Une premi\u00e8re approche des Ensembles Num\u00e9riques – ToposUranos.com<\/title> <\/head> <body> <\/p>\n<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Une Premi\u00e8re Approche des Ensembles Num\u00e9riques : Des Naturels aux Complexes<\/h1>\n<\/center><\/p>\nR\u00e9sum\u00e9 :<\/strong><\/br>Dans cette classe, nous explorerons comment les nombres naturels peuvent \u00eatre utilis\u00e9s comme base pour la construction d’autres ensembles num\u00e9riques pour surmonter certaines limitations op\u00e9rationnelles. Nous commencerons par les nombres entiers, qui nous permettent d’effectuer des soustractions de mani\u00e8re large. Ensuite, nous progresserons vers les nombres rationnels, qui nous fournissent l’outil de la division de mani\u00e8re compl\u00e8te. Plus tard, nous nous plongerons dans les nombres r\u00e9els pour pouvoir travailler avec les racines n-i\u00e8mes, et nous mentionnerons comment les nombres complexes sont introduits pour traiter des sc\u00e9narios sp\u00e9cifiques avec des racines n-i\u00e8mes. \u00c0 travers ces d\u00e9veloppements, on comprendra comment chaque nouvel ensemble num\u00e9rique \u00e9merge pour r\u00e9soudre les probl\u00e8mes inh\u00e9rents au pr\u00e9c\u00e9dent.<\/em><\/p>\nObjectifs d’Apprentissage<\/u>:<\/strong> \u00c0 la fin de cette classe, l’\u00e9tudiant sera capable de :<\/p>\n<ol>\n<li>Identifier<\/strong> les propri\u00e9t\u00e9s de base des nombres naturels, entiers et rationnels.<\/li>\n<li>Interpr\u00e9ter<\/strong> les propri\u00e9t\u00e9s et les op\u00e9rations de base qui sont h\u00e9rit\u00e9es ou modifi\u00e9es lors du passage d’un ensemble num\u00e9rique \u00e0 un autre.<\/li>\n<li>Comparer<\/strong> les propri\u00e9t\u00e9s des diff\u00e9rents ensembles num\u00e9riques et comment ils sont interreli\u00e9s.<\/li>\n<\/ol>\nINDEX DES CONTENUS<\/u><\/strong> \n<a href=\"#1\">Introduction<\/a> \n<a href=\"#2\">Propri\u00e9t\u00e9s des Nombres Naturels<\/a> \n<a href=\"#3\">Transition des Nombres Naturels aux Entiers<\/a> \n<a href=\"#4\">Le Saut aux Nombres Rationnels<\/a> \n<a href=\"#5\">Nombres R\u00e9els et Irrationnels<\/a> \n<a href=\"#6\">Les Complexes : La Clause Alg\u00e9brique des Nombres R\u00e9els<\/a>\n<\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/PfK-pIlyCj4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introduction<\/h2>\n<div class=\"content\">\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=96s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Les nombres r\u00e9els, ainsi que d’autres ensembles num\u00e9riques que nous explorerons dans cette classe,<\/strong><\/span><\/a> sont introduits par l’expansion des nombres naturels. Il se trouve qu’avec deux nombres naturels quelconques, il n’est pas toujours possible d’effectuer des op\u00e9rations de soustraction ou de division, et ces expansions visent \u00e0 r\u00e9soudre ce probl\u00e8me.<\/p>\nPendant cette classe, nous r\u00e9viserons les <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/operaciones-con-numeros-naturales\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">op\u00e9rations et propri\u00e9t\u00e9s des nombres naturels,<\/strong><\/a> et sur cette base, nous progresserons vers la construction de tous les autres ensembles num\u00e9riques, jusqu’\u00e0 atteindre les nombres r\u00e9els et au-del\u00e0.