{"id":25234,"date":"2021-01-25T00:00:20","date_gmt":"2021-01-25T00:00:20","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=25234"},"modified":"2025-07-31T01:40:45","modified_gmt":"2025-07-31T01:40:45","slug":"sistemas-deductivos-formales-y-definiciones","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/sistemas-deductivos-formales-y-definiciones\/","title":{"rendered":"Sistemas Deductivos Formales: Definiciones y Ejemplos"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1 style=\"text-align:center;\">Sistemas Deductivos Formales en L\u00f3gica Proposicional<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><\/br>En esta clase se hace una revisi\u00f3n al los sistemas deductivos formales. Se explica c\u00f3mo estos sistemas se utilizan para descifrar las relaciones que pueden existir entre distintas expresiones l\u00f3gicas, y los elementos b\u00e1sicos con que se construyen estas demostraciones: el lenguaje, los axiomas y las reglas de inferencia. Se mencionan los axiomas de \u0141ukasiewicz y se explica el modus ponens como el motor deductivo del c\u00e1lculo proposicional. Adem\u00e1s, se habla de razonamientos, teoremas y premisas, y se explica c\u00f3mo se ejecutan las deducciones en los sistemas deductivos.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Comprender<\/strong> el concepto de sistemas deductivos formales en la l\u00f3gica proposicional.<\/li>\n<li><strong>Identificar<\/strong> los componentes elementales de los sistemas deductivos formales.<\/li>\n<li><strong>Conocer<\/strong> los axiomas de \u0141ukasiewicz en el c\u00e1lculo proposicional.<\/li>\n<li><strong>Entender<\/strong> el modus ponens como el motor deductivo del c\u00e1lculo proposicional.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> c\u00f3mo se ejecutan las deducciones en los sistemas deductivos y la diferencia entre premisas, razonamientos y teoremas.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> c\u00f3mo se generan las deducciones mediante esquemas axiom\u00e1ticos y reglas de inferencia.<\/li>\n<li><strong>Reconocer<\/strong> la capacidad de la l\u00f3gica para conectar expresiones y remplazarlas por expresiones de la lengua usual.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">\u00bfQU\u00c9 ES UN SISTEMA DEDUCTIVO FORMAL?<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">LOS AXIOMAS DE \u0141UKASIEWICZ PARA LA L\u00d3GICA PROPOSICIONAL<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">EL MODUS PONENS: EL MOTOR DEDUCTIVO DEL C\u00c1LCULO PROPOSICIONAL<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">RAZONAMIENTOS, TEOREMAS Y PREMISAS<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">\u00bfC\u00d3MO SE EJECUTA UNA DEMOSTRACI\u00d3N EN LA L\u00d3GICA PROPOSICIONAL?<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA PROBADA<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">EL (META)TEOREMA DE DEDUCCI\u00d3N<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">EL REC\u00cdPROCO DEL TEOREMA DE DEDUCCI\u00d3N<\/a><br \/>\n<a href=\"#9\">DEDUCCIONES SOBRE EXPRESIONES Y DEDUCCIONES SOBRE DEDUCCIONES<\/a><br \/>\n<a href=\"#10\">REGLA DE MONOTON\u00cdA<\/a><br \/>\n<a href=\"#11\">S\u00cdNTESIS Y REFLEXIONES SOBRE SISTEMAS DEDUCTIVOS Y LA L\u00d3GICA PROPOSICIONAL<\/a>\n<\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OvoEDefcSZg\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hemos llegado, dentro de nuestro estudio de la l\u00f3gica, a un punto de inflexi\u00f3n, porque aqu\u00ed iniciamos la revisi\u00f3n de los Sistemas Deductivos de la L\u00f3gica Proposicional. Aqu\u00ed es donde todo lo que hemos visto comienza a volverse operativo y ve la luz el verdadero esp\u00edritu de la l\u00f3gica, porque estudiaremos la esencia de las demostraciones. En este punto se asume que ya has visto c\u00f3mo escribir expresiones y entiendes de qu\u00e9 va la l\u00f3gica proposicional; y si no lo tienes del todo claro, es recomendable que revises las clases previas a esta.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hecho esto, lo que sigue ahora es revisar la forma en que las expresiones de la l\u00f3gica proposicional se relacionan entre si para formar una deducci\u00f3n. El mecanismo a trav\u00e9s del cual se construyen esas relaciones es el <strong>sistema deductivo formal.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00bfQu\u00e9 es un Sistema Deductivo Formal?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Los sistemas deductivos formales, o sistemas de c\u00e1lculo deductivo, tienen tres componentes elementales:<\/p>\n<ol style=\"color: #000000; text-align: justify;\">\n<li><strong>Un Lenguaje Formal.<\/strong><\/li>\n<li><strong>Un Esquema Axiom\u00e1tico.<\/strong><\/li>\n<li><strong>Reglas de Inferencia Elementales.<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ya hemos revisado todo lo relacionado a los lenguajes formales. Ahora nos toca introducir los esquemas axiom\u00e1ticos y las reglas de inferencia elemental.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para la construcci\u00f3n del sistema deductivo del c\u00e1lculo proposicional partiremos armando el sistema deductivo a partir de los <strong>Axiomas de <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Jan_%C5%81ukasiewicz\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">\u0141ukasiewicz<\/a><\/strong>, y por regla de inferencia elemental usaremos el <strong>Modus Ponens.