e1veis.<br \/>\n<strong>Identificar<\/strong> situa\u00e7\u00f5es em que se podem aplicar as t\u00e9cnicas de contagem de combina\u00e7\u00e3o, varia\u00e7\u00e3o e permuta\u00e7\u00e3o na vida cotidiana, como em jogos de azar e em problemas de organiza\u00e7\u00e3o.\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>\u00cdNDICE DE CONTE\u00daDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>T\u00c9CNICAS DE CONTAGEM E AS PROBABILIDADES<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>OBTEN\u00c7\u00c3O DAS T\u00c9CNICAS DE CONTAGEM<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">EXPERIMENTO 1 (AORM): ACIONAR \u2013 ANOTAR EM ORDEM \u2013 REINICIAR, REPETIR M VEZES<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">EXPERIMENTO 2 (AOK): ACIONAR -ANOTAR EM ORDEM, REPETIR K VEZES<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">EXPERIMENTO 3 (ADK): ACIONAR \u2013 ANOTAR EM DESORDEN, REPETIR K VEZES<\/a><br \/>\n<center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/72LBcZP7Fv4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>T\u00e9cnicas de Contagem e as Probabilidades<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=7s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">As Combina\u00e7\u00e3o, Varia\u00e7\u00e3o e Permuta\u00e7\u00e3o s\u00e3o as t\u00e9cnicas de contagem mais utilizadas no estudo das probabilidades<\/span><\/strong><\/a> devido \u00e0s facilidades que introduzem no estudo dos experimentos com resultados equiprov\u00e1veis. Um dos exemplos mais ic\u00f4nicos desses experimentos prov\u00e9m dos jogos de azar. Estes geralmente se tratam de processos n\u00e3o-deterministas sobre um espa\u00e7o amostral <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega = \\{\\omega_1, \\omega_2, \\cdots, \\omega_N\\}<\/span>. Esses experimentos t\u00eam a qualidade comum de que todos os eventos da forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\omega_i\\}\\in\\mathcal{A}_\\Omega<\/span>, com <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in\\{1,2,\\cdots, n\\}<\/span>, t\u00eam a mesma probabilidade de ocorrer.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir da <strong><a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/el-espacio-de-probabilidades-medida-de-probabilidad\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">medida de probabilidade como limite de frequ\u00eancias relativas<\/a><\/strong> podemos estabelecer a probabilidade de um evento como um quociente de cardinalidades. Como j\u00e1 vimos, isso se faz atrav\u00e9s da rela\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(E) = \\displaystyle \\lim_{N\\to\\infty}g_N(E) = \\lim_{N\\to\\infty}\\frac{f_N(E)}{N}= \\frac{\\# E}{\\# \\Omega}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Aqui o s\u00edmbolo \u00ab#\u00bb faz refer\u00eancia \u00e0 cardinalidade do conjunto. Isso \u00e9 o que se conhece como a <strong>f\u00f3rmula dos casos favor\u00e1veis sobre os casos poss\u00edveis.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Nessas situa\u00e7\u00f5es, o c\u00e1lculo de probabilidades se reduz a calcular a cardinalidade do espa\u00e7o amostral e do evento a ser medido. \u00c9 por isso que ser\u00e1 muito \u00fatil revisar primeiro algumas <strong>t\u00e9cnicas de contagem.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Obten\u00e7\u00e3o das T\u00e9cnicas de Contagem<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=260s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Para introduzir as combina\u00e7\u00f5es, varia\u00e7\u00f5es e permuta\u00e7\u00f5es,<\/strong><\/span><\/a> projetaremos alguns experimentos pensados com resultados equiprov\u00e1veis e, a partir deles, faremos infer\u00eancias que conduzem a essas t\u00e9cnicas de contagem.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Suponhamos que temos uma \u00abm\u00e1quina aleat\u00f3ria perfeita\u00bb, que consiste em uma caixa preta, uma mem\u00f3ria, um bot\u00e3o de a\u00e7\u00e3o e outro de reiniciar. A m\u00e1quina tem as seguintes propriedades:<\/p>\n<ol>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A m\u00e1quina s\u00f3 tem uma configura\u00e7\u00e3o personaliz\u00e1vel: a cardinalidade do seu espa\u00e7o amostral <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N = \\{\\omega_1,\\cdots,\\omega_N\\}<\/span><\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ao pressionar o bot\u00e3o de a\u00e7\u00e3o, mostrar\u00e1 na tela um dos elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N<\/span><\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Quando se mostra um resultado, este \u00e9 armazenado na mem\u00f3ria, e enquanto estiver l\u00e1 n\u00e3o se voltar\u00e1 a mostrar ao pressionar o bot\u00e3o de a\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Se a m\u00e1quina j\u00e1 mostrou todos os resultados poss\u00edveis, ela se congelar\u00e1 e n\u00e3o mostrar\u00e1 nada.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">O bot\u00e3o de reiniciar apaga a mem\u00f3ria e o que foi mostrado na tela.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Com essa m\u00e1quina projetaremos alguns experimentos pensados e analisaremos seus espa\u00e7os amostrais.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Experimento 1 (AORm): Acionar &#8211; Anotar em Ordem &#8211; Reiniciar, repetir m vezes<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=406s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Configura-se a m\u00e1quina com<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega = N<\/span> e repetem-se <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m\\leq N<\/span> vezes a seguinte s\u00e9rie de passos:<\/p>\n<ol>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Pressionar o bot\u00e3o de a\u00e7\u00e3o<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Anotar o resultado em uma lista ordenada<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Reiniciar<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Quando terminarmos obteremos uma lista ordenada com <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N = \\{\\omega_1,\\cdots,\\omega_N\\}<\/span>. Esta lista pode ser interpretada como uma m-tupla de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N<\/span>. Em outras palavras, o espa\u00e7o amostral deste experimento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{AORm}<\/span> ser\u00e1 da forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{AORm}=\\Omega_N \\times \\cdots \\times \\Omega_N = \\Omega_N^m<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Portanto, ter\u00e1-se que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega_{AORm}=\\#\\Omega_N^m = N^m<\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Experimento 2 (AOk): Acionar &#8211; Anotar em Ordem, repetir k vezes<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=542s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Configuramos novamente a m\u00e1quina com<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega = N<\/span> e repete-se <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> vezes (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\leq N<\/span>) a seguinte s\u00e9rie de passos:<\/p>\n<ol>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Pressionar o bot\u00e3o de a\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Anotar o resultado em uma lista ordenada.