Факторизация квадратного и 2n-квадратного многочлена
Резюме:
На этом занятии мы подробно рассмотрим процесс факторизации квадратных многочленов P(x) = ax^2 + bx + c и 2n-квадратных многочленов (2n)-квадратных P(x) = ax^{2n} + bx^n + c, раскладывая их на простые множители. Математически будут проработаны процедуры, а также показаны практические примеры.
Цели обучения
- Научиться факторизовать квадратные многочлены вида P(x) = ax^2 + bx + c.
- Вывести и использовать квадратную формулу x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} для нахождения корней.
- Применять методы факторизации к (2n)-квадратным многочленам вида P(x) = ax^{2n} + bx^n + c.
- Распознавать условия, необходимые для факторизации квадратных многочленов.
- Использовать метод завершения квадрата в процессе факторизации.
Содержание:
Введение
Квадратный и 2n-квадратный многочлены
Факторизация квадратного многочлена
Расширение к факторизации биквадратного многочлена
Примеры упражнений
Введение
Научиться факторизовать квадратный многочлен — это первый шаг к изучению множества других методов факторизации. Поэтому мы подробно рассмотрим этот метод и расширим его использование настолько, насколько это возможно. По завершении вы научитесь не только факторизовать квадратный многочлен (степени 2), но и использовать эти же методы для факторизации любых (2n)-квадратных многочленов.
Квадратный и (2n)-квадратный многочлены
Квадратный многочлен — это многочлен второй степени. Таким образом, квадратный многочлен имеет вид
P(x) = ax^{2}+bx +c
с a,b,c\in\mathbb{R} и a\neq 0. Однако наше изучение не ограничится факторизацией таких многочленов; мы также обратим внимание на обобщённую форму, квадратный многочлен — это всего лишь частный случай. Мы говорим о (2n)-квадратном многочлене, который включает все многочлены вида
P(x) = ax^{2n}+bx^n +c
где a,b,c\in\mathbb{R} и a\neq 0, и n\in\mathbb{N}. Примеры таких многочленов:
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
и так далее.
Факторизация квадратного многочлена
Как мы уже видели, квадратный многочлен имеет общий вид
P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0
Факторизация — это процесс разложения сложного многочлена на произведение двух более простых многочленов. Следовательно, если факторизация возможна, то существуют константы \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R}, где \alpha, \gamma \neq 0, такие, что:
| P(x) = ax^2 + bx + c | = (\alpha x + \beta)(\gamma x + \delta) |
| = \alpha \gamma \left(x +\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}\right)\left(x + \frac{\delta}{\gamma}\right) |
Так как левая и правая части равны, обе стороны аннулируются, когда одна из них аннулируется. Оказывается, что правая часть аннулируется, когда x=-\beta/\alpha или x=-\delta/\gamma. Давайте посмотрим, при каких значениях левая часть этого уравнения будет аннулироваться. У нас будет:
| ax^2 + bx + c | = 0 |
| ax^2 + bx | = -c |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x | = - \displaystyle \frac{c}{a} |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} | =\displaystyle \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} = \frac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| \left(x + \displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2 | = \displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| x + \displaystyle \frac{b}{2a} | = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} |
| x | = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} ✅ |
Исходя из этого рассуждения, у нас будут следующие условия для коэффициентов факторизации:
- \alpha\gamma = a
- \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
- \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
Таким образом, у нас появляется техника для факторизации любого многочлена второй степени. Если его нельзя факторизовать, это станет ясно из дискриминанта (если он отрицателен, факторизация в вещественных числах невозможна). Для удобства введём следующие обозначения:
- x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
- x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
И в итоге получаем старую, надёжную формулу:
\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅
Таким образом, факторизация многочлена приобретает вид:
\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅
Расширение к факторизации биквадратного многочлена
Этот метод также можно использовать для факторизации биквадратного многочлена. Метод факторизации выглядит следующим образом:
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c = a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)
Где x^2_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Таким образом, можно записать:
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)
Если x_1^2 — положительное число, можно воспользоваться разложением суммы на произведение. Если корни определены комплексными числами, факторизация возможна только в комплексных числах.
Примеры упражнений:
Теперь ваша очередь опробовать эти методы на нескольких примерах. Эти многочлены были выбраны случайным образом, чтобы вы могли столкнуться с возможными трудностями в процессе факторизации.
Первый раунд
Это те самые многочлены, которые я привёл в начале поста:
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
Второй раунд
И вот ещё несколько более сложных примеров:
- P(x) = 78x^2 -21x - 13
- Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
- R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
- S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
- T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15