Обзор преобразований Лоренца

В специальной теории относительности идея абсолютного времени отвергается. Вместо этого устанавливается, что скорость света, c, постоянна во всех инерциальных системах отсчета. Это изменение, в сочетании с принципом относительности, приводит нас к преобразованиям Лоренца. Эти преобразования связывают координаты наблюдаемого события из двух различных инерциальных систем отсчета. Эта тема подробно рассматривается в классе о преобразованиях Лоренца в специальной теории относительности.

Рассматривая инерциальные системы отсчета S и S^\prime в стандартной конфигурации, где их оси и начала координат совпадают в t=t^\prime =0, и фотон, испущенный в t=t^\prime = 0 из начала координат, координаты пространства и времени фотона в каждой системе должны удовлетворять уравнению:

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

Из этого уравнения и принципа относительности мы выводим известные преобразования Лоренца:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Где \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c — это скоростной прирост, приобретенный S^\prime при движении относительно S со скоростью v_{ss^\prime_x}, а \gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} — это фактор Лоренца, связанный с этим. Это преобразование Лоренца в направлении \hat{x} упрощается до галилеевых преобразований при v_{ss^\prime_x} \ll c.

Подобно галилеевым преобразованиям, существует симметрия, которая облегчает расчет обратного преобразования, просто меняя местами термины и учитывая, что \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x}:

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

Пространство-время Минковского

Преобразования Лоренца показывают, что координаты пространства и времени неразрывно связаны. Эта связь особенно ясно выражена в симметрии между ct и x. Рассматривая два события, A и B, с координатами (ct_A, x_A, y_A, z_A) и (ct_B, x_B, y_B, z_B). В системе S мы определяем квадратичное расстояние следующим образом:

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

Расстояние в пространстве-времени, \Delta s, записывается как \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}. Здесь, \Delta t представляет собой временную длину, а \Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} — пространственную длину.

Пространство-время Минковского, характеризующееся этой идеей расстояния в пространстве-времени \Delta s, является основополагающим в специальной теории относительности. Оно было введено Германом Минковским и отличается от пространственных и временных координат тем, что является инвариантным при преобразованиях Лоренца.

\Delta s = \Delta s^\prime

В этой модели пространство и время объединяются в четырехмерный континуум. В отличие от евклидовой геометрии, геометрия пространства-времени Минковского является псевдо-евклидовой из-за отрицательных знаков в ее пространственных компонентах. Тем не менее, для постоянного времени t пространственная геометрия Минковского остается евклидовой.

Что происходит с длинами пространства, времени и пространства-времени при преобразованиях Лоренца?

Как уже упоминалось, длины пространства-времени \Delta s инвариантны при преобразованиях Лоренца, но кроме этого также имеет место изменение длин времени и пространства по отдельности. Далее мы продемонстрируем это пошагово.

Сначала вспомним о событиях A и B, рассмотренных в начале, с их соответствующими координатами в пространстве-времени относительно системы S:

• Событие A: (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• Событие B: (ct_B,x_B, y_B, z_B)

Для этих расчетов мы используем без потери общности преобразования Лоренца для систем S и S^\prime в стандартной конфигурации, где S^\prime движется со скоростью \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} относительно S

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Разработка для чисто временных длин

Предположим, что события A и B, наблюдаемые из системы отсчета S, разделены только во времени, как тики часов. В этом случае время, прошедшее между тиками, рассчитывается следующим образом:

c\Delta t = c(t_B - t_A)

С другой стороны, временной интервал между теми же событиями, наблюдаемыми из S^\prime, будет:

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

Эти временные интервалы связаны через преобразования Лоренца следующим образом:

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

Теперь, поскольку события A и B разделены только во времени для наблюдателя в S, мы имеем \Delta x = 0. Поэтому:

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

Важно отметить, что:

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infty[

Это происходит из-за того, что \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[.

