Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels en Logique Propositionnelle – Guide Complet<\/title><\/head><body> <\/p>\n<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<h1 style=\"text-align:center;\">Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels en Logique Propositionnelle<\/h1>\nR\u00e9sum\u00e9 :<\/strong><\/br>Dans ce cours, nous passons en revue les syst\u00e8mes d\u00e9ductifs formels. Il explique comment ces syst\u00e8mes sont utilis\u00e9s pour d\u00e9crypter les relations qui peuvent exister entre diff\u00e9rentes expressions logiques, et les \u00e9l\u00e9ments de base avec lesquels ces d\u00e9monstrations sont construites : le langage, les axiomes et les r\u00e8gles d’inf\u00e9rence. Les axiomes de \u0141ukasiewicz sont mentionn\u00e9s et le modus ponens est expliqu\u00e9 comme le moteur d\u00e9ductif du calcul propositionnel. De plus, il parle de raisonnements, de th\u00e9or\u00e8mes et de pr\u00e9misses, et explique comment les d\u00e9ductions sont ex\u00e9cut\u00e9es dans les syst\u00e8mes d\u00e9ductifs.<\/em><\/p>\nObjectifs d’Apprentissage :<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Comprendre<\/strong> le concept de syst\u00e8mes d\u00e9ductifs formels en logique propositionnelle.<\/li>\n<li>Identifier<\/strong> les composants \u00e9l\u00e9mentaires des syst\u00e8mes d\u00e9ductifs formels.<\/li>\n<li>Conna\u00eetre<\/strong> les axiomes de \u0141ukasiewicz en calcul propositionnel.<\/li>\n<li>Comprendre<\/strong> le modus ponens comme le moteur d\u00e9ductif du calcul propositionnel.<\/li>\n<li>Comprendre<\/strong> comment sont ex\u00e9cut\u00e9es les d\u00e9ductions dans les syst\u00e8mes d\u00e9ductifs et la diff\u00e9rence entre pr\u00e9misses, raisonnements et th\u00e9or\u00e8mes.<\/li>\n<li>Comprendre<\/strong> comment les d\u00e9ductions sont g\u00e9n\u00e9r\u00e9es \u00e0 l’aide de sch\u00e9mas axiomatiques et de r\u00e8gles d’inf\u00e9rence.<\/li>\n<li>Reconna\u00eetre<\/strong> la capacit\u00e9 de la logique \u00e0 connecter des expressions et \u00e0 les remplacer par des expressions de la langue courante.<\/li>\n<\/ol>\nINDEX DES CONTENUS<\/u>:<\/strong> \n <a href=\"#1\">QU’EST-CE QU’UN SYST\u00c8ME D\u00c9DUCTIF FORMEL ?<\/a> \n <a href=\"#2\">LES AXIOMES DE \u0141UKASIEWICZ POUR LA LOGIQUE PROPOSITIONNELLE<\/a> \n <a href=\"#3\">LE MODUS PONENS : LE MOTEUR D\u00c9DUCTIF DU CALCUL PROPOSITIONNEL<\/a> \n <a href=\"#4\">RAISONNEMENTS, TH\u00c9OR\u00c8MES ET PR\u00c9MISSSES<\/a> \n <a href=\"#5\">COMMENT EX\u00c9CUTER UNE D\u00c9MONSTRATION EN LOGIQUE PROPOSITIONNELLE ?<\/a> \n <a href=\"#6\">LE CONCEPT D’\u00c9QUIVALENCE PROUV\u00c9E<\/a> \n <a href=\"#7\">LE (M\u00c9TA)TH\u00c9OR\u00c8ME DE D\u00c9DUCTION<\/a> \n <a href=\"#8\">LE R\u00c9CIPROQUE DU TH\u00c9OR\u00c8ME DE D\u00c9DUCTION<\/a> \n <a href=\"#9\">D\u00c9DUCTIONS SUR LES EXPRESSIONS ET D\u00c9DUCTIONS SUR LES D\u00c9DUCTIONS<\/a> \n <a href=\"#10\">R\u00c8GLE DE MONOTONIE<\/a> \n <a href=\"#11\">SYNTH\u00c8SE ET R\u00c9FLEXIONS SUR LES SYST\u00c8MES D\u00c9DUCTIFS ET LA LOGIQUE PROPOSITIONNELLE<\/a>\n <\/p>\n <center> \n <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OvoEDefcSZg\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe> \n <\/center>\n <\/div>\nNous sommes arriv\u00e9s, dans notre \u00e9tude de la logique, \u00e0 un point tournant, car c’est ici que nous commen\u00e7ons la r\u00e9vision des Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs de la Logique Propositionnelle. C’est l\u00e0 que tout ce que nous avons vu commence \u00e0 devenir op\u00e9rationnel et o\u00f9 le v\u00e9ritable esprit de la logique se d\u00e9voile, car nous \u00e9tudierons l’essence des d\u00e9monstrations. \u00c0 ce stade, on suppose que vous avez d\u00e9j\u00e0 vu comment \u00e9crire des expressions et que vous comprenez de quoi il s’agit en logique propositionnelle ; et si ce n’est pas totalement clair, il est recommand\u00e9 de revoir les cours pr\u00e9c\u00e9dents.