N\u00fameros Naturales y los Axiomas de Peano<\/title> <\/head> <body> <\/p>\n<div style=\"padding:20px;\"><center><\/p>\n<h1>Los N\u00fameros Naturales y los Axiomas de Peano<\/h1>\nRESUMEN<\/b> \nEsta clase trata sobre los n\u00fameros naturales y sobre c\u00f3mo se definen mediante los axiomas de Peano: una serie de principios matem\u00e1ticos que establecen sus propiedades fundamentales. Tambi\u00e9n explica c\u00f3mo se utilizan s\u00edmbolos para representar los sucesores de los n\u00fameros naturales, c\u00f3mo se representan simb\u00f3licamente y el uso del principio de inducci\u00f3n matem\u00e1tica para la realizaci\u00f3n de pruebas inductivas.<\/em><\/p>\nOBJETIVOS DE APRENDIZAJE<\/b><\/p>\n<\/center><\/p>\n<ol>\n<li>Comprender<\/strong> los axiomas de Peano para la formulaci\u00f3n de los n\u00fameros naturales.<\/li>\n<li>Comprender<\/strong> la formulaci\u00f3n de la respresentaci\u00f3n simb\u00f3lica de los n\u00fameros naturales. <\/li>\n<\/ol>\n<center><\/p>\nINDICE<\/strong><\/p>\n<a href=\"#1\">Los axiomas de peano para los n\u00fameros naturales<\/strong><\/a> \n<a href=\"#2\">El principio de inducci\u00f3n en los n\u00fameros naturales<\/strong><\/a> \n<a href=\"#3\">Comentario sobre las demostraciones<\/a><\/p>\n<\/center><\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/w-BznjX88No\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Los Axiomas de Peano para los N\u00fameros Naturales<\/h2>\nLos N\u00fameros Naturales<\/em>, tambi\u00e9n conocidos como n\u00fameros enteros positivos<\/em>, son aquellos que utilizamos para contar y medir. Se presentan de forma m\u00e1s natural en la operaci\u00f3n de contar, que es la m\u00e1s sencilla de la aritm\u00e9tica. Estos n\u00fameros se definen a trav\u00e9s de los axiomas de Peano<\/em><\/strong>, una serie de principios matem\u00e1ticos que establecen c\u00f3mo funcionan estos n\u00fameros.<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb es un n\u00famero natural<\/li>\n<li>Si n<\/span> es un natural, entonces su sucesor S(n)<\/span> tambien lo es.<\/li>\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb no es sucesor de ning\u00fan natural.<\/li>\n<li>Si S(n) = S(m)<\/span>, entonces n=m<\/span>.<\/li>\n<li>Si 1<\/span> pertenece a alg\u00fan conjunto A<\/span>; y si dado un k<\/span> cualquiera en A<\/span>, S(k)<\/span> tambi\u00e9n est\u00e1 en A<\/span>, entonces A<\/span> es el conjunto de los n\u00fameros naturales y se denota por \\mathbb{N}<\/span>.<\/li>\n<\/ol>\nAl estudiar los axiomas de Peano, nos damos cuenta de que el s\u00edmbolo \u00ab1<\/span>\u00bb en realidad es solo una representaci\u00f3n utilizada para se\u00f1alar a un n\u00famero natural espec\u00edfico. Este n\u00famero es aquel que cumple con estas propiedades. As\u00ed como 1<\/span> representa al \u00abprimer natural\u00bb, tambi\u00e9n utilizamos s\u00edmbolos (que son familiares para nosotros) para representar a sus sucesores. <\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>2=S(1)<\/span><\/li>\n<li>3=S(2)<\/span><\/li>\n<li>4=S(3) \\\\ \\vdots<\/span><\/li>\n<\/ul>\ny as\u00ed sucesivamente. De este modo, los s\u00edmbolos 1<\/span>, 2<\/span>, 3<\/span>, etc… son entidades abstractas que representan a los distintos sucesores de 1<\/span>. La colecci\u00f3n de todos estos objetos son los n\u00fameros naturales y los representamos a trav\u00e9s de:<\/p>\n\\mathbb{N}=\\{1,2,3,4,\\cdots \\}<\/span>\nTambien se dice que los n\u00fameros naturales se disponen en una sucesi\u00f3n, la sucesi\u00f3n de los n\u00fameros natuales:<\/p>\n1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \\cdots <\/span>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>El Principio de Inducci\u00f3n en los N\u00fameros Naturales<\/h2>\nUn aspecto importante de los n\u00fameros naturales es que siempre hay un n\u00famero despu\u00e9s de cada uno, lo que significa que hay infinitos n\u00fameros naturales. Esto lo podemos intuir a partir del quinto axioma, o principio de inducci\u00f3n,<\/strong> que se expresa de la siguiente manera:<\/p>\nSi una propiedad se verifica para 1<\/span>; y si admitido que se verifique para otro natural cualquiera k<\/span>, se verifica tambi\u00e9n para el siguiente S(k)<\/span>; entonces tal propiedad se verifica para todos los naturales.