{"id":26150,"date":"2021-08-19T00:00:05","date_gmt":"2021-08-19T00:00:05","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26150"},"modified":"2024-09-16T12:33:09","modified_gmt":"2024-09-16T12:33:09","slug":"cinematica","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cinematica\/","title":{"rendered":"Fundamentos de Cinem\u00e1tica: Posici\u00f3n, Velocidad y Aceleraci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Fundamentos de la Cinem\u00e1tica: Posici\u00f3n, Velocidad y Aceleraci\u00f3n<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase revisaremos los conceptos fundamentales de la cinem\u00e1tica: posici\u00f3n, velocidad y aceleraci\u00f3n. Exploraremos c\u00f3mo representar la posici\u00f3n en funci\u00f3n del tiempo, diferenciando entre velocidad y aceleraci\u00f3n instant\u00e1neas y medias. Adem\u00e1s, deduciremos las ecuaciones del movimiento con aceleraci\u00f3n constante, esenciales para predecir la posici\u00f3n y velocidad de un objeto.<\/em><\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\n    Al final de esta clase, los estudiantes ser\u00e1n capaces de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Recordar<\/strong> las definiciones b\u00e1sicas de posici\u00f3n, velocidad y aceleraci\u00f3n en cinem\u00e1tica.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> las relaciones entre aceleraci\u00f3n, velocidad y posici\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> derivadas e integrales para calcular la velocidad y la posici\u00f3n a partir de la aceleraci\u00f3n, y viceversa.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la diferencia entre velocidad instant\u00e1nea y media, y entre aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea y media.<\/li>\n<\/ol>\n<p>    <center><\/p>\n<p><strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n    <a href=\"#1\">Introducci\u00f3n<\/a><br \/>\n    <a href=\"#2\">Posici\u00f3n, Espacio y Observadores<\/a><br \/>\n    <a href=\"#3\">Velocidad y Rapidez<\/a><br \/>\n    <a href=\"#4\">Aceleraci\u00f3n<\/a><br \/>\n    <a href=\"#5\">Ecuaciones de Itinerario<\/a><br \/>\n    <a href=\"#5\">Conclusi\u00f3n<\/a>\n    <\/p>\n<p>    <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/fjv-qEuPhwU\" title=\"Reproductor de v\u00eddeo de YouTube\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>    <a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de la aceleraci\u00f3n, es posible calcular la velocidad y la posici\u00f3n mediante la integraci\u00f3n respecto al tiempo, y a partir de la posici\u00f3n, podemos calcular la velocidad y la aceleraci\u00f3n mediante la diferenciaci\u00f3n respecto al tiempo. Estas palabras resumen lo que exploraremos sobre cinem\u00e1tica, y uno de nuestros principales objetivos ser\u00e1 entender el significado de estos t\u00e9rminos. El movimiento representa una forma de cambio, y todo en la naturaleza est\u00e1 sujeto a cambios. Por lo tanto, el estudio del cambio y sus variaciones es uno de los pilares fundamentales de la f\u00edsica.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hay muchas variables susceptibles de cambio: lo nuevo se convierte en viejo, uno puede cambiar de una profesi\u00f3n a otra, de saludable a enfermo y viceversa, y de d\u00eda a noche, entre otras. Todos estos son ejemplos de cambios, pero al estudiar cinem\u00e1tica, nos enfocaremos en uno en particular: el cambio de posici\u00f3n o movimiento. En el estudio del movimiento, podemos apreciar dos enfoques complementarios: uno basado en las causas que lo producen y otro en la forma en que se desarrolla, dando lugar a la Din\u00e1mica y la Cinem\u00e1tica, que juntas forman la Mec\u00e1nica.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">En f\u00edsica, modelamos el espacio f\u00edsico como un espacio vectorial para facilitar la representaci\u00f3n matem\u00e1tica de conceptos como posici\u00f3n, velocidad y aceleraci\u00f3n. Com\u00fanmente, usamos el espacio tridimensional <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/span> para este prop\u00f3sito, aunque en teor\u00eda, los espacios de cualquier dimensi\u00f3n pueden ser adecuados seg\u00fan el contexto.