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Los Axiomas de \u0141ukasiewicz para la L\u00f3gica Proposicional<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=206s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta<\/span><\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> son expresiones del c\u00e1lculo proposicional,<\/strong><\/a> entonces los siguientes son axiomas del c\u00e1lculo proposicional:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>[A1]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A2]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\gamma))\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\beta)\\rightarrow(\\alpha \\rightarrow \\gamma)))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A3]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)\\rightarrow(\\alpha\\rightarrow \\beta))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>El Modus Ponens: El motor deductivo del c\u00e1lculo proposicional<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=392s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> son expresiones v\u00e1lidas del c\u00e1lculo proposicional, <\/strong><\/a>entonces el modus ponens establece que a partir de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span> se deduce <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>. En forma de razonamiento esto se escribe de la siguiente manera:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<caption>Estructura del Modus Ponens<\/caption>\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/td>\n<td>; MP(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aqu\u00ed se ha abreviado representado el Modus Ponens entre los pasos (1) y (2) a trav\u00e9s de la escritura \u00abMP(1,2)\u00bb, y la s\u00edntesis de todo esto se representa a trav\u00e9s de la notaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">Por lo tanto<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{\\alpha, (\\alpha \\rightarrow \\beta)\\}\\vdash \\beta <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Pronto veremos que a partir de los axiomas de \u0141ukasiewicz y el Modus Ponens se pueden construir todas las t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n del c\u00e1lculo proposicional, las cuales sintetizan las reglas b\u00e1sicas del razonamiento usual y sirve de base fundacional para la <strong>l\u00f3gica cl\u00e1sica.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Razonamientos, teoremas y premisas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=506s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>En el sistemas deductivos de a la l\u00f3gica proposicional se ejecutan razonamientos<\/strong><\/a> (o deducciones), y estos son cualquier sucesi\u00f3n de expresiones en donde cada una de ellas es, o una premisa o una expresi\u00f3n obtenida a partir de las premisas utilizando s\u00f3lo los axiomas de \u0141ukasiewicz y el modus ponens. Un teorema es el resultado de una deducci\u00f3n sin premisas. Una premisa puede ser cualquier expresi\u00f3n que ni es un axioma ni se deduce a partir de ellos. En general, cuando tenemos un conjunto de premisas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> y una expresi\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> que se obtiene utilizando alg\u00fan elemento de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span>, los axiomas y el modus ponens, se escribe \u00ab<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma \\vdash \\alpha<\/span><\/span>\u00bb y decimos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><em>de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> se deduce <\/em><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> es un conjunto vac\u00edo, entonces en lugar de escribir \u00ab<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\emptyset\\vdash \\alpha<\/span><\/span>\u00bb se escribe \u00ab<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash \\alpha <\/span><\/span>. \u00bb Esto se lee \u00ab<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> es un teorema\u00bb. Esta forma de representar los teoremas se puede extender para la representaci\u00f3n de los axiomas de modo que, si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> son expresiones, entonces los axiomas de \u0141ukasiewicz se pueden escribir de la forma<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>[A1]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A2]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash((\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\gamma))\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\beta)\\rightarrow(\\alpha \\rightarrow \\gamma)))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[A3]<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash((\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)\\rightarrow(\\alpha\\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es a partir esto que se dice que los axiomas son afirmaciones evidentes por si mismas, o que los teoremas son expresiones que se infieren a partir de vac\u00edo, o que axiomas y teoremas son propiedades del c\u00e1lculo proposicional.