Una primera aproximaci\u00f3n a los Conjuntos Num\u00e9ricos – ToposUranos.com<\/title> <\/head> <body> <\/p>\n<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Una Primera Aproximaci\u00f3n a los Conjuntos Num\u00e9ricos: De los Naturales a los Complejos<\/h1>\n<\/center><\/p>\nResumen:<\/strong><\/br>En esta clase exploraremos c\u00f3mo los n\u00fameros naturales pueden ser usados como base de la construcci\u00f3n de otros conjuntos num\u00e9ricos para superar ciertas limitaciones operacionales. Iniciaremos con los n\u00fameros enteros, que nos permiten llevar a cabo restas de manera amplia. Luego, avanzaremos hacia los n\u00fameros racionales, que nos brindan la herramienta de la divisi\u00f3n de manera completa. Posteriormente, nos adentraremos en los n\u00fameros reales para poder trabajar con ra\u00edces n-\u00e9simas, y mencionaremos c\u00f3mo los n\u00fameros complejos se introducen para abordar escenarios espec\u00edficos con ra\u00edces n-\u00e9simas. A trav\u00e9s de estos desarrollos, se comprender\u00e1 c\u00f3mo cada nuevo conjunto num\u00e9rico surge para resolver problemas inherentes al anterior.<\/em><\/p>\nObjetivos de Aprendizaje<\/u>:<\/strong> Al concluir esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li>Identificar<\/strong> las propiedades b\u00e1sicas de los n\u00fameros naturales, enteros y racionales.<\/li>\n<li>Interpretar<\/strong> las propiedades y operaciones b\u00e1sicas que se heredan o se modifican al transitar de un conjunto num\u00e9rico a otro.<\/li>\n<li>Comparar<\/strong> las propiedades de los diferentes conjuntos num\u00e9ricos y c\u00f3mo se relacionan entre s\u00ed.<\/li>\n<\/ol>\n\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u><\/strong> \n<a href=\"#1\">Introducci\u00f3n<\/a> \n<a href=\"#2\">Propiedades de los N\u00fameros Naturales<\/a> \n<a href=\"#3\">Transici\u00f3n de los N\u00fameros Naturales a los Enteros<\/a> \n<a href=\"#4\">El Salto a los N\u00fameros Racionales<\/a> \n<a href=\"#5\">N\u00fameros Reales e Irracionales<\/a> \n<a href=\"#6\">Los Complejos: La Clausula Algebraica de los N\u00fameros Reales<\/a>\n<\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/PfK-pIlyCj4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<div class=\"content\">\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=96s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Los n\u00fameros reales, junto con otros conjuntos num\u00e9ricos que exploraremos en esta clase,<\/strong><\/span><\/a> se introducen mediante la expansi\u00f3n de los n\u00fameros naturales. Se da la circunstancia de que, con dos n\u00fameros naturales cualesquiera, no siempre es posible efectuar operaciones de resta o divisi\u00f3n, y estas expansiones tienen como objetivo resolver este inconveniente.<\/p>\nDurante esta clase, revisaremos las <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/operaciones-con-numeros-naturales\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">operaciones y propiedades de los n\u00fameros naturales,<\/strong><\/a> y sobre esta base, avanzaremos hacia la construcci\u00f3n de todos los dem\u00e1s conjuntos num\u00e9ricos, hasta alcanzar los n\u00fameros reales y m\u00e1s all\u00e1.<\/p>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Propiedades de los N\u00fameros Naturales<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=214s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Al abordar las operaciones con n\u00fameros naturales,<\/span><\/strong><\/a> nos referimos principalmente a la suma y el producto, junto con sus respectivas operaciones inversas. A continuaci\u00f3n, se resumen estas propiedades:<\/p>\nDado que a,b,c\\in\\mathbb{N},<\/span> se verifica que:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>1. <\/td>\n<td>a + b = b + a<\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>2. <\/td>\n<td>a \\pm (b \\pm c) = (a\\pm b)\\pm c <\/span> (en el caso de la resta, es v\u00e1lida siempre que est\u00e9 bien definida)<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>3. <\/td>\n<td>a\\cdot b = b \\cdot a <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>4. <\/td>\n<td>a\\cdot(b\\cdot c)= (a\\cdot b)\\cdot c <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>5.\\;\\;\\;\\;\\;<\/span><\/td>\n<td>a\\cdot b = a \\leftrightarrow b=1 <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>6.<\/td>\n<td>\\displaystyle \\frac{a}{b}\\in\\mathbb{N} \\leftrightarrow (\\exists k\\in\\mathbb{N})(a=b\\cdot k) <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>7.