<\/p>\n<p>    <a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Posici\u00f3n, Espacio y Observadores<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=fjv-qEuPhwU&amp;t=257s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Consideremos una funci\u00f3n<\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n    \\begin{array}{rll}\n\n    \\vec{r}:\\mathbb{R}[T]&amp;\\longrightarrow&amp;\\mathbb{R}^n[L] \\\\\n\n    t &amp;\\longmapsto&amp;\\vec{r}(t)\n\n    \\end{array}\n\n    <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Esta es una funci\u00f3n que asigna una posici\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}(t)<\/span><\/span> a cada <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t\\in\\mathbb{R}<\/span><\/span>, y por lo tanto, decimos que es una funci\u00f3n de posici\u00f3n (o simplemente posici\u00f3n). La variable independiente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t<\/span> se llama \u00abtiempo,\u00bb y el par\u00e1metro <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> corresponde a la \u00abdimensi\u00f3n\u00bb del espacio. Los s\u00edmbolos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[T]<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[L]<\/span> se refieren a las dimensiones f\u00edsicas de tiempo y longitud, generalmente medidas en \u00absegundos\u00bb y \u00abmetros,\u00bb respectivamente.<\/p>\n<p>    <center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-gCSXLVh_JEI\/YQhm3e26l2I\/AAAAAAAAFXs\/fBu5WvV1PiIhGDkTUZfSAR4EMQqUFneoACLcBGAsYHQ\/s0\/posici%25C3%25B3n%2Ben%2Bel%2Bespacio%2B3D.PNG\" width=\"400\" height=\"300\" alt=\"Cinem\u00e1tica Elemental: Posici\u00f3n, relativa al origen, en un Espacio Tridimensional\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-gCSXLVh_JEI\/YQhm3e26l2I\/AAAAAAAAFXs\/fBu5WvV1PiIhGDkTUZfSAR4EMQqUFneoACLcBGAsYHQ\/s0\/posici%25C3%25B3n%2Ben%2Bel%2Bespacio%2B3D.PNG\" width=\"400\" height=\"300\" alt=\"Cinem\u00e1tica Elemental: Posici\u00f3n, relativa al origen, en un Espacio Tridimensional\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">La posici\u00f3n, como cualquier magnitud f\u00edsica, es medida por un observador. En la descripci\u00f3n que he dado de la posici\u00f3n, he asumido impl\u00edcitamente que el observador tiene las coordenadas del vector nulo, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{0}<\/span>. Si el observador <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{O}<\/span> tiene las coordenadas del vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}<\/span> y el objeto puntual tiene coordenadas <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}^\\prime,<\/span><\/span> entonces la <strong>posici\u00f3n relativa al observador<\/strong> ser\u00e1:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}_\\mathcal{O} = \\vec{r} - \\vec{r}^\\prime<\/span><\/span><\/p>\n<p>    <center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-NV6VA_yStVo\/YQhpIOk5yCI\/AAAAAAAAFX0\/YW9xYYXY9h0DTnLfkNA0H7deQPkFqsbogCLcBGAsYHQ\/s0\/posicion%2Bdesde%2Bel%2Bobservador.PNG\" width=\"500\" height=\"300\" alt=\"Cinem\u00e1tica Elemental: Posici\u00f3n relativa a un observador arbitrario\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-NV6VA_yStVo\/YQhpIOk5yCI\/AAAAAAAAFX0\/YW9xYYXY9h0DTnLfkNA0H7deQPkFqsbogCLcBGAsYHQ\/s0\/posicion%2Bdesde%2Bel%2Bobservador.PNG\" width=\"500\" height=\"300\" alt=\"Cinem\u00e1tica Elemental: Posici\u00f3n relativa a un observador arbitrario\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">El espacio es el conjunto de todas las posiciones posibles, tambi\u00e9n es el conjunto de todas las posiciones posibles relativas a cualquier observador. La posici\u00f3n es una funci\u00f3n del tiempo y se usa para representar matem\u00e1ticamente el lugar donde se encuentra un objeto ideal llamado \u00abobjeto puntual\u00bb en cada instante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t<\/span>. El objeto puntual es una idealizaci\u00f3n, es lo que queda de un objeto real cuando lo despojamos de todas sus cualidades, incluido tama\u00f1o y forma, manteniendo solo el \u00ablugar que ocupa en el espacio.