{"id":25515,"date":"2022-07-11T00:00:45","date_gmt":"2022-07-11T00:00:45","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=25515"},"modified":"2024-05-21T09:42:47","modified_gmt":"2024-05-21T09:42:47","slug":"o-principio-da-relatividade-especial","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/o-principio-da-relatividade-especial\/","title":{"rendered":"O Princ\u00edpio da Relatividade Especial"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>O Princ\u00edpio da Relatividade<\/h1>\n<p><\/p>\n<p class=\"eq\"><em><strong>Resumo:<\/strong> O princ\u00edpio da relatividade prop\u00f5e que as observa\u00e7\u00f5es dependem do referencial inercial, mas de tal forma que as leis f\u00edsicas se mant\u00eam. Nesta aula ser\u00e3o apresentados os conceitos de referencial inercial e as bases que permitem obter as transforma\u00e7\u00f5es entre as coordenadas observadas por diferentes referenciais inerciais nos contextos da f\u00edsica newtoniana e da relatividade especial.<\/br><\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:<\/strong><br \/>\nAo finalizar esta aula, o estudante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Descrever<\/strong> os conceitos fundamentais do princ\u00edpio da relatividade e dos referenciais inerciais.<\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> a import\u00e2ncia do referencial inercial no contexto do princ\u00edpio da relatividade e diferenciar entre f\u00edsica newtoniana e relatividade especial.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> as transforma\u00e7\u00f5es de Lorentz e Galileu para resolver problemas simples e demonstrar como mudam as observa\u00e7\u00f5es entre diferentes referenciais inerciais.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><\/p>\n<p><strong>\u00cdNDICE<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>O referencial inercial<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>O princ\u00edpio da relatividade na f\u00edsica newtoniana e na relatividade especial<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Simplificando as transforma\u00e7\u00f5es entre referenciais inerciais<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Transforma\u00e7\u00f5es de Lorentz e Galileu<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><strong>Conclus\u00f5es<\/strong><\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Z1IWvfnSNe8?si=VxQeeMn9VC8NhFi_\" title=\"Reprodutor de v\u00eddeo do YouTube\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>O referencial inercial<\/h2>\n<p>Ao fazer f\u00edsica, sempre \u00e9 poss\u00edvel escolher o referencial de onde os eventos ser\u00e3o medidos, e estes referenciais podem diferir tanto em orienta\u00e7\u00e3o quanto em movimento relativo. Entre todos os referenciais poss\u00edveis, h\u00e1 uma classe especial que nos permite fazer a f\u00edsica como a conhecemos, estes s\u00e3o os <strong>referenciais inerciais.<\/strong> Diz-se que um referencial \u00e9 inercial quando nele se satisfaz a <strong>primeira lei de Newton,<\/strong> que estabelece que na aus\u00eancia de agentes externos, as part\u00edculas preservam seu estado de movimento e, portanto:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dx^2}{dt^2} = \\frac{dy^2}{dt^2} = \\frac{dz^2}{dt^2} = 0.<\/span>\n<p>Deste fato segue-se que, na aus\u00eancia de gravidade, se dois referenciais <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> s\u00e3o inerciais, ent\u00e3o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> s\u00f3 pode diferir de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> em:<\/p>\n<ul>\n<li>Uma transla\u00e7\u00e3o,<\/li>\n<li>Uma rota\u00e7\u00e3o,<\/li>\n<li>Um movimento relativo entre ambos os referenciais com velocidade constante.<\/li>\n<\/ul>\n<p>O conceito de referencial inercial \u00e9 fundamental para o <strong>princ\u00edpio da relatividade,<\/strong> que estabelece que as leis da f\u00edsica t\u00eam a mesma forma em todos os referenciais inerciais. Este princ\u00edpio aplica-se de igual forma, tanto na f\u00edsica newtoniana como na relatividade especial.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>O princ\u00edpio da relatividade na f\u00edsica newtoniana e na relatividade especial<\/h3>\n<p>As descri\u00e7\u00f5es newtonianas e da relatividade especial diferem em como as coordenadas de um evento, relativas a um sistema inercial, se relacionam com as de outro sistema inercial.<\/p>\n<p>Consideremos dois referenciais inerciais cartesianos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> em \u00abconfigura\u00e7\u00e3o padr\u00e3o\u00bb, ou seja, onde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> se move ao longo do eixo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> a uma velocidade constante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{v}_{ss^\\prime} = v_{ss^\\prime_x} \\hat{x}<\/span> e os respectivos eixos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> est\u00e3o alinhados e coincidem em <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=t^\\prime = 0<\/span>.<\/p>\n<figure>\n<img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio.png\" alt=\"\" width=\"1374\" height=\"741\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25502 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio.png\" alt=\"\" width=\"1374\" height=\"741\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25502 lazyload\" srcset=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio.png 1374w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio-300x162.png 300w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio-1024x552.png 1024w, http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio-768x414.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1374px) 100vw, 1374px\" \/><\/noscript><br \/>\n<\/figure>\n<p>Ent\u00e3o, se existe uma transforma\u00e7\u00e3o linear que relacione as coordenadas de um evento visto de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span>, ent\u00e3o estas est\u00e3o relacionadas atrav\u00e9s do seguinte sistema de equa\u00e7\u00f5es lineares<\/p>\n<p><a name=\"eq1\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nt^\\prime &amp;= At + Bx,\\\\\n\nx^\\prime &amp;= Dt + Ex,\\\\\n\ny^\\prime &amp;= y, \\\\\n\nz^\\prime &amp;=z,\n\n\\end{array}\\;\\;\\;[\\triangle]<\/span>\n<p>onde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A,<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B,<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E<\/span> s\u00e3o constantes a determinar.