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00bfC\u00f3mo se ejecuta una demostraci\u00f3n en la l\u00f3gica proposicional?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=783s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>En este punto dejaremos de hablar de teor\u00eda y pasaremos a la pr\u00e1ctica.<\/strong><\/a> Y es que sobre la ejecuci\u00f3n de una demostraci\u00f3n se pueden decir muchas cosas; pero por m\u00e1s que se digan cosas brillantes sobre los sistemas deductivos y la l\u00f3gica proposicional, y todas sean entendidas, esto no implicar\u00e1 que por necesidad que se est\u00e9n desarrollando las competencias necesarias para ejecutar una demostraci\u00f3n. Por este motivo, para ense\u00f1ar la forma en que se hacen las demostraciones revisaremos la demostraci\u00f3n de un teorema sencillo.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #880000;\"><strong>Teorema<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> es una expresi\u00f3n de la l\u00f3gica proposicional, entonces se cumple que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000088;\"><strong>Demostraci\u00f3n<\/strong><\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (\\alpha\\rightarrow ( \\alpha \\rightarrow \\alpha)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> (\\alpha\\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow \\alpha)\\rightarrow\\alpha)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ( (\\alpha\\rightarrow((\\alpha\\rightarrow\\alpha)\\rightarrow\\alpha)) \\rightarrow ((\\alpha\\rightarrow (\\alpha\\rightarrow\\alpha))\\rightarrow( \\alpha\\rightarrow \\alpha))) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; A2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ((\\alpha\\rightarrow (\\alpha\\rightarrow\\alpha))\\rightarrow( \\alpha\\rightarrow \\alpha)) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ( \\alpha\\rightarrow \\alpha) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; MP(1,5)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Por lo tanto<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vdash (\\alpha\\rightarrow\\alpha)<\/span><\/span><\/p>\n<p>Fin de la demostraci\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Como se puede ver, en los sistemas deductivos y la l\u00f3gica proposicional las demostraciones no tienen nada de trivial, pero una vez construidas son f\u00e1ciles de replicar.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora, antes de tirarnos de cabeza a hacer deducciones con estas t\u00e9cnicas, primero vamos a desarrollar algunas propiedades y definiciones que nos ser\u00e1n extremadamente \u00fatiles para esta labor, porque si razonamos s\u00f3lo con esto nos toparemos con terribles problemas.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>El concepto de equivalencia probada<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1191s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> son expresiones cualesquiera y se\u00a0 cumple <\/strong><\/a>al mismo tiempo que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash \\beta<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\beta\\} \\vdash \\alpha<\/span><\/span>, entonces se dice que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> son probadas equivalentes y se escribir\u00e1 <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha \\dashv \\vdash \\beta<\/span><\/span>. Esto se resume simb\u00f3licamente como:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\{\\alpha\\}\\vdash\\beta \\wedge \\{\\beta\\}\\vdash\\alpha \\right) \\Leftrightarrow \\left(\\alpha\\dashv\\vdash\\beta\\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Esto se lee: de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> se infiere <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>, y de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> se infiere <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> si y s\u00f3lo si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> son probados equivalentes.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Esto es una meta-propiedad de la l\u00f3gica proposicional<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>El (meta)Teorema de Deducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1355s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> son expresiones del c\u00e1lculo proposicional,<\/strong><\/a> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> es un conjunto de premisas; entonces se tiene que si de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}<\/span><\/span>se deduce <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>, entonces a partir de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> se deduce <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span>. Simb\u00f3licamente esto quedar\u00eda expresado como:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta \\right) \\Rightarrow \\left( \\Gamma\\vdash(\\alpha\\rightarrow\\beta)\\right)\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #880000;\"><strong>Demostraci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para