\u00bb<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">La posici\u00f3n generalmente es un vector. Los vectores se componen de dos elementos: magnitud y direcci\u00f3n. La magnitud de la posici\u00f3n relativa a un observador es la distancia al observador y se da por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dist_\\mathcal{O}(t)=\\|\\vec{r}_\\mathcal{O}(t)\\|.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Desde este punto, es muy recomendable dominar los contenidos del curso de <strong>c\u00e1lculo <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&#038;list=PL_C8rbeFjqAVaR_sgLJRBvMm5t6E1GxGI\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">diferencial<\/a> e <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=4wSTxA7zY9k&#038;list=PL_C8rbeFjqAUU5ClOkZMRJbiefHDeXGI2\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">integral.<\/a><\/strong><\/p>\n<p>    <a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Rapidez y Velocidad<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=fjv-qEuPhwU&amp;t=1232s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si la posici\u00f3n es diferenciable respecto al tiempo,<\/strong><\/a> entonces es posible definir la velocidad relativa a un observador <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{O},<\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{v}_\\mathcal{O}(t),<\/span><\/span> de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{v}_\\mathcal{O}(t) =\\displaystyle \\lim_{\\Delta t \\to 0}\\frac{\\vec{r}_\\mathcal{O}(t+\\Delta t) - \\vec{r}_\\mathcal{O}(t)}{\\Delta t} = \\frac{d\\vec{r}_\\mathcal{O}(t)}{dt} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">En t\u00e9rminos sencillos: la velocidad es la derivada temporal de la posici\u00f3n y nos dice c\u00f3mo cambia la posici\u00f3n en cada instante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t.<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Existen dos tipos de velocidades: la instant\u00e1nea y la media. La velocidad instant\u00e1nea es la reci\u00e9n presentada, la velocidad media se obtiene omitiendo el c\u00e1lculo del l\u00edmite. La velocidad media sobre el intervalo de tiempo de longitud <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta t,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left&lt; \\vec{v}_{\\mathcal{O},\\Delta t}(\\overline{t}) \\right&gt;,<\/span><\/span> se define como<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left&lt; \\vec{v}_{\\mathcal{O},\\Delta t}(\\overline{t}) \\right&gt; = \\displaystyle \\frac{\\vec{r}_\\mathcal{O}(t+\\Delta t) - \\vec{r}_\\mathcal{O}(t)}{\\Delta t}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\overline{t}<\/span> es cualquier instante contenido en el intervalo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[t,t+\\Delta t].<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de la velocidad (ya sea instant\u00e1nea o media) se define la rapidez como su magnitud correspondiente. La rapidez relativa a un observador <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{O}<\/span> es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_\\mathcal{O}(t)=\\|\\vec{v}_\\mathcal{O}(t)\\|,<\/span><\/span> y la rapidez media <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left&lt; {v}_{\\mathcal{O},\\Delta t}(\\overline{t}) \\right&gt; = \\|\\left&lt; \\vec{v}_{\\mathcal{O},\\Delta t}(\\overline{t}) \\right&gt;\\|.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">La rapidez y la velocidad se miden en unidades de longitud sobre unidades de tiempo, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[L\/T],<\/span> generalmente en \u00abmetros por segundo\u00bb.