{"id":26413,"date":"2021-04-21T13:00:38","date_gmt":"2021-04-21T13:00:38","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26413"},"modified":"2024-05-21T22:37:07","modified_gmt":"2024-05-21T22:37:07","slug":"teorema-de-bayes-y-la-probabilidad-compuesta","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/teorema-de-bayes-y-la-probabilidad-compuesta\/","title":{"rendered":"Teorema de Bayes y la Probabilidad Compuesta"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Teorema de Bayes y la Probabilidad Compuesta<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumen<\/strong><br \/><em>En esta clase se abordaron dos conceptos fundamentales en probabilidad: la probabilidad condicional y la probabilidad compuesta. Se enfatiz\u00f3 la diferencia entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B|A)<\/span><\/span>. El Teorema de la probabilidad compuesta establece que la probabilidad de un evento <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> puede expresarse como la suma de las probabilidades condicionales <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B_i)<\/span><\/span> multiplicadas por las probabilidades de los eventos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_i<\/span><\/span>. Posteriormente, se present\u00f3 el Teorema de Bayes, que permite calcular la probabilidad condicional <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B_k|A)<\/span><\/span> utilizando la probabilidad condicional <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B_k)<\/span><\/span>, la probabilidad <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B_k)<\/span><\/span> y la suma de las probabilidades condicionales <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B_i)<\/span><\/span> multiplicadas por las probabilidades de los eventos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_i<\/span><\/span>. Estos conceptos son fundamentales para comprender y aplicar la probabilidad condicional en diversos contextos, y el Teorema de Bayes proporciona una herramienta poderosa para actualizar probabilidades a partir de nueva informaci\u00f3n.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el concepto de probabilidad condicional y diferenciar entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B|A)<\/span><\/span>.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> la probabilidad de un evento usando probabilidades compuestas.\n<li><strong>Demostrar<\/strong> la regla de Bayes<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INDICE DE CONTENIDOS<\/u><\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">La Probailidad Compuesta y probabilidad condicional<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">El Teorema de Bayes<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/BDUTXmxlsM0\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En la <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/probabilidad-condicional-e-independencia-entre-eventos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">clase anterior<\/a>, revisamos el concepto de probabilidad condicional y tambi\u00e9n aclaramos que nunca se debe confundir una probabilidad condicional de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B|A).<\/span><\/span> Aunque en el lenguaje cotidiano la condicionalidad puede ser confusa, matem\u00e1ticamente son dos cosas muy diferentes que, sin embargo, est\u00e1n relacionadas. Esta relaci\u00f3n es descrita por el Teorema de Bayes, que se basa en la noci\u00f3n de probabilidad compuesta para su formulaci\u00f3n.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>La Probabilidad Compuesta y la probabilidad condicional<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #800000;\">TEOREMA:<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BDUTXmxlsM0&amp;t=210s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> es un evento<\/span><\/strong><\/a> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_1, B_2, \\cdots, B_n<\/span><\/span> forman un conjunto de eventos disjuntos tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{i=1}^n B_i = \\Omega,<\/span><\/span> entonces se cumple que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000; background-color: #A0FFA0;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{P(A) = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BDUTXmxlsM0&amp;t=428s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Esta forma de escribir la probabilidad<\/span> <\/strong><\/a>de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> es lo que llamamos <strong>Probabilidad Compuesta de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #800000;\">DEMOSTRACI\u00d3N:<\/span><\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/span> <\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> es un Evento<\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{i=1}^n B_i = \\Omega<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_1, \\cdots, B_n<\/span><\/span> son todos disjuntos entre s\u00ed<\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\cap B_i)\\cap(A\\cap B_j) = \\varnothing,<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\neq j<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i,j\\in \\{1,2,3,\\cdots n\\}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; De (1,2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{i=1}^n \\left(A \\cap B_i \\right) = A<\/span><\/span><\/td>\n<td>; De (1,2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(6)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(A) = P\\left( \\bigcup_{i=1}^n \\left(A \\cap B_i \\right) \\right) = \\sum_{i=1}^n P\\left( A \\cap B_i \\right)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; De (4,5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(7)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(A|B_i) = \\dfrac{P(A\\cap B_i)}{P(B_i)}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Definici\u00f3n de Probabilidad Condicional<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(A\\cap B_i) = P(A|B_i) P(B_i)<\/span><\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(8)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\displaystyle P(A) = \\sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; De (6,7)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>El Teorema de Bayes<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BDUTXmxlsM0&amp;t=801s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">En el mismo contexto que el teorema anterior<\/span><\/strong><\/a>, se cumple el siguiente teorema:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #800000;\">TEOREMA:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(B_k|A) = \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\\displaystyle\\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} = \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #800000;\">DEMOSTRACI\u00d3N:<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BDUTXmxlsM0&amp;t=855s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> es un evento cualquiera<\/span><\/strong><\/a> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_1, B_2, \\cdots, B_n<\/span><\/span> es una colecci\u00f3n de eventos disjuntos tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{i=1}^n B_i = \\Omega,<\/span><\/span> por el teorema anterior de la probabilidad compuesta, tenemos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A) = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ahora, usando el hecho de que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X\\cap Y) = P(X|Y)P(Y),<\/span><\/span> tenemos que si reemplazamos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y=A<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X=B_k,<\/span><\/span> llegaremos a que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000; background-color: #b0b0ff;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A) = \\dfrac{P(B_k \\cap A)}{P(B_k|A)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por otro lado, tenemos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B_k) = \\dfrac{P(A\\cap B_k)}{P(B_k)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De donde se infiere que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000; background-color: #b0ffb0;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B_k \\cap A) = P(A|B_k)P(B_k)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ahora, si reemplazamos lo <span style=\"background-color: #b0ffb0;\">verde<\/span> dentro de lo <span style=\"background-color: #b0b0ff;\">azul<\/span>, tendremos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A) = \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(B_k|A)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Lo cual es equivalente a decir<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{P(B_k|A) = \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}= \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} }<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto es lo que se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Teorema de Bayes y la Probabilidad Compuesta ResumenEn esta clase se abordaron dos conceptos fundamentales en probabilidad: la probabilidad condicional y la probabilidad compuesta. 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