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Simplificando as transforma\u00e7\u00f5es entre referenciais inerciais<\/h3>\n<p>Essas transforma\u00e7\u00f5es podem ser simplificadas se fizermos as seguintes observa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>Dado que as transforma\u00e7\u00f5es devem ser v\u00e1lidas para qualquer <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^\\prime<\/span>, ent\u00e3o temos que, se colocarmos o evento na origem de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span>, teremos que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^\\prime = 0<\/span>. Isto implica que o evento se move junto a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> e sua posi\u00e7\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=v_{{ss^\\prime}_x}t.<\/span>\n<p>Substituindo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=v_{{ss^\\prime}_x}t.<\/span> na segunda equa\u00e7\u00e3o de <a href=\"#eq1\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[\\triangle]<\/span><\/a> teremos que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D=-Ev_{{ss^\\prime}_x}.<\/span>\n<p>De forma an\u00e1loga, as transforma\u00e7\u00f5es tamb\u00e9m se aplicam para qualquer <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span>, portanto, se colocarmos o evento na origem de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span>, visto de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span>, a posi\u00e7\u00e3o ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^\\prime = -v_{{ss^\\prime}_x}t^\\prime<\/span>.<\/p>\n<p>Substituindo isto na primeira e segunda equa\u00e7\u00e3o de <a href=\"#eq1\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[\\triangle]<\/span><\/a> chegamos a que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t^\\prime=At<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-v_{{ss^\\prime}_x}t^\\prime =Dt<\/span>. Dividindo estas duas igualdades conclu\u00edmos que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D=-v_{{ss^\\prime}_x}A<\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Assim, a \u00fanica forma de conciliar os pontos anteriores \u00e9 impondo que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=E,<\/span>, e com isso as transforma\u00e7\u00f5es se reduzem a:<\/p>\n<p><a name=\"eq2\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nt^\\prime &amp;= At + Bx,\\\\\n\nx^\\prime &amp;= A(x - v_{ss^\\prime_x} t), \\\\\n\ny^\\prime &amp;= y, \\\\\n\nz^\\prime &amp;= z.\n\n\\end{array}\\;\\;\\;[2]<\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Transforma\u00e7\u00f5es de Lorentz e Galileu<\/h3>\n<p>Para o caso da f\u00edsica de Newton, temos a relatividade de Galileu, na qual o tempo transcorre da mesma forma para todos os referenciais inerciais e, portanto, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=t^\\prime.<\/span> Como consequ\u00eancia disso, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=1<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B=0.<\/span> Isso conduz \u00e0s conhecidas <strong>transforma\u00e7\u00f5es de Galileu<\/strong> que permitem transformar as observa\u00e7\u00f5es entre dois referenciais inerciais.<\/p>\n<p><a name=\"eq2\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nt^\\prime &amp;= t\\\\\n\nx^\\prime &amp;= x - v_{ss^\\prime_x} t, \\\\\n\ny^\\prime &amp;= y, \\\\\n\nz^\\prime &amp;= z.\n\n\\end{array}\\;\\;\\;[3]<\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Por outro lado, no caso da f\u00edsica relativista, temos o princ\u00edpio da Relatividade de Einstein, que considera, em seu lugar, a velocidade da luz no v\u00e1cuo como sendo igual em todos os referenciais inerciais. Isso conduz \u00e0s conhecidas Transforma\u00e7\u00f5es de Lorentz da relatividade especial, que como veremos em entradas posteriores, toma a seguinte forma:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nct^\\prime &amp;=\\gamma_x \\left( ct - \\beta_x x \\right) \\\\\n\nx^\\prime &amp;= \\gamma_x(x - \\beta_x ct) \\\\\n\ny^\\prime &amp;= y \\\\\n\nz^\\prime &amp;= z\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>onde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta_x=v_{ss^\\prime_x}\/c<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma= 1\/\\sqrt{1-\\beta_x^2}.<\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Conclus\u00f5es<\/h2>\n<p>O Princ\u00edpio da Relatividade n\u00e3o s\u00f3 revoluciona a nossa compreens\u00e3o do universo, mas tamb\u00e9m desafia as nossas percep\u00e7\u00f5es mais fundamentais sobre o tempo e o espa\u00e7o. Atrav\u00e9s da an\u00e1lise dos referenciais inerciais, vimos como as leis da f\u00edsica mant\u00eam sua forma constante, independentemente do observador, tanto na f\u00edsica newtoniana quanto na relatividade especial. As transforma\u00e7\u00f5es de Lorentz e Galileu ilustram de maneira \u00fanica as diferen\u00e7as sutis e profundas entre esses dois enfoques. Este princ\u00edpio, que se mant\u00e9m no cora\u00e7\u00e3o da f\u00edsica moderna, n\u00e3o \u00e9 apenas essencial para a compreens\u00e3o te\u00f3rica dos fen\u00f4menos f\u00edsicos, mas tamb\u00e9m para aplica\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas que v\u00e3o desde a tecnologia de GPS at\u00e9 a explora\u00e7\u00e3o espacial. Ao desvendar as complexidades do Princ\u00edpio da Relatividade, aproximamo-nos um passo mais de compreender o intricado tecido do cosmos e o nosso lugar dentro dele.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>O Princ\u00edpio da Relatividade Resumo: O princ\u00edpio da relatividade prop\u00f5e que as observa\u00e7\u00f5es dependem do referencial inercial, mas de tal forma que as leis f\u00edsicas se mant\u00eam. 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