{"id":26424,"date":"2021-06-13T13:00:15","date_gmt":"2021-06-13T13:00:15","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26424"},"modified":"2024-05-22T03:08:15","modified_gmt":"2024-05-22T03:08:15","slug":"variables-aleatorias-y-distribuciones-de-probabilidades","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/variables-aleatorias-y-distribuciones-de-probabilidades\/","title":{"rendered":"Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidades"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidades<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumen<\/strong><br \/><em>Esta clase proporciona una inmersi\u00f3n profunda en los conceptos de variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, pilares fundamentales de la teor\u00eda de probabilidades y an\u00e1lisis estad\u00edstico. Se introduce la definici\u00f3n de una variable aleatoria como un n\u00famero que depende del resultado de un experimento aleatorio. Se aborda la funci\u00f3n de distribuci\u00f3n de una variable aleatoria, destacando su importancia, as\u00ed como sus propiedades esenciales. Finalmente, se analiza la relaci\u00f3n entre las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad, explicando que dos variables pueden tener la misma distribuci\u00f3n sin ser la misma variable aleatoria.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el concepto de variables aleatorias: Los estudiantes deben ser capaces de describir y explicar qu\u00e9 son las variables aleatorias y c\u00f3mo se definen matem\u00e1ticamente.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el concepto de distribuciones de probabilidad: Los estudiantes deben poder explicar qu\u00e9 son las distribuciones de probabilidad y c\u00f3mo se representan.<\/li>\n<li><strong>Describir<\/strong> las propiedades de las distribuciones de probabilidad: Los estudiantes deben ser capaces de reconocer y explicar las propiedades clave de las distribuciones de probabilidad.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> la relaci\u00f3n entre las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad: Los estudiantes deben poder discutir c\u00f3mo las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad est\u00e1n interrelacionadas, y c\u00f3mo dos variables pueden tener la misma distribuci\u00f3n sin ser la misma variable aleatoria.<\/li>\n<li><strong>Demostrar<\/strong> y aplicar las propiedades de las distribuciones de probabilidad en situaciones pr\u00e1cticas: Los estudiantes deben poder demostrar matem\u00e1ticamente las propiedades de las distribuciones de probabilidad y aplicar estas propiedades en situaciones reales.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el concepto de funciones de distribuci\u00f3n: Los estudiantes deben ser capaces de describir qu\u00e9 es una funci\u00f3n de distribuci\u00f3n y c\u00f3mo se usa para describir una variable aleatoria.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>\u00bfQu\u00e9 son las variables aleatorias?<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>\u00bfQu\u00e9 son las distribuciones de probabilidades?<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Propiedades de las distribuciones de probabilidad<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Relaci\u00f3n entre las variables aleatorias y distribuciones de probabilidades<\/a><br \/>\n<\/center><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/gIKn9t1hnrw\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Uno de los conceptos clave de la teor\u00eda de las probabilidades y el an\u00e1lisis estad\u00edstico son los de variables aleatorias y de distribuciones de probabilidades. Si bien, la teor\u00eda que hemos desarrollado hasta ahora es en cierto sentido \u00abcompleta\u00bb, la verdad es que en el estado actual es bastante rudimentaria; las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad son, por decirlo as\u00ed, conceptos que nos permiten \u00abaceitar nuestra capacidad para trabajar con las probabilidades y hacer an\u00e1lisis estad\u00edstico\u00bb.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>\u00bfQu\u00e9 son las variables aleatorias?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para familiarizarnos con el concepto de variable aleatoria<\/span><\/strong>, resulta \u00fatil empezar con un enfoque intuitivo: se puede interpretar una variable aleatoria como \u00abun n\u00famero que depende del resultado de un experimento aleatorio\u00bb. No obstante, para una comprensi\u00f3n m\u00e1s precisa, es esencial explorar tambi\u00e9n su definici\u00f3n formal. Veamos esta definici\u00f3n:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000080;\"><strong>Definici\u00f3n:<\/strong><\/span> Una variable aleatoria sobre un conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{X}<\/span><\/span> es una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f:\\Omega \\longmapsto \\mathcal{X}<\/span><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">El caso m\u00e1s com\u00fan es cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{X}= \\mathbb{R},<\/span><\/span> y, a menos que se especifique lo contrario, es lo que asumiremos a partir de ahora; es decir, trabajaremos con variables aleatorias con valores reales. Generalmente, las variables aleatorias se denotan con letras may\u00fasculas, como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X,Y,Z, \\cdots,<\/span><\/span>, mientras que las constantes se denotan con letras min\u00fasculas. Para simplificar, a las variables aleatorias se las referiremos simplemente como \u00abvariables\u00bb.