<\/span><\/p>\nCeci fait, ce qui suit maintenant est de revoir la mani\u00e8re dont les expressions de la logique propositionnelle se rapportent entre elles pour former une d\u00e9duction. Le m\u00e9canisme \u00e0 travers lequel ces relations sont construites est le syst\u00e8me d\u00e9ductif formel.<\/strong><\/span><\/p>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Qu’est-ce qu’un Syst\u00e8me D\u00e9ductif Formel ?<\/h2>\nLes syst\u00e8mes d\u00e9ductifs formels, ou syst\u00e8mes de calcul d\u00e9ductif, ont trois composants \u00e9l\u00e9mentaires :<\/span><\/p>\n<ol style=\"color: #000000; text-align: justify;\">\n<li>Un Langage Formel.<\/strong><\/li>\n<li>Un Sch\u00e9ma Axiomatique.<\/strong><\/li>\n<li>R\u00e8gles d’Inf\u00e9rence \u00c9l\u00e9mentaires.<\/strong><\/li>\n<\/ol>\nNous avons d\u00e9j\u00e0 examin\u00e9 tout ce qui est li\u00e9 aux langages formels. Maintenant, il est temps d’introduire les sch\u00e9mas axiomatiques et les r\u00e8gles d’inf\u00e9rence \u00e9l\u00e9mentaires.<\/span><\/p>\nPour la construction du syst\u00e8me d\u00e9ductif du calcul propositionnel, nous commencerons par assembler le syst\u00e8me d\u00e9ductif \u00e0 partir des Axiomes de <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Jan_%C5%81ukasiewicz\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">\u0141ukasiewicz<\/a><\/strong>, et comme r\u00e8gle d’inf\u00e9rence \u00e9l\u00e9mentaire, nous utiliserons le Modus Ponens.<\/strong><\/span><\/p>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Les Axiomes de \u0141ukasiewicz pour la Logique Propositionnelle<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=206s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Si \\alpha, \\beta<\/span> et \\gamma<\/span> sont des expressions du calcul propositionnel,<\/span><\/strong><\/a> alors les suivants sont des axiomes du calcul propositionnel :<\/span><\/p>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>[A1]<\/td>\n<td>(\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A2]<\/td>\n<td>((\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\gamma))\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\beta)\\rightarrow(\\alpha \\rightarrow \\gamma)))<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A3]<\/td>\n<td>((\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)\\rightarrow(\\alpha\\rightarrow \\beta))<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Le Modus Ponens : Le moteur d\u00e9ductif du calcul propositionnel<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=392s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Si \\alpha<\/span> et \\beta<\/span> sont des expressions valides du calcul propositionnel,<\/span><\/strong><\/a> alors le modus ponens \u00e9tablit qu’\u00e0 partir de \\alpha<\/span> et (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span> on d\u00e9duit \\beta<\/span>. Sous forme de raisonnement, cela s’\u00e9crit de la mani\u00e8re suivante :<\/span><\/p>\n<table style=\"color: #000000; text-align: justify;\">\n<caption>Structure du Modus Ponens<\/caption>\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td>\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e9misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td>(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e9misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td>\\beta<\/span><\/td>\n<td>; MP(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nIci, le Modus Ponens est abr\u00e9g\u00e9 entre les \u00e9tapes (1) et (2) par l’\u00e9criture \u00abMP(1,2)\u00bb, et la synth\u00e8se de tout cela se repr\u00e9sente \u00e0 travers la notation :<\/p>\nPar cons\u00e9quent \\{\\alpha, (\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash \\beta <\/span>\nNous verrons bient\u00f4t qu’\u00e0 partir des axiomes de \u0141ukasiewicz et du Modus Ponens, toutes les techniques de d\u00e9duction du calcul propositionnel peuvent \u00eatre construites, synth\u00e9tisant les r\u00e8gles de base du raisonnement habituel et servant de base fondamentale pour la logique classique.