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Quando terminarmos, teremos obtido uma lista ordenada de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N = \\{\\omega_1,\\cdots,\\omega_N\\}<\/span>, mas onde nenhum elemento se repetir\u00e1 com algum dos que o precedem.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Como a m\u00e1quina, em princ\u00edpio, n\u00e3o favorece nenhum resultado poss\u00edvel sobre outro (porque \u00e9 perfeitamente aleat\u00f3ria), \u00e9 poss\u00edvel assumir sem perda de generalidade que ao acionar a primeira vez que ocorreu o evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\omega_1\\}<\/span>, de modo que o espa\u00e7o amostral da pr\u00f3xima a\u00e7\u00e3o deve ser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\}<\/span>. Analogamente, pode-se assumir sem perda de generalidade que ao acionar pela segunda vez ocorre o evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\omega_2\\}<\/span>; portanto, o espa\u00e7o amostral da pr\u00f3xima a\u00e7\u00e3o ser\u00e1 da forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\})\\setminus\\{\\omega_2\\}<\/span>. Se continuarmos desta forma, quando chegarmos \u00e0 k-\u00e9sima a\u00e7\u00e3o, esta ter\u00e1 um espa\u00e7o amostral da forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\cdots(\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\})\\setminus\\{\\omega_2\\}\\cdots)\\setminus\\{\\omega_{k-1}\\}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De modo que, o espa\u00e7o amostral dos resultados poss\u00edveis deste experimento ser\u00e1 da forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{AOk}= \\Omega \\times (\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\}) \\times ((\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\})\\setminus\\{\\omega_2\\}) \\times \\cdots \\times ((\\cdots(\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\})\\setminus\\{\\omega_2\\}\\cdots)\\setminus\\{\\omega_{k-1}\\}) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Portanto, se calcularmos a cardinalidade deste conjunto, obteremos<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega_{AOk}= N \\cdot (N-1) \\cdot (N-2) \\cdots [N-(k-1)]=\\displaystyle \\frac{N!}{(N-k)!}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir deste resultado, cria-se a seguinte defini\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; color: #800000; background-color: #dddddd;\"><strong>DEFINI\u00c7\u00c3O<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; color: #000000; background-color: #ffffff;\">Define-se o <strong>n\u00famero de varia\u00e7\u00f5es<\/strong> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> elementos em grupos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> (com <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N\\leq k<\/span>) como o n\u00famero dado por:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(N)_k = \\displaystyle \\frac{N!}{(N-k)!}<\/span>\n<p>A partir disso, e do fato de que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0! =1<\/span>, calcula-se o <strong>n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es<\/strong> entre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> elementos atrav\u00e9s de<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(N)_N = N!<\/span>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"5\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Experimento 3 (ADk): Acionar &#8211; Anotar em Desordem, repetir k vezes<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=1204s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Este experimento \u00e9 exatamente igual ao anterior,<\/span><\/strong><\/a> s\u00f3 que agora n\u00e3o se registra a ordem em que os elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N<\/span> aparecem. Ou seja, o que seriam duas k-tuplas com os mesmos elementos, mas em ordem diferente, agora s\u00e3o consideradas como a mesma coisa. Desta forma, aproveitando que cada k-tupla obtida do experimento AOk pode ser escrita de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(k)_k=k!<\/span> formas diferentes, ter\u00e1-se que a cardinalidade do espa\u00e7o amostral deste experimento ser\u00e1 da forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega_{ADk} = \\displaystyle \\frac{\\#\\Omega_{AOk}}{(k)_k} = \\frac{(N)_k}{k!} = \\frac{N!}{k!(N-k)!} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir disso, pode-se estabelecer a seguinte defini\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; color: #800000; background-color: #dddddd;\"><strong>DEFINI\u00c7\u00c3O<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; color: #000000; background-color: #ffffff;\">Define-se o <strong>n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es<\/strong> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> elementos em grupos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> (com <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\leq N<\/span>) atrav\u00e9s do n\u00famero dado por<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{N}\\choose{k}}= \\frac{N!}{k!(N-k)!} <\/span>\n<p>Isso representa o n\u00famero de subconjuntos poss\u00edveis que se podem formar com k elementos extra\u00eddos de outro conjunto com N elementos.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Com as t\u00e9cnicas de contagem de permuta\u00e7\u00e3o, varia\u00e7\u00e3o e combina\u00e7\u00e3o, poderemos agora medir o tamanho de uma grande variedade de conjuntos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>T\u00e9cnicas de Contagem: Permuta\u00e7\u00e3o, Varia\u00e7\u00e3o e Combina\u00e7\u00e3o ResumoNo estudo das probabilidades, as t\u00e9cnicas de contagem s\u00e3o ferramentas fundamentais para medir a cardinalidade do espa\u00e7o amostral e do evento a ser medido. 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