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000000;\"><strong>Ejemplo:<\/strong><\/span> Supongamos que se lanza un dado de 6 caras dos veces. Entonces tendremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{2d6} = \\{(\\omega_1, \\omega_2)\\;|\\; \\omega_1,\\omega_2 \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de esto, podemos definir las siguientes variables aleatorias:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X=<\/span><\/span> \u00abEl n\u00famero de veces que sale uno\u00bb<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y=<\/span><\/span> \u00abLa suma de los resultados obtenidos\u00bb <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">=\\omega_1 + \\omega_2<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Z=<\/span><\/span> \u00abEl resultado del segundo lanzamiento\u00bb <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">= \\omega_2<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>\u00bfQu\u00e9 son las distribuciones de probabilidades?<\/h2>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000080;\"><strong>Definici\u00f3n: <\/strong><\/span><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Una funci\u00f3n de distribuci\u00f3n (o \u00abFD\u00bb)<\/span><\/strong> de una variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> es una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X: \\mathbb{R} \\longmapsto \\mathbb{R}<\/span><\/span> definida por la relaci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X(x) = P(\\{\\omega \\;|\\; X(\\omega)\\leq x\\}),<\/span><\/span> o de manera m\u00e1s abreviada: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X\\leq x).<\/span><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Generalmente, lo que interesa de una variable aleatoria no es tanto su expresi\u00f3n expl\u00edcita en un espacio muestral <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span><\/span>, sino su funci\u00f3n de distribuci\u00f3n. El sub\u00edndice <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X<\/span><\/span> puede omitirse si el contexto es claro y no existe ambig\u00fcedad. Es com\u00fan usar la notaci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim F<\/span><\/span> para indicar que la variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tiene una funci\u00f3n de distribuci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F.<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Propiedades de las distribuciones de probabilidad<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=gIKn9t1hnrw&amp;t=806s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> es una distribuci\u00f3n de probabilidades<\/span><\/strong><\/a> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b<\/span><\/span> son n\u00fameros reales cualesquiera, entonces se cumplir\u00e1n las siguientes propiedades:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(a) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b \\longrightarrow [P(a\\lt X \\leq b) = F(b) - F(a)]<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(b) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b \\longrightarrow F(a) \\leq F(b),<\/span><\/span> es decir, \u00abF es creciente\u00bb.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(c) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty} F(x) = 1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to -\\infty} F(x) = 0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(d) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(X=x)=\\lim_{t\\to x^+}F(t) - \\lim_{t\\to x^-}F(t)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">(e) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle F(x)=\\lim_{t\\to x^+}F(t)<\/span><\/span><\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\"><span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a207fd4d454d\"  tabindex=\"0\" title=\"DEMOSTRACI\u00d3N\"    >DEMOSTRACI\u00d3N<\/span><div id=\"target-id6a207fd4d454d\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(a)<\/strong> Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> los eventos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{X\\leq a\\}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{X\\leq b\\}<\/span><\/span> respectivamente, con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b.<\/span><\/span> Si todo esto ocure, entonces se tendr\u00e1 que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\subseteq B<\/span><\/span> y por lo tanto ocurrir\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{P(a\\lt X\\leq b)} = P(B\\setminus A) = P(B) - P(B\\cap A) = P(B)-P(A) =\\color{blue}{F(b) - F(a)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(b)<\/strong> De la parte (a) se tiene que: Como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B\\setminus A)\\geq 0,<\/span><\/span> entoncces se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(b) - F(a) \\geq 0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">que es lo mismo que decir<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(a) \\leq F(b)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(c)<\/strong> Aqu\u00ed usaremos el hecho de que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> es mon\u00f3nota creciente (probado en (b)) y acotada con valor m\u00e1ximo igual a \u00ab1\u00bb (porque la distribuci\u00f3n se define en t\u00e9rminos de la probabilidad). S\u00f3lo con esto es suficiente para decir que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty} F(x) = 1<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Un enfoque complementario a esto nos permite hacer las siguientes cuentas con identico resultado.