<\/td>\n<td>a\\cdot(b+c)=a\\cdot b + a \\cdot c <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Transici\u00f3n de los N\u00fameros Naturales a los Enteros<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=418s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">El primer aspecto a notar es que en el caso de las sumas:<\/span><\/strong><\/a> (\\forall a,b\\in\\mathbb{N})(a+b\\in\\mathbb{N})<\/span>, mientras que para las restas: (\\forall a,b\\in\\mathbb{N})(a+b\\in\\mathbb{N} \\leftrightarrow a\\gt b)<\/span>. Un inconveniente surge cuando la resta entre dos n\u00fameros naturales a<\/span> y b<\/span> no tiene sentido si a\\leq b<\/span>; para remediar esta situaci\u00f3n, se expanden los n\u00fameros naturales al conjunto de los n\u00fameros enteros, donde las restas de esta naturaleza adquieren un valor bien definido. Denotamos este nuevo conjunto de los n\u00fameros enteros<\/strong> con la letra \\mathbb{Z}<\/span>, y se compone de todos los n\u00fameros naturales, sus inversos aditivos y el cero.<\/p>\n\\mathbb{Z} = \\{\\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\\cdots \\}<\/span>\nLos n\u00fameros enteros heredan todas las propiedades y operaciones de los n\u00fameros naturales, con una extensi\u00f3n sobre la segunda propiedad, y se introducen las nociones de inverso y neutro aditivo.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>2*.<\/td>\n<td>a \\pm (b \\pm c) = (a\\pm b) \\pm c <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>8.<\/td>\n<td>(\\forall a\\in\\mathbb{Z})(\\exists ! b\\in\\mathbb{Z})(a+b=0 \\leftrightarrow b=-a)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>9.<\/td>\n<td>(\\forall a\\in\\mathbb{Z})(\\exists ! b\\in\\mathbb{Z})(a+b=a \\leftrightarrow b=0)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nEl elemento b=-a<\/span> es lo que denominamos inverso aditivo<\/strong> de a<\/span>.<\/p>\n<a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>El Salto a los N\u00fameros Racionales<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=755s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">En este punto la \u00fanica operaci\u00f3n que nos queda sin definir correctamente es la divisi\u00f3n.<\/span><\/strong><\/a> Para resolver esto realizaremos una expansi\u00f3n sobre el conjunto de los n\u00fameros enteros al conjunto de los n\u00fameros racionales, que estar\u00e1 dado por el siguiente conjunto:<\/p>\n\\mathbb{Q}=\\left\\{a= \\displaystyle\\frac{n}{m}\\;|\\;n,m\\in\\mathbb{Z}\\wedge m\\neq 0 \\right\\}<\/span>\nCon esto se adquiere una nueva propiedad<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>10.<\/td>\n<td>(\\forall a \\in \\mathbb{Q}\\setminus\\{0\\})(\\exists ! b \\in \\mathbb{Q})<\/span> \\left[(a\\cdot b = 1) \\leftrightarrow \\left( b = \\displaystyle \\frac{1}{a} = a^{-1} \\right)\\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td colspan=\"2\">Todo racional no nulo tiene un inverso multiplicativo. El inverso multiplicativo de a<\/span> es a^{-1}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nCon estos n\u00fameros, operaciones y propiedades se definen nuevas operaciones con sus propiedades. En estos se define la potencia n-esima de un racional q<\/span> a trav\u00e9s de<\/p>\nq^n = \\underbrace{q\\cdot q \\cdot \\cdots \\cdot q}_{n\\;veces};<\/span> con n\\in\\mathbb{N}<\/span>\nq^{-n}= \\displaystyle \\frac{1}{q^n}<\/span>\nNotemos que, a partir de esto, y siempre que q\\neq 0<\/span>, podemos decir que<\/p>\nq^0 = 1<\/span>\nAdem\u00e1s, siempre que aparezcan divisiones por cero, dados dos racionales cualesquiera a,b<\/span> , y dos enteros n,m<\/span> se cumplir\u00e1n las siguientes propiedades:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>11.<\/td>\n<td>a^n \\cdot a^m = a^{n+m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>12.<\/td>\n<td>(a^n)^m = a^{n\\cdot m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>13.<\/td>\n<td>(a\\cdot b)^n = a^{n} \\cdot a^{m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>14.<\/td>\n<td>\\left(\\displaystyle \\frac{a}{a}\\right)^n = \\frac{a^n}{a^n} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>15.<\/td>\n<td>\\displaystyle \\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \\frac{1}{a^{m-n}} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>N\u00fameros Reales e Irracionales<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1031s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">As\u00ed como la operaci\u00f3n de la resta (inversa de la suma) y la divisi\u00f3n<\/span><\/strong><\/a> (inversa del producto) hicieron necesario expandir los naturales a los enteros y racionales, respectivamente, para formar operaciones bien definidas, de forma an\u00e1loga ocurre con las potencias. La operaci\u00f3n inversa de la n<\/span>-esima potencia es la ra\u00edz n<\/span>– esima.