<\/p>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Propri\u00e9t\u00e9s des Nombres Naturels<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=214s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">En abordant les op\u00e9rations avec des nombres naturels,<\/span><\/strong><\/a> nous faisons principalement r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 l’addition et \u00e0 la multiplication, ainsi qu’\u00e0 leurs op\u00e9rations inverses respectives. Ci-dessous, ces propri\u00e9t\u00e9s sont r\u00e9sum\u00e9es :<\/p>\n\u00c9tant donn\u00e9 que a,b,c\\in\\mathbb{N},<\/span> il est v\u00e9rifi\u00e9 que :<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>1. <\/td>\n<td>a + b = b + a<\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>2. <\/td>\n<td>a \\pm (b \\pm c) = (a\\pm b)\\pm c <\/span> (dans le cas de la soustraction, elle est valide \u00e0 condition qu’elle soit bien d\u00e9finie)\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>3. <\/td>\n<td>a\\cdot b = b \\cdot a <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>4. <\/td>\n<td>a\\cdot(b\\cdot c)= (a\\cdot b)\\cdot c <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>5.\\;\\;\\;\\;\\;<\/span><\/td>\n<td>a\\cdot b = a \\leftrightarrow b=1 <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>6.<\/td>\n<td>\\displaystyle \\frac{a}{b}\\in\\mathbb{N} \\leftrightarrow (\\exists k\\in\\mathbb{N})(a=b\\cdot k) <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>7.<\/td>\n<td>a\\cdot(b+c)=a\\cdot b + a \\cdot c <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Transition des Nombres Naturels aux Entiers<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=418s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Le premier aspect \u00e0 noter est que dans le cas des sommes :<\/span><\/strong><\/a> (\\forall a,b\\in\\mathbb{N})(a+b\\in\\mathbb{N})<\/span>, tandis que pour les soustractions : (\\forall a,b\\in\\mathbb{N})(a+b\\in\\mathbb{N} \\leftrightarrow a\\gt b)<\/span>. Un probl\u00e8me se pose lorsque la soustraction entre deux nombres naturels a<\/span> et b<\/span> n’a pas de sens si a\\leq b<\/span> ; pour rem\u00e9dier \u00e0 cette situation, les nombres naturels sont \u00e9tendus \u00e0 l’ensemble des nombres entiers, o\u00f9 les soustractions de cette nature acqui\u00e8rent une valeur bien d\u00e9finie. Nous d\u00e9notons ce nouveau ensemble des nombres entiers<\/strong> par la lettre \\mathbb{Z}<\/span>, et il se compose de tous les nombres naturels, de leurs inverses additifs et du z\u00e9ro.<\/p>\n\\mathbb{Z} = \\{\\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\\cdots \\}<\/span>\nLes nombres entiers h\u00e9ritent de toutes les propri\u00e9t\u00e9s et op\u00e9rations des nombres naturels, avec une extension sur la deuxi\u00e8me propri\u00e9t\u00e9, et les notions d’inverse et de neutre additif sont introduites.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>2*.<\/td>\n<td>a \\pm (b \\pm c) = (a\\pm b) \\pm c <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>8.<\/td>\n<td>(\\forall a\\in\\mathbb{Z})(\\exists ! b\\in\\mathbb{Z})(a+b=0 \\leftrightarrow b=-a)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>9.<\/td>\n<td>(\\forall a\\in\\mathbb{Z})(\\exists ! b\\in\\mathbb{Z})(a+b=a \\leftrightarrow b=0)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nL’\u00e9l\u00e9ment b=-a<\/span> est ce que nous appelons l’inverse additif<\/strong> de a<\/span>.<\/p>\n<a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Le Saut aux Nombres Rationnels<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=755s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">\u00c0 ce stade, la seule op\u00e9ration qui reste \u00e0 d\u00e9finir correctement est la division.<\/span><\/strong><\/a> Pour r\u00e9soudre cela, nous ferons une extension de l’ensemble des nombres entiers \u00e0 l’ensemble des nombres rationnels, qui sera donn\u00e9 par l’ensemble suivant :<\/p>\n\\mathbb{Q}=\\left\\{a= \\displaystyle\\frac{n}{m}\\;|\\;n,m\\in\\mathbb{Z}\\wedge m\\neq 0 \\right\\}<\/span>\nCela acquiert une nouvelle propri\u00e9t\u00e9<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>10.