<\/strong><\/p>\n<a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Raisonnements, th\u00e9or\u00e8mes et pr\u00e9misses<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=506s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Dans les syst\u00e8mes d\u00e9ductifs de la logique propositionnelle, on ex\u00e9cute des raisonnements<\/span><\/strong><\/a> (ou d\u00e9ductions), et ceux-ci sont toute succession d’expressions o\u00f9 chacune d’elles est, ou une pr\u00e9misse ou une expression obtenue \u00e0 partir des pr\u00e9misses en utilisant seulement les axiomes de \u0141ukasiewicz et le modus ponens. Un th\u00e9or\u00e8me est le r\u00e9sultat d’une d\u00e9duction sans pr\u00e9misse. Une pr\u00e9misse peut \u00eatre toute expression qui n’est ni un axiome ni d\u00e9duite de ceux-ci. En g\u00e9n\u00e9ral, quand nous avons un ensemble de pr\u00e9misses \\Gamma<\/span> et une expression \\alpha<\/span> obtenue en utilisant un \u00e9l\u00e9ment de \\Gamma<\/span>, les axiomes et le modus ponens, on \u00e9crit \u00ab\\Gamma \\vdash \\alpha<\/span>\u00bb et on dit que<\/p>\nde \\Gamma<\/span> se d\u00e9duit <\/em>\\alpha<\/span>\nSi \\Gamma<\/span> est un ensemble vide, alors au lieu d’\u00e9crire \u00ab\\emptyset\\vdash \\alpha<\/span>\u00ab, on \u00e9crit \u00ab \\vdash \\alpha <\/span>. \u00bb Cela se lit \u00ab\\alpha<\/span> est un th\u00e9or\u00e8me\u00bb. Cette fa\u00e7on de repr\u00e9senter les th\u00e9or\u00e8mes peut \u00eatre \u00e9tendue \u00e0 la repr\u00e9sentation des axiomes de sorte que, si \\alpha<\/span>, \\beta<\/span> et \\gamma<\/span> sont des expressions, alors les axiomes de \u0141ukasiewicz peuvent \u00eatre \u00e9crits sous la forme<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>[A1]<\/td>\n<td>\\vdash (\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A2]<\/td>\n<td>\\vdash((\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\gamma))\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\beta)\\rightarrow(\\alpha \\rightarrow \\gamma)))<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A3]<\/td>\n<td>\\vdash((\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)\\rightarrow(\\alpha\\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nC’est \u00e0 partir de cela que l’on dit que les axiomes sont des affirmations \u00e9videntes par elles-m\u00eames, ou que les th\u00e9or\u00e8mes sont des expressions qui se d\u00e9duisent \u00e0 partir du vide, ou que axiomes et th\u00e9or\u00e8mes sont des propri\u00e9t\u00e9s du calcul propositionnel.<\/p>\n<a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Comment ex\u00e9cuter une d\u00e9monstration en logique propositionnelle ?<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=783s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">\u00c0 ce stade, nous cesserons de parler de th\u00e9orie pour passer \u00e0 la pratique.<\/span><\/strong><\/a> Il est vrai que beaucoup de choses peuvent \u00eatre dites sur l’ex\u00e9cution d’une d\u00e9monstration ; mais bien qu’on puisse dire des choses brillantes sur les syst\u00e8mes d\u00e9ductifs et la logique propositionnelle, et toutes soient comprises, cela n’implique pas n\u00e9cessairement le d\u00e9veloppement des comp\u00e9tences n\u00e9cessaires pour ex\u00e9cuter une d\u00e9monstration. Pour cette raison, afin d’enseigner comment se font les d\u00e9monstrations, nous examinerons la d\u00e9monstration d’un th\u00e9or\u00e8me simple.