<\/p>\n<h3>Definici\u00f3n de Ra\u00edz<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1071s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Sea n<\/span> un entero mayor que 1<\/span><\/strong><\/a> y p,q<\/span> n\u00fameros racionales cualquiera, se define la ra\u00edz n<\/span>-esima de q<\/span>, que representamos a trav\u00e9s de las siguientes reglas:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>16.<\/td>\n<td>q=0 \\rightarrow \\sqrt[n]{q} = 0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>17.<\/td>\n<td>q \\gt 0 \\rightarrow \\left[ \\sqrt[n]{q} = p \\leftrightarrow p^n = q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>18.<\/td>\n<td> \\left[ q \\lt 0 \\wedge n {\\;es\\;impar} \\right]\\rightarrow \\left[ \\sqrt[n]{q} = p \\leftrightarrow p^n = q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nEn resumen, la n<\/span>-esima ra\u00edz de q<\/span> es un n\u00famero p<\/span> tal que, al ser elevado a n<\/span>, te entrega de regreso el n\u00famero q<\/span>. En estos casos, cuando n=2<\/span>, en lugar de escribir \\sqrt[2]{q}<\/span>, por simplicidad escribimos \\sqrt{q}.<\/span>\n<h3>La Aparici\u00f3n de los N\u00fameros Irracionales<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1216s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Llegados a este punto es cuando nos preguntamos<\/span><\/strong><\/a> \u00bfEstar\u00e1 bien definida la ra\u00edz n-esima para todos los elementos de \\mathbb{Q}<\/span>? La verdad, es que a pesar de no ser tan evidente (en comparaci\u00f3n a lo visto con la resta y la divisi\u00f3n), existen racionales que no tienen ra\u00edz n-esima racional. Para ver esto basta con revisar el siguiente ejemplo:<\/p>\n\\sqrt{2}<\/span> no es un n\u00famero racional.<\/strong><\/em><\/p>\nDEMOSTRACI\u00d3N<\/strong><\/p>\nProbaremos esto por reducci\u00f3n al absurdo.<\/p>\nSupongamos que \\sqrt{2}<\/span> es un n\u00famero racional, es decir, que existen p,q\\in\\mathbb{Z}<\/span>, con q\\neq 0,<\/span> tales que \\sqrt{2}=p\/q,<\/span> y que adem\u00e1s se ha simplificado hasta quedar irreducible. Si lo hacemos entonces podemos decir que<\/p>\n2 = \\left(\\sqrt{2} \\right)^2 =\\displaystyle \\frac{p^2}{q^2} = <\/span> \\left(\\displaystyle \\frac{p}{q}\\right)^2<\/span>\n<\/span><\/p>\nPero esto entra en contradicci\u00f3n con el hecho de que p\/q<\/span> estaba escrito en forma irreducible (ahora resulta que se puede simplificar (p\/q)^2<\/span> y su resultado es 2). Como el suponer que \\sqrt{2}<\/span> es racional produce una contradicci\u00f3n, entonces \u00e9ste no puede se un n\u00famero racional y decimos, en consecuencia, que es irracional.<\/p>\n<h3>La Expansi\u00f3n a los N\u00fameros Reales<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1514s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Estos resultados ponen en evidencia el hecho de que,<\/span> <\/strong><\/a>para definir correctamente la n-esima ra\u00edz es necesario ampliar los racionales a un nuevo conjunto, este es el conjunto de los n\u00fameros reales, que denotamos por \\mathbb{R}<\/span> y que contiene tanto a los racionales como los irracionales<\/p>\n\\mathbb{R}= \\mathbb{Q}\\cup \\mathbb{Q}^*<\/span>\n<a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Los Complejos: La Clausula Algebraica de los N\u00fameros Reales<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1532s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">En este punto debemos notar dos cosas:<\/span><\/strong><\/a> (1) cuando n<\/span> es par, n-esima ra\u00edz queda multivariada y, (2) si adem\u00e1s intentamos calcular \\sqrt[n]{q}<\/span> con q\\lt 0,<\/span> veremos que tal n\u00famero no puede ser un n\u00famero real.<\/p>\nLo primero se resuelve definiendo la raiz principal<\/strong> aplicando un ligero cambio sobre el punto (17) que habla sobre la definici\u00f3n de la ra\u00edz, quedando de la siguiente manera:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>17*.<\/td>\n<td>q\\gt 0 \\rightarrow \\left[ 0\\lt p=\\sqrt[n]{q} \\leftrightarrow p^n=q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nLa segunda se logra ampliando el conjunto de los reales al conjunto de los n\u00fameros complejos \\mathbb{C},<\/span> pero esta construcci\u00f3n quedar\u00e1 para m\u00e1s adelante.<\/p>\n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Una primera aproximaci\u00f3n a los Conjuntos Num\u00e9ricos – ToposUranos.com Una Primera Aproximaci\u00f3n a los Conjuntos Num\u00e9ricos: De los Naturales a los Complejos Resumen:En esta clase exploraremos c\u00f3mo los n\u00fameros naturales pueden ser usados como base de la construcci\u00f3n de otros conjuntos num\u00e9ricos para superar ciertas limitaciones operacionales. 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