<\/td>\n<td>(\\forall a \\in \\mathbb{Q}\\setminus\\{0\\})(\\exists ! b \\in \\mathbb{Q})<\/span> \\left[(a\\cdot b = 1) \\leftrightarrow \\left( b = \\displaystyle \\frac{1}{a} = a^{-1} \\right)\\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td colspan=\"2\">Tout rationnel non nul a un inverse multiplicatif. L’inverse multiplicatif de a<\/span> est a^{-1}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nAvec ces nombres, op\u00e9rations et propri\u00e9t\u00e9s, de nouvelles op\u00e9rations avec leurs propri\u00e9t\u00e9s sont d\u00e9finies. Dans ceux-ci est d\u00e9finie la puissance n-i\u00e8me d’un rationnel q<\/span> \u00e0 travers<\/p>\nq^n = \\underbrace{q\\cdot q \\cdot \\cdots \\cdot q}_{n\\;fois};<\/span> avec n\\in\\mathbb{N}<\/span>\nq^{-n}= \\displaystyle \\frac{1}{q^n}<\/span>\nRemarquons que, \u00e0 partir de cela, et \u00e0 condition que q\\neq 0<\/span>, nous pouvons dire que<\/p>\nq^0 = 1<\/span>\nDe plus, chaque fois que des divisions par z\u00e9ro apparaissent, \u00e9tant donn\u00e9s deux rationnels quelconques a,b<\/span> , et deux entiers n,m<\/span> les propri\u00e9t\u00e9s suivantes seront remplies :<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>11.<\/td>\n<td>a^n \\cdot a^m = a^{n+m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>12.<\/td>\n<td>(a^n)^m = a^{n\\cdot m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>13.<\/td>\n<td>(a\\cdot b)^n = a^{n} \\cdot a^{m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>14.<\/td>\n<td>\\left(\\displaystyle \\frac{a}{a}\\right)^n = \\frac{a^n}{a^n} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>15.<\/td>\n<td>\\displaystyle \\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \\frac{1}{a^{m-n}} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Nombres R\u00e9els et Irrationnels<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1031s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Tout comme l’op\u00e9ration de soustraction (inverse de l’addition) et la division<\/span><\/strong><\/a> (inverse du produit) ont rendu n\u00e9cessaire l’expansion des naturels aux entiers et rationnels, respectivement, pour former des op\u00e9rations bien d\u00e9finies, il en va de m\u00eame pour les puissances. L’op\u00e9ration inverse de la n<\/span>-i\u00e8me puissance est la racine n<\/span>-i\u00e8me.<\/p>\n<h3>D\u00e9finition de Racine<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1071s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Soit n<\/span> un entier sup\u00e9rieur \u00e0 1<\/span><\/strong><\/a> et p,q<\/span> des nombres rationnels quelconques, on d\u00e9finit la racine n<\/span>-i\u00e8me de q<\/span>, que nous repr\u00e9sentons \u00e0 travers les r\u00e8gles suivantes :<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>16.<\/td>\n<td>q=0 \\rightarrow \\sqrt[n]{q} = 0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>17.<\/td>\n<td>q \\gt 0 \\rightarrow \\left[ \\sqrt[n]{q} = p \\leftrightarrow p^n = q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>18.<\/td>\n<td> \\left[ q \\lt 0 \\wedge n {\\;est\\;impair} \\right]\\rightarrow \\left[ \\sqrt[n]{q} = p \\leftrightarrow p^n = q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nEn r\u00e9sum\u00e9, la n<\/span>-i\u00e8me racine de q<\/span> est un nombre p<\/span> tel que, lorsqu’il est \u00e9lev\u00e9 \u00e0 la puissance n<\/span>, il vous redonne le nombre q<\/span>. Dans ces cas, lorsque n=2<\/span>, au lieu d’\u00e9crire \\sqrt[2]{q}<\/span>, nous \u00e9crivons simplement \\sqrt{q}.