<\/em><\/p>\nEl principio de inducci\u00f3n proporciona, adem\u00e1s de un piso fundacional para los n\u00fameros naturales, es un instrumento \u00fatil para demostrar si se cumple una propiedad sobre los n\u00fameros naturales. Para revisar esto veamos un ejemplo sencillo:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify;\">\nEJEMPLO:<\/strong> A traves del principio de inducci\u00f3n se puede demostrar que todo natural es distinto de su sucesor. <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify;\">\nSi bien esto es una obviedad, ayuda a entender la forma de proceder cuando se demuestra a trav\u00e9s de inducci\u00f3n. <\/p>\nDemostraci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\nEs claro que 1<\/span> es distinto de S(1)=2<\/span>. Esto es el paso inicial, <\/strong> donde verificamos que la propiedad se cumple para el primer elemento. <\/p>\n<\/li>\n<li>\nSupongamos la propiedad se cumple para un k<\/span> cualquiera, es decir, que k\\neq S(k)<\/span>, lo que haremos ser\u00e1 probar que a partir de \u00e9sto se corrobora tambi\u00e9n que vale para S(k)<\/span> (es decir, que se corrobora tambien que S(k)\\neq S(S(k))<\/span>. Esto es el paso inductivo. <\/strong>Si estos dos pasos se completan, entonces se dice que la inducci\u00f3n es completa y vale la propiedad para todos los naturales. <\/p>\n<\/p>\n[1]<\/strong> Para iniciar, partamos notando que S(k) \\neq k,<\/span> es equivalente a decir que \\neg [k=S(k)]<\/span>.<\/p>\n[2]<\/strong> Pero como tanto k<\/span> como S(k)<\/span> son naturales, por el axioma 2 podemos decir que ambos tienen sucesores: S(k)<\/span> y S(S(k))<\/span>, respectivamente. Ambos tambi\u00e9n son naturales.<\/p>\n[3]<\/strong> Luego, por el axioma 4 podemos decir que: S(k) = S(S(k))<\/span> implica que k = S(k)<\/span>. Esto lo podemos escribir de la siguiente manera:<\/p>\n\\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] \\rightarrow \\left[k = S(k)\\right]<\/span>\nque por contrapositivo de la implicancia, es equivalente a decir que:<\/p>\n\\neg \\left[k = S(k)\\right] \\rightarrow \\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\n[4]<\/strong> Finalmente, haciendo un modus ponens entre esta \u00faltima expresi\u00f3n y la obtenida en el paso [1]<\/strong> se tiene que<\/p>\n\\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\nque es lo mismo que decir<\/p>\n S(k) \\neq S(S(k)) <\/span>\nY por lo tanto, hemos demostrado que, si se corrobora que S(k) \\neq k,<\/span>, entonces tambi\u00e9n se corrobora que S(k) \\neq S(S(k))<\/span>; como adem\u00e1s es evidente que 1\\neq 2<\/span>, la inducci\u00f3n es completa y se puede escribir que<\/p>\n\\left(\\forall n\\in\\mathbb{N}\\right)\\left(n \\neq S(n)\\right) <\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Comentario sobre las demostraciones<\/h3>\nSi bien la propiedad enunciada en el ejemplo es bastante obvia, es muy habitual en matem\u00e1tica que las demostraciones no mantengan esa obviedad. Esta demostraci\u00f3n que acabamos de ver es un ejemplo de lo que normalmente se hace cuando se trabaja matem\u00e1ticamente. Para apoyarte en la comprensi\u00f3n de las t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n que son propias de la matem\u00e1tica, te recomiendo que revises los materiales destinados para el curso de <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/category\/matematica\/logica-matematica\/logica-proposicional\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">l\u00f3gica matem\u00e1tica.<\/strong><\/a><\/p>\n<\/body> \n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"N\u00fameros Naturales y los Axiomas de Peano Los N\u00fameros Naturales y los Axiomas de Peano RESUMEN Esta clase trata sobre los n\u00fameros naturales y sobre c\u00f3mo se definen mediante los axiomas de Peano: una serie de principios matem\u00e1ticos que establecen sus propiedades fundamentales. 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