<\/p>\nTh\u00e9or\u00e8me<\/strong><\/p>\nSi \\alpha<\/span> est une expression de la logique propositionnelle, alors il est vrai que<\/p>\n\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span>\nD\u00e9monstration<\/strong><\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td> (\\alpha\\rightarrow ( \\alpha \\rightarrow \\alpha)) <\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td> (\\alpha\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\alpha)\\rightarrow\\alpha)) <\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td> ( (\\alpha\\rightarrow((\\alpha\\rightarrow\\alpha)\\rightarrow\\alpha)) \\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow (\\alpha\\rightarrow\\alpha))\\rightarrow( \\alpha\\rightarrow \\alpha))) <\/span><\/td>\n<td>; A2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td> ((\\alpha\\rightarrow (\\alpha\\rightarrow\\alpha))\\rightarrow( \\alpha\\rightarrow \\alpha)) <\/span><\/td>\n<td>; MP(2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td> ( \\alpha\\rightarrow \\alpha) <\/span><\/td>\n<td>; MP(1,5)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nPar cons\u00e9quent \\vdash (\\alpha\\rightarrow\\alpha)<\/span>\nFin de la d\u00e9monstration.<\/p>\nComme on peut le voir, dans les syst\u00e8mes d\u00e9ductifs et la logique propositionnelle, les d\u00e9monstrations ne sont pas triviales, mais une fois construites, elles sont faciles \u00e0 reproduire.<\/p>\nMaintenant, avant de nous plonger t\u00eate premi\u00e8re dans les d\u00e9ductions avec ces techniques, nous allons d’abord d\u00e9velopper quelques propri\u00e9t\u00e9s et d\u00e9finitions qui seront extr\u00eamement utiles pour cette t\u00e2che, car si nous raisonnons seulement avec cela, nous rencontrerons de terribles probl\u00e8mes.<\/p>\n<a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Le concept d’\u00e9quivalence prouv\u00e9e<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=1191s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Si \\alpha<\/span> et \\beta<\/span> sont des expressions quelconques et qu’il est simultan\u00e9ment vrai que<\/span> <\/strong><\/a>\\{\\alpha\\}\\vdash \\beta<\/span> et \\{\\beta\\} \\vdash \\alpha<\/span>, alors on dit que \\alpha<\/span> et \\beta<\/span> sont prouv\u00e9s \u00e9quivalents et on l’\u00e9crira \\alpha \\dashv \\vdash \\beta<\/span>. Cela se r\u00e9sume symboliquement comme suit :<\/p>\n\\left(\\{\\alpha\\}\\vdash\\beta \\wedge \\{\\beta\\}\\vdash\\alpha \\right) \\Leftrightarrow \\left(\\alpha\\dashv\\vdash\\beta\\right)<\/span>\nCela se lit : de \\alpha<\/span> on d\u00e9duit \\beta<\/span>, et de \\beta<\/span> on d\u00e9duit \\alpha<\/span> si et seulement si \\alpha<\/span> et \\beta<\/span> sont prouv\u00e9s \u00e9quivalents.<\/p>\nCeci est une m\u00e9ta-propri\u00e9t\u00e9 de la logique propositionnelle<\/p>\n<a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Le (m\u00e9ta)Th\u00e9or\u00e8me de D\u00e9duction<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=1355s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Si \\alpha<\/span> et \\beta<\/span> sont des expressions du calcul propositionnel,<\/span><\/strong><\/a> et \\Gamma<\/span> est un ensemble de pr\u00e9misses ; alors il est vrai que si de \\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}<\/span> on d\u00e9duit \\beta<\/span>, alors \u00e0 partir de \\Gamma<\/span> on d\u00e9duit (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span>. Symboliquement cela s’exprime comme suit :<\/p>\n\\left(\\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta \\right) \\Rightarrow \\left( \\Gamma\\vdash(\\alpha\\rightarrow\\beta)\\right)\n\n<\/span>\nD\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\nPour que \\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta<\/span> soit vrai, il est n\u00e9cessaire d’avoir une d\u00e9duction de la forme<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td>\\gamma_1<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e9misse 1 de \\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\vdots<\/span><\/td>\n<td>\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n)<\/td>\n<td>\\gamma_n<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e9misse n de \\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+1)<\/td>\n<td>\\overline{\\gamma}_1<\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens entre une paire de lignes