<\/span>\n<h3>L’Apparition des Nombres Irrationnels<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1216s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Arriv\u00e9s \u00e0 ce point, nous nous demandons<\/span><\/strong><\/a> la racine n-i\u00e8me sera-t-elle bien d\u00e9finie pour tous les \u00e9l\u00e9ments de \\mathbb{Q}<\/span> ? La v\u00e9rit\u00e9, c’est que bien que ce ne soit pas si \u00e9vident (compar\u00e9 \u00e0 ce qui a \u00e9t\u00e9 vu avec la soustraction et la division), il existe des rationnels qui n’ont pas de racine n-i\u00e8me rationnelle. Pour voir cela, il suffit de revoir l’exemple suivant :<\/p>\n\\sqrt{2}<\/span> n’est pas un nombre rationnel.<\/strong><\/em><\/p>\nD\u00c9MONSTRATION<\/strong><\/p>\nNous prouverons ceci par r\u00e9duction \u00e0 l’absurde.<\/p>\nSupposons que \\sqrt{2}<\/span> est un nombre rationnel, c’est-\u00e0-dire qu’il existe des p,q\\in\\mathbb{Z}<\/span>, avec q\\neq 0,<\/span> tels que \\sqrt{2}=p\/q,<\/span> et que de plus il a \u00e9t\u00e9 simplifi\u00e9 jusqu’\u00e0 \u00eatre irr\u00e9ductible. Si nous le faisons alors nous pouvons dire que<\/p>\n2 = \\left(\\sqrt{2} \\right)^2 =\\displaystyle \\frac{p^2}{q^2} = <\/span> \\left(\\displaystyle \\frac{p}{q}\\right)^2<\/span>\n<\/span><\/p>\nMais ceci entre en contradiction avec le fait que p\/q<\/span> \u00e9tait \u00e9crit sous forme irr\u00e9ductible (maintenant il s’av\u00e8re que l’on peut simplifier (p\/q)^2<\/span> et son r\u00e9sultat est 2). Comme supposer que \\sqrt{2}<\/span> est rationnel produit une contradiction, alors celui-ci ne peut pas \u00eatre un nombre rationnel et nous disons, en cons\u00e9quence, qu’il est irrationnel.<\/p>\n<h3>L’Expansion aux Nombres R\u00e9els<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1514s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Ces r\u00e9sultats mettent en \u00e9vidence le fait que,<\/span> <\/strong><\/a>pour d\u00e9finir correctement la n-i\u00e8me racine, il est n\u00e9cessaire d’\u00e9largir les rationnels \u00e0 un nouvel ensemble, c’est l’ensemble des nombres r\u00e9els, que nous d\u00e9notons par \\mathbb{R}<\/span> et qui contient \u00e0 la fois les rationnels et les irrationnels<\/p>\n\\mathbb{R}= \\mathbb{Q}\\cup \\mathbb{Q}^*<\/span>\n<a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Les Complexes : La Clause Alg\u00e9brique des Nombres R\u00e9els<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1532s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">\u00c0 ce stade, nous devons noter deux choses :<\/span><\/strong><\/a> (1) quand n<\/span> est pair, la racine n-i\u00e8me devient multivari\u00e9e et, (2) si en plus nous essayons de calculer \\sqrt[n]{q}<\/span> avec q\\lt 0,<\/span> nous verrons que ce nombre ne peut pas \u00eatre un nombre r\u00e9el.<\/p>\nLe premier est r\u00e9solu en d\u00e9finissant la racine principale<\/strong> en appliquant un l\u00e9ger changement sur le point (17) qui parle de la d\u00e9finition de la racine, en restant de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>17*.<\/td>\n<td>q\\gt 0 \\rightarrow \\left[ 0\\lt p=\\sqrt[n]{q} \\leftrightarrow p^n=q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nLe second est atteint en \u00e9largissant l’ensemble des r\u00e9els \u00e0 l’ensemble des nombres complexes \\mathbb{C},<\/span> mais cette construction sera pour plus tard.<\/p>\n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Une premi\u00e8re approche des Ensembles Num\u00e9riques – ToposUranos.com Une Premi\u00e8re Approche des Ensembles Num\u00e9riques : Des Naturels aux Complexes R\u00e9sum\u00e9 :Dans cette classe, nous explorerons comment les nombres naturels peuvent \u00eatre utilis\u00e9s comme base pour la construction d’autres ensembles num\u00e9riques pour surmonter certaines limitations op\u00e9rationnelles. 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