que se cumpla <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta<\/span><\/span>, es necesario tener una deducci\u00f3n de la forma<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_1<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Premisa 1 de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_n<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Premisa n de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\overline{\\gamma}_1<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens entre alg\u00fan par de l\u00edneas anteriores<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\overline{\\gamma}_m<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens entre alg\u00fan par de l\u00edneas anteriores<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m+1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Premisa<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+m+2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens (n+m+1, alguno de los pasos anteriores, excepto el n+m+1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Por lo tanto<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\Gamma\\cup\\{\\alpha\\} \\vdash \\beta <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para que \u00e9sto sea posible, es necesario que por lo menos una de las expresiones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_1, \\cdots \\gamma_n,\\overline{\\gamma_1},\\cdots,\\overline{\\gamma_m}<\/span><\/span> sea de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\rightarrow \\beta)<\/span><\/span>, pero todas esas l\u00edneas s\u00f3lo involucran elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> y los axiomas de \u0141ukasiewicz en su deducci\u00f3n, por lo tanto debe cumplirse que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span>. Quedando por lo tanto demostrado el teorema<\/p>\n<p>Fin de la demostraci\u00f3n.<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h2>El Rec\u00edproco del Teorema de Deducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1668s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>En las mismas condiciones que el teorema de deducci\u00f3n, se tendr\u00e1 que<\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\left(\\Gamma\\vdash(\\alpha \\rightarrow \\beta)\\right) \\Rightarrow \\left( \\Gamma \\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\beta \\right)\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #880000;\"><strong>Demostraci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Si se cumple que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\beta)<\/span><\/span>, entonces se tiene una deducci\u00f3n de la forma<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_1<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Premisa 1 de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_n<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Premisa n de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Modus Ponens(entre alg\u00fan par de l\u00edneas anteriores)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora, si agregamos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> como premisa a este razonamiento, entonces tendremos las siguientes l\u00edneas<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(n+2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/td>\n<td>; Premisa adicional<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(n+3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/td>\n<td>; MP(n+1,n+2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Por lo tanto<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\Gamma \\cup \\{\\alpha\\} \\vdash \\beta<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Que es lo que se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n<p>Fin de la demostraci\u00f3n.<\/p>\n<p><a name=\"9\"><\/a><\/p>\n<h2>Deducciones sobre Expresiones y Deducciones sobre Deducciones<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Demostraciones como la que se hizo antes para llegar al resultado <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span> son casos de deducciones a base de expresiones, porque cada paso contiene una expresi\u00f3n en concreto. De forma an\u00e1loga es posible hacer deducciones en base a otras deducciones, donde cada paso es una deducci\u00f3n en si misma. En la pr\u00e1ctica, ambas cosas se hacen de forma an\u00e1loga, pero la segunda nos permite hacer uso del teorema de deducci\u00f3n y su rec\u00edproco, dando gran flexibilidad a la t\u00e9cnica de razonar. Para ver esto, demostremos nuevamente que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span>, pero ahora usando deducciones en lugar de expresiones. Una alternativa para ello es la siguiente:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha \\rightarrow (\\alpha \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<td>; A1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash ( \\alpha \\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; RTD(1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\cup \\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; RTD(2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\vdash \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Notemos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha\\}\\cup\\{\\alpha\\}=\\{\\alpha\\}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash (\\alpha\\rightarrow \\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; TD(4)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Notemos que este razonamiento no es m\u00e1s corto que el que hab\u00edamos realizado antes, pero si mucho m\u00e1s f\u00e1cil de realizar, s\u00f3lo nos bastamos del teorema de deducci\u00f3n, de su rec\u00edproco y del esquema axiom\u00e1tico A1 para construir la demostraci\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">En apariencia, en el desarrollo que acabamos de hacer utilizamos un solo axioma de \u0141ukasiewicz y nos olvidamos tanto de otros axiomas como del modus ponens. \u00bfImplica esto que por razonar de esta forma nos olvidamos de los dem\u00e1s axiomas y del modus ponens? La respuesta es un si y un no. Por un lado podemos hacer como si nos olvid\u00e1semos de algunos axiomas y del modus ponens s\u00f3lo porque no los estamos usando de forma expl\u00edcita, sin embargo, debe recordarse que tanto el teorema de deducci\u00f3n como su rec\u00edproco son consecuencia precisamente de los axiomas de \u0141ukasiewicz y del modus ponens, lo cual implica que, al hacer uso de \u00e9stos, como se hizo en el razonamiento que acabamos de ver, estamos haciendo un uso impl\u00edcito de ellos.<\/p>\n<p><a name=\"10\"><\/a><\/p>\n<h2>Regla de Monoton\u00eda<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1972s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tau<\/span> es un teorema,<\/strong><\/a> entonces se tendr\u00e1 que, dada cualquier expresi\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>, se cumplir\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\beta\\}\\vdash\\tau<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Esto es en realidad una regla muy f\u00e1cil de probar, ya que al ser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tau<\/span> un teorema se cumplir\u00e1 que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash \\tau<\/span><\/span>. Es decir, que existe un razonamiento que sin la necesidad de agregar premisas conduce a la expresi\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tau<\/span>, por lo que agregar una expresi\u00f3n adicional a las premisas (vac\u00eda) no crear\u00e1 diferencia.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">De forma similar a esto se puede plantear el siguiente resultado: si de un conjunto de premisas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span> se infiere <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span>, entonces se cumplir\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma\\cup\\{\\alpha\\}\\vdash\\gamma<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> es una expresi\u00f3n cualquiera.<\/p>\n<p><a name=\"11\"><\/a><\/p>\n<h2>S\u00edntesis y Reflexiones sobre Sistemas Deductivos y la L\u00f3gica Proposicional<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OvoEDefcSZg&amp;t=1933s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Cuando proporcionamos al lenguaje de la l\u00f3gica proposicional una regla de inferencia y expresiones de base:<\/strong><\/a> El Modus Ponens y los Axiomas de \u0141ukasiewicz, lo que hacemos es an\u00e1logo a armar una \u00abm\u00e1quina deductiva\u00bb y un \u00abmotor que le proporciona energ\u00eda para entrar en movimiento\u00bb. A partir de aqu\u00ed es que comienzan a emerger de forma natural todas las reglas b\u00e1sicas de deducci\u00f3n y que comenzaremos a revisar en las entregas inmediatamente posterior a esta.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Otro detalle m\u00e1s. Las expresiones de la l\u00f3gica proposicional son en realidad meta-expresiones del lenguaje de dos s\u00edmbolos que vimos antes. Recordemos que la gracia de estas meta-expresiones es que nos permiten sustituir sus meta-variables por cualquier expresi\u00f3n del lenguaje para obtener una nueva que satisface tal estructura. Cuando dotamos al lenguaje de l\u00f3gica proposicional de esquemas axiom\u00e1ticos y reglas de inferencias, construimos el Sistemas Deductivos de la l\u00f3gica proposicional que permite generar deducciones que conectan expresiones. Como resultado tenemos un esquema deductivo capaz de englobar infinitas deducciones: todas las que podemos obtener remplazando meta-variables por las expresiones que queramos. El poder de la l\u00f3gica se desata, en realidad, cuando nos damos cuenta de que adem\u00e1s de esas expresiones del lenguaje de dos s\u00edmbolos que utiliamos al principio, observamos lo que ocurre cuando en su lugar remplazamos expresiones de nuestra lengua usual.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sistemas Deductivos Formales en L\u00f3gica Proposicional Resumen:En esta clase se hace una revisi\u00f3n al los sistemas deductivos formales. Se explica c\u00f3mo estos sistemas se utilizan para descifrar las relaciones que pueden existir entre distintas expresiones l\u00f3gicas, y los elementos b\u00e1sicos con que se construyen estas demostraciones: el lenguaje, los axiomas y las reglas de inferencia. 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