ant\u00e9rieures<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\vdots<\/span><\/td>\n<td>\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m)<\/td>\n<td>\\overline{\\gamma}_m<\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens entre une paire de lignes ant\u00e9rieures<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m+1)<\/td>\n<td>\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e9misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m+2)<\/td>\n<td>\\beta<\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens (n+m+1, une des \u00e9tapes ant\u00e9rieures, sauf n+m+1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nPar cons\u00e9quent \\Gamma\\cup\\{\\alpha\\} \\vdash \\beta <\/span>\nPour que cela soit possible, il est n\u00e9cessaire qu’au moins une des expressions \\gamma_1, \\cdots, \\gamma_n, \\overline{\\gamma_1}, \\cdots, \\overline{\\gamma_m}<\/span> soit de la forme (\\alpha\\rightarrow \\beta)<\/span>, mais toutes ces lignes n’impliquent que des \u00e9l\u00e9ments de \\Gamma<\/span> et les axiomes de \u0141ukasiewicz dans leur d\u00e9duction, donc il doit \u00eatre vrai que \\Gamma\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span>. Ainsi, le th\u00e9or\u00e8me est d\u00e9montr\u00e9<\/p>\nFin de la d\u00e9monstration.<\/p>\n<a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h2>Le R\u00e9ciproque du Th\u00e9or\u00e8me de D\u00e9duction<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=1668s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Dans les m\u00eames conditions que le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9duction, il s’ensuit que<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n\n\\left(\\Gamma\\vdash(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\right) \\Rightarrow \\left( \\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta \\right)\n\n<\/span>\nD\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\nSi \\Gamma\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\beta)<\/span> est vrai, alors on a une d\u00e9duction de la forme<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td>\\gamma_1<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e9misse 1 de \\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\vdots<\/span><\/td>\n<td>\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n)<\/td>\n<td>\\gamma_n<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e9misse n de \\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+1)<\/td>\n<td>(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens (parmi une paire de lignes pr\u00e9c\u00e9dentes)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nMaintenant, si nous ajoutons \\alpha<\/span> comme pr\u00e9misse \u00e0 ce raisonnement, alors nous aurons les lignes suivantes<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(n+2)<\/td>\n<td>\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e9misse additionnelle<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+3)<\/td>\n<td>\\beta<\/span><\/td>\n<td>; MP(n+1,n+2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nPar cons\u00e9quent \\Gamma \\cup \\{\\alpha\\} \\vdash \\beta<\/span>\nCe qui \u00e9tait \u00e0 d\u00e9montrer.<\/p>\nFin de la d\u00e9monstration.<\/p>\n<a name=\"9\"><\/a><\/p>\n<h2>D\u00e9ductions sur les Expressions et D\u00e9ductions sur les D\u00e9ductions<\/h2>\nDes d\u00e9monstrations comme celle faite pr\u00e9c\u00e9demment pour arriver au r\u00e9sultat \\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span> sont des cas de d\u00e9ductions bas\u00e9es sur des expressions, car chaque \u00e9tape contient une expression sp\u00e9cifique. De mani\u00e8re analogue, il est possible de faire des d\u00e9ductions bas\u00e9es sur d’autres d\u00e9ductions, o\u00f9 chaque \u00e9tape est une d\u00e9duction en soi. En pratique, les deux sont faites de mani\u00e8re analogue, mais la seconde nous permet d’utiliser le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9duction et son r\u00e9ciproque, donnant