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Definamos el conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A_n=\\{\\omega\\;|\\;X(\\omega)\\leq n\\}.<\/span><\/span> A partir de esto es f\u00e1cil verificar que, para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> ocurrir\u00e1 <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A_{n}\\subseteq A_{n+1},<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\bigcup_{n\\lt +\\infty} A_n = \\Omega<\/span><\/span> y por lo tanto, utilizando la propiedad de <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/teoremas-utiles-para-el-calculo-de-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">continuidad<\/a> se tendr\u00e1:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle 1=P(\\Omega) = P\\left( \\bigcup_{n\\lt +\\infty} A_n \\right) = \\lim_{n\\to +\\infty} P(A_n) = \\lim_{n\\to +\\infty} P(\\{\\omega\\;|\\;X(\\omega)\\leq n\\}) = \\lim_{n\\to +\\infty} P(X\\leq n)=\\lim_{n\\to +\\infty}F(n)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Es decir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\lim_{x\\to +\\infty} F(x) = 1}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por contraparte, para el l\u00edmite en que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to -\\infty<\/span><\/span>, se tiene lo siguiente:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Primero definamos el conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_n=\\{\\omega\\;|\\;-n\\lt X(\\omega)\\}.<\/span><\/span> A partir de esto se verifica que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{n \\to -\\infty}F(n) = \\lim_{n\\to -\\infty} P(X\\leq n) = \\lim_{n\\to \\infty} P(X\\leq -n)= 1 - \\lim_{n\\to \\infty} P(-n \\lt X) = 1 - \\lim_{n\\to \\infty}P(B_n)) = 1 - P(\\Omega) = 1-1=0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(d)<\/strong> Se razona de forma similar a la parte (c). Se parte definiendo el conjunto<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle C_n = \\left\\{x - \\frac{1}{n} \\leq X \\leq x + \\frac{1}{n}\\right\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y a partir de esto se tiene que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> C_{n+1}\\subseteq C_n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcap_{n\\gt 0} C_n = \\{X=x\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por lo tanto, utilizando <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/teoremas-utiles-para-el-calculo-de-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">un resultado de la propiedad de continuidad<\/a> se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(X=x)=P\\left(\\bigcap_{n\\gt 0} C_n \\right) = \\lim_{n\\to \\infty} P(C_n) = \\lim_{x+1\/n \\to x^+}F\\left(x+1\/n\\right) - \\lim_{x-1\/n \\to x^-}F\\left(x-1\/n\\right)= \\lim_{t \\to x^+}F\\left(t\\right) - \\lim_{t \\to x^-}F\\left(t\\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>(e)<\/strong> Este \u00faltimo caso se obtiene a partir del resultado anterior. De hecho, dado que ya probamos<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(X=x)= \\lim_{t \\to x^+}F\\left(t\\right) - \\lim_{t \\to x^-}F\\left(t\\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Podemos escribir<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{t \\to x^+}F\\left(t\\right) = P(X=x) + \\lim_{t \\to x^-}F\\left(t\\right) = P(X=x) + \\lim_{t\\to x^-}P(X\\leq t)= P(X\\leq x) = F(x)<\/span><\/span><\/p>\n<\/div><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Relaci\u00f3n entre las variables aleatorias y distribuciones de probabilidades<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Se dice que dos variables <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y<\/span><\/span> tienen la misma distribucion de probabilidad si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall A\\subseteq \\mathbb{R})(P(X\\in A) = P(Y\\in A)).<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Dos variables <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y<\/span><\/span> definidas sobre el mismo espacio muestral <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span><\/span> pueden tener la misma distribuci\u00f3n ero no por eso son necesariamente la misma variable aleatoria. Por ejemplo, si consideramos el experimento de lanzar una moneda equilibrada de dos caras y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X=1<\/span><\/span> corresponde a cara y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X=0<\/span><\/span> corresponde a sello, se puede definir la variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y=1-X<\/span><\/span> y se tendr\u00e1 que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X=1) = P(Y=1)=0.5,<\/span><\/span> y que ambas tienen la misma distribuci\u00f3n, pero si se calcula la probabilidad de que ambas tengan el mismo valor se tendr\u00e1 <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X=Y)=0<\/span><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidades ResumenEsta clase proporciona una inmersi\u00f3n profunda en los conceptos de variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, pilares fundamentales de la teor\u00eda de probabilidades y an\u00e1lisis estad\u00edstico. 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