<\/p>\n<p>    <a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Aceleraci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=fjv-qEuPhwU&amp;t=1522s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>De manera similar a la velocidad,<\/strong><\/a> si es diferenciable respecto al tiempo, entonces es posible definir el concepto de aceleraci\u00f3n relativa a un observador <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{O},<\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{a}_\\mathcal{O}(t),<\/span><\/span> de la siguiente forma:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{a}_\\mathcal{O}(t)= \\displaystyle \\lim_{\\Delta t \\to 0}\\frac{\\vec{v}_\\mathcal{O}(t+\\Delta t) - \\vec{v}_\\mathcal{O}(t)}{\\Delta t} = \\frac{d\\vec{v}_\\mathcal{O}(t)}{dt}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">La aceleraci\u00f3n es la derivada temporal de la velocidad y consecuentemente nos dice c\u00f3mo cambia la velocidad a lo largo del tiempo.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">De forma similar a la rapidez, existe la aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea y la aceleraci\u00f3n media. La aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea es la que acabamos de revisar, la aceleraci\u00f3n media se obtiene omitiendo el c\u00e1lculo del l\u00edmite. La aceleraci\u00f3n media sobre el intervalo de tiempo de longitud <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta t,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left&lt;\\vec{a}_{\\mathcal{O},\\Delta t}\\right&gt;,<\/span><\/span> se define como<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left&lt; \\vec{a}_{\\mathcal{O},\\Delta t}(\\overline{t}) \\right&gt; = \\displaystyle \\frac{\\vec{v}_\\mathcal{O}(t+\\Delta t) - \\vec{v}_\\mathcal{O}(t)}{\\Delta t}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">La aceleraci\u00f3n se mide en unidades de longitud sobre tiempo al cuadrado, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[L\/T^2],<\/span> generalmente en \u00abmetros por segundo al cuadrado\u00bb.<\/p>\n<p>    <a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Ecuaciones de Movimiento<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=fjv-qEuPhwU&amp;t=1588s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Supongamos que tenemos un objeto puntual<\/strong><\/a> que se mueve en relaci\u00f3n a un observador <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{O}<\/span> con una aceleraci\u00f3n constante <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{a}_\\mathcal{O}(t) = \\vec{a}_0<\/span><\/span>. Si es posible derivar velocidad y aceleraci\u00f3n a partir de la posici\u00f3n, entonces a partir de la aceleraci\u00f3n, es posible calcular la velocidad y la posici\u00f3n integrando. Los resultados obtenidos de esta manera se conocen como ecuaciones de movimiento.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Integrando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{a}_\\mathcal{O}(t) = \\vec{a}_0<\/span><\/span> tenemos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{v}_\\mathcal{O}(t) = \\displaystyle \\int \\vec{a}_\\mathcal{O}(t) dt = \\int \\vec{a}_0 dt = \\vec{a}_0 t + \\vec{v}_0 <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">E integrando nuevamente obtenemos<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}_\\mathcal{O}(t) = \\displaystyle \\int \\vec{v}_\\mathcal{O}(t) dt = \\int \\vec{a}_0t + \\vec{v}_0 dt = \\displaystyle \\frac{1}{2}\\vec{a}_0 t^2 + \\vec{v}_0t+\\vec{r}_0 <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aqu\u00ed, las constantes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{v}_0<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}_0<\/span><\/span> son constantes de integraci\u00f3n que representan la velocidad y posici\u00f3n iniciales del objeto puntual relativo al observador <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{O}.<\/span> En resumen, las ecuaciones de movimiento son:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n    \\begin{array}{rl}\n\n    \\vec{a}_\\mathcal{O}(t) =&amp; \\vec{a}_0 \\\\\n\n    \\vec{v}_\\mathcal{O}(t) =&amp;  \\vec{a}_0t+\\vec{v}_0 \\\\\n\n    \\vec{r}_\\mathcal{O}(t) =&amp; \\displaystyle \\frac{1}{2}\\vec{a}_0t^2 + \\vec{v}_0t + \\vec{r}_0\n\n    \\end{array}\n\n    <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mediante estas ecuaciones, es posible describir completamente el movimiento de cualquier objeto puntual que se mueva con aceleraci\u00f3n constante. Esto establece que a partir de la aceleraci\u00f3n, es posible calcular la velocidad y la posici\u00f3n integrando, y a partir de la posici\u00f3n, es posible calcular la velocidad y la aceleraci\u00f3n derivando.