une grande flexibilit\u00e9 \u00e0 la technique de raisonnement. Pour voir cela, d\u00e9montrons \u00e0 nouveau que \\vdash (\\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span>, mais cette fois en utilisant des d\u00e9ductions au lieu d’expressions. Une alternative \u00e0 cela est la suivante :<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td>\\vdash (\\alpha \\rightarrow (\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td>\\{\\alpha\\}\\vdash ( \\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; RTD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td>\\{\\alpha\\}\\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha<\/span><\/td>\n<td>; RTD(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td>\\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Notons que \\{\\alpha\\}\\cup\\{\\alpha\\}=\\{\\alpha\\}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td>\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/td>\n<td>; TD(4)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nNotons que ce raisonnement n’est pas plus court que celui que nous avions fait auparavant, mais il est beaucoup plus facile \u00e0 r\u00e9aliser, nous nous contentons du th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9duction, de son r\u00e9ciproque et du sch\u00e9ma axiomatique A1 pour construire la d\u00e9monstration.<\/p>\nEn apparence, dans le d\u00e9veloppement que nous venons de faire, nous utilisons un seul axiome de \u0141ukasiewicz et nous oublions \u00e0 la fois d’autres axiomes et le modus ponens. Cela implique-t-il que, en raisonnant de cette mani\u00e8re, nous oublions les autres axiomes et le modus ponens ? La r\u00e9ponse est oui et non. D’un c\u00f4t\u00e9, nous pouvons faire comme si nous oublions certains axiomes et le modus ponens simplement parce que nous ne les utilisons pas de mani\u00e8re explicite, cependant, il faut se rappeler que le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9duction et son r\u00e9ciproque sont pr\u00e9cis\u00e9ment la cons\u00e9quence des axiomes de \u0141ukasiewicz et du modus ponens, ce qui implique que, en les utilisant, comme nous l’avons fait dans le raisonnement que nous venons de voir, nous faisons un usage implicite d’eux.<\/p>\n<a name=\"10\"><\/a><\/p>\n<h2>R\u00e8gle de Monotonie<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=1972s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Si \\tau<\/span> est un th\u00e9or\u00e8me,<\/span><\/strong><\/a> alors il sera vrai que, pour toute expression \\beta<\/span>, il s’ensuit que<\/p>\n\\{\\beta\\}\\vdash\\tau<\/span>\nCeci est en r\u00e9alit\u00e9 une r\u00e8gle tr\u00e8s facile \u00e0 prouver, car \u00e9tant \\tau<\/span> un th\u00e9or\u00e8me, il est vrai que \\vdash \\tau<\/span>. C’est-\u00e0-dire qu’il existe un raisonnement qui, sans n\u00e9cessiter l’ajout de pr\u00e9misses, conduit \u00e0 l’expression \\tau<\/span>, donc ajouter une expression suppl\u00e9mentaire aux pr\u00e9misses (vide) ne fera aucune diff\u00e9rence.<\/p>\nDe mani\u00e8re similaire \u00e0 cela, on peut \u00e9noncer le r\u00e9sultat suivant : si d’un ensemble de pr\u00e9misses \\Gamma<\/span> on d\u00e9duit \\gamma<\/span>, alors il s’ensuit que<\/p>\n\\Gamma\\cup\\{\\alpha\\}\\vdash\\gamma<\/span>\nO\u00f9 \\alpha<\/span> est une expression quelconque.<\/p>\n<a name=\"11\"><\/a><\/p>\n<h2>Synth\u00e8se et R\u00e9flexions sur les Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs et la Logique Propositionnelle<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&t=1933s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Lorsque nous dotons le langage de la logique propositionnelle d’une r\u00e8gle d’inf\u00e9rence et d’expressions de base :<\/span><\/strong><\/a> Le Modus Ponens et les Axiomes de \u0141ukasiewicz, ce que nous faisons est analogue \u00e0 assembler une \u00abmachine d\u00e9ductive\u00bb et un \u00abmoteur qui lui fournit l’\u00e9nergie pour se mettre en mouvement\u00bb. \u00c0 partir de l\u00e0, toutes les r\u00e8gles de base de la d\u00e9duction commencent \u00e0 \u00e9merger naturellement et nous commencerons \u00e0 les examiner dans les livraisons imm\u00e9diatement apr\u00e8s celle-ci.