Проще говоря, если наблюдатель в S измеряет временной интервал \Delta t как тик-так часов, наблюдатель в S^\prime измеряет этот же интервал как \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t, который больше или равен \Delta t. Этот эффект, известный как расширение времени, показывает, как время удлиняется между инерциальными наблюдателями, испытывающими скоростной прирост \beta_{ss^\prime_x}. Таким образом, ход времени не одинаков для всех инерциальных наблюдателей, что свидетельствует о том, что временные длины не инвариантны при преобразованиях Лоренца.

Разработка для чисто пространственных длин

Предположим, что события A и B разделены только в пространстве, как концы линейки. Предположим, без потери общности, что эта линейка ориентирована вдоль оси \hat{x} системы S. Тогда у нас будет:

\Delta x = x_B - x_A

С точки зрения S^\prime, это пространственное разделение будет:

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

Применяя преобразования Лоренца, мы можем установить связь между двумя наблюдениями:

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

Поскольку события A и B являются одновременными для S, следует, что \Delta t = 0, и поэтому:

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

Например, если мы поместим линейку длиной l_0 в вагон поезда (наблюдатель S^\prime), который движется относительно нас (наблюдатель S), и линейка выровнена по направлению движения, наблюдаемая длина будет:

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

Это означает, что мы будем воспринимать длину линейки как более короткую, чем она есть на самом деле. Это явление известно как сжатие Лоренца и показывает, что пространственные интервалы не сохраняются при преобразованиях Лоренца.

Разработка для длин пространства-времени

После анализа того, как преобразуются чисто пространственные и чисто временные длины, рассмотрим теперь поведение длин пространства-времени при преобразованиях Лоренца. Напомним, что длина пространства-времени, наблюдаемая наблюдателем S^\prime для двух событий A и B, выражается следующим образом:

\begin{array}{rl} \Delta s^\prime &= \sqrt{c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \\ \\ &= \sqrt{c^2 (t^{\prime 2}_B - t^{\prime 2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{\prime 2}_A) + (y^{\prime 2}_B - y^{\prime 2}_A) + (z^{\prime 2}_B - z^{\prime 2}_A) \right]} \end{array}

Далее мы рассмотрим, как эти длины связаны после применения преобразований Лоренца в случае, когда S^\prime имеет скоростной прирост \beta_{ss^\prime_x} относительно S.

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (c^2 t^{\prime 2}_B - c^2 t^{\prime 2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{\prime 2}_A) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right] \\ \\ \\ &= \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)\right]^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \left( \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)\right]^2 \right) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}^2 (ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)^2 + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_B^2 \color{black} - \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_B x_B} + \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_B^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_A^2\color{black} + 2 \cancel{\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_A x_A} - \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_A^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green} \gamma_{ss^\prime_x}^2x_B^2 \color{black} + \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_B x_B} - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_B^2 \color{black}+ \cdots \\ \\ & \cdots + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2x_A^2\color{black}- \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_A x_A} + \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 (1- \beta_{ss^\prime_x}^2)c^2 t_B^2\color{black} - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 (1- \beta_{ss^\prime_x}^2)c^2 t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)x_B^2\color{black} + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)x_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_А) + (z^{2}_B - z^{2}_А) \right\} \\ \\ \\ \end{array}

В конце концов, помня, что \gamma_{ss^\prime_x}^2 = 1/(1-\beta_{ss^\prime_x}^2), мы получаем следующее:

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= c^2 t_B^2 - c^2 t_A^2 - x_B^2 + x_A^2 - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_А) + (z^{2}_B - z^{2}_А) \right\} \\ \\ &= c^2 (t_B^2 - t_A^2) - \left\{ (x_B^2 - x_A^2) + (y^{2}_B - y^{2}_А) + (z^{2}_Б - з^{2}_А) \right\} \\ \\ &= c^2 \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \\ \\ &= \Delta s^2 \end{array}

Таким образом, мы показали, что, в отличие от чисто временных и пространственных длин, длины пространства-времени остаются постоянными при преобразованиях Лоренца.