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">N\u00f3tese que estas son ecuaciones vectoriales, y por lo tanto, pueden ser separadas en sus componentes. Si estamos modelando un movimiento en un espacio tridimensional, entonces tendremos cada componente separada de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n    \\begin{array}{rl}\n\n    \\vec{a}_\\mathcal{O}(t) &amp;= (a_x(t), a_y(t), a_z(t))\\\\\n\n    \\vec{v}_\\mathcal{O}(t) &amp;= (v_x(t), v_y(t), v_z(t))\\\\\n\n    \\vec{r}_\\mathcal{O}(t) &amp;= (x(t), y(t), z(t))\\\\\n\n    \\vec{a}_0 &amp;= (a_{0x}, a_{0y}, a_{0z})\\\\\n\n    \\vec{v}_0 &amp;= (v_{0x}, v_{0y}, v_{0z})\\\\\n\n    \\vec{r}_0 &amp;= (x_{0}, y_{0}, z_{0})\\\\\n\n    \\end{array}\n\n    <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">As\u00ed, se crean un conjunto de 9 ecuaciones, una para cada eje coordenado. Por ejemplo, para el eje <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span>, tendremos<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n    \\begin{array}{rl}\n\n    a_x(t) &amp; = a_{0x}\\\\\n\n    v_x(t) &amp; = a_{0x}t + v_{0x} \\\\\n\n    x(t) &amp; = \\displaystyle \\frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0\n\n    \\end{array}\n\n    <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Generalmente, la coordenada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{z}<\/span> se reserva para la altura, por lo que se asume que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_{0z}=-g \\approx -9.81[m\/s^2];<\/span> es decir, la aceleraci\u00f3n en este eje se asocia con la aceleraci\u00f3n producida por la gravedad terrestre. Esto se incluye en las ecuaciones para modelar fen\u00f3menos como la ca\u00edda libre o el lanzamiento de un proyectil.<\/p>\n<p>    <a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Conclusi\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n        En este recorrido por los fundamentos de la cinem\u00e1tica, hemos explorado c\u00f3mo se utiliza la matem\u00e1tica para describir y entender el movimiento en el espacio f\u00edsico. Desde la representaci\u00f3n de la posici\u00f3n como un vector en un espacio de dimensi\u00f3n arbitraria hasta la derivaci\u00f3n e integraci\u00f3n de funciones vectoriales para obtener velocidad, aceleraci\u00f3n y las ecuaciones de movimiento, hemos visto c\u00f3mo estos conceptos se entrelazan y aplican en el an\u00e1lisis del movimiento.\n    <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n        La cinem\u00e1tica, al estudiar el movimiento sin considerar las causas que lo producen, nos ofrece una perspectiva pura y matem\u00e1ticamente elegante del movimiento de los objetos puntuales. Con las herramientas del c\u00e1lculo diferencial e integral, podemos desentra\u00f1ar patrones de movimiento y predecir trayectorias futuras, lo cual es esencial en muchas \u00e1reas de la f\u00edsica y la ingenier\u00eda.\n    <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n        Finalmente, la inclusi\u00f3n de la aceleraci\u00f3n debida a la gravedad en nuestras ecuaciones nos llevar\u00e1 a aplicaciones m\u00e1s concretas, como la ca\u00edda libre y el lanzamiento de proyectiles, demostrando la relevancia y aplicabilidad de la cinem\u00e1tica en nuestro mundo cotidiano. Por lo tanto, el estudio de la cinem\u00e1tica no es solo un ejercicio te\u00f3rico, sino una herramienta fundamental para comprender y manipular el mundo f\u00edsico que nos rodea.\n    <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Fundamentos de la Cinem\u00e1tica: Posici\u00f3n, Velocidad y Aceleraci\u00f3n Resumen: En esta clase revisaremos los conceptos fundamentales de la cinem\u00e1tica: posici\u00f3n, velocidad y aceleraci\u00f3n. Exploraremos c\u00f3mo representar la posici\u00f3n en funci\u00f3n del tiempo, diferenciando entre velocidad y aceleraci\u00f3n instant\u00e1neas y medias. 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