<\/p>\nUn autre d\u00e9tail. Les expressions de la logique propositionnelle sont en r\u00e9alit\u00e9 des m\u00e9ta-expressions du langage \u00e0 deux symboles que nous avons vu pr\u00e9c\u00e9demment. Rappelons que l’int\u00e9r\u00eat de ces m\u00e9ta-expressions est qu’elles nous permettent de remplacer leurs m\u00e9ta-variables par n’importe quelle expression du langage pour obtenir une nouvelle qui satisfait cette structure. Lorsque nous dotons le langage de logique propositionnelle de sch\u00e9mas axiomatiques et de r\u00e8gles d’inf\u00e9rences, nous construisons les Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs de la logique propositionnelle qui permettent de g\u00e9n\u00e9rer des d\u00e9ductions reliant les expressions. En r\u00e9sultat, nous avons un sch\u00e9ma d\u00e9ductif capable d’englober une infinit\u00e9 de d\u00e9ductions : toutes celles que nous pouvons obtenir en rempla\u00e7ant les m\u00e9ta-variables par les expressions que nous voulons. Le pouvoir de la logique se d\u00e9cha\u00eene, en r\u00e9alit\u00e9, lorsque nous r\u00e9alisons qu’en plus de ces expressions du langage \u00e0 deux symboles que nous avons utilis\u00e9es au d\u00e9but, nous observons ce qui se passe lorsque nous rempla\u00e7ons \u00e0 la place des expressions de notre langue habituelle et, par cons\u00e9quent, nous sommes \u00e9merveill\u00e9s.<\/p>\n<\/body> \n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels en Logique Propositionnelle – Guide Complet Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels en Logique Propositionnelle R\u00e9sum\u00e9 :Dans ce cours, nous passons en revue les syst\u00e8mes d\u00e9ductifs formels. 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Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n","yoast_head_json":{"title":"Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels : D\u00e9finitions et Exemples - toposuranos.com\/material","description":"Explorez les fondements des syst\u00e8mes d\u00e9ductifs formels en logique propositionnelle, y compris les axiomes, les inf\u00e9rences et les th\u00e9or\u00e8mes.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels : D\u00e9finitions et Exemples","og_description":"Explorez les fondements des syst\u00e8mes d\u00e9ductifs formels en logique propositionnelle, y compris les axiomes, les inf\u00e9rences et les th\u00e9or\u00e8mes.","og_url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2021-01-25T00:00:44+00:00","article_modified_time":"2025-07-31T01:13:20+00:00","og_image":[{"width":1536,"height":698,"url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/sitemasdeductivos-7.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels : D\u00e9finitions et Exemples","twitter_description":"Explorez les fondements des syst\u00e8mes d\u00e9ductifs formels en logique propositionnelle, y compris les axiomes, les inf\u00e9rences et les th\u00e9or\u00e8mes.","twitter_image":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/sitemasdeductivos-7.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"11 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/#article","isPartOf":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels : D\u00e9finitions et Exemples","datePublished":"2021-01-25T00:00:44+00:00","dateModified":"2025-07-31T01:13:20+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/"},"wordCount":2883,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/sitemasdeductivos-7.jpg","articleSection":["Logique Propositionnelle","Math\u00e9matiques"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/systemes-deductifs-formels-definitions-et-exemples\/","name":"Syst\u00e8mes D\u00e9ductifs Formels : D\u00e9finitions et Exemples - 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